专题04函数的图象与性质解答题模型构建（3大函数5大模型）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学答题方法模板

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专题 04 函数的图象与性质
题型解读｜模型构建｜通关试 练
模型01 一次函数的性质与应用
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
k>0，b>0 一、二、三
y=kx+b y随x的增大而增
(k≠0) 大
k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b y随x的增大而减
(k≠0) 小
k<0，b<0 二、三、四
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图
象过一三象限，k<0时图象过二四象限.
显然，第（2）种方法更简单快捷．
模型02 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
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k
y= (k≠0)
x
反比例函数 的图象是由两个分支组成的曲线，
k
y= (k≠0)
x
双曲线
k＞0 k＜0
图象
位于第一、三象限
位于第二、四象限
自变量x x＜0
的取值范围
增减性 在其每一象限内，y随x的增大而减 在其每一象限内，y随x的增大而增大
小
中心对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性 y=±x
反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线
模型03 二次函数的图象性质应用
二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数一般式yax2 bxc (a0的性质：
b 4acb2
配方：二次函数yax2 bxca(x )2 
2a 4a
开口方
a的符号 顶点坐标 对称轴 增减性
向
b
x 时，y随x的增大而增大；
2a
b
a0 向上 （ ， ） x 时，y随x的增大而减小；
2a
b 4acb2
x 时，y有最小值 ．
2a 4a
时，y随x的增大而减小；
a0 向下 （ ， ） 时，y随x的增大而增大；
时，y有最大值 ．
4．二次函数顶点式 ( )的性质：
a的 开口 顶点 对称轴 增减性
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符号 方向 坐标
（ h ， 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的
向上 x=h
k） 增大而减小； 时，y有最小值k．
（ h ， 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的
向下 x=h
k） 增大而增大； 时，y有最大值k．
模型01 一次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
一次函数的图象与性质的题型中图象与性质在解答题中考查的较多，一次函数的应用主要是函数的图
象的综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，还会与三角形、四边形综合，涉及全等三角形、
等腰三角形、特殊的四边形等.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度
中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
解答此类问题的关键是掌握一次函数y=kx+b的主要性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升，函数必过第一、三象限；k＜0，y随x的增大而减小，函
数从左到右下降，函数必过第二、四象限．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b
＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
’
（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．P(t,0)
为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面
积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
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(1)OB的长为 ___________；△OAB的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
8
【答案】(1)4，
3
(2)S=¿
【知识点】一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、动点问题的函数图象、求一次函数解析式
8
【分析】（1）由t=0时，P与O重合，得S=S = ，t=4时，P与B重合，得OB=4；
❑△ABO 3
1 1 8 4 (4 4)
（2）设A(a,a)，由S = OB⋅a，即 ×4a= ，得到a= ，则A ， ；分两种情况：当
❑△AOB 2 2 3 3 3 3
4 1 8 1 8
0≤t≤ 时，设OA交PD于E，可得PE=PO=t，得到S = t2 ，则S= −S =− t2+ ；当
3 ❑△POE 2 3 ❑△POE 2 3
4 1 DP OC 2 1
<t<4时，求出直线AB解析式为y=− x+2，可得C(0，2)，由tan∠CBO= = = = 得
3 2 PB OB 4 2
1 1 1 1 1
DP= PB= (4−t)=2− t，故S=S = DP⋅PB= t2−2t+4．
2 2 2 ❑△DPB 2 4
8
【详解】（1）解：当t=0时，P与O重合，此时S=S = ，
❑△ABO 3
当t=4时，S=0，P与B重合，
∴OB=4，B(4,0)，
8
∴OB的长为4，△OAB的面积为 ，
3
8
故答案为：4， ；
3
（2）∵A在直线y=x上，
∴∠AOB=45°，
设A(a,a)，
1 1 8
∴S = OB⋅a，即 ×4a= ，
❑△AOB 2 2 3
4
∴a= ，
3
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(4 4)
∴A ， ；
3 3
4
当0≤t≤ 时，设OA交PD于E，如图：
3
∵∠AOB=45°，PD⊥OB，
∴△PEO是等腰直角三角形，
∴PE=PO=t，
1
∴S = t2 ，
❑△POE 2
8 1 8
∴S= −S =− t2+ ；
3 ❑△POE 2 3
4
当 <t<4时，如图：
3
(4 4)
设直线AB解析式为y=kx+b，把A ， ，B(4,0)代入得
3 3
¿，
解得¿，
1
∴直线AB解析式为y=− x+2，
2
当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∴OC=2，
DP OC 2 1
∵tan∠CBO= = = = ，
PB OB 4 2
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1 1 1
∴DP= PB= (4−t)=2− t，
2 2 2
∴S=S = 1 DP⋅PB= 1( 2− 1 t ) ×(4−t)= 1 (4−t) 2= 1 t2−2t+4；
❑△DPB 2 2 2 4 4
综上所述，S=¿．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线y=−x+4分别交x轴，y轴于
点B，A点C在x轴的负半轴上，且2OC=OB．
(1)求直线AC的表达式；
(2)若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得S =2S ，求出此时点M的坐标；
△AMB △ABC
(3)若点P(0,2)，在x轴上是否存在点Q，使∠BAQ=∠ABP，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请
说明理由．
【答案】(1)y=2x+4
(2)(4,12)或(−4,−4)
(3)(8,0)或(2,0)
【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、全等三角形综合问
题
【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等和相似等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点C作直线t∥AB交y轴于点T(0,−2)，取TL=AT=6，过点L作直线l∥AB交直线AC于点M'，
则点L(0,−8)，取AK=2AT=12，过点K(0,16)作直线k∥AB交AC于点M，则此时S =2S ，
△AMB △ABC
点M(M')为所求点，即可求解；
（3）分两种情况分别是点Q在B点的左边和右边进行讨论，在右边时由于内错角相等，两直线平行，故
只要作直线平行于AB即可得到点Q坐标；在左边的情况是∠ABP=∠BAQ'，则△ABP≌△BAQ'再求出
点Q坐标即可．
【详解】（1）解：直线y=−x+4分别交x轴，y轴于点B,A，
则点A、B的坐标分别为：(0,4)、(4,0)，
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∵2OC=OB=4，则OC=2，
则点C(−2,0)，
设直线AC的表达式为y=kx+4，
将点C的坐标代入上式得：0=−2k+4，则k=2，
则直线AC的表达式为：y=2x+4；
（2）解：设M坐标为(x,y)，
△ABC可看成AB为底，高为C到AB距离的三角形，
过点C作直线t∥AB交y轴于点T，则CT解析式为y=−x+d，
代入C(−2,0)得2+d=0，解得d=−2，
故CT解析式为y=−x−2，
∴点T(0,−2)，
取TL=AT=6，则点L(0,−8)，
过点L作直线l∥AB交直线AC于点M'，
则△AM'L∽△ACT，
故此时M'到AB距离为点C到AB距离2倍， 则此时S
△AM'B
=2S
△ABC
，
取AK=2AT=12，
过点K(0,16)作直线k∥AB交AC于点M，
同理则此时S =2S ，
△AMB △ABC
点M(M')为所求点，
∵直线l∥AB且点L(0,−8)，
则直线l的表达式为：y=−x−8，
同理可得：直线k的表达式为：y=−x+16，
分别联立l、k和直线AC的表达式得：2x+4=−x−8或2x+4=−x+16，
解得：x=4或−4，
即点M的坐标为：(4,12)或(−4,−4)；
（3）解：存在；
情况一：作AQ∥PB，
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∴∠BAQ=∠PBA，△OPB∽△OAQ，
AO 4 OQ
∴ = =2= ，
PO 2 OB
∴OQ=2OB=8，
所以点Q坐标为：(8,0)．
情况二：取OQ'=2，
则AQ'=√22+42=2√5=PB，AP=BQ'=2，
∴在△ABP和△BAQ'中¿，
∴△ABP≌△BAQ'(SSS)，
∴∠ABP=∠BAQ'，
此时Q'坐标为：(2,0)．
综上所述：点Q坐标为：(8,0)或(2,0)．
1
2．（2025·河北邯郸·一模）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+7的图象l 分别与x，y轴交于
2 1
A，B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C(m,4)．
2 1
(1)求m的值及l 的解析式；
2
(2)求S −S 的值；
△AOC △BOC
(3)一次函数y=kx+1的图象为l ，且l ,l ,l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
2
【答案】(1)m=6，直线l 的解析式为y= x
2 3
(2)7
1 1 2
(3) 或− 或
2 2 3
【知识点】一次函数与几何综合、正比例函数的图象
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【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是
解题关键．
（1）将C(m,4)代入直线l 的解析式即可得m的值；再利用待定系数法即可得直线l 的解析式；
1 2
（2）先求出点A,B的坐标，从而可得OA,OB的长，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）分三种情况：①当l 经过点C(6,4)时，②当l ∥l 时，③当l ∥l 时，根据一次函数的性质求解即可得．
3 3 1 3 2
1 1
【详解】（1）解：将点C(m,4)代入一次函数y=− x+7得：− m+7=4，
2 2
解得m=6；
∴C(6,4)，
设直线l 的解析式为y=k x(k ≠0)，
2 0 0
2
将点C(6,4)代入得：6k =4，解得k = ，
0 0 3
2
则直线l 的解析式为y= x．
2 3
1
（2）解：对于一次函数y=− x+7，
2
1
当y=0时，− x+7=0，解得x=14，即A(14,0),OA=14，
2
当x=0时，y=7，即B(0,7),OB=7，
由（1）已得：C(6,4)，
∴△AOC的OA边上的高为4，△BOC的OB边上的高为6，
1 1
∴S −S = ×14×4− ×7×6=7．
△AOC △BOC 2 2
（3）解：∵一次函数y=kx+1的图象为l ，且l ,l ,l 不能围成三角形，
3 1 2 3
1
∴①当l 经过点C(6,4)时，则6k+1=4，解得k= ；
3 2
1
②当l ∥l 时，则k=− ；
3 1 2
2
③当l ∥l 时，则k= ；
3 2 3
1 1 2
综上，k的值为 或− 或 ．
2 2 3
3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，点A，点B的坐标分别为(4,0)、(0,8)，点C是线段OB上一动
点（点C不与点O重合），点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设
OE=t（t>0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
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(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t= ；
(2)当t=4时，S的值为 ；
(3)求出S与t的函数关系式．
16
【答案】(1)
5
(2)7
16 1
(3)①当0<t≤ 时，S= t2 ，
5 2
16 17
②当 <t≤4时，S=− t2+10t−16，
5 16
1
③当4<t≤16时，S=− t2+2t
16
【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的综合运用，相似三角形的判定与性质，解
决本题的关键是分类讨论思想的运用．
（1）证明△BCD∽△BOA，利用线段比求出t值；
（2）当t=4时，点E与A重合，证明△CBF∽△OBA求出CF；
（3）分三种情况讨论，根据t的取值范围求出S的值．
【详解】（1）解：（1）由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，
∴△BCD∽△BOA，
BC CD
∴ = ，
BO OA
1
由题意可知：CD=OE=t，BC=8−CO=8− t，OA=4，
2
1
8− t
∴ 2 t ，
=
8 4
16
解得：t= ，
5
16
∴当点D在直线AB上时，t= ；
5
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16
故答案为： ；
5
（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，
∵CD∥OE，
∴△CBF∽△OBA
CF OA
∴ = ，
CB OB
CF 4
∴ = ，
8−2 8
解得：CF=3，
1 1
∴S= OC(OE+CF)= ×2×(3+4)=7
2 2
故答案为：7；
16 1
（3）解：①当0<t≤ 时，S= t2 ，
5 2
16 17
②当 <t≤4时，S=− t2+10t−16，
5 16
1
③当4<t≤16时，S=− t2+2t
16
理由如下：
16
①当0<t≤ 时，如图（1），
5
1
S=S =OC⋅OE= t2
矩形OEDC 2
16
②当 <t≤4时，如图（2），
5
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，8），
∴¿，
解得：¿，
∴直线AB的解析式为y=−2x+8
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( t t )
∴G（t,−2t+8），F 4− , ，
4 2
5 5
∴DF= t−4，DG= t−8，
4 2
∴S=S −S = 1 t2− 1(5 t−4 )(5 t−8 ) =− 17 t2+10t−16；
矩形OEDC △DFG 2 2 4 2 16
③当4<t≤16时，如图（3），
∵CD∥OA，
∴△BCF∽△BOA，
BC CF
∴ = ，
BO OA
t
8−
2 CF，
∴ =
8 4
t
∴CF=4− ，
4
∴S=S −S = 1 ×4×8− 1 × ( 4− t )( 8− t ) =− 1 t2+2t，
△BOA △BCF 2 2 4 2 16
16 1
综上所述：①当0<t≤ 时，S= t2 ，
5 2
16 17
②当 <t≤4时，S=− t2+10t−16，
5 16
1
③当4<t≤16时，S=− t2+2t．
16
4．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，
AD=6，P是线段AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交直线DC于点E．
(1)设AP=x，DE= y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说
明理由．
1
【答案】(1)y=− x2+3x，0<x<6
2
(2)能，当AP=3−√5时，四边形ABED能构成矩形
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合
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【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
AP AP
（1）根据同角的余角相等得到∠ABP=∠EPD，可证△ABP∽△DPE，得到 = ，即可得到
PD DE
1
y=− x2+3x，令y=0，得到x=6，可得0<x<6；
2
（2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可．
【详解】（1）解：：∵∠A=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵PE⊥BP，
∴∠EPD+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠EPD，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠D=90°=∠A，
∴△ABP∽△DPE；
设AP=x，DE= y，
AB AP
∴ = ，
PD DE
∵ AB=2，AD=6，
设AP=x，DE= y，
2 x
∴ = ，
6−x y
1
∴y=− x2+3x；
2
令y=0，则x=6，
∴ x的取值范围为0<x<6；
（2）解：当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2，即y=2，
1
则− x2+3x=2，
2
解得，x =3+√5 (舍)，x =3−√5，
1 2
∴当AP=3−√5时，四边形ABED能构成矩形．
5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，D是AC
中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，
点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y ．
1
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(1)请直接写出y 关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
1
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出该函数的一条性质；
1
(3)结合函数图象，直接写出y 的图象与函数y =x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
1 2
【答案】(1)y =¿；
1
(2)图象见解析，当0≤x≤5时y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3)−5<m≤1．
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、画一次函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】此题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象和性质、勾股定理，根据题意数形结合和分类
讨论是解题的关键．
（1）分0≤x≤5和5<x≤11两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）分别求出直线y =x+m经过点(11,12)和点(5,0)时m的值，结合图象写出答案即可．
2
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，
∴AC=√AB2+BC2=10，
∵点D是AC的中点，
1
∴BD= AC=5，
2
当0≤x≤5时，PD=x，
∴BP=5−x，
如图，过P作PH⊥AB于H，过D作DE⊥AB于E，
∴PH∥DE，
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PH BP
∴ = ，
DE BD
∵∠ABC=90°，DE⊥AB于E，
∴DE∥BC，
∵D是AC中点，
1
∴DE= BC=3，
2
PH 5−x
∴ = ，
3 5
3
∴PH= (5−x)，
5
3 8 8
∴y =PH+PB= (5−x)+(5−x)= (5−x)=− x+8；
1 5 5 5
当5<x≤11时，BP=x−5，
∴y =2BP=2x−10．
1
综上所述， y =¿．
1
（2）解：如图，函数的图象如图所示；
性质：当0≤x≤5时y随x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）解：如图，
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当直线y =x+m与经过点(5,0)时，m=−5，
2
当直线y =x+m与经过点(11,12)时，12=11+m，则m=1，
2
结合图象可知，直线y 的图象与函数y =x+m的图象有两个公共点时m的取值范围是−5<m≤1．
1 2
6
模型02 反比例函数与一次函数综合问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与一次函数问题在中考中经常出现，难度不大，常考的有根据反比例函数与一次函数图象交点
构造产生的几何图形或线段的数量关系，求图形面积或反比例函数系数k的值，根据交点结合函数图象比
较函数值大小
答｜题｜技｜巧
1. 反比例函数与一次函数求交点坐标：联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特
别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称；
2. 求反比例函数与一次函数的解析式：待定系数法，把所给的点的坐标代入，联立方程、方程
组
3. 结合图象比较函数值的大小
4. 求相关图形的面积问题
m
（2025·贵州·一模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于A(1,5)，
x
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B(m,a)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
( m)
(2)点P n, 为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PC⊥x轴于点C，交一次函数图象于点
n
D，若CP≤CD，请直接写出n的取值范围．
5
【答案】(1)y= ，y=−x+6
x
(2)1≤n≤5或n≥3+√14
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将(1,5)代入反比例函数解析式即可得出m的值，从而得出反比例函数的解析式以及B的坐标，再利用
待定系数法求一次函数的解析式即可得解；
5
（2）由题意可得C(n,0)，D(n,−n+6)，结合m=5得出CP= ，CD=|−n+6|，结合CP≤CD可得
n
5
≤|−n+6|，再分情况解不等式即可得解．
n
m m
【详解】（1）解：将(1,5)代入y= 中，得5= ，
x 1
解得m=5，
5
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
5 5
将x=5代入y= 中，得y= =1，
x 5
∴B(5,1)，
将(1,5)，(5,1)分别代入y=kx+b中，得¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−x+6；
（2）解：如图：
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( m)
∵点P n, 为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PC⊥x轴于点C，交一次函数图象于点
n
D，
∴C(n,0)，D(n,−n+6)，
由（1）可得：m=5
5
∴CP= ，CD=|−n+6|，
n
∵CP≤CD
5
∴ ≤|−n+6|，
n
5
当−n+6≥0，即0<n≤6时， ≤−n+6，
n
解得：1≤n≤5，
5
当−n+6<0，即n>6时， ≤n−6，
n
解得：n≥3+√14
综上所述，1≤n≤5或n≥3+√14．
m
1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数y= 的图像与一次函数y=kx+b的图像交于
x
A(2,5),B(n,1)两点．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
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m
(2)根据图像直接写出不等式kx+b− >0时x的取值范围．
x
10
【答案】(1)y= ，10
x
(2)x<0或2<x<10
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
m
（1）首先将点A(2,5)代入反比例函数y= 并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点B(n,1)代入
x
并求解，即可求得n的值；
（2）结合图像中一次函数图像再反比例函数图像上方的部分，即可获得答案．
m
【详解】（1）解：将点A(2,5)代入反比例函数y= ，
x
m
可得5= ，解得m=10，
2
10
∴反比例函数的关系式为y= ，
x
10
将点B(n,1)代入y= ，
x
10
可得1= ，解得n=10；
n
（2）由（1）可知，B(10,1)，
m
由图像可知，不等式kx+b− >0时x的取值范围为x<0或2<x<10．
x
k
2．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数y=3x与反比例函数 y= (x>0)的图象交于点A(1,a)，点 B
x
在 x 轴正半轴上．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①点P到∠AOB两边的距离相等；② PA∥OB．
(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
3
【答案】(1)y= (x>0)
x
(2)见解析
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(3)P(√10+1,3)
k
【分析】（1）将A(1,a)代入y=3x求出a的值，再将A点坐标代入y= (x>0)即可；
x
（2）先作∠AOB的角平分线，再以点A为圆心，AO为半径作弧，与∠AOB的角平分线的交点即为满足
条件的点P；
（3）延长PA交y轴于点C，根据勾股定理求出AO，进而求出PA，即可得出P的坐标．
【详解】（1）解：将A(1,a)代入y=3x，
得：a=3×1=3，
∴ A(1,3)，
k
将A(1,3)代入y= (x>0)，
x
得：k=1×3=3，
3
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)．
x
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：如图，延长PA交y轴于点C，则PA⊥y轴，
∵ A(1,3)
，
∴ OC=3，AC=1，
∴ OA=√OC2+AC2=√32+12=√10，
∴ AP=OA=√10，
∴ CP=AP+AC=√10+1，
∴ P(√10+1,3)．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，尺规作图，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形
的性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键．
k
3．（2025·河南·一模）如图，反比例函数y= (x>0)的图像经过点A(2,3)，一次函数y=mx+n的图象与
x
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反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点B(0,4)，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重
合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AD交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，
△PMN与△OBC是否总相似，并说明理由．
【答案】(1)
6 1
y= ，y=− x+4
x 2
(2)是，理由见解析
k k
【分析】（1）将点A(2,3)代入y= 中，得3= ，由此即可求出k的值，进而可得反比例函数的表达式；
x 2
将A(2,3)，B(0,4)分别代入y=mx+n中，得¿，解方程组即可求出m、n的值，进而可得一次函数的表达
式；
（2）由两直线平行同位角相等可得∠MNP=∠BCO，∠PMN=∠OBC，然后由相似三角形的判定即
可得出结论．
k k
【详解】（1）解：将点A(2,3)代入y= 中，得：3= ，
x 2
∴k=2×3=6，
6
∴反比例函数的表达式为y= ；
x
将A(2,3)，B(0,4)分别代入y=mx+n中，得：¿，
解得：¿，
1
∴一次函数的表达式为y=− x+4；
2
（2）解：点P在滑动过程中，△PMN与△OBC总相似，理由如下：
∵PN∥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠MNP=∠BCO，
∵PM∥y轴，
∴PM∥OB，
∴∠PMN=∠OBC，
∴△PMN∽△OBC．
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【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，
求一次函数解析式，相似三角形的判定，两直线平行同位角相等，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握
反比例函数与一次函数的综合及反比例函数与几何综合是解题的关键．
6
4．（2025·河南商丘·一模）如图，反比例函数 y=− 的图象与经过原点的直线y=kx+a交于A(b,2)，B
x
两点．
(1)填空：a= ，b= ，点B 的坐标为____ ．
6
(2)直接写出不等式− >kx+a的解集．
x
(3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标．
【答案】(1)a=0，b=−3，(3,−2)
(2)−3<x<0或x>3
(3)(2√3,3√3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将A(b,2)代入反比例函数解析式即可得出b=−3，再根据一次函数经过原点即可得出a=0，最后根
据反比例函数与正比例函数的性质即可得出B的坐标；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）连接OC，作AD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，则OC⊥AB，证明△ADO∽△OEC，得出
OD AD OA
= = =tan∠CAO=√3，求出EC=2√3，OE=3√3，即可得解．
EC OE OC
6
【详解】（1）解：∵A(b,2)在反比例函数y=− 的图象上，
x
6
∴− =2，
b
∴b=−3，
∴A(−3,2)，
∵直线y=kx+a经过原点，
∴a=0，
∴点B的坐标为(3,−2)；
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6
（2）解：由图象可得：不等式− >kx+a的解集为−3<x<0或x>3；
x
（3）解：如图，连接OC，作AD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，
，
则OC⊥AB，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵AD⊥y，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠OEC=90°，
∴△ADO∽△OEC，
OD AD OA √3
∴ = = =tan∠ACO= ，
EC OE OC 3
∵OD=2，AD=3，
∴EC=2√3，OE=3√3，
∴点C的坐标为(2√3,3√3)．
模型03 反比例函数与几何问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、
平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为
主，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
反比例函数的k值及面积问题
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m
如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,4)，B(a,−1)两点，直线AB分别与x轴、
x
y轴交于点C，D．
(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若P(t,0)(t≠2)是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交
于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)8； ；3
2
t2+6t−16 −t2−6t+16
(2)当t>2时，d= ；当0<t≤2时，d= ；
2t 2t
(3)(−3,9)或(−9,6)
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将
点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
( 1 ) ( 8) 1 8
（2）由题意得，M t, t+3 ，N t, ，得出PM= t+3，PN= ，分两种情况得出答案；
2 t 2 t
（3）先求出OC，OD，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
m
【详解】（1）∵反比例函数y= 的图象经过A(2,4)，B(a,−1)两点，
x
∴m=8，a=−8，
8
∴ A(2,4)，B(−8,−1)，反比例函数解析式是y= ，
x
把A(2,4)，B(−8,−1)分别代入y=kx+b得，
¿，
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解得：¿，
1
故答案为：8， ，3；
2
1
（2）由（1）知，一次函数解析式为y= x+3，
2
( 1 ) ( 8)
由题意得，M t, t+3 ，N t, ，
2 t
1 8
∴PM= t+3，PN= ，
2 t
1 8 t2+6t−16
当t>2时，d=PM−PN= t+3− = ；
2 t 2t
8 (1 ) −t2+6t+16
当0<t≤2时，d=PN−PM= − t+3 = ；
t 2 2t
（3）在第二象限内存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下：
1
由（1）知，直线AB的解析式为y= x+3，
2
1
令x=0，则y= x+3=3，
2
1
令y=0，则0= x+3，
2
∴x=−6，
∴C(−6,0)，D(0,3)，
∴OC=6，OD=3，如图，
∵△CDQ是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ=90°时，CD=QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH+∠DQH=90°，
∵∠CDQ=90°，
∴∠QDH+∠CDO=90°，
∴∠CDO=∠DQH，
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∴△COD≌△HDQ(AAS)，
∴QH=OD=3，DH=OC=6，
∴OH=OD+DH=9，
∴Q(−3,9)；
②当∠DCQ=90°时，同①的方法得，Q'(−9,6)；
即满足条件的点Q的坐标为(−3,9)或(−9,6)．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD,BC=8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别
k
与反比例函数y= (x>0,k>0)的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为(2,m)，点F的坐标为(m+3,1)．
x
k
点P在反比例函数y= (x>0)的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．
x
(1)求k的值；
(2)连接PA、PB、PC、PD，当△PBC与△PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的
取值范围；
(3)连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2)2<n<6
( 1) (18 17)
(3) 18, 或 ,
3 17 3
【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数
上点的坐标特征求出k值，再结合图形的性质和面积公式进行求解．
（1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于k，列出关于m的方程，进而求出k值．
（2）通过分析△PBC与△PAD的面积和与矩形ABCD面积的关系，结合点P的位置确定n的取值范围．
（3）根据△PEC的面积是矩形面积的一半S =8，设边CE上高的为h，求出高，分别讨论点P在CE上
△PEC
完下方时和点P在CE上完上方时，求解得到点P的坐标．
k
【详解】（1）解：∵点E(2,m)，点F(m+3,1)在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，
x
∴ k=2m=(m+3)×1
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∴ m=3，
∴E(2,3)，F(6,1)，
∴k=3×2=6；
（2）解：∵ BC=8，E(2,3)，F(6,1)，
∴ S =8×（3−1）=16，
矩形ABCD
1
∵S +S = S =8，
△PBC △PAD 2 矩形ABCD
∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件，
∴ 2<n<6；
（3）解：∵E(2,3)、F(6,1)，
∴AB=2，
∵BC=8，
∴S =2×8=16，EC=6，
矩形ABCD
∴S =8，设边CE上高的为h，
△PEC
1
∴ ⋅CE⋅h=8，
2
8
∴h=
3
8 1
点P在CE的下方时， y=3− = 时，x=18
3 3
1
∴当y= 时，x=18，
3
( 1)
∴点P的坐标为 18, ；
3
8 17
点P在CE的上方时， y=3+ = 时，x=18
3 3
17 18
∴当y= 时，x= ，
3 17
(18 17)
∴点P的坐标为 , ．
17 3
k
2．如图，一次函数y=−x的图象与反比例函数 y= 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为(−3,a)．
x
以点O为圆心，OA长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形AOG中作正方形
CDEF，使点C 在圆弧上，点D 在OA上，点E，F 在OG上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形
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MNPQ OB OH
，使点P 在圆弧上，点N在 上，点M，Q 在 上．
(1)求a，k 的值；
(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和
【答案】(1)a=3，k=−9；
(2)点B在圆弧上，理由见详解；
9π 27
(3) −
4 5
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的
性质及扇形面积的公式．
（1）将点A 的坐标(−3,a)代入y=−x，求得a，进而可求k；
（2）根据一次函数及反比例函数图象的中心对称性质即可得结论；
（3）把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差即可．
【详解】（1）解：将A(−3,a)代入y=−x，
得a=3，
∴ A(−3,3)，
k
将A(−3,3)代入y= ，
x
得k=−9；
（2）解：点B在圆弧上，
k
理由：∵一次函数y=−x、反比例函数y= 的图象均关于原点O对称，
x
∴它们的交点A、B关于原点O对称，
∴OB=OA，
∴点B在圆弧上；
（3）解：连接OC，
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∵A y=−x
在直线 上，
∴∠AOG=45°，OE=DE=EF=CF，OC=OA=√32+32=3√2，
设OE=x，则OF=2x，CF=x，
∴OC2=5x2，
∴(3√2)
2=5x2，
18
∴x2=
，
5
1 18 9 18
∴S = × = ，S = ，
△ODE 2 5 5 正方形CDEF 5
∵ S =S ，
CFG 阴影PQH
∴S =S +S
阴影 阴影PQH 阴影ACD
=S −S −S
扇形OAG △ODE 正方形CDEF
2
45π×(3√2) 9 18
= − −
360 5 5
9π 27
= − ．
4 5
k
3．如图，已知反比例函数y= （x>0，k是常数）的图像经过点A(1,4)，在双曲线上有一动点B(m,n)，
x
作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
(1)若m=n时，求证：△ACB∽△NOM；
(2)若B(m,n)是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
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(3)若△ACB与△NOM的相似比为3:1，在x轴上找一个点P，使得△BOP
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(17 )
(3)(√17,0)或(−√17,0)或(8,0)或 ,0
8
k
【分析】（1））把A点代入y= 即可求出k的值，进而求出点B的坐标，根据A、B两点坐标可得
x
AC=2，BC=2，ON=1，OM=1，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）类似（1）求解即可；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为3:1，可得m−1=3，进而得到m的值，然后可得B点坐标，根据
等腰三角形的性质分BO=PO，BO=BP ，PO=BP三种情况分别求解即可．
k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= （x>0，k是常数）的图象经过点A(1,4)，
x
∴k=1×4=4，
4
∴反比例函数解析式：y= ，
x
4
把B(m,m)代入，得m= ，
m
解得m=2（负值舍去）
∴B(2,2)，
∵AM⊥x轴， BN⊥y轴，∠NOM=90°，
∴AM=4，OM=1，BN=2，ON=2，四边形NOMC是矩形，
∴NC=OM=1，MC=ON=2，∠ACB=∠NCM=90°，
∴AC=AM−CM=2，BC=BN−NC=1，
AC BC
∴ = =1，
NO OM
又∠ACB=∠NOM，
∴△ACB∽△NOM；
（2）解：成立
4
理由：由（1）知：反比例函数解析式：y= ，OM=1，AM=4，
x
4
把B(m,n)代入，得n= ，
m
( 4)
∴B m, ，
m
4
∴BN=m，ON= ，
m
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4
由（1）同理求出AC=4− ，BC=m−1，
m
4
4−
AC m BC
∴ = =m−1= ，
ON 4 OM
m
又∠ACB=∠NOM，
∴△ACB∽△NOM；
（3）解：由（2）知△ACB与△NOM的相似比为m−1，
∵△ACB与△NOM的相似比为3:1，
∴m−1=3，
∴m=4
∴B(4,1)，
∴OB=√42+12=√17
①当BO=PO时，
∵点P在x轴上，
∴P的坐标为(√17,0)，(−√17,0)；
②当BO=BP时，如图，
作BH⊥x轴，则H(4,0)
故O，P关于H点对称，
∴P的坐标为(8,0)；
③PO=BP时，设P(x,0)
∴x2=(4−x) 2+12
17
解得x=
8
(17 )
∴P的坐标为 ,0
8
(17 )
综上，点P的坐标是(√17,0)或(−√17,0)或(8,0)或 ,0 ．
8
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、相似三角形
的判定与性质、等腰三角形的性质．
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4．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分
9
线交于点P，P在反比例函数y= 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接
x
CD．
(1)求∠P的度数及点P的坐标；
(2)△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠P=45°，P(3,3)
(2)27−18√2
【分析】（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， PH⊥AB于H，证明△PAM≌△PAH，
△BPN≌△BPH，可得∠APM=∠APH，∠BPH=∠BPH，PM=PN，继而证明四边形PMON是
9
正方形，可得∠MPN=90°，则可求得∠APB=45°，再设P(m,m)，由P(m,m)在y= 上，利用待定
x
系数法求得m的值即可得；
（2）设OA=a，OB=b，则AM=AH=3−a，BN−BH=3−b，可得AB=6−a−b，推出
OA+OA+AB=6，可得a+b+√a2+b2=6，由(a−b) 2≥0，可得a2+b2≥2ab，继而根据a>0，b>0，
可得a+b≥2√ab，由此可确定出ab的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA=∠PHA=90°
，
∵∠PAM=∠PAH，PA=PA，
∴△PAM≌△PAH(AAS)，
∴PM=PH，∠APM=∠APH，
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同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH=PN，∠BPN=∠BPH，
∴PM=PN，
∵∠PMO=∠MON=∠PNO=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN=90°，
1
∴∠APB=∠APH+∠BPH= (∠MPH+∠NPH)=45°，
2
∵PM=PN，
∴可以假设P(m,m)，
9
∵P(m,m)在y= 上，
x
∴m2=9，
∵m>0，
∴m=3，
∴P(3,3)；
（2）解：设OA=a，OB=b，则AM=AH=3−a，BN=BH=3−b，
∴AB=6−a−b，
∴OA+OB+AB=6，
∴a+b+√a2+b2=6，
∵(a−b) 2≥0，即a2−2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴(a+b) 2−2ab≥2ab，
∴(a+b) 2≥4ab，
∵a>0,b>0，
∴a+b≥2√ab，
∴a+b+√a2+b2≥2√ab+√2ab，
∴2√ab+√2ab≤6，
∴(2+√2)√ab≤6，
∴ √ab≤3(2−√2)，
∴ab≤54−36√2，
1
∴S = ab≤27−18√2（当a=b时取等号），
△AOB 2
∴△AOB的面积的最大值为27−18√2．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
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二次根式的运算等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程和不等式解决问题是解题的关键．
5．如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A(2,a)，过点A作反比例函数
k
y= (x>0)的图象．
x
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
k
(2)点P为反比例函数y= (x>0)图象上的一点，若S =2S ，求点P的坐标．
x △POB △AOB
(3)在x轴存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ，请求出点Q的坐标．
12
【答案】(1)a=6，y=
x
(2)点P坐标为(4,3)
( 5 )
(3)存在，点Q的坐标为(2,0)或 − ,0
2
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题．
（1）先求出A(2,6)，再利用待定系数法进行解答即可；
1 1 1 1
（2）先求出OB=2，根据S = OB⋅x = ×2×2=2，又S = OB⋅x = ×2×x =4，解得：
△AOB 2 A 2 △POB 2 P 2 P
12
x =4，则y= =3，即可求出答案；
P 4
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把A(2,a)代入y=2x+2得，
a=2×2+2=6，
∴ A(2,6)，
k
把A(2,6)代入y= ，
x
得k=12，
12
∴反比例函数的函数表达式为y=
x
（2）解：当x=0时，
y=2x+2=2，
∴ B(0,2)，
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∴OB=2，
1 1
∴ S = OB⋅x = ×2×2=2，
△AOB 2 A 2
∴ S =2S =4，
△POB △AOB
1 1
又S = OB⋅x = ×2×x =4，
△POB 2 P 2 P
解得：x =4，
P
12
∴y= =3，
4
∴点P坐标为(4,3)；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作AQ ∥y轴交x轴于Q ，
1 1
则∠BOA=∠OAQ ，
1
∴点Q(2,0)；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设AQ 与y轴交于点D(0,b)，
2
∵∠BOA=∠OAQ ，
2
∴OD=AD，
则22+(6−b) 2=b2，
10
解得：b= ，
3
( 10)
∴D 0, ，
3
设直线AQ 表达式为y=mx+n，则有
2
¿，
解得¿，
4 10
∴直线AQ 的表达式为y= x+ ，
2 3 3
5
当y=0时，x=− ，
2
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( 5 )
即点Q 的坐标为 − ,0 ，
2 2
( 5 )
综上所述，点Q的坐标为(2,0)或 − ,0 ．
2
模型04二次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、
二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次方程和不等式相结合。二次函数与方程、几何知识的综合
应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将
函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
答｜题｜技｜巧
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之间的关系
（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
⇔
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
⇔
（2025·广东揭阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M:y=ax2+bx的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点(2,t)在抛物线M上，求t的值；
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√3
(2)如图2，若a=1，直线l:y= x+1，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
3
a
(3)若b=2− ，当0<x<1时y=ax2+bx>0，求a的取值范围．
2
【答案】(1)0
11√3
(2)
24
(3)−4≤a<0或0<a≤4
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解题的关键．
（1）利用顶点A横坐标为1，得到b=−2a，再代入(2,t)到抛物线即可求解；
（2）设直线l分别交x轴、y轴于点B、C，过点A作AD⊥BC于点D，作AE∥y轴交直线l于点E，利
用一次函数的知识求出B、C的坐标，利用勾股定理求出BC的长，利用抛物线顶点式可得顶点A的坐标为
( b b2 ) AD AE
− ,− ，进而表示出AE的长，再通过证明△ADE∽△BOC，得到 = ，代入数据得到AD的
2 4 BO BC
表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可；
（3）由题意得y=ax2+ ( 2− a) x，令y=0，解得x =0，x = 1 − 2 ；分析可知当 1 − 2 =0时，即a=4，
2 1 2 2 a 2 a
抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当a>0时，抛物线开口向上；②当a<0时，抛物线开口向下，再
结合抛物线与x轴交点的位置进行分析，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线M:y=ax2+bx的顶点为A．且A点横坐标为1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
∵点(2,t)在抛物线M上，
∴t=4a+2b=4a+2×(−2a)=0，
∴t的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交x轴、y轴于点B、C，过点A作AD⊥BC于点D，作AE∥y轴交直线l
于点E，则∠ADE=90°，
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√3
代入x=0到y= x+1，得y=1，
3
√3 √3
代入y=0到y= x+1，则有0= x+1，解得x=−√3，
3 3
∴B(−√3,0)，C(0,1)，
∴BC=√OB2+OA2=2，
∵a=1，
∴y=ax2+bx=x2+bx= ( x+ b) 2 − b2 ，
2 4
( b b2 )
∴顶点A的坐标为 − ,− ，
2 4
b √3 √3 ( b) √3
代入x=− 到y= x+1，得y= ⋅ − +1=1− b，
2 3 3 2 6
( b √3 )
∴E − ,1− b ，
2 6
√3 ( b2 ) 1 √3
∴AE=1− b− − = b2− b+1，
6 4 4 6
∵AE∥y轴，
∴∠DEA=∠OCB，
又∵∠ADE=∠BOC=90°，
∴△ADE∽△BOC，
AD AE
∴ = ，
BO BC
2
∴AD= BO ⋅AE= √3(1 b2− √3 b+1 ) = √3( b− √3) + 11√3 ，
BC 2 4 6 8 3 24
√3 11√3
当b= 时，AD有最小值 ，
3 24
11√3
∴点A到直线l的距离最小值为 ．
24
a
（3）解：∵b=2− ，
2
∴y=ax2+ ( 2− a) x，
2
令y=0，则ax2+ ( 2− a) x=0，
2
1 2
解得：x =0，x = − ，
1 2 2 a
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1 2
当 − =0时，即a=4，
2 a
此时y=4x2，当0<x<1时y>0，符合题意；
(1 2 )
∴当a≠4时，抛物线与x轴的交点为(0,0)和 − ,0 ，
2 a
下面分2种情况讨论：
1 2 1
①当a>0时，抛物线开口向上，此时 − < <1，
2 a 2
1 2 1 2
若 − >0，则抛物线在0<x< − 的图象在x轴下方，不符合题意；
2 a 2 a
1 2
若 − <0，即0<a<4，则抛物线在x>0的图象y随着x的增大而增大，且满足y=ax2+bx>0，符合题
2 a
意；
∴0<a<4；
1 2 1
②当a<0时，抛物线开口向下，此时 − > >0，
2 a 2
1 2
∴抛物线在0<x< − 的图象在x轴上方，
2 a
∵当0<x<1时y=ax2+bx>0，
1 2
∴ − ≥1，
2 a
解得：−4≤a<0；
∴综上所述，a的取值范围为−4≤a<0或0<a≤4．
1．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点O(0,0),A(−9,0),B(4,2)，抛物线l:y=−(x−h) 2+2（h为常
数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点(x ,y ),(x ,y )，其中x >x ≥0，比较y 与y
c c 1 1 2 2 1 2 1 2
的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7时，求h的值．
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【答案】(1)y=−(x−4) 2+2，此时抛物线l的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)
(2)y 的最大值为2；此时y <y
c 1 2
(3)−2+√2或−7−√2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由此即可得其对称轴和顶点坐标；
（2）先将x=0代入抛物线的解析式可得y =−h2+2，从而可得当h=0时，y 取得最大值2，再根据二次
c c
函数的增减性即可得；
（3）先求出抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)或(−7,0)，再分两种情况，将(−2,0)和(−7,0)分别代
入抛物线的解析式求出h的值，然后将h的值代入抛物线的解析式，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
据此进行检验即可得．
【详解】（1）解：将点B(4,2)代入抛物线l:y=−(x−h) 2+2得：−(4−h) 2+2=2，
解得h=4，
所以抛物线l的解析式为y=−(x−4) 2+2，
所以这个抛物线的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)．
（2）解：∵抛物线l:y=−(x−h) 2+2（h为常数）与y轴的交点为C，且点C的纵坐标为y ，
c
∴y =−(0−h) 2+2=−h2+2，
c
∵h2≥0，
∴−h2+2≤2，即y ≤2，
c
∴y 的最大值为2，此时h=0，
c
∴此时抛物线l的解析式为y=−x2+2，
由二次函数的性质可知，当x≥0时，y随x的增大而减小，
∵此时l上有两点(x ,y ),(x ,y )，其中x >x ≥0，
1 1 2 2 1 2
∴y <y ．
1 2
（3）解：∵A(−9,0)，
∴OA=9，
∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7，
∴抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)或(−7,0)，
①当抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)时，
则−(−2−h) 2+2=0，解得h=−2+√2或h=−2−√2，
当h=−2+√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−2+√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−2+2√2,0)，
符合题意；
当h=−2−√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−2−√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−2−2√2,0)，
位于线段OA上，即此时线段OA被l分成三部分，不符合题意，舍去；
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②当抛物线l与线段OA的交点坐标为(−7,0)时，
则−(−7−h) 2+2=0，解得h=−7+√2或h=−7−√2，
当h=−7+√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−7+√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−7+2√2,0)，
位于线段OA上，即此时线段OA被l分成三部分，不符合题意，舍去；
当h=−7−√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−7−√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−7−2√2,0)，
符合题意；
综上，h的值为−2+√2或−7−√2．
2．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+2（其
中a≠0，a、b为常数）与x轴分别交于点A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且抛物线经过
点F (m，−3)、G (n，−3)．
(1)若点A的坐标为(−1，0)，m+n=3，
①b=_______，点B的坐标为______；
②点D是线段BC上方抛物线上的一动点，连接OD交BC于点E，若OE=2DE，直接写出点D的横坐标为
_______；
(2)若n=−3m，求证：3b2+20a=0．
3
【答案】(1)① ，(4,0)；②2±√2；
2
(2)见解析．
【分析】（1）①由∵抛物线经过点F (m，−3)、G (n，−3)，m+n=3，得b=−3a，把点A(−1，0)
代入y=ax2+bx+2得，a=− 1 ，b=−3× ( − 1) = 3 ，从而抛物线的解析式为y=− 1 x2+ 3 x+2，令
2 2 2 2 2
1 3
y=0，则0=− x2+ x+2，得x=4或x=−1，即可求解；②过点D作DH⊥x轴于M，交BC于点H，
2 2
1 3 1
设y=− x2+ x+2中，x=0，则y=2，得C(0,2)，再求得直线BC为y=− x+2，证△OEC∽△DEH，
2 2 2
得 DH = DE = 1 ，即 DH = 1 ，DH=1，设D ( n,− 1 n2+ 3 n+2 ) ，则H ( n,− 1 n+2 ) ，由DH=1，构
OC OE 2 2 2 2 2 2
建方程求解即可；
（2）由抛物线y=ax2+bx+2经过点F (m，−3)、G (n，−3)， n=−3m，得b=2am，
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am2+bm+5=0，进而得3am2+5=0，再代入即可证明结论成立．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点F (m，−3)、G (n，−3)，m+n=3，
m+n b b 3
∴ =− 即− = ，
2 2a 2a 2
∴b=−3a，
把点A(−1，0)代入y=ax2+bx+2得，
∴a−b+2=0，即a+3a+2=0
1
∴a=− ，
2
( 1) 3
∴b=−3× − = ，
2 2
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+2，
2 2
1 3
令y=0，则0=− x2+ x+2，
2 2
解得x=4或x=−1，
∵点A在点B的左侧，
∴B(4,0)，
3
故答案为： ，(4,0)；
2
②过点D作DH⊥x轴于M，交BC于点H，
1 3
设y=− x2+ x+2中，x=0，则y=2，
2 2
∴C(0,2)，
设直线BC为y=kx+m，
把C(0,2)，B(4,0)代入y=kx+m得，
¿，
解得¿，
1
∴直线BC为y=− x+2，
2
∵OE=2DE，
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1
∴OE= OE，
2
∵OC⊥x轴，DM⊥x轴
∴OC∥DM，
∴△OEC∽△DEH，
DH DE 1 DH 1
∴ = = ，即 = ，
OC OE 2 2 2
∴DH=1，
设D ( n,− 1 n2+ 3 n+2 ) ，则H ( n,− 1 n+2 ) ，
2 2 2
∴n2−4n+2=0 DH=1，
解得n=2±√2，
故答案为：2±√2；
（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+2经过点F (m，−3)、G (n，−3)， n=−3m，
m+n b m−3m b
∴ =− ，即 =− ，−3=am2+bm+2，
2 2a 2 2a
∴b=2am，am2+bm+5=0，
∴am2+2am⋅m+5=0，即3am2+5=0
∴3b2+20a
=3×(2am) 2+20a
=12a2m2+20a
=4a(3am2+5)
=0．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数
解析式与一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数y=−x2+2ax−4a+8．
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(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数y=−x2+2ax−4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN
（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)a≤2
(3)△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3
【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）求出二次函数的对称轴x=a，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求
出a的取值范围；
（3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为(a,a2−4a+8)，设抛物线对称轴x=a交MN于点B，设
BM=BN=n，根据等边三角形AMN得到AB=√3n，从而M(a−n,a2−4a+8−√3n)，把点M代入解
析式，解得n=√3，从而可求出△AMN的面积，即可解答．
【详解】（1）解：令y=0，则−x2+2ax−4a+8=0，
∵Δ=(2a) 2−4×(−1)×(−4a+8)=4(a−2) 2+16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为x=a，
∵当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，
∴a≤2．
（3）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴抛物线顶点A的坐标为(a,a2−4a+8)，
设抛物线对称轴x=a交MN于点B，则BM=BN，
∵△AMN是抛物线的内接正三角形，
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AB
∴ =tan∠AMB=tan60°=√3，
BM
∴AB=√3BM=√3BN，
设BM=BN=n，则AB=√3n，
∴M(a−n,a2−4a+8−√3n)，
∵点M在抛物线上，
∴a2−4a+8−√3n=−(a−n−a) 2+a2−4a+8，
整理得n2−√3n=0，
解得n=√3或n=0（不合题意，舍去）
∴MN=2BM=2√3，AB=3，
1 1
∴S = MN⋅AB= ×2√3×3=3√3，
△AMN 2 2
∴△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边
三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的L形框ABCDEF，其中点A(1,2)，
B(3,2)，C(3,4)，D(2,4)，E(2,3)，F(1,3)，抛物线G；y=−x2+bx+c与x轴交于点P，Q．
(1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值；
(2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求PQ长的取值范围；
(3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值．
【答案】(1)b=6，c=−5；
(2)2√2≤PQ≤4；
1
(3)c的值为 或−1.
2
【分析】本题考查了二次函数的图形及性质，二次函数与x轴的交点、顶点式的化简等知识点的应用是本
题的解题关键．
（1）设顶点式，代入顶点即可解答；
（2）判断出当抛物线G顶在CD时，PQ最大，当抛物线G顶在AB时，PQ最小，分别求出顶点在AB和
CD上的关系式，再求出相应的PQ即可解答；
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（3）判断出抛物线可以经过A和B或F和B这两种情况，再分别代入求出关系式即可．
【详解】（1）解：设抛物线G:y=−(x−h) 2+k，
∵C(3,4)，
∴y=−(x−3) 2+4，
∴y=−x2+6x−5，
∴b=6，c=−5；
（2）解：由题得，
当抛物线G顶在CD时，PQ最大，当抛物线G顶点为C时，
设抛物线G:y=−x2+6x−5，
令y=0，即0=−x2+6x−5，
解得，x=1或5，
∴PQ=4，
当抛物线G顶在AB时，PQ最小，
当抛物线G顶点为A时，
设抛物线G:y=−(x−h) 2+k，
∵A(1,2)，
∴y=−(x−1) 2+2，
∴y=−x2+2x+1，
令y=0，即0=−x2+2x+1，解得，x=1±√2，
∴PQ=2√2，
∴2√2≤PQ≤4；
（3）解：∵FA∥y轴，
∴抛物线可以经过A和B或F和B，
把F(1,3)，B(3,2)代入抛物线，
得¿，
∴ ¿；
把A(1,2)，B(3,2)代入抛物线，
得¿，
∴ ¿，
1
∴c的值为 或−1．
2
模型05二次函数的对称性与最值问题
考｜向｜预｜测
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二次函数的性质在中考一般一压轴题的形式出现，常考的题型特征有：在二次函数解析式中含有未知参数
的背景下，通过判断对称轴与所给自变量区间的位置关系，讨论二次函数的增减性、最值问题
近几年的考法主要是：
（1）在含参取值范围内，已知最值或最大最小值的关系，求参数的值或取值范围
（2）已知自变量取值范围，求抛物线中最值或已知最值范围求参数的取值范围
答｜题｜技｜巧
区间内二次函数的最值问题
（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线y=x2−4mx+2m+1，m为实数．
(1)如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当2m−3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
(3)点O(0,0)，点A(1,0)，如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)(2,−1)
3
(2)m= ，m=−1
2
1
(3)m>1或m<−
2
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为x=2m，判断函数的开口向上，判断出当x=2m−3时，y取最大值4，代入
从而求得答案；
（3）当x=0，y=2m+1，当x=1时，y=−2m+2，当交点在线段OA之间时，那么2m+1>0且
−2m+2<0，或者当2m+1<0时，−2m+2>0，从而解得答案；
【详解】（1）解：∵该抛物线经过点(4,3)
∴3=42−16m+2m+1
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解得m=1
∴y=x2−4x+3=(x−2) 2−1
∴顶点坐标为(2,−1)
（2）解：∵y=x2−4mx+2m+1=(x−2m) 2−4m2+2m+1
∴ 对称轴为x=2m，函数图象开口向上
∵2m−3≤x≤2m+1
∴2m−(2m−3)=3，(2m+1)−2m=1
∴当x=2m−3时，y取最大值4
∴4=(2m−3−2m) 2−4m2+2m+1
3
解得m= ，m=−1
2
（3）解： 当x=0，y=2m+1
当x=1时，y=−2m+2
当交点在线段OA之间时，当2m+1>0时，−2m+2<0
解得m>1；
当2m+1<0时，−2m+2>0
1
解得m<− ；
2
1
综上，m>1或m<− ．
2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与
线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=mx2−6mx+4（m为常数）
(1)下列结论：①当m>0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=−3；③该函数的
图像一定经过(0,4)，(6,4)两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A(−1,a)，B(3,b)，C(4,c)在该函数图像上，当abc<0时，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①③
4 1 4
(2)
<m< 或m<−
9 2 7
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减
性，是解题的关键．（1）根据二次函数y=mx2−6mx+4（m为常数）m>0时，图像开口向上，判断①；
根据y=m(x−3) 2−9m+4 得对称轴是直线x=3，判断②； ③令x=0，则y=4， (0,4)，(6,4)两点关于
对称轴对称，得函数的图像一定经过(0,4)，(6,4)两点，判断③；
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（2）根据A(−1,a)与(7,a)对称，当m>0时，当x>3时，y随x增大而增大，得b<c<a，根据abc<0，
得当b<0<c<a时，b<0， c>0，解得m，或 当b<c<a<0时，得a<0，解得m；当m<0时，当x>3时，
y随x增大而减小，则a<c<b，当a<0<c<b时，a<0， c>0，解得m，或当a<c<b<0时，得b<0，解
得m，即可．
【详解】（1）①∵二次函数y=mx2−6mx+4（m为常数），
∴当m>0时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵y=mx2−6mx+4=m(x−3) 2−9m+4
∴该函数的图像的对称轴是直线x=3，
不正确．
③令x=0，则y=4，
∴函数的图像一定经过(0,4)，
∵(0,4)，(6,4)两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过(0,4)，(6,4)两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点A(−1,a)，B(3,b)，C(4,c)在函数y=m(x−3) 2−9m+4图像上，
∴A(−1,a)的对称点为(7,a)，
若m>0，
∵当x>3时，y随x增大而增大，
∴b<c<a，
∵abc<0，
∴当b<0<c<a时，
b=−9m+4<0，
4
∴m> ，
9
c=m−9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4 1
∴ <m< ；
9 2
或当b<c<a<0时，
a=16m−9m+4<0，
4
∴m<− ，
7
不合；
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若m<0，
∵当x>3时，y随x增大而减小，
∴a<c<b，
∴当a<0<c<b时，
a=16m−9m+4<0，
4
∴m<− ，
7
c=m−9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4
∴m<− ；
7
或当a<c<b<0时，
b=−9m+4<0，
4
∴m> ，
9
不合．
4 1 4
综上， <m< 或m<− ．
9 2 7
2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线y=x2−2ax+1过点
A(1,y )，B(3,y )，C(2a−3,y )，D(a+1,y )（点C，D不重合）．
1 2 3 4
(1)比较y 和y 的大小，并说明理由；
2 3
(2)将抛物线在A，B之间的部分（含A，B）所有点的纵坐标的最小值记为m ，并将抛物线在C，D之间的
1
部分（含C，D）所有点的纵坐标的最小值记为m ，若m =m ，求a的取值范围．
2 1 2
【答案】(1)y = y ，理由见解析；
2 3
(2)1≤a<4．
【分析】（1）本小问已知点的坐标，把横坐标代入求出纵坐标进行比较即可；
（2）本小问主要先要确认对称轴为x=a，所以可确定点B和点C在对称轴的两侧，又点D的横坐标为a+1，
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所以点D肯定在对称轴的右侧，要分类讨论点B和点C，谁在对称轴的左侧，分两种情况即可解决问题.
【详解】（1）y = y ．
2 3
理由如下：
∵抛物线y=x2−2ax+1过点(3,y )和(2a−3,y )，
2 3
∴y =9−6a+1=10−6a，
2
y =(2a−3) 2−2a(2a−3)+1=(4a2−12a+9)−(4a2−16a)+1=10−6a．
3
∴y = y ．
2 3
（2）解：
抛物线y=x2−2ax+1的对称轴为x=a，
注意到a+1>a，即点D(a+1,y )一定在对称轴右侧，因此分以下情况：
4
①当2a−3≤a，即a≤3时，
此时点C(2a−3,y )在对称轴上或者在对称轴左侧，
3
当2a−3≤x≤a时，y随x的增大而减小，当a≤x≤a+1时，y随x的增大而增大．
因此在C，D之间（含端点）y的最小值m 在x=a时，即顶点处取到．
2
为了使m =m ，则抛物线的顶点必须在A，B之间（含端点），可得1≤a≤3．
1 2
②当2a−3>a，即a>3时，
此时点C，D都在对称轴的右侧，点A，B都在对称轴的左侧，
由于1<3<a，所以在1≤x≤3时，y随x的增大而减小，故当x=3时，A，B之间（含端点）的抛物线取到
y的最小值，即m = y ．
1 2
注意到（1）中已证y = y ，为了使m =m ，只需m = y 即可．
2 3 1 2 2 3
由于当x≥a时，y随x的增大而增大，抛物线在C，D之间（含端点）y是增大的，由于C，D不重合，为
了让这段y的最小值恰好为y ，需要保证y <y ，即
3 3 4
2a−3<a+1，得a<4，即3<a<4．
综上a的取值范围是1≤a<4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键
是要分类讨论.
3．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经
过点(2,c)．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上存在两点A(x ,y )，B(x ,y )，其中m−1<x <m，
1 1 2 2 1
m+2<x <m+4，且y = y ，求m的取值范围．
2 1 2
【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线x=1
1
(2)−1<m<
2
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【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键．
（1）先求出二次函数经过点(0,c)和(2,c)，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；
（2）先根据（1）设二次函数的解析式为y=a(x−1) 2+k(a>0)，再求出y −y =a(x −x )(x +x −2)，
1 2 1 2 1 2
判断出x −x <0，2m+1<x +x <2m+4，从而可得x +x =2，据此建立不等式组，解不等式组即可得．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，
当x=0时，y=c，
∴这个二次函数的图象经过点(0,c)，
又∵这个二次函数的图象经过点(2,c)，
0+2
∴此二次函数图象的对称轴是直线x= =1．
2
（2）解：由（1）可设二次函数的解析式为y=a(x−1) 2+k(a>0)，
∵这个二次函数的图象上存在两点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =a(x −1) 2+k，y =a(x −1) 2+k，
1 1 2 2
∴y −y =[a(x −1) 2+k]−[a(x −1) 2+k]
1 2 1 2
=a(x −1) 2−a(x −1) 2
1 2
=a[(x −1) 2−(x −1) 2]
1 2
=a(x −x )(x +x −2)，
1 2 1 2
∵m−1<x <m，m+2<x <m+4，
1 2
∴x −x <0，2m+1<x +x <2m+4，
1 2 1 2
∵y = y ，a>0，
1 2
∴y −y =a(x −x )(x +x −2)=0，
1 2 1 2 1 2
∴x +x −2=0，即x +x =2，
1 2 1 2
∴2m+1<2<2m+4，
1
∴−1<m< ．
2
4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2−(a+1)x(a≠0)．
(1)若a为整数，二次函数图象过点(n,0)（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若M(x ,y )，N(x ,y )为抛物线上两个不同的点．
1 1 2 2
①当x +x =4时，y = y ，求a的值．
1 2 1 2
②若对于x >x ≥2，都有y >y ，求a的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)对称轴为直线x=1
1 1
(2)①a= ；②a≥
3 3
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【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
a+1
（1）把代入(n,0) y=ax2−(a+1)x，求得n =0，n = ，从而可得a=1，再代入对称轴公式求解即
1 2 a
可；
−(a+1) a+1 x +x
（2）①根据对称轴为直线x=− = = 1 2=2，进行求解即可；
2a 2a 2
②根据二次函数的图象与性质可得¿，即可求解．
【详解】（1）解：把代入(n,0) y=ax2−(a+1)x，得an2−(a+1)n=0，
a+1
解得，n =0，n = ．
1 2 a
∵n是正整数，a为整数，
a+1 1
∴n =0（舍去），n = =1+ ．则a=1，
1 2 a a
−(a+1)
∴对称轴为直线x=− =1．
2a
（2）解：①∵x +x =4时，y = y ，
1 2 1 2
∴M(x ,y )，N(x ,y )两点关于抛物线的对称轴对称，
1 1 2 2
−(a+1) a+1 x +x
则对称轴为直线x=− = = 1 2=2，
2a 2a 2
1
∴a= ．
3
②由题意可知，对于任意的x≥2，y随x的增大而增大，
可得¿，
1
解得a≥ ．
3
5．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数y =2x2−4tx−3．
1
(1)若函数y =2x2−4tx−3经过点A(4,−3)，求抛物线的对称轴；
1
(2)若点P(t−2,p),Q(t+3,q)均在抛物线y =2x2−4tx−3上，则p q（填“>”，“<”或“=”）.
1
(3)记y =4x2+2x−1，当−2≤x≤2时，y >y 始终成立，求t 的取值范围．
2 2 1
【答案】(1)直线x=2
(2)<
(3)−1.5<t<0.5
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是
关键．
−4t
（1）依据题意，由y =2x2−4tx−3经过点A(4,−3)，可得t=2，再由对称轴是x=− =t，进而可
1 4
以判断得解；
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−4t
（2）依据题意，抛物线的对称轴是直线x=− =t，结合y =2x2−4tx−3的开口向上，从而抛物线上
4 1
点离对称轴越近函数值就越小，又|t−2−t|<|t+3−t|，故可判断得解；
（3）依据题意，令y= y −y =2x2+(2+4t)x+2，又当−2≤x≤2时，y >y 始终成立，即当−2≤x≤2
2 1 2 1
1
时，y>0恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线x=− −t，进行分类讨论即可判断得解．
2
【详解】（1）解：∵ y =2x2−4tx−3经过点A(4,−3)，
1
∴32−16t−3=−3．
∴t=2．
−4t
∴抛物线的对称轴是直线x=− =t=2．
4
−4t
（2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线x=− =t．
4
∵y =2x2−4tx−3的开口向上，
1
∴抛物线上点离对称轴越近函数值就越小．
∵|t−2−t|<|t+3−t|，
∴p<q．
故答案为：<．
（3）解：由题意，令y= y −y =4x2+2x−1−(2x2−4tx−3)=2x2+(2+4t)x+2，
2 1
又当−2≤x≤2时，y >y 始终成立，
2 1
∴当−2≤x≤2时，y>0恒成立．
2+4t 1
又抛物线的对称轴为直线x=− =− −t，
4 2
∴可分以下情形讨论．
1 5
①当2≤− −t时，即t≤− ．
2 2
∵a=2>0，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而减小．
∴当x=2时，y=8+2(2+4t)+2>0．
7
∴t>− ．
4
∴此时无解．
1 5 3
②当−2≤− −t≤2时，即− ≤t≤ ．
2 2 2
∵a=2>0，
∴ Δ<0．
∴(2+4t) 2−16<0．
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3 1
∴− <t< ．
2 2
3 1
∴此时− <t< ．
2 2
1 3
③当− −t≤−2时，即t≥ ．
2 2
∵a=2>0，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而增大．
∴当x=−2时，y=8−2(2+4t)+2>0．
3
∴t< ．
4
故此时无解．
3 1
综上，− <t< ．
2 2
一、解答题
k
1．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知k k ≠0，设函数y = 1与函数y =k (x−2)+5的
1 2 1 x 2 2
图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是−4．
(1)求k ,k 的值．
1 2
(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的
垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
【答案】(1)k =10，k =2
1 2
(2)见解析
k
【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y =k (x−2)+5求出点A的坐标，然后代入y = 1求出k =10，
2 2 1 x 1
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10 ( 5 )
然后将点B的纵坐标代入y = 求出B − ,−4 ，然后代入y =k (x−2)+5即可求出k =2；
1 x 2 2 2 2
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达
式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点A的横坐标是2，
∴将x=2代入y =k (x−2)+5=5
2 2
∴A(2,5)，
k
∴将A(2,5)代入y = 1得，k =10，
1 x 1
10
∴y = ，
1 x
∵点B的纵坐标是−4，
10 5
∴将y=−4代入y = 得，x=− ，
1 x 2
( 5 )
∴B − ,−4 ，
2
( 5 ) ( 5 )
∴将B − ,−4 代入y =k (x−2)+5得，−4=k − −2 +5，
2 2 2 2 2
∴解得k =2，
2
∴y =2(x−2)+5=2x+1；
2
（2）如图所示，
( 5 )
由题意可得，C − ,5 ，D(2,−4)，
2
∴设CD所在直线的表达式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
∴y=−2x，
∴当x=0时，y=0，
∴直线CD经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．
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5
2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=2x− 上，过点A的直线交
2
y轴于点B(0,3)．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式．
5
(2)若点P(t,y )在线段AB上，点Q(t−1,y )在直线y=2x− 上，求y −y 的最大值．
1 2 2 1 2
3 3
【答案】(1)m= ，y=− x+3
2 4
15
(2)
2
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线AB的函数解析式为y=kx+b，进而根
据待定系数法可进行求解函数解析式；
3 5 9
（2）由（1）及题意易得y =− t+3(0≤t≤2)，y =2(t−1)− =2t− ，则有
1 4 2 2 2
3 ( 9) 11 15
y −y =− t+3− 2t− =− t+ ，然后根据一次函数的性质可进行求解．
1 2 4 2 4 2
5 3
【详解】（1）解：把点A(2,m)代入y=2x− ，得m= ．
2 2
( 3)
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A 2, ，B(0,3)代入得
2
¿，解得¿，
3
∴直线AB的函数表达式为y=− x+3．
4
5
（2）解：∵点P(t,y )在线段AB上，点Q(t−1,y )在直线y=2x− 上，
1 2 2
3 5 9
∴y =− t+3(0≤t≤2)，y =2(t−1)− =2t− ，
1 4 2 2 2
3 ( 9) 11 15
∴y −y =− t+3− 2t− =− t+ ．
1 2 4 2 4 2
11
∵k=− <0，
4
∴y −y 的值随x的增大而减小，
1 2
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15
∴当t=0时，y −y 的最大值为 ．
1 2 2
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．
P(t,0)为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的
重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)OB的长为 ___________；△OAB的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
8
【答案】(1)4，
3
(2)S=¿
8
【分析】（1）由t=0时，P与O重合，得S=S = ，t=4时，P与B重合，得OB=4；
❑△ABO 3
1 1 8 4 (4 4)
（2）设A(a,a)，由S = OB⋅a，即 ×4a= ，得到a= ，则A ， ；分两种情况：当
❑△AOB 2 2 3 3 3 3
4 1 8 1 8
0≤t≤ 时，设OA交PD于E，可得PE=PO=t，得到S = t2 ，则S= −S =− t2+ ；当
3 ❑△POE 2 3 ❑△POE 2 3
4 1 DP OC 2 1
<t<4时，求出直线AB解析式为y=− x+2，可得C(0，2)，由tan∠CBO= = = = 得
3 2 PB OB 4 2
1 1 1 1 1
DP= PB= (4−t)=2− t，故S=S = DP⋅PB= t2−2t+4．
2 2 2 ❑△DPB 2 4
8
【详解】（1）解：当t=0时，P与O重合，此时S=S = ，
❑△ABO 3
当t=4时，S=0，P与B重合，
∴OB=4，B(4,0)，
8
∴OB的长为4，△OAB的面积为 ，
3
8
故答案为：4， ；
3
（2）∵A在直线y=x上，
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∴∠AOB=45°，
设A(a,a)，
1 1 8
∴S = OB⋅a，即 ×4a= ，
❑△AOB 2 2 3
4
∴a= ，
3
(4 4)
∴A ， ；
3 3
4
当0≤t≤ 时，设OA交PD于E，如图：
3
∵∠AOB=45°，PD⊥OB，
∴△PEO是等腰直角三角形，
∴PE=PO=t，
1
∴S = t2 ，
❑△POE 2
8 1 8
∴S= −S =− t2+ ；
3 ❑△POE 2 3
4
当 <t<4时，如图：
3
(4 4)
设直线AB解析式为y=kx+b，把A ， ，B(4,0)代入得
3 3
¿，
解得¿，
1
∴直线AB解析式为y=− x+2，
2
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当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∴OC=2，
DP OC 2 1
∵tan∠CBO= = = = ，
PB OB 4 2
1 1 1
∴DP= PB= (4−t)=2− t，
2 2 2
∴S=S = 1 DP⋅PB= 1( 2− 1 t ) ×(4−t)= 1 (4−t) 2= 1 t2−2t+4；
❑△DPB 2 2 2 4 4
综上所述，S=¿．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
4
4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=− 的图象交于
x
点A(−2,m)和点B，与y轴交于点C．直线x=4经过点B与x轴交于点D，连结AD．
(1)求k、b的值；
(2)求△ABD的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
1
【答案】(1)k的值为− ，b的值为1
2
(2)3
(3)经过点C的一次函数解析式为y=x+1（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
（1）利用反比例函数求出点A和点B，代入y=kx+b(k≠0)计算即可；
（2）利用A、B、D三点的坐标和面积公式计算即可；
（3）求出点C的坐标，然后写出解析式即可．
4 4 4
【详解】（1）解：把点A(−2,m)、B(4,n)代入y=− 得− =m，− =n，
x −2 4
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解得m=2，n=−1，
∴A(−2,2)，B(4,−1)，
把A(−2,2)，B(4,−1)代入y=kx+b(k≠0)中得：
¿，
解得¿，
1
即k的值为− ，b的值为1；
2
（2）解：直线x=4与x轴交于点D，
∴D(4,0)，
1
∴△ABD的面积为： ×1×(4+2)=3；
2
（3）解：当x=0时，y=1，
∴C(0,1)，
则设经过点C的一次函数解析式为y=ax+1，
∵y随x的增大而增大，
∴a>0，
∴经过点C的一次函数解析式为y=x+1（答案不唯一）．
k
5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数y=k x+2的图象与反比例函数y= 2的图象相交于
1 x
A(m,4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO=2．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
k
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k x+2> 2的解集．
1 x
4
【答案】(1)一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=
x
(2)15
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(3)−2<x<0或x>1
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0,2)得到OD=2，再解直角三角形得到OC=1，则C(−1,0)，据此利用待定系数法求出一
次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据S =S +S ，求
△ABE △CBE △ACE
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=k x+2中，当x=0时，y=2，
1
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵tan∠ACO=2，
OD
∴在Rt△CDO中，tan∠DCO= =2，
OC
∴OC=1，
∴C(−1,0)，
把C(−1,0)代入y=k x+2中得：0=−k +2，解得k =2，
1 1 1
∴一次函数解析式为y=2x+2，
在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=1，
∴A(1,4)，
k k
把A(1,4)代入y= 2中得：4= 2，解得k =4，
x 1 2
4
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：联立¿
解得¿或¿，
∴B(−2,−2)；
设E(e,0)，
由题意得，BD=ED，
∴(−2−0) 2+(−2−2) 2=(e−0) 2+(0−2) 2，
解得e=4或e=−4（舍去），
∴E(4,0)，
∴CE=4−(−1)=5，
∴S =S +S
△ABE △CBE △ACE
1 1
= CE⋅y + CE⋅|y |
2 A 2 B
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1 1
= ×5×4+ ×5×2
2 2
=15；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为−2<x<0或
x>1，
k
∴关于x的不等式k x+2> 2的解集为−2<x<0或x>1．
1 x
4
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=− (x−1) 2+4
9
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线
段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；
②求t的取值范围：
③求OD⋅DB的最大值．
【答案】(1)A(−2,0)，B(4,0)，C(1,4)
(2)①6；②3<t<7且t≠4；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，
熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y=0，解方程，可得出点A，B的坐标；
7
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x= ，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴
2
对称，由此可得出t的值；
t+1
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为( ，0)，再由对称性可知，
2
D(t−3,0)，由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得¿，即3<t<7，而当t=4时，过点B，C，M三
点的二次函数不存在，由此可得3<t<7且t≠4；
③OD⋅DB=(t−3)⋅(7−t)=−t2+10t−21=−(t−5) 2+4，根据二次函数的性质可得结论．
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4
【详解】（1）解：∵二次函数y=− (x−1) 2+4的图象的顶点为C，
9
∴C(1,4)；
4
令y=− (x−1) 2+4=0，解得x=−2或x=4，
9
∴A(−2,0)，B(4,0)；
（2）解：①由题知，该函数过点B(4,0)，C(1,4)，D(3,0)，
∴函数的解析式为：y′=a(x−4)(x−3)，
7
∴函数的对称轴为直线x= ，
2
∵C(1,4)，M(t,4)，
∴点C，M关于对称轴对称，
1+t 7
∴ = ，
2 2
∴t=6，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
将M(t，4)C(1，4)两点代入，得¿，
∴a(t2−1)+b(t−1)=0，
∵t≠1，
b t+1
∴− = ，
2a 2
t+1
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为( ，0)，
2
∵B，D两点关于对称轴对称，点B(4,0)，
∴D(t−3,0)，
∵点D在线段OB上，且与端点不重合，
∴ ¿，即3<t<7，
∵t=4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3<t<7且t≠4；
③∵OD=t−3，DB=7−t，
∴OD⋅DB=(t−3)⋅(7−t)．
∴OD⋅DB=−t2+10t−21=−(t−5) 2+4，
∵3<t<7且t≠4，
∴t=5时，OD⋅DB有最大值，最大值为4．
3
7．（2024·云南·中考真题）已知抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x= ．设m是抛物线y=x2+bx−1
2
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m5−33
与x轴交点的横坐标，记M= ．
109
(1)求b的值；
√13
(2)比较M与 的大小．
2
【答案】(1)b=−3
3+√13 √13 3−√13 √13
(2)当M= 时，M> ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
b
【分析】（1）由对称轴为直线x=− 直接求解；
2a
3+√13 √13 3−√13 √13
（2）当M= 时，M> ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
3
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x= ，
2
b 3
∴− = ，
2×1 2
∴b=−3；
（2）解：∵m是抛物线y=x2+bx−1与x轴交点的横坐标，
∴m 2−3m−1=0，
❑
∴m2−1=3m，
∴m4−2m2+1=9m2，
∴m4=11m2−1，
而m2=3m+1
代入得：m4=11(3m+1)−1=2=33m+10，
∴m5=m⋅m4=(33m+10)m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33，
m5−33 109m+33−33
∴M= = =m，
109 109
∵m 2−3m−1=0，
❑
3±√13
解得：m= ，
2
3+√13 √13 3+√13 √13 3
当M=m= 时，M− = − = >0
2 2 2 2 2
√13
∴M> ；
2
3−√13 √13 3−√13 √13 3−2√13
当M=m= 时，M− = − = <0，
2 2 2 2 2
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√13
∴M< ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解
题的关键是对m5进行降次处理．
8．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y )，N(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于0<x <1，1<x <2，都有y <y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
3
【答案】(1)t=
2
1
(2)t≤
2
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得(x ,y )离对称轴更近，x <x ，则(x ,y )与(x ,y )的中点在对称轴的右侧，根据对称
1 1 1 2 1 1 2 2
1 x +x 3 x +x
性求得 < 1 2< ，进而根据 1 2>t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =1，x =2有y = y ，
1 2 1 2
x +x 3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
3
∴t= ；
2
（2）解：∵当0<x <1，1<x <2，
1 2
1 x +x 3
∴ < 1 2< ，x <x ，
2 2 2 1 2
∵y <y ，a>0，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x <x ，则(x ,y )与(x ,y )的中点在对称轴的右侧，
1 1 1 2 1 1 2 2
x +x
∴ 1 2>t，
2
1
即t≤ ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
9．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
且x <x ．
1 2
(1)若抛物线y =x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ．试判断下列每组
1 3 4 3 4
数据的大小（填写<、=或>）：
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x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x
1
=1，2<x
2
<3，求b②的取值范围；
③
9
(3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，求b的值．
16
【答案】(1)=；<；>；
(2)−4<b<−3
3 1
(3)b的值为− 或− ．
2 2
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到x +x =−b，以及x +x =−b，即可判断 ，利用二次函数的图像与性质
1 2 3 4
得到x
1
<x
3
<x
4
<x
2
，进而得到x
2
−x
1
>x
4
−x
3
，利用不等式性质变形，即①可判断 ．
（2）根据题意得到3<x
2
+x
1
<4，结合x
1
+x
2
=−b进行求解，即可解题；
②③
( b 4c−b2 ) b
（3）根据题意得到抛物线y=x2+bx+c(b<0)顶点坐标为 − , ，对称轴为x=− >0；当x=0
2 4 2
9
时，y=c，当x=1时，y=1+b+c，由y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
16
当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时， 当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
① ② ③
【详解】（1）解：∵ y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ，
1 2 1 2
∴x +x =−b，且抛物线开口向上，
1 2
∵ y =x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ．
1 3 4 3 4
即y=x2+bx+c(b<0)向上平移1个单位，
∴ x <x <x <x ，且x +x =−b，
1 3 4 2 3 4
∴ x +x = x +x ；
1 2 3 4
∵① x
2
−x
1
>x
4
−x
3
，
∴ x −x >x −x ，即 x −x < x −x ；
2 4 1 3 1 3 2 4
∴ x 2 +x 3 >x 1 +x 4 ，即 ② x 2 +x 3 > x 1 +x 4 ．
故答案为；=；<；>；
③
（2）解：∵ x =1，2<x <3，
1 2
∴ 3<x +x <4，
2 1
∴ 3<−b<4，
∴ −4<b<−3；
( b 4c−b2 )
（3）解：抛物线y=x2+bx+c(b<0)顶点坐标为 − , ，
2 4
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b
对称轴为x=− >0；
2
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=1+b+c，
b
当− ≥1，则b≤−2，
2
① 那么，在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，
9 25
有c−(1+b+c)= ，解得b= − （不符合题意，舍去）；
16 16
1 b
当 ≤− <1，解得−2<b≤−1，
2 2
② 那么，在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时，
4c−b2 9 3 3
有c− = ，解得b= （不符合题意，舍去）或b=− ，
4 16 2 2
b 1
当0<− < ，解得−1<b<0，
2 2
③ 那么，在x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，
4c−b2 9 7 1
有1+b+c− = ，解得b=− （不符合题意，舍去）或b=− ；
4 16 2 2
3 1
综上所述，b的值为− 或− ．
2 2
10．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为(3,0)，
①则b的值是_________，点B的坐标是_________；
②当0<y<5时，借助图像，求自变量x的取值范围；
(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，求n和b的值以及m的取值
范围．
【答案】(1)①−2,(−1,0)②−2<x<−1或3<x<4
b2
(2)t<−3−
4
21
(3)b=−3,n=−5,m<−
4
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出点B的坐标即可；②画出函数图像，图像法
求出x的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，得到x=1和x=2
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关于对称轴对称，进而求出b的值，得到n为x=1的函数值，求出n，推出直线y=m过抛物线顶点或在抛物
线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与x轴交于A、B两点，点A坐标为(3,0)，
∴0=32+3b−3，
∴b=−2，
∴y=x2−2x−3，
∴当y=0时，x2−2x−3=0，
∴x =−1,x =3，
1 2
∴点B的坐标是(−1,0)；
故答案为：−2，(−1,0)；
②y=x2−2x−3，
列表如下：
x ⋯ −2 −1 1 3 4 ⋯
y ⋯ 5 0 −4 0 5 ⋯
画出函数图像如下：
由图可知：当0<y<5时，−2<x<−1或3<x<4；
（2）∵y=x2+bx−3= ( x+ b) 2 −3− b2 ，
2 4
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b b2
∴当x=− 时，y有最小值为−3− ；
2 4
∵对于一切实数x，若函数值y>t总成立，
b2
∴t<−3− ；
4
（3）∵y=x2+bx−3= ( x+ b) 2 −3− b2 ，
2 4
b
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=− ，
2
又当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，
∴直线y=n与抛物线的两个交点为(1,n),(2,n)，直线y=m在抛物线的下方，
∴(1,n),(2,n)关于对称轴对称，
b 1+2
∴− = ，
2 2
∴b=−3，
( 3) 2 9 ( 3) 2 21
∴y= x− −3− = x− − ，
2 4 2 4
( 3) 2 21
∴n= 1− − =−5，
2 4
3 21
当x= 时，y有最小值− ，
2 4
21
∴m<− ．
4
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【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的
思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
1 k
1．（2025·河南安阳·一模）如图，正比例函数y = x和反比例函数y = (x>0)的图象交于点A(m,2)．
1 2 2 x
(1)求反比例函数的解析式；
k
(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y = (x>0)的图象交于点C，求BC的长．
2 x
8
【答案】(1)反比例函数的解析式为y =
2 x
(2)√5
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1
【分析】（1）把A(m,2)代入y = x求出m=4，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
1 2
1
（2）作AO平移后的直线BC，过点C作CD⊥y轴于D，根据平移求出y= x+3，得出点B的坐标为
2
(0,3)，求出C点坐标为(2,4)，根据勾股定理求出BC的长即可．
1 1
【详解】（1）解：把A(m,2)代入y = x得： m=2，
1 2 2
解得m=4，
∴A(4,2)，
k k
把A(4,2)代入y = (x>0)得： =2，
2 x 4
解得：k=8，
8
∴反比例函数的解析式为y = ；
2 x
（2）解：作AO平移后的直线BC，过点C作CD⊥y轴于D，如图：
1
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y= x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
联立解析式得：¿，
解得：¿，
∴C点坐标为(2,4)，
∴BD=4−3=1，
在Rt△DBC中，
∴BC=√BD2+CD2=√12+22=√5．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，勾股定理，直线的平
移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，这是一个“数值转换机”．当输入x的值时，通过x不同的取值会得到对
应的y的值，表格中给出了几组x的值以及对应的y的值．
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x … −4 … 2 … 6 …
y … −3 … 0 … 0 …
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当x<4时，求y与x之间的关系式．
(2)当y=−1时，求输入的x的值．
(3)若输出y的值为正数，则输入的x的取值范围是________．
1
【答案】(1)y= x−1；
2
(2)当y=−1时，输入的x的值为0或8；
(3)2<x<6
【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、利用一次函数的图象求不等式的解集．
(1)把x=−4、y=−3和x=2、y=0代入y=kx+b(k≠0)，用待定系数法求出k、b，即可得到一次函数的
解析式；
1 1
(2)把y=−1分别代入y= x−1和y=− x+3，求出x的值即可；
2 2
1 1
(3)在平面直角坐标系中画出函数图象，根据y>0，可得关于x的不等式： x−1>0，− x+3>0，解不
2 2
等式求出x的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，当x=−4时，y=−3，即−4k+b=−3，
当x=2时，y=0，即2k+b=0，
可得：¿，
解得：¿，
1
∴当x<4时，y与x之间的关系式是y= x−1；
2
1
（2）解：若x<4，则 x−1=−1，
2
解得：x=0，0<4，符合题意；
1
若x≥4，则− x+3=−1，
2
解得：x=8，8≥4，符合题意；
综上所述，当y=−1时，输入的x的值为0或8；
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（3）解：2<x<6，
根据题意，y与x的函数图象大致如图所示，
当y为正数时，对应函数图像在x轴的上方，
1 1
可得： x−1>0，− x+3>0，
2 2
∴x的取值范围是2<x<6，
故答案为：2<x<6．
3．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的
坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求点D的坐标．
2
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全
等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，然后
△AOB
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根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°，再证
明△OCE≌△DGC(AAS)可得DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直
1
线EG的解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的
3
对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，再与直线y=−2x+4即可确定
点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，
∴OA=2,OB=4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，
1
则 |d−1|×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
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∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，
∴G(3,−1)，
设直线EG的解析式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
18
联立¿，解得：x= ，
7
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
则¿，解得：¿，
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
联立¿，解得：x=−6，
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=30°，BC=4，AB=6．
点E为边AB的中点，动点P从点B出发，沿折线B→C→D方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点
D时停止运动，连接PE，EC．设点P的运动时间为x秒，记S 为y．
△CPE
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(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
3
(3)一次函数y = x+b与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数b的取值范围．
1 2
【答案】(1)y=¿
(2)画图见解析，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
3
(3)−3<b≤−
2
【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性
质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，分0≤x≤2和2<x≤5讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可；
（2）根据（1）中函数表达式，取(0,3)，(3,0)，(5,6)作出图象，写出该函数的一条性质即可；
3
（3）分别求出y = x+b经过(0,3)，(2,0)，(5,6)时，b对应的值，然后画图分析即可求解．
1 2
【详解】（1）解：在平行四边形ABCD中， BC=4，AB=6．
∴AB∥CD，AB=CD=6，
∵点E为边AB的中点，
1
∴BE= AB=3，
2
当0≤x≤2时，
过E作EF⊥BC于F，
∵∠ABC=30°，
1 3
∴EF= BE= ，
2 2
1 1 3 3
∴y= CP⋅EF= (4−2x)⋅ =− x+3；
2 2 2 2
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当2<x≤5时，
过C作CG⊥AB于G，
1
∴CG= BC=2，
2
1 1
∴y= CP⋅CG= (2x−4)×2=2x−4
2 2
综上，y=¿
（2）解：画图如下：
由图象知：当0≤x≤2时，y随x的增大而减小；
3 3
（3）解：当y = x+b经过(2,0)时，0= ×2+b，解得b=−3，
1 2 2
3 3
当y = x+b经过(0,3)时，3= ×0+b，解得b=3，
1 2 2
3 3 3
当y = x+b经过(5,6)时，6= ×5+b，解得b=− ，
1 2 2 2
画图分析
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3 3
当−3<b≤− 时，一次函数y = x+b与y的图象有且仅有2个交点．
2 1 2
k
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y= ，
x
且点D的坐标为(1,6)．
CD
(1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和 的值．
AB
(2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结
CD
EF，当 =2时，求点C的坐标和tan∠OAB的值．
AB
1 CD
(3)若tan∠OAB= ，直接写出 的值．
3 AB
CD 1
【答案】(1)C(3,2)， =
AB 2
(2)C(−3,−2)，tan∠OAB=2
17 19
(3) 或
19 17
6
【分析】（1）由题意易得双曲线解析式是y= ，则有C(3,2)，然后可得直线AB的解析式为y=−2x+8，
x
进而问题可求解；
（2）设C(a,b)，则有ab=6，由题意易得S =S ，则有EF∥CD，然后可得四边形DFEA与四边
△EFC △EFD
k
形FBCE都是平行四边形，进而可得△DFB≌△AEC(ASA)，设CD=2k，则有AB=k，AC=BD= ，
2
则有△DFB∽△AOB，然后根据三角函数及相似三角形的性质可进行求解；
（3）根据题意可分两种情况进行分类讨论，然后结合相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解．
k
【详解】（1）解：∵D(1,6)在y= 上，
x
6
∴k=1×6=6，即双曲线解析式是y= ，
x
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当C点横坐标为3时，则纵坐标为2，
∴C(3,2)．
设直线AB的解析式为y=kx+b，且过点C(3,2)，D(1,6)，则有¿，
解得¿，
故直线AB的解析式为y=−2x+8，
∴B(0,8)，A(4,0)，
∴AB=4√5，
∵C(3,2)，D(1,6)，
∴CD=√(3−1) 2+(2−6) 2=2√5，
CD 1
∴ = ；
AB 2
（2）解：如图：
设C(a,b)，则有ab=6，
1 1 1 1
∵S = ×EC⋅OE= ×(−a)⋅(−b)=3，S = DF⋅OF= ×1×6=3，
△EFC 2 2 △EFD 2 2
∴S =S ；
△EFC △EFD
∵两三角形同底EF，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE,BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
¿，
∴△DFB≌△AEC(ASA)，
∴AC=BD，
CD
∵ =2，
AB
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k
设CD=2k，则有AB=k，AC=BD= ，
2
BD 1
∴ = ，
AB 2
∵∠DFB=∠AOB,∠DBF=∠ABO，
∴△DFB∽△AOB，
DF DB BF 1
∴ = = = ，
AO AB BO 2
∵DF=1，
∴OA=2，
∵OF=6，
2
∴OB= OF=4，
3
BO
∴tan∠OAB= =2．
OA
∵OA=2，OB=4，
∴A(−2,0),B(0,4)，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得¿，
解得¿，¿，
∴C(−3,−2)．
（3）解：如图1：过D分别作DE⊥OB于E，作DF⊥OA于F，
则DE=1,DF=6，
1
∵tan∠OAB= ，
3
∴设OB=m,OA=3m，
∵DE⊥OB，
∴△BDE∽△BAO，
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DE BE
∴ = ，
OA OB
1 m−6
∴ = ，
3m m
19
∴m= ，
3
( 19)
∴B 0, ，A(19,0)，
3
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有¿，
解得：¿，
1 19
∴直线方程AB的解析式为y=− x+ ，
3 3
6 1 19
再将直线方程代入双曲线方程有 =− x+ ，
x 3 3
解得x=1或18，
1
当x=18时，则有y= ，
3
∵△AOB∽△CPD，
CD CP
∴ = ，
AB AO
∵CP=18−1=17,AO=19，
CD 17
∴ = ；
AB 19
如图2，
直线与双曲线过D(1,6)，代入双曲线解析式可得k=6，设直线AB的解析式为y=k x+b，
1
代入直线方程，k +b=6，
1
所以直线方程变为y=k x+6−k ，
1 1
k −6
令y=0，则有x= 1 ，令x=0，则有y=6−k ，
k 1
1
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6−k
∴OA= 1,OB=6−k ，
k 1
1
OB 1
∵tan∠OAB= = ，
OA 3
1
∴k = ，
1 3
1 17
∴直线AB的解析式为y= x+ ，
3 3
( 17)
∴A(−17,0),B 0, ，
3
6 1 17
再将直线方程代入双曲线方程有 = x+ ，
x 3 3
解得：x =1,x =−18，
1 2
1 ( 1)
∴当x=−18，则y=− ，即C −18,− ，
3 3
过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线，
∴△AOB∽△CMD，
CD CM
∴ = ，
AB AO
∵CM=1−(−18)=19,OA=17，
CD 19
∴ = ．
AB 17
CD 17 19
综上所述： 的值为 或 ．
AB 19 17
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握一
次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
6．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点O(0,0),A(−9,0),B(4,2)，抛物线l:y=−(x−h) 2+2（h为常
数）与y轴的交点为C．
(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点(x ,y ),(x ,y )，其中x >x ≥0，比较y 与y
c c 1 1 2 2 1 2 1 2
的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7时，求h的值．
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【答案】(1)y=−(x−4) 2+2，此时抛物线l的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)
(2)y 的最大值为2；此时y <y
c 1 2
(3)−2+√2或−7−√2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由此即可得其对称轴和顶点坐标；
（2）先将x=0代入抛物线的解析式可得y =−h2+2，从而可得当h=0时，y 取得最大值2，再根据二次
c c
函数的增减性即可得；
（3）先求出抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)或(−7,0)，再分两种情况，将(−2,0)和(−7,0)分别代
入抛物线的解析式求出h的值，然后将h的值代入抛物线的解析式，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
据此进行检验即可得．
【详解】（1）解：将点B(4,2)代入抛物线l:y=−(x−h) 2+2得：−(4−h) 2+2=2，
解得h=4，
所以抛物线l的解析式为y=−(x−4) 2+2，
所以这个抛物线的对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,2)．
（2）解：∵抛物线l:y=−(x−h) 2+2（h为常数）与y轴的交点为C，且点C的纵坐标为y ，
c
∴y =−(0−h) 2+2=−h2+2，
c
∵h2≥0，
∴−h2+2≤2，即y ≤2，
c
∴y 的最大值为2，此时h=0，
c
∴此时抛物线l的解析式为y=−x2+2，
由二次函数的性质可知，当x≥0时，y随x的增大而减小，
∵此时l上有两点(x ,y ),(x ,y )，其中x >x ≥0，
1 1 2 2 1 2
∴y <y ．
1 2
（3）解：∵A(−9,0)，
∴OA=9，
∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是2:7，
∴抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)或(−7,0)，
①当抛物线l与线段OA的交点坐标为(−2,0)时，
则−(−2−h) 2+2=0，解得h=−2+√2或h=−2−√2，
当h=−2+√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−2+√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−2+2√2,0)，
符合题意；
当h=−2−√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−2−√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−2−2√2,0)，
位于线段OA上，即此时线段OA被l分成三部分，不符合题意，舍去；
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②当抛物线l与线段OA的交点坐标为(−7,0)时，
则−(−7−h) 2+2=0，解得h=−7+√2或h=−7−√2，
当h=−7+√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−7+√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−7+2√2,0)，
位于线段OA上，即此时线段OA被l分成三部分，不符合题意，舍去；
当h=−7−√2时，抛物线l的对称轴为直线x=−7−√2，此时抛物线l与x轴的另一个交点为(−7−2√2,0)，
符合题意；
综上，h的值为−2+√2或−7−√2．
7．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(2,1)且与直线y=x+1的一个交点为
B(1,m)．
(1)求m的值；
(2)判断抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点在直线y=x+1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大
值．
【答案】(1)2
(2)抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上
5
(3)
4
【分析】（1）直接将B(1,m)代入直线y=x+1求解即可；
（2）由（1）可得B(1,2)，将A(2,1)、B(1,2)代入y=ax2+bx+1列方程组求得a、b的值，可求得抛物线
的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线y=x+1验证即可．
（3）设平移后的解析式为：y=−(x−h) 2+k，由题意可得k=h+1，即y=−(x−h) 2+h+1；令x=0，则
有y=−h2+h+1，然后配方运用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将B(1,m)代入直线y=x+1可得：m=1+1=2．
（2）解：由（1）可得：B(1,2)，
将A(2,1)、B(1,2)代入y=ax2+bx+1可得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+1=−(x−1) 2+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)；
当x=1时，y=1+1=2，则抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=x+1上．
（3）解：设平移后的解析式为：y=−(x−h) 2+k，
∵平移后的解析式的顶点在直线y=x+1上，
∴k=h+1，
∴y=−(x−h) 2+h+1，
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令x=0，则有y=−h2+h+1=− ( h− 1) 2 + 5 ，
2 4
1 5
∴当h= 时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
2 4
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，
二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
8．（24-25九年级上·北京房山·期末）记二次函数y=a(x−b) 2+c和y=−a(x−m) 2+n(a≠0)的图像分别
为抛物线G和G ．给出如下定义：若抛物线G 的顶点Q(m,n)在抛物线G上，则称G 是G的伴随抛物线．
1 1 1
(1)若抛物线Q :y=−2(x−s) 2+2和抛物线Q :y=−2(x−3) 2+t都是抛物线y=2x2的伴随抛物线，则s= ，
1 2
t= ；
(2)设函数y=x2−2kx+2k+3的图像为抛物线G ．若函数y=−x2+px+q的图像为抛物线G ，且G 始终
2 3 2
是G 的伴随抛物线，
3
①求p，q的值；
②若抛物线G 与x轴有两个不同的交点(x ,0)，(x ,0) (x <x )，请直接写出x 的取值范围．
2 1 2 1 2 1
【答案】(1)±1;18
(2)①p=2,q=3；②x <−1或1<x <3
1 1
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题
关键．
（1）根据题意确定点(s,2),(3,t)在y=2x2的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：(k,−k2+2k+3)，然后代入解析式得出2k+3=pk+q，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标(k,−k2+2k+3)在y=−x2+2x+3图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】（1）解：二次函数y=−2(x−s) 2+2和y=−2(x−3) 2+t都是抛物线y=2x2的伴随抛物线，
∴点(s,2),(3,t)在y=2x2的伴随抛物线上，
代入得：2=2s2,t=2×32，
解得：s=±1,t=18，
故答案为：±1;18；
（2）解：①y=x2−2kx+2k+3=x2−2kx+k2−k2+2k+3=(x−k) 2−k2+2k+3，
∴顶点坐标为：(k,−k2+2k+3)，
∵函数y=−x2+px+q的图像为抛物线G ，且G 始终是G 的伴随抛物线，
3 2 3
∴−k2+2k+3=−k2+pk+q，
整理得：2k+3=pk+q，
∴p=2,q=3．
②∵G 与x轴有两个不同的交点(x ,0),(x ,0)，
2 1 2
由①得：函数y=−x2+2x+3的图像为抛物线G ，且G 始终是G 的伴随抛物线，
3 2 3
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∴顶点坐标(k,−k2+2k+3)在y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4图像上滑动，顶点为(1,4)，
当−x2+2x+3=0时，
解得：x =−1,x =3，
1 2
抛物线与x轴交(−1,0),(3,0)两个点，
∵G 顶点坐标为：(k,−k2+2k+3)，
2
故当−1<k<3时，G 的顶点在x轴上方，则与x轴没有交点，
2
当k<−1时，抛物线G 与x轴有两个交点，x <−1，
2 1
当k>3时，∵G 的顶点(1,4)也在G 上，
3 2
∴1<x <3．
1
综上所述，x <−1或1<x <3．
1 1
9．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二次函数的解析式为y=x2−2x+c．
(1)若点(t, c)在该二次函数的图象上，求t的值；
(2)若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式；
(3)当−1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥−4．
【答案】(1)t=0或2
(2)y=x2−2x+1
(3)证明见解析
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与
性质是解题的关键．
（1）(t, c)代入y=x2−2x+c，求解一元二次方程即可；
（2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在x轴上，求解即可；
（3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
【详解】（1）解：∵点(t, c)在该二次函数的图象上，
∴将(t, c)代入y=x2−2x+c，
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得：c=t2−2t+c，
解得：t=0或2；
（2）解：∵y=x2−2x+c=(x−1) 2+c−1，
∴二次函数的顶点坐标为(1,c−1)，
∵该二次函数图象的顶点在x轴上，
∴c−1=0，
解得：c=1，
∴该二次函数的解析式为y=x2−2x+1；
（3）解：∵y=x2−2x+c=(x−1) 2+c−1，
其中1>0，对称轴为直线x=1，
∴在−1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在1<x≤2时，y随x的增大而增大；
∴当x=1时函数取得最小值n=c−1；
当x=−1时函数取得最大值m=1+2+c=c+3；
∴mn=(c−1)(c+3)=c2+2c−3=(c+1) 2−4≥−4，
即mn≥−4．
10．（2025·湖北·一模）如图抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)和B(4,0)两点，与y轴交于点C，
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P
作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l．
①请直接写出l关于t的函数关系式；
②求l的最值；
3
(3)将抛物线y=ax2+bx−2向上平移 个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，若新抛物线的顶点
2
G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围．
1 3
【答案】(1)y= x2− x−2
2 2
169
(2)①l=¿；②周长l的最大值为
12
3 27
(3)
<m<
4 16
【分析】（1）将点A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx−2即可求解；
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1 3
（2）①对于抛物线y= x2− x−2，令x=0，得到C(0,−2)，采用待定系数法求得直线BC的解析式为
2 2
y= 1 x−2，进而得到P ( t, 1 t2− 3 t−2 ) ，M ( t2−3t, 1 t2− 3 t−2 ) ，从而表示出PQ=− 1 t2+ 3 t+2，
2 2 2 2 2 2 2
PM=|4t−t2|，矩形的周长为l=2(PQ+PM)=2 ( − 1 t2+ 3 t+2+|4t−t2|) ，分两种情况：点P在点M
2 2
的左侧，即−1<t≤0；点P在点M的右侧，即0<t<4，进行化简即可．
②根据二次函数的性质求解即可；
(3 25) (3 13)
（3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为 ,− ，从而由平移得到G −m,− ，根据点
2 8 2 8
G在△ABC内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−2过点A(−1,0)，B(4,0)，
∴¿，解得¿
1 3
∴抛物线的解析式为y= x2− x−2．
2 2
1 3
（2）解：①对于抛物线y= x2− x−2，令x=0，则y=−2，
2 2
∴C(0,−2)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∵直线BC过点B(4,0)，C(0,−2)，
∴¿，解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y= x−2，
2
∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t，
∴P ( t, 1 t2− 3 t−2 ) ，
2 2
∵PM∥x轴，
1 3
∴点M的纵坐标为 t2− t−2，
2 2
1 3 1 1 3 1
把y= t2− t−2代入函数y= x−2，得 t2− t−2= x−2，
2 2 2 2 2 2
解得x=t2−3t，
∴M ( t2−3t, 1 t2− 3 t−2 ) ，
2 2
|1 3 | 1 3
∴PQ= t2− t−2 =− t2+ t+2，PM=|t−(t2−3t)|=|4t−t2|
2 2 2 2
∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为l=2(PQ+PM)=2 ( − 1 t2+ 3 t+2+|4t−t2|) ，
2 2
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∴若点P在点M的左侧，即当−1<t≤0时，
l=2 ( − 1 t2+ 3 t+2+|4t−t2|) =2 ( − 1 t2+ 3 t+2+t2−4t ) =t2−5t+4，
2 2 2 2
若点P在点M的右侧，即当0<t<4时，
l=2 ( − 1 t2+ 3 t+2+4t−t2) =2 ( − 1 t2+ 3 t+2+4t−t2) =−3t2+11t+4
2 2 2 2
综上所述，l关于t的函数关系式为l=¿．
②当−1<t≤0时，l=t2−5t+4= ( t− 5) 2 − 9 ，
2 4
5
∴当t< 时，l随着t的增大而减小，
2
当t=−1时，l=10，当t=0时，l=4，
∴4≤l<10；
当0<t<4时，l=−3t2+11t+4=−3 ( t− 11) 2 + 169 ，
6 12
11 169
∴当t= 时，l有最大值，为l= ，
6 12
当t=0时，l=4，当t=4时，l=0，
169
∴0<l≤ ；
12
169
综上所述，周长l的最大值为 ．
12
（3）解：∵抛物线y=
1
x2−
3
x−2=
1(
x−
3) 2
−
25
，顶点坐标为
(3
,−
25)
，
2 2 2 2 8 2 8
3
∴将该抛物线向上平移 个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，新抛物线的顶点G为
2
(3 13)
−m,− ，
2 8
由点A(−1,0)，C(0,−2)可得直线AC的解析式为y=−2x−2，
13 13
对于直线AC:y=−2x−2，令y=− ，则− =−2x−2，
8 8
3
解得x=− ．
16
1 13 13 1
对于直线BC:y= x−2，令y=− ，则− = x−2，
2 8 8 2
3
解得x= ．
4
∵点G在△ABC内（不含边界），
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3 3 3
∴− < −m< ，
16 2 4
3 27
∴ <m< ．
4 16
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合
运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
91