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大题 02 一次函数与反比例函数、二次函数综合
一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、
二次函数的图象和性质是考査的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二
次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况.
题型一： 比较大小（取值问题）
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点
(−1,0)，(2,0)．
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（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当−2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且
a<3<b，求m的取值范围．
25
【答案】（1）y=x2−x−2；（2） ；（3）m<1．
4
【分析】（1）利用待定系数法将点(−1,0)，(2,0)代入解析式中解方程组即可；
1 1
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴x= ，从而知在−2≤x≤1中，当x=-2时，y有最大值，当x=
2 2
时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出Δ>0，根据根与系数的关系可得
出a，b的值，然后根据a<3<b，整理得出m的取值范围．
【详解】解：（1）∵y=x2+px+q的图象过点(−1,0)，(2,0)，
∴¿
解得¿
∴y=x2−x−2
1
（2）由（1）得，二次函数对称轴为x=
2
∴当−2≤x≤1时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
(1) 2 1 9
y的最小值为 − −2=−
2 2 4
( 9) 25
∴y的最大值与最小值的差为4− − = ；
4 4
（3）由题意及（1）得
¿
整理得x2−(3−m)x−(4−m)=0
即(x+1)[x−(4−m)]=0
∵一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，
∴Δ=(3−m) 2+4(4−m)>0
化简得m2−10m+25>0
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即(m−5) 2>0
解得m≠5
∴a，b为方程(x+1)[x−(4−m)]=0的两个解
又∵a<3<b
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为m<1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．
解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
k
2．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y= (x>0)的
x
图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，且点D为AB的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
k
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之
x
间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
4
【答案】(1)反比例函数解析式为y= ，E(2，2)
x
(2)−3≤m≤0
【分析】（1）根据矩形的性质得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D(4,1)是AB的中点得到B(4，2)，从
而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y=x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
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∴BC∥OA，AB⊥OA，
∵D(4,1)是AB的中点，
∴B(4，2)，
∴点E的纵坐标为2，
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，
x
k
∴1= ，
4
∴k=4，
4
∴反比例函数解析式为y= ，
x
4 4
在y= 中，当y= =2时，x=2，
x x
∴E(2，2)；
（2）解：当直线 y=x+m经过点E(2，2)时，则2+m=2，解得m=0；
当直线 y=x+m经过点D(4，1)时，则4+m=1，解得m=−3；
k
∵一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间
x
的部分时（点M可与点D,E重合），
∴−3≤m≤0．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所
学知识是解题的关键．
比较一次函数与反比例函数值大小一般解题步骤:
①求交点:联立方程求出方程组的解;
②分区间:将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间;
③比大小:图像谁在上方谁就大;
④写出对应区间自变量的取值范围。
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知：一次函数y =x的图象与抛物线y =x2+bx（b为常数）的一个交点
1 2
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为(3,p)．
(1)求p，b的值．
(2)直接写出当y >y 时，x的取值范围．
1 2
(3)若将抛物线y =x2+bx（b为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线
2
的顶点落在直线y =x上，求m关于n的函数表达式．
1
【答案】(1)p=3，b=−2
(2)当y >y 时，0<x<3
1 2
(3)m=n−2
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意，联立方程组求出两个图象交点坐标，数形结合由函数图象解不等式的方法求解即可得到
答案；
（3）根据函数图象的平移法则得到平移后的抛物线解析式，再由新抛物线顶点落在直线y =x上，代值变
1
形即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数y =x的图象与抛物线y =x2+bx（b为常数）的一个交点为(3,p)，
1 2
∴¿，解得¿，
∴ p=3，b=−2；
（2）解：联立方程组¿，解得¿或¿，
作出一次函数y =x的图象与抛物线y =x2+bx（b为常数）在同一坐标系中，如图所示：
1 2
∴ y >y 0<x<3
1 2
当 时， ；
（3）解：由（1）知抛物线为y =x2−2x=(x−1) 2−1，
2
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若将抛物线y =x2−2x的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，得到新抛物线为
2
y =(x−1−m) 2−1+n，其顶点坐标为(m+1,n−1)，
2
∵平移后的抛物线y =(x−1−m) 2−1+n的顶点(m+1,n−1)落在直线y =x上，
2 1
∴m=n−2．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及函数图象与性质、待定系数求系数、解二元一次方程组、
求函数图象交点坐标、作函数图象、利用函数图象解不等式、函数图象平移等知识，读懂题意，掌握相关
函数图象与性质解函数综合题目是解决问题的关键．
−2k
2．（2023·浙江杭州·一模）已知：一次函数y =x−2−k与反比例函数y = (k≠0)．
1 2 x
(1)若一次函数y 的图象经过点(−1,−4)，
1
①求函数y 、y 的表达式，并求出两个函数图象的交点坐标；
1 2
②当y <y 时，写出x的取值范围．
1 2
(2)试证明：当k取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点．
4
【答案】(1)①一次函数解析式为：y =x−3；反比例函数解析式为：y =− ；两函数的交点坐标为
1 2 x
(1,−2)，(2,−1)；②x<3或1<x<2
(2)见解析
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合运用：
（1）利用待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）联立两函数解析式，可得x2−(2+k)x+2k=0，再利用根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解：①∵一次函数y =x−2−k的图象经过点(−1,−4)，
1
∴−1−2−k=−4，
∴k=1，
2
∴一次函数解析式为：y =x−3；反比例函数解析式为：y =− ；
1 2 x
联立方程组¿，解得¿，或¿，
∴两函数的交点坐标为(1,−2)，(2,−1)．
②画出两个函数图象如图所示：
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当y <y 时，写出x的取值范围为x<3或1<x<2；
1 2
−2k
（2）解：一次函数y =x−2−k与反比例函数y = (k≠0)联立消去y得：
1 2 x
−2k
=x−2−k
x
整理得：x2−(2+k)x+2k=0，
∵Δ=(2+k) 2−4×2k=4+4k+k2−8k=k2−4k+4=(k−2) 2≥0，
∴当k取任何不为0的值时，两个函数的图象总有交点．
题型二： 求三角形的面积
k
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）一次函数y=−x+m与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，点A的
x
坐标为(1，2)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△OAB的面积；
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k
(3)过动点T(t，0)作x轴的垂线l，l与一次函数y=−x+m和反比例函数y= 的图象分别交于M，N两点，
x
当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
2
【答案】(1)一次函数的解析式为y=−x+3，反比例函数的解析式为y=
x
3
(2)
2
(3)t<0或1<t<2
【分析】（1）把A(1，2)分别代入一次函数和反比例函数求出m、k的值即可得到答案；
（2）联立¿求出点B的坐标，令直线AB与x交于点C，由直线AB求出点C的坐标，最后由
1 1
S =S −S = ⋅OC⋅y − ⋅OC⋅y ，进行计算即可得到答案；
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B
（3）直接由函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把A(1，2)代入一次函数y=−x+m，
得−1+m=2，
解得：m=3，
∴一次函数的解析式为：y=−x+3，
k
把A(1，2)代入反比例函数y= ，
x
k
得 =2，
1
解得：k=2，
2
∴反比例函数的解析式为：y= ；
x
（2）解：联立¿，
解得：¿或¿，
∴B(2，1)，
令直线AB与x交于点C，如图，
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，
当y=0时，−x+3=0，
解得：x=3，
∴C(3，0)，
1 1 1 1 3
∴S =S −S = ⋅OC⋅y − ⋅OC⋅y = ×3×2− ×3×1=
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 2 2
（3）解：由图象可得：
，
当M在N的上方时，t的取值范围为：t<0或1<x<2．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，
熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．
2．（2022·河南安阳·一模）二次函数y=x2−2x+5和一次函数y=2x+k（k是常数）相交于点A．
(1)证明：交点A的横坐标x 必是方程x2−4x+(5−k)=0的根．
0
(2)二次函数y=x2−2x+5和一次函数y=2x+k有两个不同的交点B和C，其中B点的坐标为(−2,13)．
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求点C的坐标．
(3)在（2）的条件下求点B、C与y=x2−2x+5顶点所构成三角形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)（6，29）
(3)60
【分析】（1）联立一次函数与二次函数解析式即可得到答案；
（2）先求出一次函数的解析式，然后联立一次函数和二次函数即可求解；
（3）先求出抛物线y=x2−2x+5的顶点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，从而求出点E的坐标，
得到BE的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：联立¿得x2−4x+(5−k)=0，
∵二次函数y=x2−2x+5和一次函数y=2x+k（k是常数）相交于点A，
∴点A既在二次函数图象上，也在一次函数图象上，
∴交点A的横坐标x 必是方程x2−4x+(5−k)=0的根；
0
（2）解：∵二次函数与一次函数的一个交点为（-2，13），
∴−4+k=13，
∴k=17，
∴一次函数解析式为y=2x+17，
联立¿得x2−4x−12=0，
解得x=6或x=−2（舍去），
∴y=12+17=29，
∴点C的坐标为（6，29）；
（3）解：设抛物线y=x2−2x+5的顶点为D，
∵抛物线y=x2−2x+5的解析式为y=x2−2x+5=(x−1) 2+4，
∴抛物线y=x2−2x+5的顶点D的坐标为（1，4）
设直线CD的解析式为y=mx+n，直线CD与直线y=13交于点E
∴¿，
∴¿，
∴直线CD的解析式为y=5x−1，
(14 )
∴点E的坐标为 ,13 ，
5
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24
∴BE= ，
5
∴S =S +S
△BCD △BCE △BDE
1 1
= DE⋅(y −y )+ DE⋅(y −y )
2 C E 2 E D
1
= DE⋅(y −y )
2 C D
1 24
= × ×(29−4)
2 5
=60
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形面积，熟知待定系数法求函数解析式和求一次
函数与二次函数的交点坐标是解题的关键．
1）当三角形的一边在x轴或y轴上时, 可直接利用面积公式求面积.
【方法技巧】在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差
的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样
所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).
2）利用割补法求面积，即将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.
3）利用铅垂高计算三角形面积
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情况一：铅垂高在三角形内部 情况二：铅垂高在三角形外部
A
A
y y
C
a D
2
C
E a
3
B a
1
B a
x 4 x
O O
S△ABC=S△AEC+S△AEB
S△ABC=S△ADB-S△ACD
=1/2(AD•a4-AD•a3)
=1/2(AE•a2+AE•a1)
=1/2AD•(a4-a3)
=1/2AE•(a1+a2）
=1/2|y
A
-yE|•|xC-xB|
=1/2|y
A
-yD|•|xC-xB|
其中点B，点C为定点，点A为动点
结论：1）一般过动点作y轴的平行线来确定铅垂高.
2）无论铅垂高在三角形内部还是外部，,S= •水平宽•铅垂高.
1
3）若P为二次函数图象上的动点，当 2 时S△ABC最大.
𝑥1+𝑥2
𝑥 = 2
1．（2022·浙江宁波·一模）如图所示，已知二次函数y =−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A
1
（3,0），另一个交点为B，与y轴的交点为点C．
(1)求m的值；
(2)若经过点B的一次函数y =kx+b平分△ABC的面积．求k、b的值．
2
【答案】(1)m=3
(2)¿
【分析】（1）将点A（3，0）代入y =−x2+2x+m，即可求出m；
1
（2）由（1）的m=3得−x2+2x+3=0，求出点B、C的坐标，再由一次函数y =kx+b平分△ABC的面积，
2
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可知一次函数y =kx+b经过AC的中点E，求出点E的坐标，即可求出答案．
2
【详解】（1）解：∵ 二次函数y =−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
1
∴ 0=−9+6+m，
∴ m=3；
（2）
如上图，∵一次函数y =kx+b平分△ABC的面积，
2
∴一次函数y =kx+b平分线段AC，
2
∴ 一次函数y =kx+b经过AC的中点E，
2
∵m=3，
∴−x2+2x+3=0时，解得x =−1，x =3，
1 2
∴ 点B的坐标为B（-1，0），
当x=0时，y=3，
∴ 点C的坐标为C（0，3），
3 3
∴ 点E的坐标为E（ ， ），
2 2
∵ 一次函数y =kx+b经过点B，
2
∴ ¿
3
k=
5
解得：{
3
b=
5
【点睛】本题考查了二次函数的性质和一次函数解析式的求法，解题的关键是求出点E的坐标．
k
2．（2024·甘肃武威·二模）已知一次函数y =−x+7的图象与反比例函数y = 图象交于A、B两点，且
1 2 x
A点的横坐标−1，求：
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(1)反比例函数的解析式．
(2)△AOB的面积．
8
【答案】(1)y=−
x
63
(2)
2
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式解题关键是反比例函数
与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，注意数形结合思想．
（1）把x=−1代入y =−x+7可确定A点坐标为(−1,8)，然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式；
1
（2）解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后确定C点坐标，再利用△AOB的面积=S +S 进行
△AOC △BOC
计算即可．
【详解】（1）解：∵A点的横坐标−1且在一次函数y =−x+7的图象上，
1
∴A(−1,8)，
k
∵ A(−1,8)在反比例函数y = 图象上，
2 x
∴k=−8，
8
故反比例函数的解析式为：y=−
x
（2）过点A作AM⊥x轴，过点B作BN⊥x轴如图：
一次函数y =−x+7与x轴交点为C，
1
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令y =0，
1
解得x=7，
∴ C(7,0)，
联立¿，
解得：¿或¿，
∴B(8,−1)，
1 1
∴S =S +S = ×7×8+ ×7×1
△AOB △AOC △BOC 2 2
63
= ．
2
题型三： 动点与三角形面积问题
k
1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(−2,m)，
x
B(n,2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接BC，AD．
若△ACD的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
8
【答案】(1)y=− ；
x
(2)P(2,8)
【分析】（1）根据OC=2OD，可得三角形面积之比，计算出△AOC的面积，面积乘2即为|k|=8，解析
式可得；
（2）根据点的坐标求出直线AB的解析式为y=x+6，设符合条件的点P(m,m+6)，利用面积的倍数关系
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建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵OC=2OD，△ACD的面积是6，
∴S =4，
△AOC
∴|k|=8，
∵图象在第二象限，
∴k=−8，
8
∴反比例函数解析式为：y=− ；
x
8
（2）∵点A(−2,m)，B(n,2)，在y=− 的图象上，
x
∴m=4，n=−4，
∴A(−2,4)，B(−4,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
¿，
解得：¿，
∴直线AB的解析式为y=x+6，
∵AC∥y轴交x轴于点C，
∴C(−2,0)，
1
∴S = ×4×2=4，
△ABC 2
设直线AB上在第一象限的点P(m,m+6)，
1
∴S = ×4×(m+2)=2S =8，
△PAC 2 △ABC
∴2m+4=8，
∴m=2，
∴P(2,8)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形．点A，C
k
在坐标轴上．反比例函数y= (x>0)的图象经过点B．
x
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S =3．求直线BD的函数表达式．
△OBD
4
【答案】(1)y=
x
1
(2)y=− x+3
2
k
【分析】（1）根据四边形OABC是边长为2的正方形求出点B的坐标，代入y= 求出k；
x
( 4)
（2）设D a, ，过点D作DH⊥x轴，根据S =S +S −S 面积列方程，求出点D坐标，
a △OBD △OBH △BHD △ODH
再由待定系数法求出直线BD的函数表达式．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴ S =xy=4，
正方形OABC
∴ k=4；
4
即反比例函数的表达式为y= ．
x
( 4)
（2）解：设D a, ，过点D作DH⊥x轴，
a
( 4)
∵点B(2,2)，D a, ，H(a,0)，
a
1
∴S = OH⋅AB=a
△OBH 2
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1 1 4 4(a−2)
S = DH⋅AH= ⋅ ⋅(a−2)= ，
△BHD 2 2 a 2a
1
S = OH⋅DH=2
△ODH 2
∵ S =S +S −S =3
△OBD △OBH △BHD △ODH
4(a−2)
∴ a+ −2=3，
2a
解得：a =4，a =−1，经检验a=4，是符合题意的根，
1 2
即点D(4,1)，
设直线BD的函数解析式为y=kx+b，得∶
¿，解得：¿，
1
即：直线BD的函数解析式为y=− x+3．
2
k
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数y= 图象上任意
x
一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于|k|，灵活运用几何意义是解题关键．
动点P的一般解题思路:
①根据情况设P的坐标，如在x轴上则设(m,0)，若在直线y-kx+b上，则设(m，km+b);
②根据题意列式，注意距离要加绝对值;
③分类讨论，写出正确结果。
k
1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，正比例函数y=x与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点
x
k
A(2√2,m)，点P是反比例函数y= (x>0)图象上的一动点，过点P作PH⊥x轴于H，线段PH与直线
x
y=x相交于点G．
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(1)求k与m的值；
(2)若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
【答案】(1)k=8，m=2√2
(2)P(2,4)
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点A(2√2,m)代入正比例函数y=x可得m值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例
函数即可得k的值；
8 ( 8)
（2）根据（1）可得反比例函数的解析式为y= ，再设点P的坐标为P a, ，则点G的坐标为G(a,a)，
x a
8
从而可得OH=a,PG= −a，然后根据△OPG的面积是2可得a的值，由此即可得．
a
【详解】（1）解：将点A(2√2,m)代入正比例函数y=x得：m=2√2，
则A(2√2,2√2)，
k
将点A(2√2,2√2)代入反比例函数y= (x>0)得：k=2√2×2√2=8．
x
8
（2）解：由（1）可知，反比例函数的解析式为y= ，
x
( 8)
设点P的坐标为P a, (a>0)，则点G的坐标为G(a,a)，
a
8
∴OH=a,PG= −a，
a
∵△OPG的面积是2，
∴ 1 a (8 −a ) =2，即4− 1 a2=2，
2 a 2
解得a=2或a=−2<0（不符合题意，舍去），
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经检验，a=2是所列方程的解，
8 8
∴ = =4，
a 2
即此时点P的坐标为P(2,4)．
k 6
2．（2023·河南濮阳·模拟预测）如图，反比例函数y= (x>0)和y= (x>0)的图象如图所示，点C(a,0)
x x
k 6
是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分別与y= (x>0)和y= (x>0)的图象交于点A，B．
x x
9
(1)当a=2时，线段AB= ，求A，B两点的坐标及k值．
2
(2)小明同学提出了一个猜想：“当k值一定时，△OAB的面积随a值的增大而减小．”你认为他的猜想对
吗？请说明理由．
3
【答案】(1)点A为(2,− )，点B 为(2,3)，k的值为−3．
2
(2)小明猜想不正确，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例
函数k的几何意义是解题的关键．
6
（1）由过点C作x轴的垂线叫解析式为A、B两点可知：当点C为(a,0)，则点B坐标为(a, )，点A坐标
a
k 9
为(a,− )，再将a=2，AB= 代入计算即可求解．
a 2
1
（2）根据题意列出AB的关系式，再根据公式S = AB⋅OC代入化简即可得出结论．
△OAB 2
6 k
【详解】（1）由题意可知：点C为(a,0)，则点B坐标为(a, )，点A坐标为(a,− )．
a a
k
当a=2时，则点A为(2,− )，点B 为(2,3)，
2
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∴BC=3．
9
∵AB= ．
2
3
∴AC=AB−BC= ．
2
k 3
∴− = ．
2 2
∴k=−3．
3
∴点A为(2,− )，点B 为(2,3)，k的值为−3．
2
6 k 6−k
（2）由题意可知：AB= − = ，OC=a．
a a a
1 1 6−k 1 1
∴S = AB⋅OC= ⋅a⋅ = (6−k)=− k+3．
△OAB 2 2 a 2 2
∵k值一定，
∴△OAB的面积一定，
∴小明猜想不正确．
题型四： 与线段关系问题
1．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数
k
y= (x>0)的图象经过点C，交AB于点D．已知AB=8，BC=5．
x
(1)若OA=9，求k的值；
(2)连接OC，若BD=BC，求k的值．
【答案】(1)k=24
(2)k=36
【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关
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键．
（1）利用等腰三角形的性质得出AE、BE，的长，再利用勾股定理得出的长，得出C点坐标即可得到答
案．
（2）首先表示出C、D两点的坐标，进而利用反比例函数图像上的性质求出C点坐标，然后利用勾股定
理可求得的长．
【详解】（1）解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC=BC AB=8
， ，
∴AE=BE=4．
在Rt△BCE中，BC=5，BE=4，
∴CE=√BC2−BE2=√52−42=3，
∵OA=9，
∴C点的坐标为：(6,4)，
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点C，
x
∴k=6×4=24，
（2）（2）设A点的坐标为(m,0)，
∵BD=BC=5，AB=8，
∴AD=3，
∵D，C两点的坐标分别为：(m,3)，(m−3,4)．
k
∵点C，D都在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴3m=4(m−3)，
∴m=12，
∴C点的坐标为：(9,4)，
∴k=9×4=36．
m
2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y= 的图像相交于
x
A(−1,4)，B(a,−1)两点．
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(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
m
(2)点P(n,0)在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y= 的图像于点Q，连接PQ．当
x
BQ=AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．
4
【答案】(1)y=− ，y=−x+3
x
21
(2)n=−
5
【分析】（1）根据反比例函数过点A(−1,4)，B(a,−1)两点，确定B(4,−1)，待定系数法计算即可．
（2）根据平移思想，设解析式求解即可．
m
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y= 的图像相交于A(−1,4)，B(a,−1)两
x
点，
∴m=−1×4=−4，
4
故反比例函数的解析式为y=− ，
x
4
∴a=− =4，
−1
故B(4,−1)，
∴¿，
解得¿，
∴直线的解析式为y=−x+3．
（2）∵A(−1,4)，B(4,−1)，P(n,0)，BQ∥AP，BQ=AP，
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∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移−1−n个单位，向下平移4个单位，
∴点B(4,−1)到点Q的平移规律也是向左平移−1−n个单位，向下平移4个单位，
故Q(5+n,−5)，
4
∵Q(5+n,−5)在y=− 上，
x
4 4
∴5+n=− = ，
−5 5
21
解得：n=− ，
5
( 21)
∴点P的坐标为 0,− ，
5
设AB与x轴交于点C，连接PB，如图所示：
把y=0代入y=−x+3，解得：x=3，
∴C(3,0)，
( 21) 36
∴PC=3− − = ，
5 5
1 36
∴S = × ×[4−(−1)]=18，
△APB 2 5
∵四边形APQB为平行四边形，
∴S =2S =36，
四边形APQB △APB
21
∴当n=− 时，符合题意．
5
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
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等量关系一般解题思路:
利用反比例函数和一次函数图象上的点的坐标特征得到两个点的坐标并用含同一字母的代数式表示，再利
用线段等量关系得到关于该字母的方程，然后解方程即可得到这两个点坐标:
【补充】:①根据全等，求线段等量关系:
②根据特殊角(30°，45°，60°)，求线段等量关系:
③根据相似，求线段等量关系;
④)根据三角函数，求线段等量关系;
3 k
1．（2023·浙江金华·一模）如图，点A是反比例函数y= (x<0)上一点，点B是反比例函数y= (x>0)
x x
上一点，点O为坐标原点，且A、O、B三点共线．
(1)若AO=BO，求k的值．
(2)若AO=2BO，求k的值．
【答案】(1)k=3
3
(2)
4
【分析】
本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，关于原点对称的点的坐标特点：
( 3) ( 3)
（1）根据题意可得点A和点B关于原点对称，设A m， (m<0)，则B −m，− (m<0)，再利用
m m
待定系数法求解即可；
OC AC OA
（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明△OAC∽△OBD，得到 = = =2，
OD BD OB
( 3) ( 1 3 )
设A m， (m<0)，则B − m，− (m<0)，再利用待定系数法求解即可．
m 2 2m
【详解】（1）解：∵A、O、B三点共线，且AO=BO，
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∴点A和点B关于原点对称，
( 3) ( 3)
设A m， (m<0)，则B −m，− (m<0)，
m m
( 3) k ( 3)
把B −m，− (m<0)代入y= (x>0)中得k=−m⋅ − =3；
m x m
（2）解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴△OAC∽△OBD，
OC AC OA
∴ = = =2，
OD BD OB
( 3) 3
设A m， (m<0)，则OC=−m，AC=− ，
m m
1 3
∴OD=− m，BD=− ，
2 2m
( 1 3 )
∴B − m，− (m<0)，
2 2m
( 1 3 ) k 1 ( 3 ) 3
把B − m，− (m<0)代入y= (x>0)中得k=− m⋅ − = ．
2 2m x 2 2m 4
题型五： 最值问题
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点
k
C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
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(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
6 1
【答案】(1)y= ，y=− x+4
x 2
(2)在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小,最小值是2√5+4√2．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBD(AAS)，则
CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3−m得到点A的坐标是(3−m,3)，由A、B(6，m)恰好落在反比例
k
函数y= 第一象限的图象上得到3(3−m)=6m，解得m=1，得到点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
x
进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到
AP=A'P，A'(2,−3)，则AP+PB=A'B，由AB=2√5知AB是定值，此时△ABP的周长为
AP+PB+AB=AB+A'B最小，利用待定系数法求出直线A'B的解析式，求出点P的坐标，再求出周长
最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
则∠AEC=∠CDB=90°，
∵点C(3，0)，B(6，m)，
∴OC=3,OD=6, BD=m，
∴CD=OD−OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
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∴∠ACB=90°,AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CD=AE=3,BD=EC=m，
∴OE=OC−EC=3−m，
∴点A的坐标是(3−m,3)，
k
∵A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
∴3(3−m)=6m，
解得m=1，
∴点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，
∴k=6m=6，
6
∴反比例函数的解析式是y= ，
x
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，
¿，解得¿,
1
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=− x+4，
2
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，
∴点A与点A'关于x轴对称，
∴AP=A'P，A'(2,−3)，
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的长度，
∵AB=√(2−6) 2+(3−1) 2=2√5，即AB是定值，
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∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小，
设直线A'B的解析式是y=nx+t，
则¿，
解得¿，
∴直线A'B的解析式是y=x−5，
当y=0时，0=x−5，解得x=5，
即点P的坐标是(5,0)，
此时AP+PB+AB=AB+A'B=2√5+√(2−6) 2+(−3−1) 2=2√5+4√2，
综上可知，在x轴上存在一点P(5,0)，使△ABP周长的值最小，最小值是2√5+4√2．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求
两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点
A(−3,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点P(x ,y )，其中y <0，若∠CAO+∠ABP=90°，求x 的值；
0 0 0 0
(3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+4；
3 3
21
(2)− ；
4
(3)√233．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
CO 4 3
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO= = ，则tan∠ABP= ，得到直线BP的表达式为：
AO 3 4
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3
y= (x−4)，进而求解；
4
（3）作∠EAG=∠BCD，证明△BCD∽△GAE且相似比为1:2，故当C、E、G共线时，
CE+2BD=CE+EG=CG为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−4)=a(x2−x−12)，
1
即−12a=4，则a=− ，
3
1 1
故抛物线的表达式为：y=− x2+ x+4①；
3 3
CO 4
（2）解：在Rt△AOC中，tan∠CAO= = ，
AO 3
∵∠CAO+∠ABP=90°，
3
则tan∠ABP= ，
4
3
故设直线BP的表达式为：y= (x−4)②，
4
1 1 3
联立①②得：− x2+ x+4= (x−4)，
3 3 4
21
解得：x=− =x （不合题意的值已舍去）；
4 0
（3）解：作∠EAG=∠BCD，
设AG=2BC=2×4√2=8√2，
∵AE=2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比为1:2，
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则EG=2BD，
故当C、E、G共线时，CE+2BD=CE+EG=CG为最小，
在△ABC中，设AC边上的高为h，
1 1
则S = ×AC⋅h= ×AB×CO，
△ABC 2 2
即5h=4×7，
28
解得：h= ，
5
28
则 h 5 √98 ，
sin∠ACD= = = =sin∠EAG
BC 4√2 10
则tan∠EAG=7，
过点G作GN⊥x轴于点N，
56
则NG=AG⋅sin∠EAG= ，
5
56
即点G的纵坐标为：− ，
5
7
同理可得，点G的横坐标为：− ，
5
( 7 56)
即点G − ，− ，
5 5
√ ( 7) 2 ( 56) 2
由点C、G的坐标得，CG= 0+ + 4+ =√233，
5 5
即CE+2BD的最小值为√233．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
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(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意
补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)(3,0)
(2)点P(1,2)，PA+PC的最小值为3√2
(5 7)
(3)M ,
2 4
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最
小，为BC的长，求出直线BC的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出
BC的长，即为PA+PC的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设M(m,−m2+2m+3)，得到N(m,0)，Q(m,−m+3)，将MQ+√2CQ的
最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点A(−1,0)关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x=1，
∴点B为(3,0)；
（2）当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
连接BC，
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∵B(3,0)，
∴BC=√32+32=3√2，
∵点A关于对称轴的对称点为点B，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，
设直线BC的解析式为：y=kx+n，
则：¿，解得：¿，
∴y=−x+3，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴P(1,2)；
∴点P(1,2)，PA+PC的最小值为3√2；
（3）过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，如图所示，
∵A(−1,0),B(3,0)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−3)，
∵C(0,3)，
∴3=−3a，
∴a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，
设M(m,−m2+2m+3)，则：N(m,0)，
由（2）知：直线BC：y=−x+3，
∴Q(m,−m+3)，
∴MQ=−m2+2m+3+m−3=−m2+3m，
∵C(0,3),B(3,0)，
∴OC=OB=3，BN=3−m，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
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∴∠NQB=∠OBC=45°，
∴BQ=√2BN=√2(3−m)，
∴CQ=BC−BQ=3√2−3√2+√2m=√2m，
∴MQ+√2CQ=−m2+3m+√2⋅√2m=−m2+5m=− ( m− 5) 2 + 25 ，
2 4
5 (5 7)
∴当m= 时，MQ+√2CQ有最大值，此时M , ．
2 2 4
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思
想进行求解，是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点P(x ,y )(0<x <5)是抛物线上的动点
0 0 0
①当x 取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
0
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在
点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=−4，c=−5
5 125
(2)①当x = 时，△PBC的面积由最大值，最大值为 ；
0 2 8
(7−√33 3−3√33)
②当点P的坐标为 , 或(4,−5)时，△PEF为等腰直角三角形
2 2
【分析】
（1）将将A(−1,0)、B(5,0)代入抛物线y=x2+bx+c即可求解；
（2）①由（1）可知：y=x2−4x−5，得C(0,−5)，可求得BC的解析式为y=x−5，过点P作PE⊥x
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轴，交BC于点E，交x轴于点Q，易得PE= y −y =−x 2+5x ，根据△PBC的面积=S +S ，可
E 0 0 0 △PEC △PEB
1 1 5( 5) 2 125
得△PBC的面积= PE⋅(x −x )+ PE⋅(x −x ) =− x − + ，即可求解；
2 0 C 2 B 0 2 0 2 8
−4
②由题意可知抛物线的对称轴为x =− =2，则x =4−x ，分两种情况：当点P在对称轴左侧时，
对 2×1 F 0
即0<x <2时，当点P在对称轴右侧时，即2<x <5时，分别进行讨论求解即可．
0 0
【详解】（1）解：将A(−1,0)、B(5,0)代入抛物线y=x2+bx+c中，
可得：¿，解得：¿，
即：b=−4，c=−5；
（2）①由（1）可知：y=x2−4x−5，
当x=0时，y=−5，即C(0,−5)，
设BC的解析式为：y=kx+b，
将B(5,0)，C(0,−5)代入y=kx+b中，
可得¿，解得：¿，
∴BC的解析式为：y=x−5，
过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，
∵P(x ,y )(0<x <5)，则y =x 2−4x −5，
0 0 0 0 0 0
∴点E的横坐标也为x ，则纵坐标为y =x −5，
0 E 0
∴PE= y −y =(x −5)−(x 2−4x −5)=−x 2+5x ，
E 0 0 0 0 0 0
△PBC的面积=S +S
△PEC △PEB
1 1
= PE⋅(x −x )+ PE⋅(x −x )
2 0 C 2 B 0
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1
= PE⋅(x −x )
2 B C
5
= (−x 2+5x )
2 0 0
5( 5) 2 125
=− x − + ，
2 0 2 8
5
∵− <0，
2
5 125
∴当x = 时，△PBC的面积有最大值，最大值为 ；
0 2 8
(7−√33 3−3√33)
②存在，当点P的坐标为 , 或(4,−5)时，△PEF为等腰直角三角形．
2 2
理由如下：由①可知PE=−x 2+5x ，
0 0
−4
由题意可知抛物线的对称轴为直线x =− =2，
对 2×1
∵PF∥x轴，
x +x
∴∠EPF=90°， 0 F =x =2，则x =4−x ，
2 对 F 0
当点P在对称轴左侧时，即0<x <2时，
0
PF=x −x =4−2x ，当PE=PF时，△PEF为等腰直角三角形，
F 0 0
即：−x 2+5x =4−2x ，整理得：x 2−7x +4=0，
0 0 0 0 0
7−√33 7+√33
解得：x = （x = >2，不符合题意，舍去）
0 2 0 2
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此时y =x 2−4x −5=
3−3√33
，即点P
(7−√33
,
3−3√33)
；
0 0 0 2 2 2
当点P在对称轴右侧时，即2<x <5时，
0
PF=x −x =2x −4，当PE=PF时，△PEF为等腰直角三角形，
0 F 0
即：−x 2+5x =2x −4，整理得：x 2−3x −4=0，
0 0 0 0 0
解得：x =4（x =−1<2，不符合题意，舍去）
0 0
此时：y =42−4×4−5=−5，即点P(4,−5)；
0
(7−√33 3−3√33)
综上所述，当点P的坐标为 , 或(4,−5)时，△PEF为等腰直角三角形．
2 2
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特
点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
一、面积最值问题
题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使S△PBC面积最大
方法简介：
1
方法一：S= •水平宽•铅垂高
2
方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，S△PBC面积最大，联立l与抛物线，△=0
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y
P
h
l
C
A O x
B
二、线段最值问题
将军饮马模型
将军饮马问题概述：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营巡视，应该怎样走才能使路程最短?
原理 问题 模型 最值 原理 问题 模型 最值
基 求线 变 线段垂直平
本 段差 分线上的点 在直线L上求一点P,
AB 式 0
模 的最 到线段两端 求PA-PB的最小值
六
型 小值 距离相等
在直线L上求一点M,求
AM+BM的最小值
变 变
求 式 AB' 式 AB
线 一 七
段 线段
和 两点 差的 三角形两边 在直线L上求一点P,
之间 之差小于第 求PA-PB的最大值
的 最大
线段 三边
最 值
小 变 最短 在直线AB和BC上分别 变
取一点M、N，求△
值 式 PMN周长的最小值 P'P'' 式 AB'
二 八
（一动两定）
线段MN在直线L可
变 在直线AB和BC上分别 变 移动，当MN移动到
取一点M、N，求四边 PQ+ A'B'+
式 式 什么位置时，求
形PQNM周长的最小 P'Q' MN
三 九 AM+MN+NB最小
值（两动两定）
平移 平行四边形 值
的性质+两
类最
点之间线段
小值
最短
求 变 在直线AB和BC上分别 变 A,B是河两侧的定 A'B+
线 式 取一点M、N，求 PN 式 点，怎样造桥，可 MN
四 PM+PN的最小值 十 以让总路程最短
段
和 垂线
的 段最
最 短
小 变 在直线AB和BC上分别
值 取一点M、N，求
式 P'N
PM+PN的最小值（一
五
定两动）
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
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k
1．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y= (x>0)经过B、C两点，△ABC为直
x
角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A(8，4)，AC=3．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
k
②点N是反比例函数y= (x>0)的图像上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形，求所
x
有满足条件的点N的坐标．
20 5
【答案】(1)y= ，(8， )
x 2
√685 (20 )
(2)① ；②N ，9 或N(−2+2√6，2+2√6)
2 9
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识．
20 5
（1）求出C(5，4)，用待定系数法可得反比例函数的表达式为y= ，令x=8得B的坐标为(8， )；
x 2
5
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，由C(5，4)，B(8， )，
2
√ 5 2 √685
可得C' (−5，4)，BC'= (8+5) 2+( −4) = ，即可得到答案；
2 2
20
②设M(0，m)，N(n， )，分两种情况：当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于
n
T，过M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，证明△CMK≌△NCT(AAS)，可得¿，即可解
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20
得N( ，9)；当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，同理可得¿，解得
9
N(2√6−2，2√6+2)．
【详解】（1）∵A(8，4)，AC=3，
∴C(5，4)，
k
将C(5，4)代入y= 得：
x
k
4= ，
5
解得k=20，
20
∴反比例函数的表达式为y= ，
x
20 5
在y= 中，令x=8得y= ，
x 2
5
∴B的坐标为(8， )；
2
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，如图：
∵C，C'关于y轴对称，
∴MB+MC=MB+MC'，
当B，M，C'共线时，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值为BC'的长度，
5
由（1）知C(5，4)，B(8， )，
2
∴C' (−5，4)，
√ 5 2 √685
∴BC'= (8+5) 2+( −4) = ，
2 2
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√685
∴MB+MC的最小值是 ；
2
20
②设M(0，m)，N(n， )，
n
当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，如图：
∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM=CN，∠MCK=90°−∠NCT=∠CNT，
∵∠K=90°=∠T，
∴△CMK≌△NCT(AAS)，
∴CK=NT，MK=CT，
∴ ¿，
20
解得n= ，
9
20
∴N( ，9)；
9
当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，如图：
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同理可得SN=RC，SM=NR，
∴ ¿，
解得n=2√6−2或n=−2√6−2（舍去），
∴N(2√6−2，2√6+2)；
20
综上所述，N的坐标为( ，9)或(2√6−2，2√6+2)．
9
1 1
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2− x−3 与x轴交于A，B
4 4
两点，点C为y轴正半轴上一点，且OC=OB，D是线段AC上的动点（不与点A，C重合）．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段AB上的动点，连接BD、CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．
【答案】(1)A(−3,0)，B(4,0)，C(0,4)
(2)¿
(3)√97
【分析】（1）根据题意¿得¿，¿，结合OC=OB写出A、B、C三点坐标即可；
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（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A(−3,0)，C(0,4)分别代入解析式，确定直线的解析式，设点
D ( m, 4 m+4 ) ，对称点坐标为D'( m,− 4 m−4 ) ，代入抛物线解析式y= 1 x2− 1 x−3中，计算解答即
3 3 4 4
可；
（3）过点C作CP∥x轴，且使得CP=CA，连接PB,PD，利用三角形全等，把线段和最小值转化为三角
形不等式，解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定与性质，三角形不等式求最值，
熟练掌握相关知识，特别是三角形不等式是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得¿，
解得¿，¿，
∴A(−3,0)，B(4,0)，
∴OB=4,
∵OC=OB，
∴C(0,4)．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(−3,0)，C(0,4)分别代入解析式，得
¿，
4
故直线AC的解析式为y= x+4，
3
( 4 )
设点D m, m+4 ，
3
则其对称点坐标为D'(
m,−
4
m−4
)
，
3
1 1
代入抛物线解析式y= x2− x−3中，得
4 4
1 1 4
m2− m−3=− m−4，
4 4 3
整理，得3m2+13m+12=0，
4
解方程，得m=− ,m=−3(舍去)，
3
4 4 4 20
当m=− 时，y=− × +4= ，
3 3 3 9
故D¿．
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（3）过点C作CP∥x轴，且使得CP=CA，连接PB,PD，
∵A(−3,0)，C(0,4)，
∴AC=√(−3−0) 2+(0−4) 2=5，
∴CP=CA=5，
∴P(−5,4)，
∵ B(4,0)，
∴PB=√(−5−4) 2+(4−0) 2=√97．
∵CP∥x轴，
∴∠PCD=∠CAE，
∵CP=CA，
∵¿
∴△PCD≌△CAE(SAS)
∴PD=CE，
∴BD+CE的最小值变成了BD+PD的最小值，
∵BD+PD≥PB，
故当点P，D，B三点共线时，BD+PD取得最小值，且最小值为PB，
∴BD+CE的最小值为√97．
3．（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于C，抛物线
y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B，M为抛物线的顶点，连接BC．
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(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图（1），P点为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC、PO，PO交AC于点Q，若PO将
△APC的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标；
(3)如图（2），若点N是第三象限的抛物线上一点，连接NM，交直线AC于E，当∠NEC=∠BCM时，
求点N的坐标；
√10
(4)在（3）的条件下，若F是y轴上的一个动点，请直接写出NF+ CF的最小值．
10
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，顶点M(−1,4)；
(2)(−2,1)或(−1,2)；
(3)N(−4,−5)；
(4)2√10．
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是
掌握二次函数相关性质，能灵活应用锐角三角函数解决问题．
（1）求出C(0,3)，A(−3,0)，用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，即得顶点M(−1,4)；
（2）作QH⊥x轴于H，求得∠OAC=∠OCA=45°，AC=3√2，分两种情况：当S ：S =1：2
△APQ △CPQ
时，AQ：CQ=1：2，可得Q(−2,1)；当S ：S =2：1时，AQ：CQ=2：1，得Q(−1,2)；
△APQ △CPQ
（3）延长BC交对称轴于D，过N作对称轴的垂线，垂足为K，设AC交对称轴于G，由
∠NEC=∠BCM，知∠MEC=∠MCD，求得∠CMG=45°=∠AGK，即可得∠EMG=∠MDC，故
−1−t 1
∠EMG=∠BCO，有NK：MK=1：3，设N(t,−t2−2t+3)，得 = ，可解得
4−(−t2−2t+3) 3
N(−4,−5)；
OB 1 √10
（4）过N作NR⊥BC于R，NT⊥y轴于T，NR交y轴于F，可求得sin∠BCO= = = ，从
BC √10 10
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√10 √10 FT 1 11
而FR= CF，NF+ CF=NF+FR=NR，证明∠FNT=∠BOC，可得 = ，F(0,− )，
10 10 4 3 3
4√10 2√10 √10
即可求得NR=NF+FR= + =2√10，故NF+ CF的最小值为2√10．
3 3 10
【详解】（1）在直线y=x+3中，由x=0得y=3，
∴C(0,3)，
由y=0得x+3=0，
解得x=−3，
∴A(−3,0) ，
把A(−3,0)，C(0,3)分别代入y=−x2+bx+c得：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴顶点M(−1,4)；
（2）作QH⊥x轴于H，如图：
∵OA=OC=3
，
∴∠OAC=∠OCA=45°，AC=3√2，
当S ：S =1：2时，AQ：CQ=1：2，
△APQ △CPQ
1
∴AQ= AC=√2，
3
∴AH=QH=1，
∴OH=OA−AH=2，
∴Q(−2,1)；
当S ：S =2：1时，AQ：CQ=2：1，
△APQ △CPQ
∴AQ=2√2，
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∴AH=QH=2，
∴OH=1，
∴Q(−1,2)，
综上所述，Q点坐标为(−2,1)或(−1,2)；
（3）延长BC交对称轴于D，过N作对称轴的垂线，垂足为K，设AC交对称轴于G，如图：
∵∠NEC=∠BCM
，
∴∠MEC=∠MCD，
∵M(−1,4)，C(0,3)，
∴∠CMG=45°，
∵∠CAO=45°，
∴∠AGK=45°，
∴∠MEC+∠EMG=∠MCD+∠MDC=45°，
∴∠EMG=∠MDC，
∵∠MDC=∠BCO，
∴∠EMG=∠BCO，
∴tan∠EMG=tan∠BCO=OC：OB=1：3，
∴NK：MK=1：3，
设N(t,−t2−2t+3)，
−1−t 1
∴ = ，
4−(−t2−2t+3) 3
解得：t=−4或t=−1(舍去)，
∴N(−4,−5)；
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（4）过N作NR⊥BC于R，NT⊥y轴于T，NR交y轴于F，如图：
由y=−x2−2x+3可得B(1,0)，
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴BC=√10，
OB 1 √10
∴sin∠BCO= = = ，
BC √10 10
FR √10
∴ = ，
CF 10
√10
∴FR= CF，
10
√10
∴NF+ CF=NF+FR=NR，
10
∵NR⊥BC，
√10
∴此时NF+ CF取最小值，最小值即为NR的长，
10
∵∠CFR=∠NFT，∠CRF=∠NTF=90°，
∴∠FNT=∠BOC，
FT OB
∴tan∠FNT=tan∠BOC，即 = ，
NT OC
FT 1
∴ = ，
4 3
4
∴FT= ，
3
11
∴F(0,− )，
3
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4√10 20
∴NF= ，CF= ，
3 3
√10 2√10
∴FR= CF= ，
10 3
4√10 2√10
∴NR=NF+FR= + =2√10，
3 3
√10
∴NF+ CF的最小值为2√10．
10
4．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，C为抛物线的
4
顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD= ，如图所示．
3
(1)求抛物线的解析式；
(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF
的面积的最大值；
3
②连接PB，求 PC+PB的最小值．
5
4 16 20
【答案】(1)抛物线的解析式为y=− x2+ x+
9 9 9
3 3 24
(2)①△BCF的面积的最大值为 ；② PC+PB的最小值为
2 5 5
【分析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−5)，可得对称轴为直线x=2，由锐角三角函数可求点C坐标，
代入解析式可求解析式；
3 3 1
（2）①先求出直线BC解析式，设P(2,t)，可得点E(5− t，t)，点F(5− t,2t− t2 )，可求EF的
4 4 4
长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
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3
②根据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG= PC，
5
3 3
可得 PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是 PC+PB的最小值，
5 5
由三角形面积公式可求解．
【详解】（1）
根据题意，可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−5)，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴D(2,0)，
4 CD
又∵ tan∠CBD= = ，
3 DB
∴CD=BD⋅tan∠CBD=4，
即C(2,4)，
代入抛物线的解析式，得4=a(2+1)(2−5)，
4
解得a=− ，
9
4 4 16 20
∴二次函数的解析式为y=− (x+1)(x−5)=− x2+ x+ ；
9 9 9 9
（2）
①设P(2,t)，其中0<t<4，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ¿，
解得¿
4 20
即直线BC的解析式为y=− x+ ，
3 3
3
令y=t，得：x=5− t，
4
3
∴点E(5− t，t)，
4
3 4 t
把x=5− t代入y=− (x+1)(x−5)，得y=t(2− )，
4 9 4
3 1
即F(5− t,2t− t2 )，
4 4
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1 t2
∴ EF=(2t− t2 )−t=t− ，
4 4
1 3 t2 3 3 3
∴△BCF的面积= ×EF×BD= (t− )=− (t2−4t)=− (t−2) 2+ ，
2 2 4 8 8 2
3
∴当t=2时，△BCF的面积最大，且最大值为 ；
2
②如图，据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，
AD 3
∴ sin∠ACD= = ，
AC 5
3
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅sin∠ACD= PC，
5
3
∴ PC+PB=PG+PB，
5
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
3
∴线段BH的长就是 PC+PB的最小值，
5
1 1
∵ S = ×AB×CD= ×6×4=12，
ΔABC 2 2
1 5
又∵ S = ×AC×BH= BH，
△ABC 2 2
5
∴ BH=12，
2
24
即BH= ，
5
3 24
∴ PC+PB的最小值为 ．
5 5
【点睛】
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本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，
二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
1
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+3的对称轴是直线x=2，
4
与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段
CM=CD时，求点M的坐标；
(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
1
【答案】(1)y=− x2+x+3，顶点坐标为(2，4)
4
(2)点M的坐标为(2，4)
(3)2PC+3PB的最小值为2√85
b
b
【分析】（1）由x=2=− =− 1 ，解得b=1，然后代入解析式求解；
2a 2×(− )
4
1
（2）当线段CM=CD时，则点C在MD的中垂线上，即y = (y + y )时，即可求解；
C 2 M D
（3）先证明△POG∽△COP，然后利用当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG即可
求解．
【详解】（1）∵对称轴是直线x=2，
b
b
故x=2=− =− 1 ，解得b=1，
2a 2×(− )
4
1 1
故抛物线的表达式为y=− x2+x+3=− (x−2) 2+4，
4 4
∴抛物线的顶点为(2,4)；
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（2）
1 1
对于y=− x2+x+3，令y=− x2+x+3=0，
4 4
解得x=6或−2，令x=0，则y=3，
故点A、B、C的坐标分别为(−2，0)、(6，0)、(0，3)，
设直线BC的表达式为y=mx+n，则¿，解得¿，
1
故直线BC的表达式y=− x+3，
2
设点M的坐标为 ( x,− 1 x2+x+3 ) ，则点D的坐标为 ( x,− 1 x+3 ) ，
4 2
1
当线段CM=CD时，则点C在MD的中垂线上，即y = (y + y )，
C 2 M D
即3= 1( − 1 x2+x+3− 1 x+3 ) ，
2 4 2
解得x=0（舍去）或2，
故点M的坐标为(2,4)；
（3）
OP OG 2 2 OG 4 ( 4)
在OC上取点G，使 = = ，即 = ，则OG= ，则点G 0, ，
OC OP 3 3 2 3 3
OP OG
∵ = ，∠GOP=∠COP，
OC OP
∴△POG∽△COP，
PG OP 2 2
∴ = = ，故PG= PC，
PC OC 3 3
( 2 )
则2PC+3PB=3 PB+ PC =3(BP+PG)，
3
故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，
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则2PC+3PB的最小值3BG=3
√
62+
(4) 2
=2√85．
3
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思
想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．.
题型六： 特殊四边形存在性问题
1．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点
m
A，B，与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
x
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平
行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)k=2，m=12；
(2)点D的坐标为(√6，2√6+2)或(√7−1，2√7)
【分析】（1）求得A(−1，0)，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C(2，6)，据此即可求解；
( 12) | 12|
（2）设点D(a，2a+2)，则点E a， ，利用平行四边形的性质得到 2a+2− =2，解方程即可
a a
求解．
【详解】（1）解：∵OA=1，
∴A(−1，0)，
∵直线y=kx+2经过点A(−1，0)，
∴0=−k+2，解得，k=2，
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∴直线的解析式为y=2x+2，
∵点C的横坐标为2，
∴y=2×2+2=6，
∴C(2，6)，
m
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点C，
x
∴m=2×6=12；
12
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y= ，
x
令x=0，则y=2×0+2=2，
∴点B(0，2)，
( 12)
设点D(a，2a+2)，则点E a， ，
a
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE=OB=2，
| 12| 12 12
∴ 2a+2− =2，整理得2a+2− =2或2a+2− =−2，
a a a
12
由2a+2− =2得2a2+2a−12=2a，
a
整理得a2=6，
解得a=±√6，
∵a>0，
∴a=√6，
∴点D(√6，2√6+2)；
12
由2a+2− =−2得2a2+2a−12=−2a，
a
整理得a2+2a−6=0，
解得a=±√7−1，
∵a>0，
∴a=√7−1，
∴点D(√7−1，2√7)；
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综上，点D的坐标为(√6，2√6+2)或(√7−1，2√7)．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方
程的思想解决问题是解本题的关键．
3 k
2．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线y= x与双曲线y= (k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为
2 x
(m,−3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求
出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13 13
【答案】（1）k=6，B(2，3)；（2）2√17；（3）P（ ，0）或（0， ）.
2 3
3 k
【分析】（1）根据直线y= x经过点A(m,−3)，可求出点A（-2，-3），因为点A在y= (k≠0)图象上，
2 x
可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据BC=2CD利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连
接B’C，即B’C的长度是GB+GC的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
3
【详解】（1）解：因为直线y= x经过点A (m,−3)，
2
3
所以−3= ×m，
2
所以m=-2，
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所以点A（-2，-3），
k
因为点A在y= (k≠0)图象上，
x
所以k=−2×(−3)=6，
3 k
因为y= x与双曲线y= (k≠0)交于A，B两点，
2 x
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，
因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以△BED∼△CFD,
BE BD
所以 = ，
CF CD
因为BC=2CD，
BE BD 3
所以 = = ，
CF CD 1
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
6
将y =1代入y= 可得：x=6，
C x
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
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所以点B’（-2，3），
所以B’C=√(−2−6) 2+(3−1) 2=√64+4=√68=2√17，
即GB+GC的最小值是2√17；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以△OHB∼△BHP，
OH BH
所以 = ，
BH HP
所以BH2=OH×HP,
所以32=2×HP，
9
所以HP= ，
2
13
所以OP= ，
2
13
所以点P（ ，0）；
2
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，
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因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以△OHB∼△BHP，
OH BH
所以 = ，
BH HP
所以BH2=OH×HP,
所以22=3×HP，
4
所以HP= ，
3
13
所以OP= ，
3
13
所以点P（0， ）
3
13 13
综合可得：P（ ，0）或（0， ）.
2 3
【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练
掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.
类型一：平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点
和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个
字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即
可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平
行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分.
{x A+xC=xB+xD
但此两个性质统一成一个等式: ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们
y A+ yC= yB+ yD
刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点
设计，由动点设计可化解问题.
类型二：菱形存在性问题
和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若
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四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 则 其 4 个 点 坐 标 需 满 足 :
{ x A+xC=xB+xD
y A+ yC= yB+ yD
√（x A−xB）2+（y A−yB）2=√（xC−xB）2+（yC−yB）2
解决问题的方法也可有如下两种:
思路 1:先平四，再菱形.设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 为对角线)，再结合组邻
边相等，得到方程组，
思路 2:先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第3个点，再确定第4个点.
类型三：矩形存在性问题
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起行四边
形 ， 坐 标 系 中 的 矩 形 满 足 以 下 3 个 等 式 :
{ x A+xC=xB+xD
y A+ yC= yB+ yD (AC 为对角线时).因此在
√（x A−xC）2+（y A−yC）2=√（xB−xD）2+（yB−yD）2
矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有 3个未知量，则可
判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.
类型四：正方形存在性问题
思路 1:从判定出发
1）若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等:
2）若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直:
3）若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.
思路 2:构造三乖直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的 4个顶点中任取3个，必是等腰直角
三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4点.
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑矩形的判定出发，
观察该四边形是否己为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.（正方形的存在性问题在中考中出现得并
不多，正方形多以小题压轴为主）
k
1．（2024·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象在
x
第一象限内交于A(a,4)和B(4,2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
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(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
k
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥ 的解集；
x
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O、B、 D、P为顶点的四边
形是平行四边形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
8
【答案】(1)反比例函数表达式为：y= ，一次函数表达式为y=−x+6
x
(2)2≤x≤4
(3)P点坐标为(3，0)或(−3，0)．
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质．
8
（1）利用B(4,2)可得反比例函数为y= ，再求解A(2,4)，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
x
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得答案；
（3）分四边形ODBP和OBDP为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可．
k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= 过B(4,2)，
x
∴k=8，
8
∴反比例函数为：y= ，
x
8 8
把A(a,4)代入y= 可得：a= =2，
x 4
∴A(2,4)，
∴¿，解得：¿，
∴一次函数为y=−x+6；
（2）解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得
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k
不等式mx+n≥ 的解集为：2≤x≤4；
x
（3）解：存在
∵A(2,4)，
∴直线OA的解析式为：y=2x，
∵过点B(4,2)作BD平行于x轴，交OA于点D，
∴D(1，2)，
∴BD=4−1=3，
当四边形ODBP为平行四边形时，
∴DB=OP=3，
∴P点坐标为(3，0)，
当四边形OBDP为平行四边形时，
∴DB=OP=3，
∴P点坐标为(−3，0)．
综上，P点坐标为(3，0)或(−3，0)．
k
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数y= 与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，
x
已知B(2,3)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数y=x+b的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若
S =3，求点D的坐标：
△OCD
(3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形？若存在，
请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6
【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：y= ，y=x+1
x
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(2)D(−1,−6)或D(1,6)
(3)存在，其坐标分别为M (5,0)，M (0,5)
1 2
k
【分析】（1）把点B的坐标代入y= ，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入y=x+b，求出b的值，
x
得到一次函数的解析式；
（2）求出点C(−1,0)，设D(m,n)，根据S =3可得n=±6，由点D是反比例函数图象上的一个动点，
△OCD
即可得点D的坐标；
（3）分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．
k
【详解】（1）解：∵点B(2,3)是反比例函数y= 与一次函数y=x+b的交点，
x
∴k=xy=6，b= y−x=1，
6
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：y= ，y=x+1；
x
（2）解：一次函数y=x+1中，当y=0 时，x=−1，
∴C(−1,0)，
设D(m,n)，
∵S =3，
△OCD
1
∴ ×|n|×1=3，
2
∴n=±6，
6
∵点D(m,n)在y= 上，
x
∴m=−1或1，
∴D(−1,−6)或D(1,6)；
（3）解：存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，理由如下：
①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为(a,0)，
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过点B作BG⊥x轴于点G，
∵∠CGB=∠CBM=90°，∠BCG=∠MCB，
∴△CBG∽△CMB，
CB CG
∴ = ，
CM CB
∵B(2,3)，C(−1,0)，
∴CG=3，CM=a+1，
∴CB=√32+32=3√2，
3√2 3
∴ = ，
a+1 3√2
∴a=5，
∴点M的坐标为(5,0)；
②当点M在y轴上时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图，
设点M的坐标为(0，b )，
∵y=x+1，
∴Q(0,1)，
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∴HQ=3−1=2，
∴BQ=√22+22=2√2，
∵∠QBM=∠BHQ=90°，∠BQM=∠HQB，
∴△BQM∽△HQB，
BQ MQ
∴ = ，
HQ BQ
2√2 b−1
∴ = ，
2 2√2
∴b=5，
∴点M的坐标为(0,5)，
∴存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为(5,0)或(0,5)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的
判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
1
3．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数y= x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线BC与反比例函
2
k
数y= 交于点A(2,a)．
x
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数
k
y= 上，求出点N坐标；
x
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，
Q，使得四边形MAPQ为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)3；6
(2)N(2,3)
(3)x=−2±√19或2±√11
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和
性质：
（1）把点A代入一次函数解析式，求出a的值，再把点A代入反比例函数解析式求出k的值即可；
( 1 )
（2）求出点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，而M为线段BC上的点，设M m, m+2 ，得到
2
( 1 )
N m+4, m+4 ，代入反比例函数解析式即可求解；
2
（3）设点P(x,0)，Q(s,t)，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可．
1
【详解】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得：a= ×2+2=3，
2
∴A(2,3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=2×3=6；
1
（2）当y=0时，y= x+2=0，解得x=−4，
2
1
当x=0时，y= ×0+2=2，
2
1
∵一次函数y= x+2的图象与x轴相交于点C，与y轴相交于点B，
2
∴点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，
∵M为线段BC上的点，
( 1 ) ( 1 )
∴设M m, m+2 ，则N m+4, m+4 ，
2 2
1
则有(m+4)·( m+4)=6，
2
解得，m=−2或−10(舍去)
∴m=−2；
∴N(2,3)；
（3）设点P(x,0)，Q(s,t)，
由（2）可知：点M(−2,1)，点A(2,3)，
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∴AM2=20，
由题意知，MA为菱形的边，
则点M向右平移4个单位向上平移2个单位得到点A，
则点P(Q)向右平移4个单位向上平移2个单位得到点Q(P)，
由平移规则和MA=MP(MA=AP)得：
¿或¿，
解得：x=−2±√19或2±√11，
即点P的坐标为：(−2+√19，0)或(−2−√19，0)或(2+√11，0)或(2−√11，0)．
题型七： 特殊角存在性问题
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y=2x+b与y轴交于点
m
A(0,6)，与反比例函数y= 的图象的交点为B(a,2)，C两点．
x
(1)求点B的坐标及反比例函数的表达式；
(2)求△BCO的面积；
(3)当x<0时，在反比例函数图象上是否存在点Q，使得∠BOQ=∠OAB？若存在，请求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
−4
【答案】(1)B(−2,2)，反比例函数的表达式为y=
x
(2)S ❑ =3
△ BOC
( 2√3) ( 2√3 )
(3)存在，点Q坐标为 −2√3, 或 − ,2√3
3 3
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【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，再把点B坐标代入一次函数解析式求出点B
的坐标，最后把点B坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再根据S ❑ =S ❑ −S ❑ 进行求解即可；
△ BOC △ ABO △ ACO
（3）分点Q在点B上方和下方两种情况，过点B作BH⊥OQ ， 通过证明△BMH和△HNO相似，利用
1
相似三角形的性质求出点H的坐标，进而求出直线OH的解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵y=2x+b与y轴交于点A(0,6)，
∴b=6，
将B(a,2)代入y=2x+6，得2=2a+6，
∴a=−2，
∴B(−2,2)，
m m
将B(−2,2)代入y= ，得2= ，
x −2
解得m=−4，
−4
∴反比例函数的表达式为y= ；
x
（2）解：∵一次函数图象与反比例函数图象交于点B，C，
联立¿，解得¿或¿，
∵ B(−2,2)，
∴ (−1,4)
点C的坐标为 ，
过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，
1 1
∴S ❑ =S ❑ −S ❑ = ×6×2− ×6×1=3；
△ BOC △ ABO △ ACO 2 2
（3））解：∵y=2x+6与x轴交于(−3,0)，与y轴交于点A(0,6)，
3 1
∴tan∠OAB= = ，
6 2
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∵∠BOQ=∠OAB，
1
∴tan∠BOQ= ，
2
①如图2，过点B作BH⊥OQ ，过点H作y轴的平行线交x轴于点N，过点B作x轴的平行线交NH延长
1
线于点M，
∴∠BMH=∠HNO=∠BHO=90°，
∴∠MHB+∠MBH=90°=∠MHB+∠NHO，
∴∠MBH=∠NHO
∴△BMH∽△HNO，
BM MH BH 1
∴ = = = ，
HN ON OH 2
∵B(−2,2)，
∴MN=2，
1
设H(m，n)，则ON=−m，HN=n，BM= n，
2
1 1
∴−m− n=2，MH=− m，
2 2
1
∴− m+n=2，
2
12 4
∴m=− ，n=
5 5
( 12 4)
∴H − , ，
5 5
( 12 4)
将H − , 代入y =k x，
5 5 OH 1
1
解得k =− ，
1 3
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1
∴y =− x，
OH 3
∵直线OQ 与反比例函数图象交于点Q ，
1 1
∴由¿，解得x=±2√3（舍正），
( 2√3)
∴ Q −2√3, ，
1 3
②如图，过点B作BH⊥OQ ，过点H作x轴平行线交y轴于点N，过点B作y轴平行线交NH延长线于
2
点M，
同理可证明△BMH∽△HNO，
BM MH BH 1
∴ = = = ，
HN ON OH 2
( 4 12)
同理可得H − , ，
5 5
同理可得y =−3x，
OH
∵直线OQ 与反比例函数图象交于点Q ，
2 2
2√3
∴由¿，解得x=± （舍正），
3
( 2√3 )
∴ Q − ,2√3 ，
2 3
( 2√3) ( 2√3 )
综上所述：点Q坐标为 −2√3, 或 − ,2√3 ．
3 3
【常见的构角方法】
1）平行线的同位角、内错角相等；
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2）等腰三角形的等边对等角；
3）角平分线分的两个角相等；
4）全等（相似）三角形对应角相等；
5）若两角的三角函数值相等，则两角相等；
6）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究角度问题的一般步骤如下：
1）读题、理解题意，画图；
2）分析动点、定点、找不变特征（如角有两边，其中一条边是确定的）；
3）确定分类特征，进行分类讨论；
4）将角度进行转化.
角度转化的一般方法为：
通过锐角三角形函数、特殊角的三角函数值，相似三角形或等腰三角形的性质，转化为常见的类型，
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大.
1 m
1．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数y= x−1的图象与反比例函数y= 的图象交于
2 x
A(a,1),B(−2,b)两点，M为反比例函数图像第一象限上的一动点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)当∠MBA=45°时，求点M的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点N是平面内一点，是否存在这样的
N,M两点，使四边形ABNM是“垂等四边形”，且∠ABM=∠MAN？若存在，求出M，N两点的坐标；
若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)y=
x
(2 )
(2)M ,6
3
(1 ) ( 7)
(3)存在，M ,8 ，N −6,
2 2
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
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（2）证明△BNC≌△CRH(AAS)，得到点H(0,4)，即可求解；
（3）证明∠MAG=∠ABH，则tan∠MAG=tan∠ABH，得到点M(4−t,2t+1)，即可求出点M的坐
标；由AN=BM求出点N的坐标．
1
【详解】（1）解：将点A的坐标代入一次函数表达式得：1= x−1，
2
则x=2，即点A(4,1)
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m=4×1=4，
4
则反比例函数的表达式为：y= ；
x
（2）点B在反比例函数上，则点B(−2,−2)，
由一次函数表达式知，点C(2,0)，
过点C作CH⊥BM于点H，
则BN=2+2=4，CN=2，
∵∠MBA=45°，
则△BCH为等腰直角三角形，则CH=CB，
∵∠HCR+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠HCR=∠CBN，
∵∠BNC=∠CRH=90°，
∴△BNC≌△CRH(AAS)，
则RH=CN=2，RC=BN=4，
则点H(0,4)，
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=3x+4，
4
联立上式和反比例函数的表达式得： =3x+4，
x
2
解得：x=2(舍去)或 ，
3
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(2 )
则点M ,6 ；
3
（3）存在，理由：
设四边形的对角线得交点为点T，
由题意得：AN⊥MB且AN=BM，
∵∠TAB+∠TBA=90°，∠ABM=∠MAN，
∴∠MAN+∠BAT=90°=∠MAB，
过点A作直线GH，交过点M和x轴的平行线于点G，交过点B和x轴的平行线于点H，
∵∠GAM+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠MAG=∠ABH，
AH 1+2 1 GM
∴tan∠MAG=tan∠ABH= = = =
HB 4+2 2 GA
故设GM=t,则AG=2t,
则点M(4−t,2t+1)，
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：4=(4−t)(2t+1)，
7
解得：t=0(舍去)或 ，
2
(1 ) 7
则点M ,8 ，GM= ,AG=7；
2 2
∴ AM=√MG2+AG2=
√ (7) 2
+72=
7√5
2 2
∵ A(4,1),B(−2,−2)
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∴ AB=√62+32=3√5
7
√5
∴ AM 2 7 MT AT，
tan∠ABM= = = =tan∠MAN= =
AB 3√5 6 AT BT
设AT=42k，则BT=36k，AT=49k
∴ AB=36k+49k=85k，
∵ AN=BM
∴ NT=85k−AT=85k−42k=43k
过点T作PQ⊥BH交BH于点H，过点N作NP⊥PQ于点P，延长QP交GM的延长线与点S，
∵ ∠NTB=90°，
∴ ∠PTN=90°−∠BTQ=∠TBQ，
∵ ∠STM=∠QTB，∠S=∠BQT
∴ △STM∽△QTB
SM ST MT 49
∴ = = =
BQ TB TB 36
1 5
∵ SQ= y −y =8−(−2)=10，BQ+SM=x −x = −(−2)=
M B M B 2 2
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36k 72 36k 5 18
∴ TQ= ×10= ，BQ= × =
49k+36k 17 49k+36k 2 17
72 38 18 16 ( 16 38)
∴ T的纵坐标为−2+ = ，T的横坐标为−2+ =− ，即T − ,
17 17 17 17 17 17
同理可得△TQB∽△NPT
TP NP NT 43k 43
∴ = = = =
BQ TQ TB 36k 36
43 43 72 86 43 43 18 43
∴ NP= ×TQ= × = ，TP= ×BQ= × =
36 36 17 17 36 36 17 34
38 43 7 16 86
∴ N的纵坐标为 + = ，横坐标为− − =−6
17 34 2 17 17
7
故点N(−6, )．
2
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形，全等三角形的性质与判
定，几何新定义，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键．
k
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，直线y=ax+4经过点A(2,0)，交反比例函数y= (x<0)的
x
图象于点B(−1,m)，点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P
坐标．
k
(3)在反比例函数y= (x<0)图象上是否存在点P，使∠BAP=45°，若存在，请求出点P横坐标，若不存
x
在，请说明理由．
6
【答案】(1)y=−
x
( 3 ) ( 1 )
(2)点P坐标为 − ,4 或 − ,12
2 2
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(3)存在，P的横坐标为1−√19
【分析】（1）本题将点A(2,0)代入y=ax+4求得a的值，得到直线的解析式，将B(−1,m)代入直线的解
k
析式，算出m的值，得到B的坐标，将B的坐标代入反比例函数y= (x<0)中求解，即可解题．
x
（2）本题根据点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，分
以下两种情况讨论，①当P点在AB下方时，②当P点在AB上方时，根据以上两种情况，结合“BP若
△ACP的面积是△BPC面积的2倍”分析得到点C纵坐标，将点C纵坐标代入反比例函数解析式求解，即
可解题．
（3）本课过点B作BH垂直AB交AP延长线于点H过点B作BM∥x轴，HM⊥BM，AN⊥BM，利用
等腰直角三角形性质证明△BHM≌△ANB，根据全等三角形性质得到点H坐标，设直线AH的解析式为
l :y=k x+b，利用待定系数法求出直线AH的解析式，联立直线AH的解析式和反比例函数解析式求解，
AH 1
即可解题．
【详解】（1）解：∵y=ax+4过点A(2,0)，
∴2a+4=0，
∴a=−2，
∴y=−2x+4，
∵点B(−1,m)在y=−2x+4上，
∴m=2+4=6，即B(−1,6)，
∴k=(−1)×6=−6，
6
∴y=− ；
x
（2）解：①当P点在AB下方时，
∵S =2S ，
△ACP △BPC
∴AC:BC=2:1，
作CH⊥x轴，BR⊥x轴，
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AC CH 2
∴ = = ，
AB BR 3
y 2
∴ C = ，
y 3
B
∵B(−1,6)，
∴y =4，
C
−6
把y =4代入y= 中，
C x
( 3 )
∴P − ,4 ；
2
②当P点在AB上方时，
∵S =2S ，
△ACP △BPC
∴AB:BC=1:1，
∴B为AC中点，
∵A(2,0)，B(−1,6)，
∴C(−4,12)，
−6
把y=12代入y= 中，
x
( 1 )
∴P − ,12 ；
2
( 3 ) ( 1 )
综上所述：点P坐标为 − ,4 或 − ,12 ．
2 2
（3）解：过点B作BH垂直AB交AP延长线于点H过点B作BM∥x轴，HM⊥BM，AN⊥BM，
∵∠BAH=45°，∠ABH=90°，
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∴三角形ABH为等腰直角三角形，
在△BHM和△ANB中，
¿
∴△BHM≌△ANB(AAS)，
所以BM=AN=6，BN=HM=3，
∴H(−7,3)，
设直线AH的解析式为l :y=k x+b，
AH 1
∵ l :y=k x+b过(2,0)，(−7,3)，
AH 1
∴¿，解得¿，
1 2
∴直线AH的解析式为y=− x+ ，
3 3
∴¿，
1 2
整理得− x2+ x=−6，解得x =1−√19，x =1+√19（不合题意，舍去），
3 3 1 2
∴x=1−√19，
∴P的横坐标为1−√19．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三
角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
a
1．（2024·河南周口·一模）如图，一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函数y= (a≠0,x>0)的图
x
象交于点A(1,m)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(−2,0)．
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(1)求k与a的值．
(2)P是x轴正半轴上一点，若BP=BC，求△PAB的面积．
1 3
【答案】(1)k= ，a=
2 2
(2)S =1
△PAB
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数解析
式，割补法求三角形面积，是解题的关键．
（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解
析式中，可得结论；
（2）求得PC=4，根据S =S −S ，求解即可．
△PAB △PAC △PBC
【详解】（1）把C(−2,0)代入y=kx+1，
得，0=−2k+1，
1
解得，k= ，
2
1
∴y= x+1，
2
1
把A(1,m)代入y= x+1，
2
1 3
得，m= ×1+1= ，
2 2
( 3)
∴A 1, ，
2
( 3) a
把A 1, 代入y= ，
2 x
3 a
得， = ，
2 1
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3
解得，a= ，
2
1 3
故k= ，a= ．
2 2
3
（2）如图，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，则AH= ．
2
1
∵y= x+1中，x=0时，y=1，
2
∴B(0,1)，
∴OB=1．
∵BP=BC，BO⊥CP，C(−2,0)，
∴OP=OC=2，
∴PC=4，
1 1
∴S =S −S = PC⋅AH− PC⋅BO
△PAB △PAC △PBC 2 2
1 3 1
= ×4× − ×4×1=1．
2 2 2
故△PAB的面积为1．
k
2．（2023·山东青岛·模拟预测）一次函数y =−x+4图像与反比例函数y = 图像在第一象限内交于两点
1 2 x
A，B，与坐标轴交于点C，D，且OA=OB=√10．
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(1)求反比例函数关系式和A与B两点坐标．
(2)若点P在反比例函数图像上，S =2S ，求点P坐标．
△POD △OAB
3
【答案】(1)y= ，A(1,3),B(3,1)
x
(3 ) ( 3 )
(2) ,4 或 − ,−4
4 4
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是
正确解答的前提．
（1）由反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，列方程可求出点A，点B的坐标，进而求出反比例
函数关系式；
（2）求出△AOB的面积，再根据S =2S 列方程求出点P的纵坐标，进而求出其横坐标即可．
△POD △OAB
【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
设点A的横坐标为x，由于点A在直线y=−x+4上，
因此点A的纵坐标为−x+4，
即A(x,−x+4)，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，x2+(−x+4) 2=(√10) 2 ,
解得x =1,x =3，
1 2
当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，
∴A(1,3),B(3,1)，
k
∵反比例函数y= 的图象过点A(1,3)，
x
∴k=xy=1×3=3，
3
∴反比例函数关系式为y= ；
x
（2）由于一次函数y =−x+4图象与x轴、y轴分别交于点C、点D，
1
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当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴点C(0,4)，点D(4,0)，
即OC=OD=4，
∵S =S +S −S ，
△OAB △OAE 梯形AEFB △OBF
而S =S ，
△OAE △OBF
∴S =S
△OAB 梯形AEFB
1
= ×(1+3)×(3−1)
2
=4，
设点P(x ,y )，
P P
∵S =2S
△POD △OAB
1
∴ |y |⋅OD=2×4，
2 p
解得，y =4或y =−4，
p p
3 3
当y =4时，即4= ，则x= ，
p x 4
3 3
当y =−4时，即−4= ，则x=− ，
p x 4
(3 ) ( 3 )
∴点P坐标为 ,4 或 − ,−4 ．
4 4
1
3．（2024·四川达州·二模）如图，一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例
2
k
函数y= (k≠0)的图象交于B，D两点，且AC=BC．
x
(1)求k的值；
k 1
(2)请直接写出不等式 > x+1的解集；
x 2
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1 k
(3)若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数y= x+1的图象于点M，交反比例函数y= (k≠0)的图象
2 x
于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)k=4
(2)0<x<2或x<−4
(3)P(−2√2,0)或P(2√2,0)或P(−2+2√3,0)或P(−2−2√3,0)
【分析】（1）令y=0，得到A的横坐标，令x=0，得到C的纵坐标，由AC=BC可知点C为AB的中点，
( 1 ) 1 k
设 m, m+1 ，得−2+m=2×0， m+1=2×1，解得：m=2，得B的坐标为(2,2)，代入y= 中即可
2 2 x
求得k的值；
（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点D的坐标，运用交点的横坐标，根
k 1 4 1
据图像可得， > x+1时，y= 的图象在y= x+1的上方，即可求解；
x 2 x 2
( 1 ) ( 4) 1 4
（3）设P(a,0)，则M a, a+1 ，点N a, ，根据题意，得 a+1− =1，解绝对值方程即可．
2 a 2 a
1
【详解】（1）令y=0，得到 x+1=0，
2
解得x=−2，
∴A(−2,0)；
令x=0，得y=1，
∴C(0,1)；
( 1 )
∵AC=BC，则点C为AB的中点，设 m, m+1 ，
2
1
∴−2+m=2×0， m+1=2×1，
2
1
解得：m=2， m+1=2
2
∴B的坐标为(2,2)，
k
∵点B(2,2)在y= 上，
x
∴k=2×2=4；
4
（2）由（1）知，y= ，
x
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1 4
则 x+1= ，整理，得x2+2x−8=0，
2 x
解得x =2，x =−4，
1 2
当x=−4时，y=−1，
∴D(−4,−1)；
k 1 4 1
根据图像可得， > x+1时，y= 的图象在y= x+1的上方，
x 2 x 2
∴x的取值范围是0<x<2或x<−4；
( 1 ) ( 4)
（3）设P(a,0)，则M a, a+1 ，点N a, ，OC=1，
2 a
∵PM⊥x轴，
∴CO∥MN，
要使得O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则CO=MN，
|1 4|
∴ a+1− =1，
2 a
1 4
当 a+1− =1时，整理，得a2=8，
2 a
解得a=±2√2，
1 4
当 a+1− =−1时，整理，得a2+4a−8=0，
2 a
解得a=−2±2√3，
∴点P的坐标为P(−2√2,0)或P(2√2,0)或P(−2+2√3,0)或P(−2−2√3,0)．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四边形的判定，熟
练掌握待定系数法，灵活运用平行四边形的判定，准确求解一元二次方程的根是解题的关键．
1
4．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数y= x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线BC与反比例函
2
k
数y= 交于点A(2,a)．
x
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(1)求出a，k的值；
(2)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数
k
y= 上，求出点N坐标；
x
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，
Q，使得四边形MAPQ为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)N(2,3)
(3)x=−2±√19或2±√11
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和
性质：
（1）把点A代入一次函数解析式，求出a的值，再把点A代入反比例函数解析式求出k的值即可；
( 1 )
（2）求出点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，而M为线段BC上的点，设M m, m+2 ，得到
2
( 1 )
N m+4, m+4 ，代入反比例函数解析式即可求解；
2
（3）设点P(x,0)，Q(s,t)，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可．
1
【详解】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得：a= ×2+2=3，
2
∴A(2,3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=2×3=6；
1
（2）当y=0时，y= x+2=0，解得x=−4，
2
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1
当x=0时，y= ×0+2=2，
2
1
∵一次函数y= x+2的图象与x轴相交于点C，与y轴相交于点B，
2
∴点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，
∵M为线段BC上的点，
( 1 ) ( 1 )
∴设M m, m+2 ，则N m+4, m+4 ，
2 2
1
则有(m+4)·( m+4)=6，
2
解得，m=−2或−10(舍去)
∴m=−2；
∴N(2,3)；
（3）设点P(x,0)，Q(s,t)，
由（2）可知：点M(−2,1)，点A(2,3)，
∴AM2=20，
由题意知，MA为菱形的边，
则点M向右平移4个单位向上平移2个单位得到点A，
则点P(Q)向右平移4个单位向上平移2个单位得到点Q(P)，
由平移规则和MA=MP(MA=AP)得：
¿或¿，
解得：x=−2±√19或2±√11，
即点P的坐标为：(−2+√19，0)或(−2−√19，0)或(2+√11，0)或(2−√11，0)．
m
5．（2024·山东济宁·一模）如图，一次函数． y =kx+b(k≠0)与反比例函数y = (x>0)的图象交于
1 2 x
(1 )
A(4,1)，B ,a 两点．
2
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(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点 Q，若△POQ面积为3，求
2
点P的坐标．
4
【答案】(1)y =−2x+9，y = (x>0)
1 2 x
(5 )
(2)点P的坐标为(2,5)或 ,4
2
m
【分析】（1）将A(4,1)代入y = (x>0)可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将A(4,1)和点
2 x
B坐标代入y =kx+b(k≠0)即可求出一次函数解析式；
1
（2）设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，
进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△POQ面积为3列方程求解即可．
m m
【详解】（1）解：将A(4,1)代入y = (x>0)，可得1= ，
2 x 4
解得m=4，
4
∴反比例函数解析式为y = (x>0)；
2 x
(1 ) 4
∵ B ,a 在y = (x>0)图象上，
2 2 x
4
a= =8
∴ 1 ，
2
(1 )
∴ B ,8 ，
2
(1 )
将A(4,1)，B ,8 代入y =kx+b，得：
2 1
¿，
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解得¿，
∴一次函数解析式为y =−2x+9；
1
（2）解：设点P的横坐标为p，
将x=p代入y =−2x+9，可得y =−2p+9，
1 1
∴ P(p,−2p+9)．
4 4
将x=p代入y = (x>0)，可得y = ，
2 x 2 p
( 4)
∴ Q p, ．
p
4
∴ PQ=−2p+9− ，
p
1 1 ( 4)
∴ S = PQ⋅x = × −2p+9− ⋅p=3，
△POQ 2 P 2 p
整理得2p2−9p+10=0，
5
解得p =2，p = ，
1 2 2
当p=2时，−2p+9=−2×2+9=5，
5 5
当p= 时，−2p+9=−2× +9=4，
2 2
(5 )
∴点P的坐标为(2,5)或 ,4 ．
2
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系
中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
6．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x的图象l与函数
k
y= （k>0，x>0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB=1，点C在线段OB
x
上（不含端点），且OC=t，过点C作直线l ∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
1
(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
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(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S 、S ，设U=S −S ，求U的最大值．
1 2 1 2
1
【答案】(1)k=2； t
2
5
(2)
4
【分析】（1）将x=1代入y=2x，得y=2，得到点A的坐标，再将点A代入y=kx，得k即可；根据已知
得点D的纵坐标为t，代入y=2x求出点D的坐标；
（2）将y=t代入y=2x得到点E的坐标，根据三角形的面积公式分别求出S 、S ，得到U与t的函数解
1 2
析式，再根据二次函数的性质得到最大值即可．
【详解】（1） ∵AB⊥y轴，且AB=1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y=2x上，
∴y=2×1=2，
∴点A(1，2)，
∴B(0，2)，
k
∵点A在函数y= 上，
x
∴k=1×2=2，
∵OC=t，
∴C(0,t)，
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y=2x上，t=2x，
1
∴x= t ，
2
1
∴点D的横坐标为 t
2
（2）由（1）知，k=2，
2
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
由（1）知，CE∥x轴，
∴C(0,t)，
∴点E的纵坐标为t，
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2
∵点E在反比例函数y= 的图象上，
x
2
∴x= ，
t
(2 )
∴E ,t ，
t
2
∴CE= ，
t
∵B(0,2)，
∴OB=2．
1 1 2 2
∴S =S = OB⋅CE= ×2× = .
1 △OBE 2 2 t t
(1 )
由（1）知，A(1，2)，D t,t ，
2
2 1
∴DE= − t，
t 2
∵CE∥x轴，
1
∴S =S = DE(y −y )
2 △ADE 2 A D
1(2 1 )
= − t (2−t)
2 t 2
1 1 2
= t2− t+ −1，
4 2 t
∴U=S −S = 2 − (1 t2− 1 t+ 2 −1 )
1 2 t 4 2 t
1 1
=− t2+ t+1
4 2
1 5
=− (t−1) 2+ ，
4 4
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0<t<2，
5
∴当t=1时，U最大= ．
4
【点睛】此题考查了待定系数法，直线与双曲线的交点问题，平行于x轴的直线的特点，二次函数的性质，
三角形的面积公式，求出点E的坐标是解题的关键．
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7．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，
且与二次函数y=kx2+x−1的图象交于点B(3,a)．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；
(2)设M是直线AB上一点，过点M作MN∥y轴，交二次函数y=kx2+x−1的图象于点N，若以点O、C、
M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
1
【答案】(1)y=x+2，y= x2+x−1
3
(2)点M坐标为(√3,√3+2)，(−√3,−√3+2)，(√15,√15+2)，(−√15,−√15+2)
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）求出点C坐标，根据平行四边形性质，设M(x,x+2)，N ( x, 1 x2+x−1 ) ，由OC=MN列方程求解
3
即可得到答案．
【详解】（1）解：∵y=x+b过点A(−2,0)，
∴0=−2+b，解得b=2，
∴一次函数表达式为：y=x+2；
∵点B(3,a)在y=x+2上，
∴a=3+2=5，即B(3,5)，
∵点B(3,5)在y=kx2+x−1上，
1
∴5=9k+3−1，解得k= ，
3
1
∴二次函数表达式为：y= x2+x−1；
3
（2）解：∵点C在y轴上，且在y=x+2上，
∴C(0,2)，即OC=2，
如图所示：
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∵以点O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴OC=MN，
设M(x,x+2)，N ( x, 1 x2+x−1 ) ，则有 | (x+2)− (1 x2+x−1 )| =2，
3 3
1 1
∴ x2−3=2或 x2−3=−2，解得x=±√3或x=±√15，
3 3
∵ M是直线AB y=x+2上的点，
∴点M坐标为(√3,√3+2)，(−√3,−√3+2)，(√15,√15+2)，(−√15,−√15+2)．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、
抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，
掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．
√3
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数y= x+√3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线
3
√3
y=− x2+bx+c的图象经过A、B两点．
3
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB面
积的最大值及点P的坐标，请说明理由．
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√3 2
【答案】(1)y=− x2− √3x+√3；
3 3
3 9√3 ( 3 5√3)
(2)当m=− 时，△PAB面积的最大值为 ， 点P的坐标是 − , .
2 8 2 4
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时
关键．
（1）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可；
（2）设△PAB的面积为S，P ( m,− √3 m2− 2 √3m+√3 ) ，则Q ( m, √3 m+√3 ) ，列出S关于m的二次函
3 3 3
数，利用二次函数的性质即可得解。
√3
【详解】（1）解：在y= x+√3中，令x=0得y=√3，令y=0得x=−3
3
∴A(−3,0)，B(0,√3)，
√3
∵二次函数y=− x2+bx+c的图象过A、B两点，
3
∴¿，
解得¿
√3 2
∴二次函数的表达式为y=− x2− √3x+√3；
3 3
（2）解：过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q，
设△PAB的面积为S，P ( m,− √3 m2− 2 √3m+√3 ) ，则Q ( m, √3 m+√3 ) ，
3 3 3
∴PQ= ( − √3 m2− 2 √3m+√3 ) − (√3 m+√3 ) =− √3 m2−√3m ,
3 3 3 3
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∵A(−3,0)，B(0,√3)，
∴S= 1 PQ×|0+3|= 1( − √3 m2−√3m ) ×|0+3|=− √3( m+ 3) 2 + 9√3 ,
2 2 3 2 2 8
3 9√3 √3 2 5√3
∴当m=− 时，△PAB面积的最大值为 ，− m2− √3m+√3= ，
2 8 3 3 4
( 3 5√3)
∴点P的坐标是 − , .
2 4
a
1．（2023·西藏·中考真题）如图，一次函数y=x+2与反比例函数y= 的图象相交于A，B两点，且点A
x
的坐标为(1,m)，点B的坐标为(n,−1)．
(1)求m,n的值和反比例函数的解析式；
(2)点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标．
3
【答案】(1)m=3，n=-3，反比例函数的解析式为：y= ；
x
(2)(−2.5，0)；
【分析】（1）将点A(1,m)，点B(n,−1)分别代入y=x+2之中，即可求出m,n的值；然后再将点(1,3)代
a
入y= 即可得到反比例函数的解析；
x
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，则PA'+PB为最小，故得点P为所求
作的点，根据对称性先求出点A'(−1，−3)，点B'(−3，1)，再利用待定系数法求出直线A'B'的解析式
为y=−2x−5，由此可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：将点A(1,m)，点B(n,−1)分别代入y=x+2之中，
得：m=1+2，−1=n+2，
解得：m=3，n=−3，
∴点A(1,3)，点B(−3,−1)，
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将点A(1,3)代入之中，得：a=1×3=3，
3
∴反比例函数的解析式为：y= ，
x
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，如图：
则PA'+PB为最小，
故得点P为所求作的点．理由如下：
在x轴上任取一点M，连接MB，MB'，M A'，
∵点B关于x轴的对称点B'，
∴x轴为线段BB'的垂直平分线，
∴PB=PB'，MB=MB'，
∴M A'+MB=M A'+MB'，PA'+PB=PA'+PB'=A'B'，
根据“两点之间线段最短”得：A'B'≤M A'+MB'，
即：PA'+PB≤M A'+MB，
∴PA'+PB为最小．
∵点A(1,3)，点A与点A'关于原点O对称，
∴点A'的坐标为(−1，−3)，
又∵点B(−3,−1)，点B和点B'关于x轴对称，
∴点B'点的坐标为(−3，1)，
设直线A'B'的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
将点A'(−1，−3)，B'(−3，1)代入y=kx+b，
得：¿，解得：¿，
∴直线A'B'的解析式为：y=−2x−5，
对于y=−2x−5，当y=0时，x=−2.5，
∴点P的坐标为(−2.5，0)．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求
函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键．
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m
2．（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y= (m>0)的图象交于
x
A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点
D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
2
【答案】(1)k=− ；m=12；C(9,0)
3
(2)S =9
△ACD
【分析】
m
（1）把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)求出k、m的值即可；把y=0代入AB的解析式，求出点
x
C的坐标即可；
（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出
点F的坐标，根据S =S −S 求出结果即可．
△ACD △CDF △CAF
m
【详解】（1）解：把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)得：
x
m
3k+6=4，4= ，
3
2
解得：k=− ，m=12，
3
2 12
∴AB的解析式为y=− x+6，反比例函数解析式为y= ，
3 x
2 2
把y=0代入y=− x+6得：0=− x+6，
3 3
解得：x=9，
∴点C的坐标为(9,0)；
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（2）解：延长DA交x轴于点F，如图所示：
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
2 2
y=− x+6+3=− x+9，
3 3
联立¿，
解得：¿，¿，
(3 )
∴点D ,8 ，
2
(3 )
设直线AD的解析式为y=k x+b ，把D ,8 ，A(3，4)代入得：
1 1 2
¿，
解得：¿，
8
∴直线AD的解析式为y=− x+12，
3
8 8
把y=0代入y=− x+12得0=− x+12，
3 3
9
解得：x= ，
2
(9 )
∴点F的坐标为 ,0 ，
2
9 9
∴CF=9− = ，
2 2
∴S =S −S
△ACD △CDF △CAF
1 9 1 9
= × ×8− × ×4
2 2 2 2
=9．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解
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题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
m
3．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，一次函数y =kx+b(k≠0)与函数为y = (x>0)的图象交于
1 2 x
(1 )
A(4,1),B ,a 两点．
2
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足y −y >0时x的取值范围；
1 2
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点Q，若△POQ面积为3，求
2
点P的坐标．
4
【答案】(1)y =−2x+9，y = (x>0)
1 2 x
1
(2) <x<4
2
(5 )
(3)点P的坐标为(2,5)或 ,4
2
m
【分析】（1）将A(4,1)代入y = (x>0)可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将A(4,1)和
2 x
点B坐标代入y =kx+b(k≠0)即可求出一次函数解析式；
1
（2）直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，
进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△POQ面积为3列方程求解即可．
m m
【详解】（1）解：将A(4,1)代入y = (x>0)，可得1= ，
2 x 4
解得m=4，
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4
∴反比例函数解析式为y = (x>0)；
2 x
(1 ) 4
∵ B ,a 在y = (x>0)图象上，
2 2 x
4
a= =8
∴ 1 ，
2
(1 )
∴ B ,8 ，
2
(1 )
将A(4,1)，B ,8 代入y =kx+b，得：
2 1
¿，
解得¿，
∴一次函数解析式为y =−2x+9；
1
1
（2）解： <x<4，理由如下：
2
(1 )
由（1）可知A(4,1),B ,8 ，
2
当y −y >0时，y >y ，
1 2 1 2
1
此时直线AB在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为 <x<4，
2
1
即满足y −y >0时，x的取值范围为 <x<4；
1 2 2
（3）解：设点P的横坐标为p，
将x=p代入y =−2x+9，可得y =−2p+9，
1 1
∴ P(p,−2p+9)．
4 4
将x=p代入y = (x>0)，可得y = ，
2 x 2 p
( 4)
∴ Q p, ．
p
4
∴ PQ=−2p+9− ，
p
1 1 ( 4)
∴ S = PQ⋅x = × −2p+9− ⋅p=3，
△POQ 2 P 2 p
整理得2p2−9p+10=0，
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5
解得p =2，p = ，
1 2 2
当p=2时，−2p+9=−2×2+9=5，
5 5
当p= 时，−2p+9=−2× +9=4，
2 2
(5 )
∴点P的坐标为(2,5)或 ,4 ．
2
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系
中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
k
4．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点
x
A(4,n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D
k
的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求n,k的值；
(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)n=8，k=32
(2)当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36
k
【分析】（1）把点A(4,n)代入y=2x，得出n=8，把点A(4,8)代入y= (x>0)，即可求得k=32；
x
（2）过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，证明△ECB≌△FCD，得出BE=DF,CE=CF，
进而可得C(8,4)，根据平移的性质得出B(m+4,8)，D(12−m,0)，进而表示出AB⋅OD，根据二次
函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点A(4,n)代入y=2x，
∴n=2×4，
解得：n=8；
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k
把点A(4,8)代入y= (x>0)，解得k=32；
x
（2）∵点B横坐标大于点D的横坐标，
∴点B在点D的右侧，
如图所示，过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，
∵AB∥DF，
∴∠B=∠CDF，
在△ECB和△FCD中，
¿，
∴△ECB≌△FCD(ASA)，
∴BE=DF,CE=CF，
∵EF= y =8，
A
∴CE=CF=4，
∴C(8,4)，
∵将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，
∴B(m+4,8)，
∴BE=DF=m−4，
∴D(12−m,0)，
∴OD=12−m，
∴AB⋅OD=m(12−m)=−(m−6) 2+36，
∴当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握
以上知识是解题的关键．
4
5．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(m,4)，
x
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与x轴交于点B， 与y轴交于点C(0,3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
4
(2)已知P为反比例函数y= 图象上的一点，S =2S ，求点P的坐标．
x △OBP △OAC
【答案】(1)y=x+3
(2)P(2,2)或(−2,−2)
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C
的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出OB=3，OC=3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示，根据
1 1
S =2S 可得 OB⋅PD=2× OC⋅AH，求出PD=2，则点P的纵坐标为2或−2，由此即可得
△OBP △OAC 2 2
到答案．
4
【详解】（1）解：∵点A(m,4)在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴4= ，
m
∴m=1，
∴A(1,4)，
又∵点A(1,4)，C(0,3)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
∴一次函数的解析式为y=x+3．
（2）解：对于y=x+3，当y=0时，x=−3，
∴B(−3，0)，
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∴OB=3，
∵C(0,3)，
∴OC=3
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．
∵S =2S
△OBP △AOC
，
1 1
∴ OB⋅PD=2× OC⋅AH．
2 2
1 1
∴ ×3×PD=2× ×3×1，
2 2
解得PD=2．
∴点P的纵坐标为2或−2．
4
将y=2代入y= 得x=2，
x
4
将y=−2代入y= 得x=−2，
x
∴点P(2,2)或(−2,−2)．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
8
6．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y= (x>0)的图像
x
交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为
点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
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【答案】(1)点E在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①k=1，b=2；②点P的坐标为(0,−2)
8
【分析】（1）设点A的坐标为(m, )，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE
m
交AD于H，得到CH=EH，再结合等腰三角形三线合一得到CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
4 4
求出H(m, )，进而求得E(2m, )，于是得到点E在这个反比例函数的图像上；
m m
1 8
（2）①根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH= AD，设点A的坐标为(m, )，
2 m
得到m=2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，解方程组即可得
到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得
|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
8
∵一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y= (x>0)的图像交于点A，
x
8
∴设点A的坐标为(m, )，
m
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
连接CE交AD于H，如图所示：
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∴CH=EH，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，∠ADB=90°，
∴∠CDO+∠ADC=90°，
∵CB=CD，
∴∠CBO=∠CDO，
在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
4
∴H(m, )，
m
4
∴E(2m, )，
m
4
∵2m× =8，
m
∴点E在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
1
∴CH= AD，
2
8
设点A的坐标为(m, )，
m
8
∴CH=m，AD= ，
m
1 8
∴m= × ，
2 m
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∴m=2（负值舍去），
∴A(2,4)，C(0,2)，
2k+b=4
把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得{ ，
b=2
k=1
∴ { ；
b=2
②延长ED交y轴于P，如图所示：
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，
由①知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
2a+n=0 a=1
∴ { ，解得{ ，
4a+n=2 n=−2
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，即(0,−2)，故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析
式，正确地作出辅助线是解题的关键．
k
7．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数y=2x+b与反比例函数y= (k≠0)的图像交于点A(1,4)，
x
与y轴交于点B．
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(1)k=_________，b=_________；
k
(2)连接并延长AO，与反比例函数y= (k≠0)的图像交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三
x
角形与△AOB相似，求点D的坐标．
【答案】(1)4，2
( 17)
(2)点D的坐标为(0,−2)、 0,−
2
【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；
对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况△COD∽△AOB和
△COD∽△BOA，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．
【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得
4=2+b，
解得b=2，
一次函数的关系式为y=2x+2；
k
将点A（1，4）代入反比例函数y= ，得
x
4=k，
4
反比例函数的关系式为y= ．
x
故答案为：4，2；
（2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．
当x=0时，y=2，
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∴点B（0，2），
∴OB=2．
根据勾股定理可知AO=CO=√12+42=√17．
当点D落在y轴的正半轴上，则∠COD>∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
若△COD∽△AOB，
CO DO CD
则 = = .
AO BO AB
∵CO=AO，
∴BO=DO=2，
∴D(0,−2)；
OD OC
若△COD∽△BOA，则 = ．
OA OB
∵OA=CO=√17，BO=2，
17
∴DO= ，
2
( 17)
∴D 0,− ．
2
( 17)
综上所述：点D的坐标为(0,−2)、 0,− ．
2
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性
质和判定等．
8．（2020·山东泰安·中考真题）若一次函数y=−3x−3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的
坐标为(3,0)，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
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（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD//x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分
∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，
S =mS ．
△BFP △BAF
1
①当m= 时，求点P的坐标；
2
②求m的最大值．
1 9
【答案】（1）y=x2−2x−3；（2）y= x−1；（3）①点P(2,−3)或P(1,−4)；②m =
3 最大值 16
【分析】（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设BE交OC于点M．由B(3,0),C(0,−3)可得OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．再由CD//AB，
根据平行线的性质可得∠BCD=45°，所以∠OCB=∠BCD．已知BC平分∠DBE，根据角平分线的定
义可得∠EBC=∠DBC．利用AAS证得△MBC≌△DBC．由全等三角形的性质可得CM=CD． 由此即
1
可求得点M的坐标为（0，-1）．再由B(3,0)，即可求得直线BE解析式为y= x−1；
3
1 1
（3）①由S = S 可得PF= AF．过点P作PN//AB交BC于点N，则△ABF∽△PNF．根据
△BFP 2 △BAF 2
相似三角形的性质可得AB=2NP．由此即可求得NP=2．设P(t,t2−2t−3)，可得t2−2t−3=x −3．
N
所以x =t2−2t．由此即可得PN=t−(t2−2t)=2，解得t =2,t =1．即可求得点P(2,−3)或P(1,−4)；
N 1 2
②由①得m=
PN
．即m=
t−(t2−2t)
=−
1(
t−
3) 2
+
9
．再根据二次函数的性质即可得m =
9
．
4 4 4 2 16 最大值 16
【详解】（1）解：令−3x−3=0，得x=−1．令x=0时，y=−3．
∴A(−1,0),C(0,−3)．
∵抛物线过点C(0,−3)，
∴c=−3．
则y=ax2+bx−3，将A(−1,0),B(3,0)代入得¿
解得¿
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∴二次函数表达式为y=x2−2x−3．
（2）解：设BE交OC于点M．
∵B(3,0),C(0,−3)，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
∵CD//AB，
∴∠BCD=45°．
∴∠OCB=∠BCD．
∵BC平分∠DBE，
∴∠EBC=∠DBC．
又∵BC=BC，
∴△MBC≌△DBC．
∴CM=CD．
由条件得：D(2,−3)．
∴CD=CM=2．
∴OM=3−2−1．
∴M(0,−1)．
∵B(3,0)，
1
∴直线BE解析式为y= x−1．
3
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1
（3）①S = S ，
△BFP 2 △BAF
1
∴PF= AF．
2
过点P作PN//AB交BC于点N，则△ABF∽△PNF．
∴AB=2NP．
∵AB=4，
∴NP=2．
∵直线BC的表达式为y=x−3，
设P(t,t2−2t−3)，
∴t2−2t−3=x −3．
N
∴x =t2−2t．
N
∴PN=t−(t2−2t)，则t−(t2−2t)=2，解得t =2,t =1．
1 2
∴点P(2,−3)或P(1,−4)．
PN
②由①得：m= ．
4
t−(t2−2t) −t2+3t −(t2−3t) 1 [ ( 3) 2 9] 1( 3) 2 9
∴m= = = = × − t− + =− t− + ．
4 4 4 4 2 4 4 2 16
9
∴m有最大值，m = ．
最大值 16
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一
次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）①问
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时，作出辅助线求得NP=2是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．
112
