文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 04 函数的图象与性质
题型解读｜模型构建｜通关试 练
模型01 一次函数的性质与应用
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
k>0，b>0 一、二、三
y=kx+b y随x的增大而增
(k≠0) 大
k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b y随x的增大而减
(k≠0) 小
k<0，b<0 二、三、四
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图
象过一三象限，k<0时图象过二四象限.
显然，第（2）种方法更简单快捷．
模型02 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
y= (k≠0)
x
反比例函数 的图象是由两个分支组成的曲线，
k
y= (k≠0)
x
双曲线
k＞0 k＜0
图象
位于第一、三象限
位于第二、四象限
自变量x x＜0
的取值范围
增减性 在其每一象限内，y随x的增大而减 在其每一象限内，y随x的增大而增大
小
中心对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性 y=±x
反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线
模型03 二次函数的图象性质应用
二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数一般式yax2 bxc (a0的性质：
b 4acb2
配方：二次函数yax2 bxca(x )2
2a 4a
开口方
a的符号 顶点坐标 对称轴 增减性
向
b
x 时，y随x的增大而增大；
2a
b
a0 向上 （ ， ） x 时，y随x的增大而减小；
2a
b 4acb2
x 时，y有最小值 ．
2a 4a
时，y随x的增大而减小；
a0 向下 （ ， ） 时，y随x的增大而增大；
时，y有最大值 ．
4．二次函数顶点式 ( )的性质：
a的 开口 顶点 对称轴 增减性
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
符号 方向 坐标
（ h ， 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的
向上 x=h
k） 增大而减小； 时，y有最小值k．
（ h ， 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的
向下 x=h
k） 增大而增大； 时，y有最大值k．
模型01 一次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
一次函数的图象与性质的题型中图象与性质在解答题中考查的较多，一次函数的应用主要是函数的图
象的综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，还会与三角形、四边形综合，涉及全等三角形、
等腰三角形、特殊的四边形等.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度
中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
解答此类问题的关键是掌握一次函数y=kx+b的主要性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升，函数必过第一、三象限；k＜0，y随x的增大而减小，函
数从左到右下降，函数必过第二、四象限．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b
＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
’
（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．P(t,0)
为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面
积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)OB的长为 ___________；△OAB的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
8
【答案】(1)4，
3
(2)S=¿
【知识点】一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、动点问题的函数图象、求一次函数解析式
8
【分析】（1）由t=0时，P与O重合，得S=S = ，t=4时，P与B重合，得OB=4；
❑△ABO 3
1 1 8 4 (4 4)
（2）设A(a,a)，由S = OB⋅a，即 ×4a= ，得到a= ，则A ， ；分两种情况：当
❑△AOB 2 2 3 3 3 3
4 1 8 1 8
0≤t≤ 时，设OA交PD于E，可得PE=PO=t，得到S = t2 ，则S= −S =− t2+ ；当
3 ❑△POE 2 3 ❑△POE 2 3
4 1 DP OC 2 1
0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t= ；
(2)当t=4时，S的值为 ；
(3)求出S与t的函数关系式．
16
【答案】(1)
5
(2)7
16 1
(3)①当00)的图象交于A(1,5)，
x
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B(m,a)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
( m)
(2)点P n, 为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PC⊥x轴于点C，交一次函数图象于点
n
D，若CP≤CD，请直接写出n的取值范围．
5
【答案】(1)y= ，y=−x+6
x
(2)1≤n≤5或n≥3+√14
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将(1,5)代入反比例函数解析式即可得出m的值，从而得出反比例函数的解析式以及B的坐标，再利用
待定系数法求一次函数的解析式即可得解；
5
（2）由题意可得C(n,0)，D(n,−n+6)，结合m=5得出CP= ，CD=|−n+6|，结合CP≤CD可得
n
5
≤|−n+6|，再分情况解不等式即可得解．
n
m m
【详解】（1）解：将(1,5)代入y= 中，得5= ，
x 1
解得m=5，
5
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
5 5
将x=5代入y= 中，得y= =1，
x 5
∴B(5,1)，
将(1,5)，(5,1)分别代入y=kx+b中，得¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−x+6；
（2）解：如图：
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( m)
∵点P n, 为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PC⊥x轴于点C，交一次函数图象于点
n
D，
∴C(n,0)，D(n,−n+6)，
由（1）可得：m=5
5
∴CP= ，CD=|−n+6|，
n
∵CP≤CD
5
∴ ≤|−n+6|，
n
5
当−n+6≥0，即06时， ≤n−6，
n
解得：n≥3+√14
综上所述，1≤n≤5或n≥3+√14．
m
1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数y= 的图像与一次函数y=kx+b的图像交于
x
A(2,5),B(n,1)两点．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
m
(2)根据图像直接写出不等式kx+b− >0时x的取值范围．
x
10
【答案】(1)y= ，10
x
(2)x<0或20时x的取值范围为x<0或20)的图象交于点A(1,a)，点 B
x
在 x 轴正半轴上．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①点P到∠AOB两边的距离相等；② PA∥OB．
(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
3
【答案】(1)y= (x>0)
x
(2)见解析
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)P(√10+1,3)
k
【分析】（1）将A(1,a)代入y=3x求出a的值，再将A点坐标代入y= (x>0)即可；
x
（2）先作∠AOB的角平分线，再以点A为圆心，AO为半径作弧，与∠AOB的角平分线的交点即为满足
条件的点P；
（3）延长PA交y轴于点C，根据勾股定理求出AO，进而求出PA，即可得出P的坐标．
【详解】（1）解：将A(1,a)代入y=3x，
得：a=3×1=3，
∴ A(1,3)，
k
将A(1,3)代入y= (x>0)，
x
得：k=1×3=3，
3
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)．
x
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：如图，延长PA交y轴于点C，则PA⊥y轴，
∵ A(1,3)
，
∴ OC=3，AC=1，
∴ OA=√OC2+AC2=√32+12=√10，
∴ AP=OA=√10，
∴ CP=AP+AC=√10+1，
∴ P(√10+1,3)．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，尺规作图，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形
的性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键．
k
3．（2025·河南·一模）如图，反比例函数y= (x>0)的图像经过点A(2,3)，一次函数y=mx+n的图象与
x
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点B(0,4)，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重
合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AD交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，
△PMN与△OBC是否总相似，并说明理由．
【答案】(1)
6 1
y= ，y=− x+4
x 2
(2)是，理由见解析
k k
【分析】（1）将点A(2,3)代入y= 中，得3= ，由此即可求出k的值，进而可得反比例函数的表达式；
x 2
将A(2,3)，B(0,4)分别代入y=mx+n中，得¿，解方程组即可求出m、n的值，进而可得一次函数的表达
式；
（2）由两直线平行同位角相等可得∠MNP=∠BCO，∠PMN=∠OBC，然后由相似三角形的判定即
可得出结论．
k k
【详解】（1）解：将点A(2,3)代入y= 中，得：3= ，
x 2
∴k=2×3=6，
6
∴反比例函数的表达式为y= ；
x
将A(2,3)，B(0,4)分别代入y=mx+n中，得：¿，
解得：¿，
1
∴一次函数的表达式为y=− x+4；
2
（2）解：点P在滑动过程中，△PMN与△OBC总相似，理由如下：
∵PN∥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠MNP=∠BCO，
∵PM∥y轴，
∴PM∥OB，
∴∠PMN=∠OBC，
∴△PMN∽△OBC．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，
求一次函数解析式，相似三角形的判定，两直线平行同位角相等，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握
反比例函数与一次函数的综合及反比例函数与几何综合是解题的关键．
6
4．（2025·河南商丘·一模）如图，反比例函数 y=− 的图象与经过原点的直线y=kx+a交于A(b,2)，B
x
两点．
(1)填空：a= ，b= ，点B 的坐标为____ ．
6
(2)直接写出不等式− >kx+a的解集．
x
(3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标．
【答案】(1)a=0，b=−3，(3,−2)
(2)−33
(3)(2√3,3√3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将A(b,2)代入反比例函数解析式即可得出b=−3，再根据一次函数经过原点即可得出a=0，最后根
据反比例函数与正比例函数的性质即可得出B的坐标；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）连接OC，作AD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，则OC⊥AB，证明△ADO∽△OEC，得出
OD AD OA
= = =tan∠CAO=√3，求出EC=2√3，OE=3√3，即可得解．
EC OE OC
6
【详解】（1）解：∵A(b,2)在反比例函数y=− 的图象上，
x
6
∴− =2，
b
∴b=−3，
∴A(−3,2)，
∵直线y=kx+a经过原点，
∴a=0，
∴点B的坐标为(3,−2)；
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6
（2）解：由图象可得：不等式− >kx+a的解集为−33；
x
（3）解：如图，连接OC，作AD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，
，
则OC⊥AB，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵AD⊥y，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠OEC=90°，
∴△ADO∽△OEC，
OD AD OA √3
∴ = = =tan∠ACO= ，
EC OE OC 3
∵OD=2，AD=3，
∴EC=2√3，OE=3√3，
∴点C的坐标为(2√3,3√3)．
模型03 反比例函数与几何问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、
平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为
主，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
反比例函数的k值及面积问题
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
m
如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,4)，B(a,−1)两点，直线AB分别与x轴、
x
y轴交于点C，D．
(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若P(t,0)(t≠2)是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交
于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)8； ；3
2
t2+6t−16 −t2−6t+16
(2)当t>2时，d= ；当02时，d=PM−PN= t+3− = ；
2 t 2t
8 (1 ) −t2+6t+16
当00,k>0)的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为(2,m)，点F的坐标为(m+3,1)．
x
k
点P在反比例函数y= (x>0)的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．
x
(1)求k的值；
(2)连接PA、PB、PC、PD，当△PBC与△PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的
取值范围；
(3)连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2)20,k>0)的图象上，
x
∴ k=2m=(m+3)×1
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ m=3，
∴E(2,3)，F(6,1)，
∴k=3×2=6；
（2）解：∵ BC=8，E(2,3)，F(6,1)，
∴ S =8×（3−1）=16，
矩形ABCD
1
∵S +S = S =8，
△PBC △PAD 2 矩形ABCD
∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件，
∴ 20，k是常数）的图像经过点A(1,4)，在双曲线上有一动点B(m,n)，
x
作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
(1)若m=n时，求证：△ACB∽△NOM；
(2)若B(m,n)是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)若△ACB与△NOM的相似比为3:1，在x轴上找一个点P，使得△BOP
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(17 )
(3)(√17,0)或(−√17,0)或(8,0)或 ,0
8
k
【分析】（1））把A点代入y= 即可求出k的值，进而求出点B的坐标，根据A、B两点坐标可得
x
AC=2，BC=2，ON=1，OM=1，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）类似（1）求解即可；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为3:1，可得m−1=3，进而得到m的值，然后可得B点坐标，根据
等腰三角形的性质分BO=PO，BO=BP ，PO=BP三种情况分别求解即可．
k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= （x>0，k是常数）的图象经过点A(1,4)，
x
∴k=1×4=4，
4
∴反比例函数解析式：y= ，
x
4
把B(m,m)代入，得m= ，
m
解得m=2（负值舍去）
∴B(2,2)，
∵AM⊥x轴， BN⊥y轴，∠NOM=90°，
∴AM=4，OM=1，BN=2，ON=2，四边形NOMC是矩形，
∴NC=OM=1，MC=ON=2，∠ACB=∠NCM=90°，
∴AC=AM−CM=2，BC=BN−NC=1，
AC BC
∴ = =1，
NO OM
又∠ACB=∠NOM，
∴△ACB∽△NOM；
（2）解：成立
4
理由：由（1）知：反比例函数解析式：y= ，OM=1，AM=4，
x
4
把B(m,n)代入，得n= ，
m
( 4)
∴B m, ，
m
4
∴BN=m，ON= ，
m
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4
由（1）同理求出AC=4− ，BC=m−1，
m
4
4−
AC m BC
∴ = =m−1= ，
ON 4 OM
m
又∠ACB=∠NOM，
∴△ACB∽△NOM；
（3）解：由（2）知△ACB与△NOM的相似比为m−1，
∵△ACB与△NOM的相似比为3:1，
∴m−1=3，
∴m=4
∴B(4,1)，
∴OB=√42+12=√17
①当BO=PO时，
∵点P在x轴上，
∴P的坐标为(√17,0)，(−√17,0)；
②当BO=BP时，如图，
作BH⊥x轴，则H(4,0)
故O，P关于H点对称，
∴P的坐标为(8,0)；
③PO=BP时，设P(x,0)
∴x2=(4−x) 2+12
17
解得x=
8
(17 )
∴P的坐标为 ,0
8
(17 )
综上，点P的坐标是(√17,0)或(−√17,0)或(8,0)或 ,0 ．
8
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、相似三角形
的判定与性质、等腰三角形的性质．
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分
9
线交于点P，P在反比例函数y= 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接
x
CD．
(1)求∠P的度数及点P的坐标；
(2)△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠P=45°，P(3,3)
(2)27−18√2
【分析】（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， PH⊥AB于H，证明△PAM≌△PAH，
△BPN≌△BPH，可得∠APM=∠APH，∠BPH=∠BPH，PM=PN，继而证明四边形PMON是
9
正方形，可得∠MPN=90°，则可求得∠APB=45°，再设P(m,m)，由P(m,m)在y= 上，利用待定
x
系数法求得m的值即可得；
（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3−a，BN−BH=3−b，可得AB=6−a−b，推出
OA+OA+AB=6，可得a+b+√a2+b2=6，由(a−b) 2≥0，可得a2+b2≥2ab，继而根据a>0，b>0，
可得a+b≥2√ab，由此可确定出ab的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA=∠PHA=90°
，
∵∠PAM=∠PAH，PA=PA，
∴△PAM≌△PAH(AAS)，
∴PM=PH，∠APM=∠APH，
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH=PN，∠BPN=∠BPH，
∴PM=PN，
∵∠PMO=∠MON=∠PNO=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN=90°，
1
∴∠APB=∠APH+∠BPH= (∠MPH+∠NPH)=45°，
2
∵PM=PN，
∴可以假设P(m,m)，
9
∵P(m,m)在y= 上，
x
∴m2=9，
∵m>0，
∴m=3，
∴P(3,3)；
（2）解：设OA=a，OB=b，则AM=AH=3−a，BN=BH=3−b，
∴AB=6−a−b，
∴OA+OB+AB=6，
∴a+b+√a2+b2=6，
∵(a−b) 2≥0，即a2−2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴(a+b) 2−2ab≥2ab，
∴(a+b) 2≥4ab，
∵a>0,b>0，
∴a+b≥2√ab，
∴a+b+√a2+b2≥2√ab+√2ab，
∴2√ab+√2ab≤6，
∴(2+√2)√ab≤6，
∴ √ab≤3(2−√2)，
∴ab≤54−36√2，
1
∴S = ab≤27−18√2（当a=b时取等号），
△AOB 2
∴△AOB的面积的最大值为27−18√2．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
二次根式的运算等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程和不等式解决问题是解题的关键．
5．如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A(2,a)，过点A作反比例函数
k
y= (x>0)的图象．
x
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
k
(2)点P为反比例函数y= (x>0)图象上的一点，若S =2S ，求点P的坐标．
x △POB △AOB
(3)在x轴存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ，请求出点Q的坐标．
12
【答案】(1)a=6，y=
x
(2)点P坐标为(4,3)
( 5 )
(3)存在，点Q的坐标为(2,0)或 − ,0
2
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题．
（1）先求出A(2,6)，再利用待定系数法进行解答即可；
1 1 1 1
（2）先求出OB=2，根据S = OB⋅x = ×2×2=2，又S = OB⋅x = ×2×x =4，解得：
△AOB 2 A 2 △POB 2 P 2 P
12
x =4，则y= =3，即可求出答案；
P 4
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把A(2,a)代入y=2x+2得，
a=2×2+2=6，
∴ A(2,6)，
k
把A(2,6)代入y= ，
x
得k=12，
12
∴反比例函数的函数表达式为y=
x
（2）解：当x=0时，
y=2x+2=2，
∴ B(0,2)，
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OB=2，
1 1
∴ S = OB⋅x = ×2×2=2，
△AOB 2 A 2
∴ S =2S =4，
△POB △AOB
1 1
又S = OB⋅x = ×2×x =4，
△POB 2 P 2 P
解得：x =4，
P
12
∴y= =3，
4
∴点P坐标为(4,3)；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作AQ ∥y轴交x轴于Q ，
1 1
则∠BOA=∠OAQ ，
1
∴点Q(2,0)；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设AQ 与y轴交于点D(0,b)，
2
∵∠BOA=∠OAQ ，
2
∴OD=AD，
则22+(6−b) 2=b2，
10
解得：b= ，
3
( 10)
∴D 0, ，
3
设直线AQ 表达式为y=mx+n，则有
2
¿，
解得¿，
4 10
∴直线AQ 的表达式为y= x+ ，
2 3 3
5
当y=0时，x=− ，
2
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 5 )
即点Q 的坐标为 − ,0 ，
2 2
( 5 )
综上所述，点Q的坐标为(2,0)或 − ,0 ．
2
模型04二次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、
二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次方程和不等式相结合。二次函数与方程、几何知识的综合
应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将
函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
答｜题｜技｜巧
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之间的关系
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
（2025·广东揭阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M:y=ax2+bx的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点(2,t)在抛物线M上，求t的值；
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√3
(2)如图2，若a=1，直线l:y= x+1，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
3
a
(3)若b=2− ，当00，求a的取值范围．
2
【答案】(1)0
11√3
(2)
24
(3)−4≤a<0或00时，抛物线开口向上；②当a<0时，抛物线开口向下，再
结合抛物线与x轴交点的位置进行分析，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线M:y=ax2+bx的顶点为A．且A点横坐标为1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
∵点(2,t)在抛物线M上，
∴t=4a+2b=4a+2×(−2a)=0，
∴t的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交x轴、y轴于点B、C，过点A作AD⊥BC于点D，作AE∥y轴交直线l
于点E，则∠ADE=90°，
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√3
代入x=0到y= x+1，得y=1，
3
√3 √3
代入y=0到y= x+1，则有0= x+1，解得x=−√3，
3 3
∴B(−√3,0)，C(0,1)，
∴BC=√OB2+OA2=2，
∵a=1，
∴y=ax2+bx=x2+bx= ( x+ b) 2 − b2 ，
2 4
( b b2 )
∴顶点A的坐标为 − ,− ，
2 4
b √3 √3 ( b) √3
代入x=− 到y= x+1，得y= ⋅ − +1=1− b，
2 3 3 2 6
( b √3 )
∴E − ,1− b ，
2 6
√3 ( b2 ) 1 √3
∴AE=1− b− − = b2− b+1，
6 4 4 6
∵AE∥y轴，
∴∠DEA=∠OCB，
又∵∠ADE=∠BOC=90°，
∴△ADE∽△BOC，
AD AE
∴ = ，
BO BC
2
∴AD= BO ⋅AE= √3(1 b2− √3 b+1 ) = √3( b− √3) + 11√3 ，
BC 2 4 6 8 3 24
√3 11√3
当b= 时，AD有最小值 ，
3 24
11√3
∴点A到直线l的距离最小值为 ．
24
a
（3）解：∵b=2− ，
2
∴y=ax2+ ( 2− a) x，
2
令y=0，则ax2+ ( 2− a) x=0，
2
1 2
解得：x =0，x = − ，
1 2 2 a
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 2
当 − =0时，即a=4，
2 a
此时y=4x2，当00，符合题意；
(1 2 )
∴当a≠4时，抛物线与x轴的交点为(0,0)和 − ,0 ，
2 a
下面分2种情况讨论：
1 2 1
①当a>0时，抛物线开口向上，此时 − < <1，
2 a 2
1 2 1 2
若 − >0，则抛物线在00的图象y随着x的增大而增大，且满足y=ax2+bx>0，符合题
2 a
意；
∴0 >0，
2 a 2
1 2
∴抛物线在00，
1 2
∴ − ≥1，
2 a
解得：−4≤a<0；
∴综上所述，a的取值范围为−4≤a<0或0x ≥0，比较y 与y
c c 1 1 2 2 1 2 1 2
的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7时，求h的值．
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)y=−(x−4) 2+2，此时抛物线l的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)
(2)y 的最大值为2；此时y x ≥0，
1 1 2 2 1 2
∴y 0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为x=a，
∵当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，
∴a≤2．
（3）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴抛物线顶点A的坐标为(a,a2−4a+8)，
设抛物线对称轴x=a交MN于点B，则BM=BN，
∵△AMN是抛物线的内接正三角形，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AB
∴ =tan∠AMB=tan60°=√3，
BM
∴AB=√3BM=√3BN，
设BM=BN=n，则AB=√3n，
∴M(a−n,a2−4a+8−√3n)，
∵点M在抛物线上，
∴a2−4a+8−√3n=−(a−n−a) 2+a2−4a+8，
整理得n2−√3n=0，
解得n=√3或n=0（不合题意，舍去）
∴MN=2BM=2√3，AB=3，
1 1
∴S = MN⋅AB= ×2√3×3=3√3，
△AMN 2 2
∴△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边
三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的L形框ABCDEF，其中点A(1,2)，
B(3,2)，C(3,4)，D(2,4)，E(2,3)，F(1,3)，抛物线G；y=−x2+bx+c与x轴交于点P，Q．
(1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值；
(2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求PQ长的取值范围；
(3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值．
【答案】(1)b=6，c=−5；
(2)2√2≤PQ≤4；
1
(3)c的值为 或−1.
2
【分析】本题考查了二次函数的图形及性质，二次函数与x轴的交点、顶点式的化简等知识点的应用是本
题的解题关键．
（1）设顶点式，代入顶点即可解答；
（2）判断出当抛物线G顶在CD时，PQ最大，当抛物线G顶在AB时，PQ最小，分别求出顶点在AB和
CD上的关系式，再求出相应的PQ即可解答；
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）判断出抛物线可以经过A和B或F和B这两种情况，再分别代入求出关系式即可．
【详解】（1）解：设抛物线G:y=−(x−h) 2+k，
∵C(3,4)，
∴y=−(x−3) 2+4，
∴y=−x2+6x−5，
∴b=6，c=−5；
（2）解：由题得，
当抛物线G顶在CD时，PQ最大，当抛物线G顶点为C时，
设抛物线G:y=−x2+6x−5，
令y=0，即0=−x2+6x−5，
解得，x=1或5，
∴PQ=4，
当抛物线G顶在AB时，PQ最小，
当抛物线G顶点为A时，
设抛物线G:y=−(x−h) 2+k，
∵A(1,2)，
∴y=−(x−1) 2+2，
∴y=−x2+2x+1，
令y=0，即0=−x2+2x+1，解得，x=1±√2，
∴PQ=2√2，
∴2√2≤PQ≤4；
（3）解：∵FA∥y轴，
∴抛物线可以经过A和B或F和B，
把F(1,3)，B(3,2)代入抛物线，
得¿，
∴ ¿；
把A(1,2)，B(3,2)代入抛物线，
得¿，
∴ ¿，
1
∴c的值为 或−1．
2
模型05二次函数的对称性与最值问题
考｜向｜预｜测
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
二次函数的性质在中考一般一压轴题的形式出现，常考的题型特征有：在二次函数解析式中含有未知参数
的背景下，通过判断对称轴与所给自变量区间的位置关系，讨论二次函数的增减性、最值问题
近几年的考法主要是：
（1）在含参取值范围内，已知最值或最大最小值的关系，求参数的值或取值范围
（2）已知自变量取值范围，求抛物线中最值或已知最值范围求参数的取值范围
答｜题｜技｜巧
区间内二次函数的最值问题
（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线y=x2−4mx+2m+1，m为实数．
(1)如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当2m−3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
(3)点O(0,0)，点A(1,0)，如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)(2,−1)
3
(2)m= ，m=−1
2
1
(3)m>1或m<−
2
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为x=2m，判断函数的开口向上，判断出当x=2m−3时，y取最大值4，代入
从而求得答案；
（3）当x=0，y=2m+1，当x=1时，y=−2m+2，当交点在线段OA之间时，那么2m+1>0且
−2m+2<0，或者当2m+1<0时，−2m+2>0，从而解得答案；
【详解】（1）解：∵该抛物线经过点(4,3)
∴3=42−16m+2m+1
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得m=1
∴y=x2−4x+3=(x−2) 2−1
∴顶点坐标为(2,−1)
（2）解：∵y=x2−4mx+2m+1=(x−2m) 2−4m2+2m+1
∴ 对称轴为x=2m，函数图象开口向上
∵2m−3≤x≤2m+1
∴2m−(2m−3)=3，(2m+1)−2m=1
∴当x=2m−3时，y取最大值4
∴4=(2m−3−2m) 2−4m2+2m+1
3
解得m= ，m=−1
2
（3）解： 当x=0，y=2m+1
当x=1时，y=−2m+2
当交点在线段OA之间时，当2m+1>0时，−2m+2<0
解得m>1；
当2m+1<0时，−2m+2>0
1
解得m<− ；
2
1
综上，m>1或m<− ．
2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与
线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=mx2−6mx+4（m为常数）
(1)下列结论：①当m>0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=−3；③该函数的
图像一定经过(0,4)，(6,4)两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A(−1,a)，B(3,b)，C(4,c)在该函数图像上，当abc<0时，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①③
4 1 4
(2)
0时，图像开口向上，判断①；
根据y=m(x−3) 2−9m+4 得对称轴是直线x=3，判断②； ③令x=0，则y=4， (0,4)，(6,4)两点关于
对称轴对称，得函数的图像一定经过(0,4)，(6,4)两点，判断③；
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据A(−1,a)与(7,a)对称，当m>0时，当x>3时，y随x增大而增大，得b0，解得m，或 当b3时，
y随x增大而减小，则a0，解得m，或当a0时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵y=mx2−6mx+4=m(x−3) 2−9m+4
∴该函数的图像的对称轴是直线x=3，
不正确．
③令x=0，则y=4，
∴函数的图像一定经过(0,4)，
∵(0,4)，(6,4)两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过(0,4)，(6,4)两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点A(−1,a)，B(3,b)，C(4,c)在函数y=m(x−3) 2−9m+4图像上，
∴A(−1,a)的对称点为(7,a)，
若m>0，
∵当x>3时，y随x增大而增大，
∴b ，
9
c=m−9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4 1
∴ 3时，y随x增大而减小，
∴a0，
1
∴m< ，
2
4
∴m<− ；
7
或当a ，
9
不合．
4 1 4
综上， a，即点D(a+1,y )一定在对称轴右侧，因此分以下情况：
4
①当2a−3≤a，即a≤3时，
此时点C(2a−3,y )在对称轴上或者在对称轴左侧，
3
当2a−3≤x≤a时，y随x的增大而减小，当a≤x≤a+1时，y随x的增大而增大．
因此在C，D之间（含端点）y的最小值m 在x=a时，即顶点处取到．
2
为了使m =m ，则抛物线的顶点必须在A，B之间（含端点），可得1≤a≤3．
1 2
②当2a−3>a，即a>3时，
此时点C，D都在对称轴的右侧，点A，B都在对称轴的左侧，
由于1<30)的图象经
过点(2,c)．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上存在两点A(x ,y )，B(x ,y )，其中m−10)，再求出y −y =a(x −x )(x +x −2)，
1 2 1 2 1 2
判断出x −x <0，2m+10)，
当x=0时，y=c，
∴这个二次函数的图象经过点(0,c)，
又∵这个二次函数的图象经过点(2,c)，
0+2
∴此二次函数图象的对称轴是直线x= =1．
2
（2）解：由（1）可设二次函数的解析式为y=a(x−1) 2+k(a>0)，
∵这个二次函数的图象上存在两点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =a(x −1) 2+k，y =a(x −1) 2+k，
1 1 2 2
∴y −y =[a(x −1) 2+k]−[a(x −1) 2+k]
1 2 1 2
=a(x −1) 2−a(x −1) 2
1 2
=a[(x −1) 2−(x −1) 2]
1 2
=a(x −x )(x +x −2)，
1 2 1 2
∵m−10，
1 2
∴y −y =a(x −x )(x +x −2)=0，
1 2 1 2 1 2
∴x +x −2=0，即x +x =2，
1 2 1 2
∴2m+1<2<2m+4，
1
∴−1x ≥2，都有y >y ，求a的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)对称轴为直线x=1
1 1
(2)①a= ；②a≥
3 3
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
a+1
（1）把代入(n,0) y=ax2−(a+1)x，求得n =0，n = ，从而可得a=1，再代入对称轴公式求解即
1 2 a
可；
−(a+1) a+1 x +x
（2）①根据对称轴为直线x=− = = 1 2=2，进行求解即可；
2a 2a 2
②根据二次函数的图象与性质可得¿，即可求解．
【详解】（1）解：把代入(n,0) y=ax2−(a+1)x，得an2−(a+1)n=0，
a+1
解得，n =0，n = ．
1 2 a
∵n是正整数，a为整数，
a+1 1
∴n =0（舍去），n = =1+ ．则a=1，
1 2 a a
−(a+1)
∴对称轴为直线x=− =1．
2a
（2）解：①∵x +x =4时，y = y ，
1 2 1 2
∴M(x ,y )，N(x ,y )两点关于抛物线的对称轴对称，
1 1 2 2
−(a+1) a+1 x +x
则对称轴为直线x=− = = 1 2=2，
2a 2a 2
1
∴a= ．
3
②由题意可知，对于任意的x≥2，y随x的增大而增大，
可得¿，
1
解得a≥ ．
3
5．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数y =2x2−4tx−3．
1
(1)若函数y =2x2−4tx−3经过点A(4,−3)，求抛物线的对称轴；
1
(2)若点P(t−2,p),Q(t+3,q)均在抛物线y =2x2−4tx−3上，则p q（填“>”，“<”或“=”）.
1
(3)记y =4x2+2x−1，当−2≤x≤2时，y >y 始终成立，求t 的取值范围．
2 2 1
【答案】(1)直线x=2
(2)<
(3)−1.5y 始终成立，即当−2≤x≤2
2 1 2 1
1
时，y>0恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线x=− −t，进行分类讨论即可判断得解．
2
【详解】（1）解：∵ y =2x2−4tx−3经过点A(4,−3)，
1
∴32−16t−3=−3．
∴t=2．
−4t
∴抛物线的对称轴是直线x=− =t=2．
4
−4t
（2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线x=− =t．
4
∵y =2x2−4tx−3的开口向上，
1
∴抛物线上点离对称轴越近函数值就越小．
∵|t−2−t|<|t+3−t|，
∴py 始终成立，
2 1
∴当−2≤x≤2时，y>0恒成立．
2+4t 1
又抛物线的对称轴为直线x=− =− −t，
4 2
∴可分以下情形讨论．
1 5
①当2≤− −t时，即t≤− ．
2 2
∵a=2>0，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而减小．
∴当x=2时，y=8+2(2+4t)+2>0．
7
∴t>− ．
4
∴此时无解．
1 5 3
②当−2≤− −t≤2时，即− ≤t≤ ．
2 2 2
∵a=2>0，
∴ Δ<0．
∴(2+4t) 2−16<0．
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3 1
∴− 0，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而增大．
∴当x=−2时，y=8−2(2+4t)+2>0．
3
∴t< ．
4
故此时无解．
3 1
综上，− 0，
∴经过点C的一次函数解析式为y=x+1（答案不唯一）．
k
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数y=k x+2的图象与反比例函数y= 2的图象相交于
1 x
A(m,4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO=2．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
k
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k x+2> 2的解集．
1 x
4
【答案】(1)一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=
x
(2)15
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)−21
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0,2)得到OD=2，再解直角三角形得到OC=1，则C(−1,0)，据此利用待定系数法求出一
次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据S =S +S ，求
△ABE △CBE △ACE
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=k x+2中，当x=0时，y=2，
1
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵tan∠ACO=2，
OD
∴在Rt△CDO中，tan∠DCO= =2，
OC
∴OC=1，
∴C(−1,0)，
把C(−1,0)代入y=k x+2中得：0=−k +2，解得k =2，
1 1 1
∴一次函数解析式为y=2x+2，
在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=1，
∴A(1,4)，
k k
把A(1,4)代入y= 2中得：4= 2，解得k =4，
x 1 2
4
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：联立¿
解得¿或¿，
∴B(−2,−2)；
设E(e,0)，
由题意得，BD=ED，
∴(−2−0) 2+(−2−2) 2=(e−0) 2+(0−2) 2，
解得e=4或e=−4（舍去），
∴E(4,0)，
∴CE=4−(−1)=5，
∴S =S +S
△ABE △CBE △ACE
1 1
= CE⋅y + CE⋅|y |
2 A 2 B
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
= ×5×4+ ×5×2
2 2
=15；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为−21，
k
∴关于x的不等式k x+2> 2的解集为−21．
1 x
4
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=− (x−1) 2+4
9
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线
段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；
②求t的取值范围：
③求OD⋅DB的最大值．
【答案】(1)A(−2,0)，B(4,0)，C(1,4)
(2)①6；②3 ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
b
【分析】（1）由对称轴为直线x=− 直接求解；
2a
3+√13 √13 3−√13 √13
（2）当M= 时，M> ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
3
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x= ，
2
b 3
∴− = ，
2×1 2
∴b=−3；
（2）解：∵m是抛物线y=x2+bx−1与x轴交点的横坐标，
∴m 2−3m−1=0，
❑
∴m2−1=3m，
∴m4−2m2+1=9m2，
∴m4=11m2−1，
而m2=3m+1
代入得：m4=11(3m+1)−1=2=33m+10，
∴m5=m⋅m4=(33m+10)m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33，
m5−33 109m+33−33
∴M= = =m，
109 109
∵m 2−3m−1=0，
❑
3±√13
解得：m= ，
2
3+√13 √13 3+√13 √13 3
当M=m= 时，M− = − = >0
2 2 2 2 2
√13
∴M> ；
2
3−√13 √13 3−√13 √13 3−2√13
当M=m= 时，M− = − = <0，
2 2 2 2 2
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√13
∴M< ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解
题的关键是对m5进行降次处理．
8．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y )，N(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于0t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =1，x =2有y = y ，
1 2 1 2
x +x 3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
3
∴t= ；
2
（2）解：∵当00，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x t，
2
1
即t≤ ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
9．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
且x ）：
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x
1
=1，2；
(2)−4x
4
−x
3
，利用不等式性质变形，即①可判断 ．
（2）根据题意得到30；当x=0
2 4 2
9
时，y=c，当x=1时，y=1+b+c，由y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
16
当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时， 当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
① ② ③
【详解】（1）解：∵ y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x x
4
−x
3
，
∴ x −x >x −x ，即 x −x < x −x ；
2 4 1 3 1 3 2 4
∴ x 2 +x 3 >x 1 +x 4 ，即 ② x 2 +x 3 > x 1 +x 4 ．
故答案为；=；<；>；
③
（2）解：∵ x =1，20；
2
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=1+b+c，
b
当− ≥1，则b≤−2，
2
① 那么，在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，
9 25
有c−(1+b+c)= ，解得b= − （不符合题意，舍去）；
16 16
1 b
当 ≤− <1，解得−2t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当mt总成立，
b2
∴t<−3− ；
4
（3）∵y=x2+bx−3= ( x+ b) 2 −3− b2 ，
2 4
b
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=− ，
2
又当m0)的图象交于点A(m,2)．
1 2 2 x
(1)求反比例函数的解析式；
k
(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y = (x>0)的图象交于点C，求BC的长．
2 x
8
【答案】(1)反比例函数的解析式为y =
2 x
(2)√5
71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【分析】（1）把A(m,2)代入y = x求出m=4，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
1 2
1
（2）作AO平移后的直线BC，过点C作CD⊥y轴于D，根据平移求出y= x+3，得出点B的坐标为
2
(0,3)，求出C点坐标为(2,4)，根据勾股定理求出BC的长即可．
1 1
【详解】（1）解：把A(m,2)代入y = x得： m=2，
1 2 2
解得m=4，
∴A(4,2)，
k k
把A(4,2)代入y = (x>0)得： =2，
2 x 4
解得：k=8，
8
∴反比例函数的解析式为y = ；
2 x
（2）解：作AO平移后的直线BC，过点C作CD⊥y轴于D，如图：
1
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y= x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
联立解析式得：¿，
解得：¿，
∴C点坐标为(2,4)，
∴BD=4−3=1，
在Rt△DBC中，
∴BC=√BD2+CD2=√12+22=√5．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，勾股定理，直线的平
移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，这是一个“数值转换机”．当输入x的值时，通过x不同的取值会得到对
应的y的值，表格中给出了几组x的值以及对应的y的值．
72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x … −4 … 2 … 6 …
y … −3 … 0 … 0 …
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当x<4时，求y与x之间的关系式．
(2)当y=−1时，求输入的x的值．
(3)若输出y的值为正数，则输入的x的取值范围是________．
1
【答案】(1)y= x−1；
2
(2)当y=−1时，输入的x的值为0或8；
(3)20，可得关于x的不等式： x−1>0，− x+3>0，解不
2 2
等式求出x的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，当x=−4时，y=−3，即−4k+b=−3，
当x=2时，y=0，即2k+b=0，
可得：¿，
解得：¿，
1
∴当x<4时，y与x之间的关系式是y= x−1；
2
1
（2）解：若x<4，则 x−1=−1，
2
解得：x=0，0<4，符合题意；
1
若x≥4，则− x+3=−1，
2
解得：x=8，8≥4，符合题意；
综上所述，当y=−1时，输入的x的值为0或8；
73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：20，− x+3>0，
2 2
∴x的取值范围是2x ≥0，比较y 与y
c c 1 1 2 2 1 2 1 2
的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7时，求h的值．
83关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)y=−(x−4) 2+2，此时抛物线l的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)
(2)y 的最大值为2；此时y x ≥0，
1 1 2 2 1 2
∴y 3时，∵G 的顶点(1,4)也在G 上，
3 2
∴10，对称轴为直线x=1，
∴在−1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在10)个单位长度，若新抛物线的顶点
2
G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围．
1 3
【答案】(1)y= x2− x−2
2 2
169
(2)①l=¿；②周长l的最大值为
12
3 27
(3)
0)个单位长度，新抛物线的顶点G为
2
(3 13)
−m,− ，
2 8
由点A(−1,0)，C(0,−2)可得直线AC的解析式为y=−2x−2，
13 13
对于直线AC:y=−2x−2，令y=− ，则− =−2x−2，
8 8
3
解得x=− ．
16
1 13 13 1
对于直线BC:y= x−2，令y=− ，则− = x−2，
2 8 8 2
3
解得x= ．
4
∵点G在△ABC内（不含边界），
90关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3 3 3
∴− < −m< ，
16 2 4
3 27
∴
