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专题 01 新知识学习型&新定义问题之求函数的取值范围
（解析版）
通用的解题思路：
第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看 ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；
第二步：当 时， ；当 时， ；所以 .
二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三
种情况。
（1）若自变量 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处 时，取到最值.
（2）若 ，如图②，当 时， ；当 时， .
（3）若 ，如图③，当 ， ；当 ， .
（4）若 ，且 ， ，如图④，当 ， ；当
， .
1.（中考真题）设a、b是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a⩽x⩽b的实数x的所有取值的全体
叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足：当m⩽x⩽n时,有m⩽y⩽n,我们
就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。
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(1)反比例函数 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
(3)若二次函数 是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a，b的值。
【解答】解：（1）反比例函数y＝ 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y＝ 在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013；当x＝2013时，y＝1，
所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数 y＝ 是闭区间[1，
2013]上的“闭函数”；
（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
，解得 ．∴此函数的解析式是y＝x；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，
，解得 ．∴此函数的解析式是y＝﹣x+m+n；
（3）∵y＝ x2﹣ x﹣ ＝ （x﹣2）2﹣ ，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣ ，且
当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知， ，
解得， （不合题意，舍去）或 ；
②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝ x2﹣ x﹣ 的最小值是﹣ ＝a，根据“闭函数”的定义知，
b＝ a2﹣ a﹣ 或b＝ b2﹣ b﹣ ；
a）当b＝ a2﹣ a﹣ 时，由于b＝ （﹣ ）2﹣ ×（﹣ ）﹣ ＝ ＜2，不合题意，舍去；
b）当b＝ b2﹣ b﹣ 时，解得b＝ ，由于b＞2，所以b＝ ；
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③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知， ，
解得， ，∵ ＜0，∴舍去．综上所述， 或 ．
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2．（中考真题）若关于x的函数y，当 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数 ，当 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数 （ ，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数 ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数 ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）解：①当 时，则 ，即 ， ， ， 随 的增
大而增大， ，
②若函数 ，当 时， ， ， ，
当 时，则 ， ，
综上所述， 时， ， 时， ，
（2）解：对于函数 ， ， ，函数在第一象限内， 随 的增大而减小，
，解得 ，当 时， ，
，
∵当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 取得最小值，此时 取得最大值，
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最大值为 ；
（3）对于函数 ， ，抛物线开口向下，
时， 随 的增大而增大， 时， 随 的增大而减小，当 时，函数y的最大值等于 ，
在 时，
①当 时，即 时， ， ，
，
的最小值为 （当 时），若 ，解得 ，但 ，故 不合题意，故舍去；
②当 时，即 时， ， ，
， 的最小值为 （当 时），若 ，解得 ，但 ，故 不
合题意，故舍去
③当 时，即 时， ，
i)当 时，即 时，
对称轴为 ， ，抛物线开口向上，在 上，当 2时， 有最小值 ， ，解得
；
i i)当 时，即 时， ， ，
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， 对称轴为 ， ，抛物线开口向上，在
上，当 2时， 有最小值 ， 解得 ，综上所述， 时，存在 ．
3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为
“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的
打“×”
① （ ） ② （ ） ③ （ ）
（2）若点 与点 关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对
称轴始终位于直线 的右侧，求 的值或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① ，
② ，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
【详解】（1）① 是 “H函数”② 是 “H函数”③ 不是 “H函数”；
故答案为：√；√；×；
（2）∵A,B是“H点”∴A,B关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入 ，
得 ，解得 ，又∵该函数的对称轴始终位于直线 的右侧，∴- ＞2 ，∴- ＞
2，
∴-1＜a＜0，∵a+c=0，∴0＜c＜1，综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1；
（3）∵ 是“H函数”，∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,
代入得 ，解得ap2+3c=0,2bp=q，∵p2＞0，∴a,c异号，∴ac＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c，
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∵ ，∴ ，∴ ，∴c2＜4a2，
∴ ＜4，∴-2＜ ＜2，∴-2＜ ＜0，设t= ，则-2＜t＜0，
设函数与x轴的交点为（x ,0）（x ,0），∴x , x 是方程 =0的两根，
1 2 1 2
∴ = = = =2 =
，又∵-2＜t＜0，∴2＜ ＜2 ．
4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有
最大值y ，最小值y ，设h＝y ﹣y ，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特
max min max min
别的，当h＝y ﹣y 为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
max min
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对
应（ ）内画“×”．①y＝2x （ ）；②y＝﹣2x+2 （ ）；③y＝x2 （ ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函
数解析式；
（3）若 ，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求
4ah的取值范围．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2
是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝
a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2 不是“极差常函数”，故答案为：
×；
（2）当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣ ，∴函数与x轴的交点为
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（﹣ ，0），∴S＝ ×|q|×|﹣ |＝1，∴ ＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，
∴q＝± ，∴函数的解析式为y＝x ；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，
∴q＝± ，∴函数的解析式为y＝﹣x ；综上所述：函数的解析式为y＝x 或y＝﹣x ；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣ ）2+4﹣ ，∴函数的对称轴为直线x＝ ，∵b＝a+3，∴x＝ ＝ +
，
∵ ，∴ ≤ + ≤ ， ≤a+3≤ ，∵（a+3﹣ ﹣ ）﹣（ + ﹣
a）＝2a+2﹣ ，∵ ，∴2a+2﹣ ＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，
∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝ 时，y有最小值4﹣ ＝4﹣ ，
∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+ ＝（a+3）2（a﹣1+ ），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，
∵2a2+5a﹣3＝2（a+ ）2﹣ ， ，∴ ≤2a2+5a﹣3≤9，
∴ ≤4ah≤81．
5.（雅实）若函数 、 满足 ，则称函数 y 是 、 的“融合函数”.例如，一次函数
和二次函数 ，则 、 的“融合函数”为 .
（1）若反比例函数 和一次函数 ，它们的“融合函数”过点 ，求k的值；
（2）若 为二次函数，且 ，在 时取得最值，函数 为一次函数，且 、
的“融合函数”为 ，当 时，求函数 的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函数 与一次函数 ，其中 且 ，若它们的“融合
函数”与x轴交点为 、 ，求 的取值范围.
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【解答】解：(1)由题意可得y 、y 的融合函数 ，将点 代入，可得： ，解得
1 2
.
(2) ∵ ，∴ ，∵y 为一次函数，
2
∴ ，即 ，∴ 在x=t处取得最值，∴ ，即 ，∴ ，即
，∴ ，对称轴： .①若 时，即当 时， ，
②若 时，即当 时， ，③若 时，即当 时， .
(3)y、y 的融合函数 ，∵与y轴交于点 、 ，
1 2
∴ ， ，∵ ，又∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ∴ ，
∴ ，当 时， ，当 时， ， .
6．（立信）已知：抛物线 ： （ ）．
（1）若顶点坐标为 ，求 和 的值（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，求函数 的最大值；
（3）若不论 为任何实数，直线 与抛物线 有且只有一个公共点，求 ， ， 的值；
此时，若 时，抛物线 的最小值为 ，求 的值．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，∴b＝﹣2a，c
＝a+1；
（2）∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，
∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；
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（3）∵直线 与抛物线C 有且只有一个公共点，∴方程组 只有一组解，
1
∴ax2+（b﹣m）x+ +m+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（ +m+c）＝0，
整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣
4ac＝0恒成立，∴ ，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣
1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，
∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴（k﹣1）2＝k，
解得：k＝ 或 ，∵k＞1，∴k＝ ，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或 ．
7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k
（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3
﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．
（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；
（2）反比例函数 （k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；
（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
【详解】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，∵1≤x≤3，∴k﹣1≤y≤3k﹣1，∵函数y＝kx﹣1
（1≤x≤3）为“k属和合函数”，∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝4；
当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，
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综上所述，k的值为4或﹣4；
（2）∵反比例函数y＝ ，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合
函数”，∴ ﹣ ＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b＝
﹣ ；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝
﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，
①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y ＝2﹣2a，当x＝1时，有y ＝2+2a
最大值 最小值
∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，∴k＝﹣2a，而a≤﹣1，∴k≥2；
②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y ＝a2+3，当x＝1时，有y ＝2+2a，
最大值 最小值
∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，∴k＝ ，∴ ≤k＜2；
③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y ＝a2+3，当x＝﹣1时，有y ＝2﹣2a，
最大值 最小值
∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝ ，∴ ＜k≤2；
④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y ＝2+2a，当x＝﹣1时，有y ＝2﹣2a，
最大值 最小值
∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2a，∴k＞2．
综上所述，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k≥ ．
8．（师大附中博才）已知a、b是两个不相等的实数且 ，我们规定：满足不等式 的实数x的
所有取值的全体叫做闭区间，表示为 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当
时，有 为正数 ，我们就称此函数是闭区间 上的“t倍函数”．例如：正比例函数 ，
当 时， ，则 是 上的“2倍函数”．
(1)已知反比例函数 是闭区间 上的“2倍函数”，且 ，求 的值；
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(2)①已知正比例函数 是闭区间 上的“t倍函数”，求t；
②一次函数 是闭区间 上的“2倍函数”，求此函数的解析式．
(3)若二次函数 是闭区间 上的“7倍函数”，求实数a、b的值．
【详解】（1）已知反比例函数 是闭区间 上的“2倍函数”， 当 时， ，
当 时， ；当 时， ，又 ， 当 时，y随x的增大而减小，当 时，y
随x的增大而减小， ，且 ， ，又 ，
，
（2）①已知正比例函数 ，y随x的增大而增大，且当 时， ；当 时， ，
当 时， ， 是闭区间 上的“1倍函数”，即
② 一次函数 是闭区间 上的“2倍函数”， 当 时， ，
若 时，y随x的增大而增大， 当 ，则 ；当 ，则 ，
， ，将 代入 ，得 ，
若 时，函数解析式为 若 时，y随x的增大而减小， 当 时， ；当
时， ， ， 若 时，函数解析式为 ，
综合以上分析，函数的解析式为 或 ．
（3）由二次函数 解析式可知，抛物线开口向上，对称轴 ， 当 时，y随x的增大
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而减小；当 时，y随x的增大而增大， 二次函数 是闭区间 上的“7倍函数”，
当 时， ，若 时，根据增减性，当 时， ；
当 时， ，两式相减得： ， ，
，将 代入 得： ， 或 ，
当 时， ；当 时， （舍去， ）．若 时，当 时， ，
解得 （舍去）或 ，当 时，
解得 或 ，均不符合 ，舍去．若 ， 时，当 时，
，
，则 时， ，若 ， ， 舍去 ，
当 时， ，则 （舍去）或 ．符合题意．
综上分析， ， 或者 ， ．
9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾
股值，记为 ．
(1)已知点A（1，3），B（ ，4），C（ ， ），直接写出 ， ， 的值；
(2)已知点D是直线 上一点，且 ，求点D的坐标；
(3)若抛物线 与直线 只有一个交点M，已知点M在第一象限，且 ．令
，试求t的取值范围．
【详解】（1）解：∵A（1，3），B（−2，4），C（ +2， −2），∴[A]=|1|+|3|=4，[B]=|-2|+|4|
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=6，[C]=| +2|+| −2|= +2+2- =4；
（2）设 D ( m ， n )，∵D是直线y＝x+2上一点，且[D]＝4，∴ ，解得 或 ，
∴点D的坐标（1，3）或（-3，-1）；
（3）由题意方程组 只有一组实数解，消去y得 ，由题意
，∴ ，∴方程可以化为 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ 或 ，解得 或
，
∵点M在第一象限，∴ ，∵ =
，
∵ ，∴ ．
10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′= ，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）
的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点( ，1)的限变点的坐标是 ；
②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝ 图象上某一个点的限变点，这个点是 ；（填“A”
或“B”）
（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k
的取值范围 ；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜
n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围 ．
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【详解】（1）①根据限变点的定义可知点( ，1)的限变点的坐标为（ ，1）；
②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．
（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y= 的图象上．
∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=-2时，-2=-x+3．∴x=5．
当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．∴x=-2或x=8． ∵-5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．
（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．
若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．
若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；
当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．
∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．
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