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查漏补缺 05 一次函数与反比例函数（8 大题型）
考点一： 一次函数
【题型一】一次函数图象上点的坐标特征
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的
交点位置.
2）为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)， 两点.（依
据：两点确定一条直线）.
3）一次函数平移变换方式：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
4）一次函数翻折变换方式：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
【中考真题】
1．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,−6)，若点A与点B关于原点
对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
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1 1
A．y=3x B．y=−3x C．y= x D．y=− x
3 3
2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再
向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y=−x+1 B．y=x+1 C．y=−x−1 D．y=x−1
3．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错
误的是（ ）
1
A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=− b
2
4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于
4
x轴的直线l与反比例函数y=− 的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，
x
所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m<−2或m>2 B．−22 D．m<−2或00）经过点(1,0)，并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为
4
．
√3 √3
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y= x− 与x轴相交于点A ，以OA 为边作等边三角形
3 3 1 1
OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点C ，以C A 为边作
1 1 1 1 2 1 1 2
等边三角形C A B （点B 在点B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形C A B ，等边三角形
1 2 2 2 1 2 3 3
C A B ⋯，则点A 的横坐标为 ．
3 4 4 2024
1
4．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB
3
4
上一动点，点H是直线y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．
3
当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．
P(t,0)为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的
重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
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(1)OB的长为 ___________；△OAB的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
6．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，
ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时
针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
1
已知点Q(0，−1)，连接BQ．抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ= ，若存在，求出点M的横坐
3
标．
7．（2023·重庆·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度
的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相
遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
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(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在
PO 1
PO的延长线上，使得 = ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如
QO 2
( 3) PO 1
图1，A(2,4),B(2,2),P −1,− 是线段AB外一点，Q(2,3)在PO的延长线上，且 = ，因为点Q
2 QO 2
在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
( 5 )
(1)如图1，已知图形W ：线段AB，A(2,4)，B(2,2)，在P − ,−1 ,P (−1,−1),P (−1,−2)中，
1 1 2 2 3
______是图形W 的“延长2分点”；
1
(2)如图2，已知图形W ：线段BC，B(2,2)，C(5,2)，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W 的“延
2 2
长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W ：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(−1,−2)，E(−1,1)，F(2,1)为顶
3
点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
3
【模拟训练】
1．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在
直线y=√3x上，点C的横坐标是2，将菱形OABC绕点O顺时针旋转90°得到菱形OA B C ，则点B的
1 1 1
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对应点B 的坐标为（ ）
1
A．(6,−2√3) B．(2√3,−6) C．(4√3,−4) D．(2,−6)
2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，B
3
在x轴的正半轴上，且直线AB的解析式为y=− x+3，原点O在边CD上，则点C的坐标为（ ）
4
(12 16) (48 64) (16 12) (64 48)
A． ,− B． ,− C． ,− D． ,−
25 25 25 25 25 25 25 25
3．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，以每秒1个单位长度
的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周(A→B→C→D→A)后停止，设y为点E运动t秒后△AOE的面
积，当A、O、E三点共线时y=0．那么，y关于t的函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
1
4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x−1
2
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的图像分别与x轴，y轴交于A，B两点，将直线AB向左平移后与x轴，y轴分别交于点D，点C．若
CD=AB，则直线CD的函数解析式为（ ）
1 1
A．y= x+1 B．y= x
2 2
1
C．y=x+2 D．y= x+2
2
5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2)，点B(4,0)．点C是AO的中点，
OD⊥BC于点E，交AB于点D，点D的横坐标是 ．
6．（2025·辽宁辽阳·二模）在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的
“点积值”．如图，线段AB位于第一象限，点A在直线y=x上，点B在直线的下方，AB=3，AB∥x轴，
当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ．
7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(−1,3)，O(0,0)，
B(3,−1)，C(5,4)，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点
的坐标为 ．
8．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：
如下图，直线x=1与y轴的距离为1．
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【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是 ；
1
（2）如图：已知点A(1,0)，圆A的半径为1，将直线y=− x+4向下平移m个单位后与圆A相切，求m
2
的值；
【拓展】
（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，
1
建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y= x2 （−6≤x≤6）（单位长度为百米），
8
3
地铁线所在的直线为y=− x−3，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请
4
直接写出点P的坐标．
9．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =mx+n(m≠0)与x轴交于点A，
1
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与y轴交于点B(0,6)，直线y =x+2与y轴交于点P，与y 交于点C(3,a)，点D为x轴上正半轴一动点，
2 1
过点D作x轴的垂线与直线y ，y 分别相交于E，F两点，过点E作EH∥x轴的直线交y 于点H．
1 2 2
(1)求a的值及y 的函数表达式；
1
(2)当EF=4，求D点的坐标；
(3)以EF，EH为边作长方形EFMH，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一
部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由．
10．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−2x+2的图象与x轴交于点B，
与y轴交于点A，与过点C(0,5)的直线CD交于点M(m,4)．
(1)求点M的坐标和直线CD的表达式；
(2)在直线CD上存在一点N，使得△BMN的面积是△AOB的面积的4倍，求点N的坐标；
(3)如图2，点P是直线CD在第二象限图象上的一点，且点P在点M的下方，作射线BP，把射线BP绕点B
顺时针旋转90°，得到射线BP'，在射线BP'上取一点Q，连接PQ，使得∠PQB=∠MBP，当△PBQ为
等腰直角三角形时，求出此时BP的长度．
考点二： 反比例函数
【题型一】反比例函数图象上点的坐标特征
1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这
个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，
y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
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1）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和
函数的增减性，也可以推断出k的符号.
2）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支
上；
3）|k|越大，与坐标轴的距离越远.
【中考真题】
4
1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数y= 的图象上有P(t,y )，Q(t+4,y )两点．下列正确的选项是
x 1 2
（ ）
A．当t<−4时，y 0时，00）的图象上，则k的值是 ．
x
6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
x ⋯ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ⋯
2 2 1 2 2 1 2
y= ⋯ − − − −1 −2 2 1 ⋯
x 5 2 3 3 2 5
3 1
x ⋯ −5 −4 −3 −2 − − 0 1 2 3 ⋯
2 2
2 1 2 2 1
y= ⋯ − − −1 −2 −4 4 2 1 ⋯
x+1 2 3 3 2
2 2
描点连线：在已画出函数y= 的图象的坐标系中画出函数y= 的图象．
x x+1
(2)【探究发现】
2 2
①将反比例函数y= 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数y= 的图象．
x x+1
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
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整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
1 1
①将反比例函数y=− 的图象先___________，再___________得到函数y=− −1的图象．
x x−2
1
②函数y=− −1图象的对称中心的坐标为___________．
x−2
7．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通
过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），已知
L
U
串联电路中，电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
R/Ω… 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a=_______，b=_______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= (x≥0)的图象
x+2 x+2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= (x≥0)的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥− x+6的解集为________．
x+2 2
8．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，
k
BD相交于点E，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A．
x
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(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【模拟训练】
6
1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为y= 的函数图象与性质，
x−1
下列说法正确的是（ ）
6 6 6
A．函数y= 的图象是y= 的图象平移得到的B．函数y= 的图象与x轴有一个交点
x−1 x x−1
6 6
C．函数y= 的图象与y轴的交点坐标是(0,6)D．函数y= 的图象关于原点对称
x−1 x−1
a
2．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数y = 第一象限的图象上，点B，D在反比例函数
1 x
b
y = 第二象限的图象上，AB∥CD∥x轴，AB=2，CD=3，AB与CD之间的距离为1，则a−b的值
2 x
是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
3．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度2cm，宽度AB可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量
水，随着AB的变化，水面高度也发生变化．设AB=xcm，水面高度为ycm，则y随x变化的函数图象是
如图所示的曲线，它与直线y=−x+10只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（ ）
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A．20cm3 B．30cm3 C．40cm3 D．50cm3
8
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A(x ,y )，B(x ,y )两点都在反比例函数y= 的图像上，若
1 1 2 2 x
y y
y y =−2，则 1+ 2 的值为 ．
1 2 x x
2 1
k2−4k+5
5．（2025·山东淄博·一模）若点M(x ,y )和点N(x ,y )在反比例函数y= （k为常数）的图象
1 1 2 2 x
上，若x <00)的图象上，若点B的坐标为(3√3,−√3)，∠B=30°，则该反比例函数的解析式为 ．
x
8．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴
k
都在格线上，其中反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则k=
x
．
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9．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数
k
y= (x>0)的图象经过点D(5,1.6)．
x
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3)将等腰△ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
m−2
10．（2025·天津红桥·一模）已知P(1,−3)在反比例函数y= （m为常数，且m≠2）的图象上．
x
(1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
( 3)
(2)判断点A(3,−1)，B(2,−2)，C −2, 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由：
2
(3)当−6≤x≤−3时，求该反比例函数的函数值y的取值范围．
【题型二】反比例函数系数k的几何意义
【中考真题】
1
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=− (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O
x
4 AO
作OA的垂线与反比例y= (x>0)的图象交于点B，则 的值为（ ）
x BO
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1 1 √3 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
2
2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，
x
AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D
2
是BC的中点；③在y= 的图象上任取点P(x ,y )和点Q(x ,y )，如果y >y ，那么x >x ；④
x 1 1 2 2 1 2 1 2
1
S = ．其中正确结论的个数是（ ）
△BOD 2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
k
过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y= (x>0)的图
x
象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
k 1
4．（2023·广西·中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的图
x x
象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，
1 2 3
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5
S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
k
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （k为大于0的常数，x>0）
x
图象上的两点A(x ,y ),B(x ,y )，满足x =2x ．△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面
1 1 2 2 2 1
积为6，则△ABC的面积是 ．
6．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形．点A，C
k
在坐标轴上．反比例函数y= (x>0)的图象经过点B．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S =3．求直线BD的函数表达式．
△OBD
【模拟训练】
k
1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数y= 1(x>0)的图象与正比例函数y=k x的图象交于点
x 2
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k
A(2,2)，将正比例函数y=k x的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数y= 1的图象交
2 x
于点C(1,m)，与y轴交于点B(0,n)，连接AC，则四边形OACB的面积为（ ）
9 7
A．5 B． C． D．3
2 2
2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点
B，点A在第一象限，C为斜边OA上一点，且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），
4 k
已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．结合图象判断下列结
x x
论：①△OBA≌△BCD；②四边形AOBD是平行四边形；③点C是OA的中点；④k的值是2．其中正确
结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
k
3．（2025·广东清远·模拟预测）已知点P(5,2)、Q(−2,−5)都在反比例函数y= 的图象上．过点P分别
x
作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S ；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标
1
轴围成的面积为S ，S 与S 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．S >S B．S =2S C．S 0)上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线
x
段，已知S =2，则S +S = ．
阴影 1 2
2
7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= 图象第一象限分支上任意
x
一点，连接OP，过点P作PA⊥y轴，垂足为点A，过点A作OP的平行线，该平行线与x轴交于点B，并
2
交y= 图象第三象限的分支于点C．
x
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（1）S = ；
△AOP
AB
（2） 的值为 ．
BC
8．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，点A在
第一象限，点B在x轴上，C为斜边OA上一点且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右
2 k
侧），已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．
x x
(1)证明：四边形AOBD是平行四边形；
(2)求k的值；
k
(3)取BD的中点E，证明：直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
9．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且
k
OA=3，OC=6，反比例函数y= (x>0)的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
x
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(1)如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k=______；②求△ODE的面积；
(2)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
【题型三】反比例函数与一次函数综合
1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点；
2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点；
3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数 与一次函数 两
个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判
断交点个数.
4）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解
集.
【中考真题】
1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−k=0无实数根，则函数y=kx与函
2
数y= 的图象交点个数为（ ）
x
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(4,2)在函数
k
y= (k>0,x>0)的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数
x
k
y= (k>0,x>0)的图象交于点C．若BC=√5，则点B的坐标是（ ）
x
A．(0,√5) B．(0,3) C．(0,4) D．(0,2√5)
3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比
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4
例函数y=− 的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m
x
的取值范围是（ ）
A．m<−2或m>2 B．−22 D．m<−2或00)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
k
7．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数y=k x+2的图象与反比例函数y= 2的图象相交于
1 x
A(m,4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO=2．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
k
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k x+2> 2的解集．
1 x
k
8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y= 的图象
x
(1 )
交于M ,4 ，N(n,1)两点．
2
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(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△OMN的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
4
9．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y=kx与双曲线y=− 交于A，B两点，已知A点坐标为(a,2)．
x
(1)求a，k的值；
4
(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线y=− 在第二象限的图象交于点C，与x轴交于
x
点E，与y轴交于点P，若PE=PC，求m的值．
【模拟训练】
k
1．（2025·安徽淮北·一模）已知反比例函数y= 与一次函数y=x+2的图像在第一象限交于点A，一次函
x
数y=x+2与 y 轴交于点B．若S =4，则k的值为（ ）
△OAB
A．8 B．12 C．24 D．48
6
2．（2025·江苏连云港·一模）若函数y= 的图像与函数y=2x−3的图像相交于点(a,b)，则代数式
x
b 2b−2a
− 的值为 ．
2a b
1
3．（2025·四川·模拟预测）如图，点A ，A ，A …在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B ，B ，B ，
1 2 3 x 1 2 3
1
…B 在y轴上，且∠B OA =∠B B A =∠B B A =…，直线y=x与双曲线y= 交于点A ，
n 1 1 2 1 2 3 2 3 x 1
B A ⊥OA ，B A ⊥B A ，B A ⊥B A ，则B (n为正整数）的坐标是 ．
1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 n
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4．（2024九年级·河北·学业考试）如图，在平面直角坐标系内有两个点A(4,0),B(0,4)，若反比例函数
k
y= (k≠0)的图象交线段AB于点C、D，且BC=CD，则k= ．
x
3
5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=2x+m与反比例函数y= 的图
1 x
象分别交于点A(−1,a)和点B．
(1)求直线l 的表达式；
1
3
(2)如图2，直线l 经过点B与反比例函数y= (x<0)的图象交于点C，与x轴交于点D，点D将线段BC分
2 x
CD 1
成CD，BD两条线段，且 = ，连接AD，求△ABD的面积；
BD 2
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使△BCE是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点
E的坐标；若不存在，请说明理由．
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k
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图像与反比例函数y= （k≠0）的图
x
像交于点 A(−1，4)，B(n，−1) ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为P (x ,y )，P (x ,y )，
1 1 1 2 2 2
(x +x y + y )
则P P 中点坐标为 1 2, 1 2 ）
1 2 2 2
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
k
(2)利用图像，直接写出不等式ax+b≥ 的解集；
x
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求
出点D的坐标．
【题型四】反比例函数与实际问题
1）利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系
式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
【中考真题】
1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若x=5，则y=100 B．若y=125，则x=4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起
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来，在中点O的左侧距离中点O25cm(L =25cm)处挂一个重9.8N(F =9.8N)的物体，在中点O的右侧用
1 1
一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单
位：N）满足FL=F L ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图
1 1
象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动
速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v= m/s．
4．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后
气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所
示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
5．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：
Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
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6．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3 ，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一
行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
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探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【模拟训练】
1．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I(A)和
它们两端的电压U(V)，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识
U=IR ，可判断这四个用电器中电阻R(Ω)最大的是 （ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质
量忽略不计）的可变电阻R (Ω)（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化而变化，此时
1 1
可通过电压表显示的读数U 换算为人的质量m(kg)．已知U 随R 的变化而变化（如图2），R 与踏板上
0 0 1 1
人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U 越小R 越大
0 1
B．当U =4V时，R 的阻值为30Ω
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，U =3V
0
D．若电压表量程为0−6V(0≤U ≤6)，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
0
3．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图1为某医院安装的烟雾
报警器，图2为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻R、电磁铁（线圈阻
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U
值R =18Ω）、电源电压U=6V、开关等组成（控制电路中的电流I= ）；“工作电路”由工作电
0 R+R
0
源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点a接触，指示灯正常工作．
当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点b接触，扬声器发出
报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图3为光敏电阻R（单位：Ω）与光照强度E（单位：cd）之间
的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为8Ω时，光照强度为4.5cd
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为3cd时，控制电路中的电流为0.2A
4．（2024·江苏宿迁·一模）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不
同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度
计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，则该液体的密
度ρ= g/cm3．
5．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经
空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横
截面示意图，这里OA表示起跳点A到地面OC的距离，OA=45m，以O为坐标原点，以地面的水平线
OC为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程
中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)满足y=ax2+2x+c(a≠0)．在着陆坡上设置点
K作为基准点，点K与AO相距30m，高度（与OC距离）为5m，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
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(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10m时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳
落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度v(m/s)的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与v2的对应
数据：
v2 150 170 190 210 230 250 270
1 5 5 5 5 1 5
a − − − − − − −
6 34 38 42 46 10 54
①猜想a关于v2的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
6．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒
100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国
家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
【题型五】反比例函数与几何综合
【中考真题】
a b
1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图
x x
象上，AB∥CD∥y轴，若AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a−b的值为（ ）
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A．−2 B．1 C．5 D．6
k
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y= (k≠0)的图象经
x
AN
过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则 的值为（ ）
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
k
3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y= (k>0,x>0)的图象上，
x
分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=3√2，则k
的值为（ ）
A．3 B．3√2 C．4 D．6
k
4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，将
x
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k
△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y= (x>0)上点C处，则B点坐标为 ．
x
5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形
k
OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
8
6．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等点，它
x 1 2 3 2024
们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
k
7．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点A ,A ,A ,⋯,A ,A 为反比例函数y= (k>0)图象上的点，
1 2 3 n n+1 x
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其横坐标依次为1,2,3,⋯,n,n+1．过点A ,A ,A ,⋯,A 作x轴的垂线，垂足分别为点
1 2 3 n
H ,H ,H ,⋯,H ；过点A 作A B ⊥A H 于点B ，过点A 作A B ⊥A H 于点B ，…，过点A
1 2 3 n 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 n+1
作A B ⊥A H 于点B ．记△A B A 的面积为S ,△A B A 的面积为S ,⋅⋅⋅,△A B A 的面积
n+1 n n n n 1 1 2 1 2 2 3 2 n n n+1
为S ．
n
(1)当k=2时，点B 的坐标为______，S +S = ______，S +S +S = ______，S +S +S +⋯+S = ______
1 1 2 1 2 3 1 2 3 n
（用含n的代数式表示）；
(2)当k=3时，S +S +S +⋯+S =______（用含n的代数式表示）．
1 2 3 n
8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与
6
反比例函数y= 的图像交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
x
(1)求k的值；
6
(2)利用图像直接写出kx+1< 时x的取值范围；
x
6
(3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y= (x>0)的图像交于点D，与y轴交于点E，再
x
6
将函数y= (x>0)的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
x
9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
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m
y= 的图象交于A(−6,1)，B(1,n)两点．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线x=−2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
m
(3)点Q在反比例函数y= 位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
x
【模拟训练】
k k
1．（2025·安徽·二模）如图，平行于y轴的直线分别交反比例函数y= 1与y= 2的图象（部分）于点A，
x x
B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
k +k k −k k −k
A．k +k B． 1 2 C． 1 2 D． 2 1
1 2 2 2 2
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，△OA B ，△A A B ，A A B ，…，A ❑ A B 都是斜边在
1 1 1 2 2 2 3 3 n ﹣1 n n
1
x轴上的等腰直角三角形，直角顶点B ，B ，B ，…，B 都在反比例函数y= （x>0）的图象上，则A
1 2 3 n x n
（n为正整数）的坐标是（ ）
A．(2√n,0) B．(√2n,0)
C．(√2n(n+1),0) D．(√2n+1,0)
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k
3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，反比例函数y= (k>0)的图象经过A(2,12),B(6,b)两点，直线
x
AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD·BC=AB·DO，连接CD，记△ADC,△DOC的面积分
别为S ,S ，则S −S 的值为（ ）
1 2 1 2
A．18 B．17 C．16 D．15
12
4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数y= (x>0)的图象，点A(2,6)，过点A作y轴的垂线，
x
垂足为点C，在射线CA上，依次截取A A =A A =A A =A A =CA，过点A ，A ，A ，A 分别作x
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4
轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B ，B ，B ，B ．按照上述方法则线段A B 的长度为（ ）
1 2 3 4 11 11
11 60 1 27
A． B． C． D．
2 11 2 5
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y
轴上，OA=15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到OA'D，若反比例
k
函数y= (k≠0)的图象经过A'点，则k的值为（ ）
x
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A．54 B．108 C．48 D．27
k
6．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x>0）的图象与边长是6的正
x
方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点.
（1）若点N是BC的中点，则k= ；
（2）已知△OMN的面积为16，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 .
m
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A(−3,4)在反比例函数y= 的图像上，点B在反比例函数
x
n
y= (n<0,x<0)的图像上，点C在x轴上，且四边形ABCO为菱形．将菱形ABCO沿y轴向上平移，使点
x
m
C落在反比例函数y= 的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ．
x
8．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含45°角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点
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4
O重合，点B在x轴上，点A在函数y= (x>0)的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到△OA'B'的位置，
x
4 k
使得点B'恰好也在函数y= (x>0)的图象上，此时点A'落在函数y= 上的图象上，则k的值为 ．
x x
9．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、
反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿
y轴向下平移的特征．
y=3x−3 x y A，B
一次函数图象的平移：如图①，一次函数 分别与 轴， 轴交于点 ，将
直线AB沿y轴向下平移3个单位，分别与x轴，y轴交于点D，C．分别将x=0，y=0代入y= 3x−3，
求得A(1,0)，B(0,−3)，则OA=1，OB=3，由平移的性质得AB∥CD，BC
OA OB
=3，∴∠ABO=∠DCO，C(0,−6)．∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO∼△DCO．∴ = ．
OD OC
∵OA=1，OB=3，OC=6，∴OD=2．∴D(2,0)．设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，分别
将D(2,0)，C(0,−6)代入y=kx+b(k≠0)，解得k=3，b =−6．直线CD的函数表达式为y=3x−6．
猜想1：将直线l ：y =kx+b(k≠0)沿y轴向下平移m个(m>0)单位后，所得直线l 的函数表达式为：
1 1 2
y =kx+b−m(k≠0，m>0)．
2
证明1：设点P(c，d)为l 上的任意一点，沿y轴向下平移m个单位后的对应点为Q(c,d−m)，将x=c代入
1
y =kx+b−m，得y =kc+b−m，∵点P(c,d)为l 上的点，
2 2 1
∴d=kc+b，∴kc=d−b，∴y =d−b+b−m=d−m，∴点Q(c,d−m)在直线y =kx+b−m上．
2 2
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：猜想2：将二次函数y =ax2(a≠0)的图象沿y轴向下平移m(m>0)个单位后，所得
1
二次函数的函数表达式为：y =ax2−m (a≠0,m>0)
2
证明2：．．．
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反比例函数图象的平移：．．．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
3
y=2 y= (x>0) A
x
任务三：如图②，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，将反比例函
3
数y= (x>0)的图象沿y轴向下平移2个单位后与直线y=2交于点B，直接写出线段AB的长．
x
10．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过Rt△ABC的两个顶点，则函
数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，且
1 1 2 2
y −y
x 2AB时，线段CD__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
k
【问题解决】（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y= (x>0)的图象，第一象限的角平
x
分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线OA上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，OA=2m，
AB=4m．用矩形PQMN模拟汽车，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好
不能通过该弯道．若PQ=bm，PN=2m，要使矩形PQMN能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数
据：√2≈1.4，√3≈1.7）
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