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重难点 05 反比例函数与一次函数的综合
考点一：一次函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01 一次函数图象上点的坐标特征
解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；
解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；
【中考真题练】
1．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
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A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣ b
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣ b，
∴kb＜0，
∴k+b＝ b＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个
单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再
根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
故选：A．
3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣ x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转
90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
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A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（ ，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，
OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根
据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣ x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣ x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
4．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 2 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，
再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；
当y＝0时，x﹣2＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．
∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ×|﹣2|×2＝2．
故答案为：2．
5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ﹣ 6 ．
【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
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，
解得： ，
∴ ，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
6．（2023•南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则 + 的值
是 1 ．
【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出 + 的值．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，
∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝ ；
∴点A的坐标为（ ，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），
∴OA＝ ，OB＝﹣2k+3，
∴ +
＝ +
＝ ﹣
＝
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＝1，
故答案为：1．
7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标
是 1 0 ．
【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．
【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l ：y＝ x上，顶点B在x轴
1
上，AB垂直x轴，且OB＝2 ，顶点C在直线l ：y＝ x上，BC⊥l ；过点A作直线l 的垂线，垂
2 2 2
足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第一个△A B C ；过点
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
第二个△A B C ；如此下去，…，则△A B C 的面积是 2 404 6 ．
2 2 2 2023 2023 2023
【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC ＝ ，证明△ABC∽△A
1
B
1
C
1
，
△ABC∽△A
2
B
2
C
2
，得出 ＝4S△ABC ， ＝42•S△ABC ＝（22）2•S△ABC ，总结得出
＝（2n）2S△ABC ＝22nS△ABC ，从而得出 ＝22×2023× ＝24046 ．
【解答】解：∵OB＝2 ，
∴B（2 ，0），
∵AB⊥x轴，
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∴点A的横坐标为2 ，
∵直线l ：y＝ x，
1
∴点A的纵坐标为 ＝ ，
∴∠AOB＝ ，
∴∠AOB＝30°，
∵直线l ：y＝ x，
2
∴C（x ， ），
C
∴ ＝ ，
∴∠BOC＝60°，
∴OC＝ ，
∴C点的横坐标为： ＝ ，
∴S△ABC ＝ ＝ ，
∵BC⊥l ，B C ⊥l ，B C ⊥l ，
2 1 1 2 2 2 2
∴BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
∴∠C B O＝∠C B O＝∠CBO＝30°，
1 1 2 2
∴∠C B O＝∠C B O＝∠CBO＝∠AOB，
1 1 2 2
∴AO＝AB ，A O＝A B ，
1 1 1 2
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1
∴OB＝ ，OB ＝ ，
1
∵AB⊥x轴，A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴AB∥A B ∥A B ，
1 1 2 2
∴ ， ，
∵BC∥B C ∥B C ，
1 1 2 2
∴ ， ，
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∴ ，
∵∠ABC＝∠A B C ＝90°﹣30°＝60°，
1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，
1 1 1
同理△ABC∽△A B C ，
2 2 2
∴ ＝4S△ABC ， ＝42•S△ABC ＝（22）2•S△ABC ，
∴ ＝（2n）2S△ABC ＝22nS△ABC ，
＝22×2023× ＝24046 ．
故答案为：24046 ．
9．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐
标．
【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；
（2）利用描点法画图象即可；
（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝2x﹣4 的图象与x轴交于点A，
∴令y＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，
∴点A的坐标是（2，0），
∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4 的图象上，
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把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，
∴m＝4，
∴点B的坐标是（4，4）；
（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB＝ ＝2 ，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为（6，0）或（2+2 ，0）．
【中考模拟练】
1．（2024•长丰县模拟）如图，直线 与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点
C，则点C的坐标为（ ）
A． B．（﹣6，0） C． D．
【分析】直线 与坐标轴交于点A、B，得到 ，结合CB⊥AB，得到
∠ACB＝∠ABO，利用正切函数计算OC即可．
【解答】解：∵直线 与坐标轴交于点A、B，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵CB⊥AB，CO⊥OB，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：A．
2．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
3．（2024•太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x ，
1
y ），B（x ，y ），若x ＞x ，则 y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x ＞x ，即可得出y
1 2 1
＜y ．
2
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x ，y ），B（x ，y ）都在一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上，且x ＞x ，
1 1 2 2 1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
4．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），
若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是
（ ）
A．3 B． C． D．
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【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP
交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，
MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，
因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，
再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝ ，证△PAC∽△BAO
得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝ ，则PF＝ ，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB
＝PF：AB，由此可得FD＝ ，PD＝ ，则ED＝OE+OP+PD＝ ，然后在Rt△EFD中由勾股定理求
出EF即可得MN+MP+NP的最小值．
【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设
FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：
则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，
∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，
根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，
∴MN+MP+NP≥EF，
∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，
对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，
∴点A（2，0），点B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
又∵点P（1，0），
∴OP＝1，
∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，
在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ，
∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，
∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，
又∵∠PAC＝∠BAO，
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∴△PAC∽△BAO，
∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，
即 ，
∴PC＝ ，
∴FC＝PC＝ ，
∴PF＝FC+PC＝ ，
∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，
∵△PFD∽△BAO，
∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，
即 ，
∴FD＝ ，PD＝ ，
∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+ ＝ ，
在Rt△EFD中，ED＝ ，FD＝ ，
由勾股定理得：EF＝ ＝ ．
故选：C．
5．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 ﹣ ．
【分析】代入y＝1，求出x的值即可．
【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，
解得：x＝﹣ ，
∴点A的横坐标是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
6．（2023•郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如
下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y＝﹣2|x﹣1| … ﹣5 m ﹣1 1 3 1 n ﹣3 ﹣5 …
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+3
填空：m＝ ﹣ 3 ，n＝ ﹣ 1 ；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：① 该函数图象是轴对称图形 ；② 该函数有最大
值 3 （答案不唯一） ；
（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范
围是 ﹣ 1. 5 ＜ a ＜ 0. 5 或 1. 5 ＜ a ＜ 3. 5 ．
【分析】（1）分别求出x＝﹣2和x＝3时对应的y值即可；
（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；
（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；
（4）分别求得y＝2与y＝﹣2时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，
当x＝3时，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，
故答案为：﹣3，﹣1；
（2）根据描点连线，如图所示．
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答
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案不唯一）．
故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；
（4）当y＝2时，即﹣2|x﹣1|+3＝2，
解得：x＝0.5或x＝1.5，
当y＝﹣2时，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2
解得x＝﹣1.5或x＝3.5，
根据函数图象可得，点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，
∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．
7．（2023•太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且
k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网
格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图
象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一
定会经过的点的坐标是 （ 2 ， 1 ） ．
归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是
（ m ， n ） ．
【实践运用】
（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若
△OAN的面积为4，求k的值．
【分析】（1）根据列表、描点、连线作图．
（2）将x＝2代入解析式求解．
（3）将x＝m代入解析式求解．
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（4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解．
【解答】解：（1）列表：
x ﹣1 0 1 2 3
y ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3
如图：
（2）将x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，
∴函数y＝k（x﹣2）+1的图象一定经过（2，1）．
故答案为：（2，1）．
（3）将x＝m代入y＝k（x﹣m）+n得y＝n，
∴函数y＝k（x﹣m）+n的图象一定经过（m，n），
故答案为：（m，n）．
（4）将x＝﹣2代入y＝k（x+2）+3得y＝3，
∴点N坐标为（﹣2，3），
将x＝0代入y＝k（x+2）+3得y＝2k+3，
∴点A坐标为（0，2k+3），
∴OA＝|2k+3|，
∴S△OAN ＝ OA•|x
N
|＝ OA＝|2k+3|＝4，
解得k＝﹣ 或k＝ ．
8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点
B．
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（1）k的值是 ﹣ ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐
标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由四边形OECD的面积是9，得出S梯形
CEOM
+S△CDM ＝ （1﹣ m+4）•m+ （﹣ m+4）•（6﹣m）＝9，解方程求得m的值，即可求得C的坐
标；
②由题意可知2（m﹣ m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得C的坐标
【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣ x+4．
∴设C（m，﹣ m+4）（0＜m＜8），
∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），
∴OD＝6，OE＝1，
∴OM＝m，CM＝﹣ m+4，
∵四边形OECD的面积是9，
∴S梯形CEOM +S△CDM ＝ （1﹣ m+4）•m+ （﹣ m+4）•（6﹣m）＝9，
整理得2m＝6，
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解得m＝3，
∴点C的坐标为（3， ）；
②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，
∴四边形CEOD是矩形，
∵四边形OECD的周长是10，
∴2（m﹣ m+4）＝10或2（﹣ m+4﹣m）＝10，
解得m＝2或m＝6，
点C的坐标为（2，3）或（﹣ ， ）．
题型02 一次函数的应用
解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量
解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润
解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义
【中考真题练】
1．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物
体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数
关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y
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与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶
往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮
与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是 a千
米/时，2a千米/时，即可得到方程： ax+2a（x﹣ ）＝a，求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是 小时， 小时，
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是 a千米/时，2a千米/时，
由题意得： ax+2a（x﹣ ）＝a，
∴x＝ ，
小时＝28分钟，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会
展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以
下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
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A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D
选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
4．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑
行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行
的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度
为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可
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以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前
和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
5．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）
之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝ 得出
小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．
【解答】解：设小明家距离商场为s m，
∵小明购物用时30min，
∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），
∴小明从家到商场的速度为 （m/min），
∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，
∴小明返回所用时间为 ＝10（min），
∴a＝42+10＝52，
故选：D．
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6．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如
图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达
式为 y ＝ 8 0 x ﹣ 1 0 ．
【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当
0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．
【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30，
设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（0.5，30），（2，150）代入得：
，
解得 ，
故答案为：y＝80x﹣10．
7．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，
因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；
购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有
几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用
为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得： ，
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解得： ，
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，
根据题意可得 ，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），
此时，150﹣a＝60（套），
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
8．（2023•青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了
10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量
不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获
利数；
（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；
②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最
大值计算出来和第一次获利比较即可．
【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：
，
解得 ，
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∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即
m≥50，
∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m＝50时，W取最大值，W大 ＝﹣4×50+3000＝2800（元），
∵2800＜2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
9．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同
一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车
相距120km，货车继续出发 h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15
分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合
图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 12 0 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数
关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程
即可得到结论；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240
（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发 h后
与出租车相遇，可得 ×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得
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出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120 ﹣120＝60（km/h）故可设直线BG
的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装
完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；
（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路
返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝ ，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t
小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣
512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km
时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为 小时，
∵a＝120（km），
∴货车卸货时与乙地相距120km，
∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发 h后与出租车相遇，
可得 ×（出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120 ﹣120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式
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为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），
∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝ ，
∴ ，
∴出租车返回后的速度为480÷（ ）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t ﹣（128t ﹣512）＝12，
1 1
解得t ＝ ；
1
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t ﹣512）﹣60t ＝12，
2 2
解得t ＝ ，
2
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 h或 h与出租车相距12km．
【中考模拟练】
1．（2024•兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都
让利酬宾，两家商场的购物金额y甲 、y乙 （单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，
张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
【分析】利用待定系数法即可求出y甲 ，y乙 关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断．
【解答】解：设y甲 ＝kx，把（1200，960）代入，
得1200k＝960，解得k＝0.8，
所以y甲 ＝0.8x，
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当0＜x＜200时，设y乙 ＝ax，
把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，
所以y乙 ＝x；
当x≥200时，设y乙 ＝mx+n，
把（1200，900），（200，200）代入，得 ，
解得 ．
所以y乙 ＝ ，
x＝620时，
y甲 ＝0.8×620＝496，
y乙 ＝0.7×620+60＝494，
494＜496，
∴从省钱的角度建议选择乙商场，
故选：B．
2．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮
的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二
次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（
）
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．
【分析】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符
合题意；
由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140
（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为
80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B
选项符合题意；
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最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝ ，故D选项符合题意．
【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，
第二次相遇两人共走了（3×2800）米，
且二者速度不变，
∴c＝60÷3＝20（分）．
故C选项不符合题意；
∵x＝35时，出现拐点，
∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），
两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），
明明的速度为140﹣80＝60（米/分），
∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；
故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），
最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），
第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），
所以b＝2000．
故B选项不符合题意；
最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，
解得d＝ ，
故D选项符合题意；
故选：D．
3．（2024•中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，
所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；
②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前
2天完成任务．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【分析】先建立函数关系式，再根据题意逐个判断即可．
【解答】解：设y甲 ＝kx，代入点（6，600）得：600＝6k，
∴k＝100．
∴y＝100x，
当0≤x≤2时，设y乙 ＝kx，代入点（2，300）得：300＝2k．
∴k＝150，
∴y乙 ＝150x，
当x≥2时，设y乙 ＝kx+b，代入点（2，300），（6，500）得：
解得：k＝50，b＝200．
∴y乙 ＝50x+200．
∵600÷6＝100米/天，
∴①正确．
∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，
∴②正确．
∵当x＝4时，y甲 ＝100x＝400（米）．
y乙 ＝50×4+200＝400（米）．
∴③正确．
当y甲 ＝100x＝600时，x＝6．
当y乙 ＝50x+200＝600时，x＝8，
8﹣6＝2，
∴④正确．
故选：D．
4．（2024•市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀
速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如
图所示，则出发 2. 1 h后，两人相遇．
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【分析】根据图形求出两人的速度，设出发x小时后两人相遇，再根据两人相遇时路程之和等于60即
可求解．
【解答】解：根据图像：乙的速度为：（60﹣40）÷1＝20（km/h），
甲的速度为：（20﹣0）÷1.5＝ （km/h），
设出发x小时后两人相遇，
根据题意得20（x﹣0.5）+ x＝60，
解得x＝2.1，
故答案为：2.1．
5．（2024•昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池
中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
注水时间为 时．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即
可．
【解答】解：设y 为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y ＝k x+b ，
1 1 1 1
∴ ，
解得 ，
即y ＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1），
1
设y 乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y ＝k x+b ，
2 2 2 2
∴ ，
解得 ，
即y ＝6x+2 （0≤x≤1）；
2
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令y ＝y ，则﹣4x+4＝6x+2，
1 2
解得：x＝ ，
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为 小时．
故答案为： ．
6．（2024•桑植县一模）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需
35元；若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需40元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种
奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系
式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
【分析】（1）根据题意可以写出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，
∴W随m的增大而减小，
∵购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，
∴ ，
解得73≤m≤75，
∴当m＝75时，W取得最小值，此时W＝1125，
答：W（元）与m（件）之间的函数关系式是W＝﹣5m+1500（73≤m≤75），最少费用W的值为
1125．
7．（2024•绥化模拟）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，e知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购
买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B
场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位
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同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门
票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的
同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买
部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种
门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．
购买方案
门票类型 A B C
购买数量/张
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返
回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时
间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的
函数关系．
（1）B，C两场馆之间的距离为 2 km；
（2）第二组步行的速度为 1 0 km/h；
（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．
【分析】任务一．
任务1．根据购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票
共需230元列出二元一次方程组求解即可得到A场馆和B场馆的门票价格；
任务2．若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，那么参观A场馆的人数和
参观C场馆的人数相等．购买门票所需总金额＝购买A场馆的门票费用+购买B场馆的门票费用．根据
到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数可得自变量的取值范围，根据一次项系数的符号及自变
量的取值范围可得此次购买门票所需总金额的最小值；
任务3．设购买A场馆门票m张，购买B场馆门票n张，则购买C场馆门票（40﹣m﹣n）张．根据最终
购买三种门票共花费了1100元可得二元一次方程，进而根据去A场馆的人数少于去C场馆的人数，去
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A场馆的人数尽量多求得合适的正整数解即可；
任务二、
（1）、由题意得：“W”形状的函数图象表示第二组同学离B场馆的距离与步行的时间的函数关系式，
第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．到达点C处时对应y轴上的数是
2，那么B，C两场馆之间的距离为2km；
（2）、由图象可得：第二组同学从A场馆到B场馆，步行了8千米，从B场馆到C场馆，步行了2千
米，原路返回后，步行的总路程为20千米，除以总用时，即为第二组步行的速度；
（3）、第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间＝第二组同学从A场馆到B场馆的路程÷第二组
步行的速度，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：任务一．
任务1：设A场馆门票为x元/张，B场馆门票为y元/张．
由题意，得： ．
解得： ．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
任务2：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张．
依题意，得a＜40﹣2a．解得 ．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600．
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小．
∵ ，且a为整数，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210（元），
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
任务3：设购买A场馆门票m张，购买B场馆门票n张，则购买C场馆门票（40﹣m﹣n）张．根据题意，
得：
50m+40n+15（40﹣m﹣n）＝1100．
50m+40n+600﹣15m﹣15n＝1100．
35m+25n＝500．
25n＝500﹣35m．
n＝20﹣ m．
∵m、n均为正整数，m足够多，m＜40﹣m﹣n，
∴m＝10，n＝6，c＝24．
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购买10张A场馆门票，6张B场馆门票，24张C场馆门票．
任务二．
（1）由题意得：“W”形状的函数图象表示第二组同学离B场馆的距离与步行的时间的函数关系式，
第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．到达点C处时对应y轴上的数是
2，
∴B，C两场馆之间的距离为2 km．
故答案为：2．
（2）由题意得：第二组同学步行的路程为：2（8+2）＝20（km），步行用的时间为2小时，
∴步行的速度为20÷2＝10（km/h）
故答案为：10．
（3）∵第二组从A场馆出发首次到达B场馆所走的路程为8km，第二组的速度是10km/h，
∴第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间为8÷10＝0.8h．
答：第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间为0.8小时．
题型03 一次函数与几何的综合
解题大招：一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐标
特征；
【中考真题练】
1．（2023•兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的
距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已
知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，
）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC＝ ，点
P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形
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ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P
是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）由已知点的坐标可求出∠TGO＝30°且P到EF的距离为2，从而利于三角比可求出线段
GP的长，进而可得点P的坐标；
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜ ），当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，从
而可得 ＝2a，求出a即可求出三角形的边长；
（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为 ，从而可得P既在正方
形的边上，也在到EF距离为 的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l ，分别求出l 过
1 1
A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l ，分别求出l 过A，C时b的值，即可求出b
1 1
的取值范围．
【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝ ，
则tan∠TGO＝ ＝ ，
∴∠TGO＝30°，
∴GP＝ ＝ ＝4，
∴P（3，0）．
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜ ），则C（a， ），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
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当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为 ，由题意知，
＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为 ＝ ，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为 ．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l ，l 与EF平行，且两直线间的距离为 ，
1 1
所以P既在l 上，又在正方形ABCD的边上，即l 与正方形ABCD有交点．
1 1
当b≤1时，l 为y＝﹣x+b+2，
1
当l 过A时，b＝﹣1，
1
当l 过C时，b＝1，
1
即﹣1≤b≤1；
当b＞1时，l 为y＝﹣x+b﹣2，
1
当l 过A时，b＝3，
1
当l 过C时，b＝5，
1
即3≤b≤5；
综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b
的“伴随点”．
2．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于
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点B．直线y＝ x﹣ 与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点
（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
▱
①当0≤m＜ 时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
【分析】（1）根据直线y＝ x﹣ 的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即
可；
（2）①用含m的代数式表示出MN，再根据MN＝CQ得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．
【解答】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝ x﹣ 上，
∴a＝ ＝ ，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6， ），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+6；
（2）①∵M点在直线y＝﹣ x+6上，且M的横坐标为m，
∴M的纵坐标为：﹣ m+6，
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∵N点在直线y＝ x﹣ 上，且N点的横坐标为m，
∴N点的纵坐标为： m﹣ ，
∴|MN|＝﹣ m+6﹣ m+ ＝ ﹣ ，
∵点C（6， ），线段EQ的长度为l，
∴|CQ|＝l+ ，
∵|MN|＝|CQ|，
∴ ﹣ ＝l+ ，
即l＝ （0≤m＜ ）；
②∵△AOQ的面积为3，
∴ OA•EQ＝3，
即 ，
解得EQ＝ ，
由①知，EQ＝6﹣ ，
∴|6﹣ |＝ ，
解得m＝ 或 ，
即m的值为 或 ．
3．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长
是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴
和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以
每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩
形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
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【分析】（1）过点A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的
长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明△EOD是等边三角形，求出DO＝DF＝4 ，然后分情况讨论：①当点N在DF上，即
0≤t≤2 时，过点M作NP⊥OB于P，②当点M在DE上，即2 ＜t≤4 时，过点M作NT⊥OB
于T，分别解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解
直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当AN是对角线时，则∠ACN＝
90°，过点M作NL⊥CF于L，证明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再
利用平移的性质得出点Q的坐标．
【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
∴OC＝6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，
∴OA＝OC＝6，∠BOC＝ ∠AOC＝30°，
∴CD＝OC•tan30°＝6× ＝2 ，
∴D（6，2 ），
过点A作AH⊥OC于H，
∵∠AOH＝60°，
∴OH＝ OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6× ＝3 ，
∴A（3，3 ），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
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代入A（3，3 ），D（6，2 ）得： ，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝﹣ ；
（2）解：由（1）知在Rt△COD中， ，∠DOC＝30°，
∴ ，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵直线 与y轴交于点E，
∴ ，
∴OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°， ，
∴∠OFE＝30°＝∠DOF，
∴ ，
①当点N在DF上，即 时，
由题意得： ， ，
过点N作NP⊥OB于P，
则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4 ﹣2t）× ＝6﹣ t，
∴S＝ DM×NP＝ （4 ﹣t）×（6﹣ t）＝ t2﹣9t+12 ；
②当点N在DE上，即 时
由题意得：DM＝OD﹣OM＝ ，DN＝2t﹣4 ，
过点N作NT⊥OB于T，
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则NT＝DN•sin∠NDT＝DN•sin60°＝（2t﹣4 ）× ＝ ，
∴S＝ ＝ ；
综上，S＝ ；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，
∵∠NFC＝30°， ，
∴∠NCK＝60°， ，
∴CF＝12﹣6＝6，
∴ ，
∴CK＝CN×cos60°＝3× ＝ ，NK＝CN×sin60°＝3× ＝ ，
∴将点N向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴Q（ ， ）；
②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，
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∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，
∴CL＝FL＝ CF＝3，
∴NL＝CL•tan30°＝3× ＝ ，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴Q（6，4 ）；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或（6，4
）．
【中考模拟练】
1．（2024•潮阳区校级一模）如图，已知一次函数 的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，
O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作 O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 2
．
⊙ ⊙
【分析】连接OP、OQ．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ
最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是 O的切线，
∴OQ⊥PQ；
⊙
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根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
∵一次函数 ，
当x＝0时，y＝3 ，
∴A（0，3 ），
当y＝0时，x＝3 ，
∴B（3 ，0），
∴OA＝OB＝3 ，
∴AB＝ ＝6，
∴OP＝ AB＝3，
∴PQ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
2．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线
AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 或 7 或 3+ 或 3
﹣ ．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；表示出线段OA，OC，利用勾股定理即可求得线段AC的长度；
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（2）①利用关于y轴对称的点的坐标的特征解答即可；
②分三种情况讨论解答，当∠ACE＝90°时和当∠CAE＝90°时，求出直线EC，AE的解析式，令y＝﹣
2，即可求得结论；当∠AEC＝90°时，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线
于点G，利用相似三角形的判定与性质求得线段AF，即可得出结论．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣3；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3，
∵点A坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝ ＝ ＝3 ；
（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，
∴D（﹣2，﹣2）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；
②当∠ACE＝90°时，如图，
∵EC⊥AC，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，
令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，
∴x＝﹣ ，
∴E（ ，﹣2）；
当∠CAE＝90°时，如图，
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∵EC⊥AC，
∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，
∴0＝﹣2×6+m＝0，
∴m＝12，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，
令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，
∴x＝7，
E（7，﹣2）；
当∠AEC＝90°时，如图，
过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，
∵∠AEC＝90°，
∴∠FEA+∠CEG＝90°，
∵CG⊥FE，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∠GCE＝∠FEA，
∵∠CGE＝∠AFE＝90°，
∴△CGE∽△EFA，
∴ ．
由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，
∴ ．
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∴AF＝ ﹣3．
∴OF＝3+ ，
∴E（3+ ，﹣2），
同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣ ，﹣2）．
综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为 或7或3+ 或3﹣ ．
故答案为： 或7或3+ 或3﹣ ．
3．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中有A（﹣4，1），B（1，6）两点，在线段AB处放置一
平面镜．从点C（﹣1，0）发出一束光线照向平面镜AB上的动点P．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）若光线CP的解析式为y＝﹣3x+b，求出点P的坐标；
（3）若光线CP经过AB的反射后落在x轴上的点D（﹣2，0）处，直接写出光线从点C出发经点P反
射后到达点D的路径长．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+t，把A，B坐标代入解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）把C（﹣1，0）代入y＝﹣3x+b即可得出b的值；再联立y＝x+5解方程组，即可求出P的坐标；
（3）根据光反射原理，先找到点C关于AB的对称点C′，再连接C′D交AB于点P，求出直线DC′
的长即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+t（k≠0），
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∵A（﹣4，1），B（1，6），
则 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝x+5；
（2）∵直线CP：y＝﹣3x+b过点C（﹣1，0），
∴3+b＝0，
∴b＝﹣3，
即直线CP：y＝﹣3x﹣3，
联立方程组 ，
解得 ，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（3）如图：作出点C关于直线y＝x+5的对称点C′，根据光反射原理，反射光线经过点C′，连接
C′D交AB于P，
∴PC′＝PC，CC′⊥AB，
∵直线AB的解析式为y＝x+5，
∴E（﹣5，0），F（0，5），
∴∠PEC＝45°，
∵C（﹣1，0），
∴Q（﹣3，2），
∴C′（﹣5，4），
∴光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长为CP+PD＝C′P+PD＝C′D，
∵点D（﹣2，0），
∴C′D＝ ＝5，
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∴光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长为5．
4．（2024•龙湖区一模）综合运用
（1）如图1，∠ACE＝90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点
D，当BC＝DE时，判断线段AC与CE的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）如图2，直线l ：y＝ x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l 绕点B顺时针旋转45°至直线l ，求直
1 1 2
线l 的函数解析式．
2
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的
负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象
限，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【分析】（1）根据ASA可判定△ACB≌△CED，即可得出结论；
（2）过过点A做AC⊥AB交直线l 于点C，过点C作CD⊥x轴于D，根据△ADC≌△BOA，求得C
2
（﹣7，3），最后运用待定系数法求直线l 的函数表达式；
2
（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四
象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，﹣
2x+6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
又∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ACB＝∠CED，
∵BC＝DE，
∴△ACB≌△CED（ASA），
∴AC＝CE；
（2）∵直线l ：y＝ x+4与坐标轴交于点A，B，
1
∴B（0，4）、A（﹣3，0），
如图2，过点A做AC⊥AB交直线l 于点C，过点C作CD⊥x轴于D，
2
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∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∵将直线l 绕点B顺时针旋转45°至直线l ，
1 2
∴∠ABC＝45°，
∴BC＝CA，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝AO＝3，AD＝BO＝4，
∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
设l 的解析式为y＝kx+b，将B，C点坐标代入，得 ，
2
解得 ，
∴l 的函数表达式为y＝ x+4；
2
（3）当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，
即：12﹣2x＝8﹣x，
解得x＝4，
∴﹣2x+6＝﹣2，
∴D（4，﹣2），
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此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，
即：2x﹣12＝8﹣x，
解得x＝ ，
∴﹣2x+6＝﹣ ，
∴D（ ，﹣ ），
此时，ED＝PF＝ ，AE＝BF＝ ，BP＝PF﹣BF＝ ＜6，符合题意，
综上，点D的坐标为（4，﹣2）或 ，﹣ ）．
考点二：反比例函数
反比例函数在中考中的占比比一次函数更大，也常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比
例函数点的坐标特征和k的几何意义考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的
性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析
式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系等。
题型01 反比例函数图象上点的坐标特征
易错点：在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的
解题大招：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
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【中考真题练】
1．（2023•泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的
可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝ （a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【解答】解：A、若直线y＝ax+b过点（1，4），（2，2），则 ，
解得 ，
所以y＝﹣2x+6，
当x＝4时，y＝﹣2，故（4，1）没在直线y＝ax+b上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，a＝4＞0，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入y＝ax2+bx+c得 ，
解得 ，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
2．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：B．
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3．（2023•通辽）已知点A（x ，y ），B（x ，y ） 在反比例函数 的图象上，且x ＜0＜x ，则下列
1 1 2 2 1 2
结论一定正确的是（ ）
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ﹣y ＜0 D．y ﹣y ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x ＜0＜x ，可判断y ＞0＞y ，进而得出答案．
1 2 1 2
【解答】解：∵反比例函数 的图象在二、四象限，而x ＜0＜x ，
1 2
∴点A（x ，y ）在第二象限反比例函数 的图象上，B（x ，y ） 在第四象限反比例函数 的
1 1 2 2
图象上，
∴y ＞0＞y ，
1 2
∴y ﹣y ＞0，
1 2
故选：D．
4．（2023•牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝ 的图象经过点C和AD
的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特
征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
故选：B．
5．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝ （k≠0）的
图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
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A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a， ），再由正方形ADEF，建立关于a的
方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝ 图象上，
∴4＝ ．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a， ）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝ ．
∴a ＝4，a ＝﹣2．
1 2
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
6．（2023•湖北）在反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜0＜x 时，有
1 1 2 2 1 2
y ＜y ，则k的取值范围是（ ）
1 2
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x ＜0＜x 时，有y ＜y ，
1 2 1 2
∴反比例函数y＝ 的图象位于一、三象限，
4﹣k＞0，
解得k＜4，
故选：C．
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7．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA
的中点，AC，BD交于点E，函数 的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图
象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝﹣ B． C． D．
【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
A（6，0），B（6，3），C（0，3），
令直线AC的函数表达式为y ＝k x+b ，
1 1 1
则 ，
解得 ，
所以 ．
又因为点D为OA的中点，
所以D（3，0），
同理可得，直线BD的函数解析式为y ＝x﹣3，
2
由 得，
x＝4，
则y＝4﹣3＝1，
所以点E坐标为（4，1）．
将B，E两点坐标代入函数解析式得，
，
解得 ．
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所以 ，
则 ，
将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
所得图象的函数解析式为： ．
故选：D．
8．（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，
CB⊥OB，若AB＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，
即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝ ，
∴OB＝2AB＝2 ，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中 ＝ ，即 ＝ ，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中 ＝ ，即 ＝ ，CE＝2，
＝ ，即 ＝ ，
∴OE＝2 ，
∴点C（2 ，2），
∴k＝2 ×2＝4 ．
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故答案为：4 ．
9．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．点A的坐
标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 2 ﹣ 2 ．
【分析】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关
于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m ＝﹣1+ ，m ＝﹣1﹣ （舍去），
1 2
∴点A的坐标为（﹣1+ ，2），
∴k＝xy＝2（ ﹣1）＝2 ﹣2．
10．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x
轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数
的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
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【分析】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值；
（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根
据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上，
∴2＝ ，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S＝ ×（﹣t）×（2﹣t）＝ t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（ t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
【中考模拟练】
1．（2024•高唐县一模）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y＝ 的图象上，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即
可得出结论．
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【解答】解：∵反比例函数y＝ 中k＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴A（﹣3，a），B（﹣1，b）位于第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＞a＞b．
∵2＞0，
∴点C（2，c）位于第一象限，
∴c＞0，
∴b＜a＜c．
故选：B．
2．（2024•元谋县一模）若反比例函数 经过点（﹣2，6），则其图象分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先求出k值，再利用反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数 经过点（﹣2，6），
∴k＝﹣2×6＝﹣12＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：D．
3．（2024•瓯海区模拟）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分
别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF
＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
【分析】过点C作CH⊥AD于点H，可得CH∥EG∥OF，进而可得：△DFO∽△DCH，
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△AEG∽△ACH，结合CF＝2DF和菱形性质，可推出：CH＝3OF，DH＝3OD， ，设
OD＝a，则DH＝3a，再结合DG﹣AG＝3，即可求出a＝1，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
∵EG⊥OA，即EG⊥AD，
∴CH∥EG∥OF，
∴△DFO∽△DCH，
∴ ，
∵CF＝2DF，DC＝DF+CF，
∴DC＝3DF，
∴ ，
∴CH＝3OF，DH＝3OD，
设OD＝a，则DH＝3a，
∴OH＝DH﹣OD＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE＝AE，即 ，
∵EG∥CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴ ，
∴AG＝GH，
∵DG﹣AG＝3，
∴DH+GH﹣AG＝3，
∴DH＝3，即3a＝3，
∴a＝1，
∴OH＝2，即点C的横坐标为2，
∵反比例函数y＝ 的图象经过C，E两点，
∴C（2， k），
∴CH＝ k，
∴EG＝ CH＝ k，
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∴E（4， k），
∴G（4，0），
∴OG＝4，
∴GH＝OG﹣OH＝4﹣2＝2，
∴AG＝2，
∴AD＝OD+OH+GH+AG＝1+2+2+2＝7，
∴CD＝7，
在Rt△CDH中，DH2+CH2＝CD2，
∴32+（ k）2＝72，
解得：k＝±4 ，
∵反比例函数y＝ 的图象在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝4 ，
故选：C．
4．（2024•任城区一模）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（﹣
，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，
若点E在反比例函数y＝ （x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
【分析】此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；
从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
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【解答】解：过E点作EF⊥OC于F，
由条件可知：OE＝OA＝5， ＝ ，
所以EF＝3，OF＝4，
则E点坐标为（﹣4，3）
设反比例函数的解析式是y＝
则有k＝﹣4×3＝﹣12
故选：C．
5．（2024•潜山市校级一模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数
经过点A与点C，则k＝ ．
【分析】作CD⊥OB于点D，求出∠CBD＝30°，然后求出CD和BD的长，设A（a，2）则
，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【解答】解：如图，作CD⊥OB于点D．
∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝2．
∵AB⊥x轴，
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∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴ ，
∴ ．
设A（a，2）则 ．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2024•铁东区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 图象上，AC⊥y轴于点
C，BD∥x轴交OA于点D， ，BD＝4，OB＝8，则k的值为 ．
【分析】延长BD交y轴于M，设点B ，其中t＞0，则BM＝t，OM＝k/t，MD＝BM﹣BD＝t﹣
4，根据AC＝ 得点A ，则OC＝ ，证△OMD和△OCA相似得OM：OC＝
MD：AC，即 ，整理得t2﹣4t﹣12＝0，由此解出t＝6，则BM＝t＝6，然后
在Rt△OBM中由勾股定理求出OM＝ ，则点B（6， ），据此可得k的值．
【解答】解：延长BD交y轴于M，如下图所示：
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∵点B在反比例函数 的图象上，
∴设点B ，其中t＞0，
∴BM＝t，OM＝ ，
∵BD＝4，
∴MD＝BM﹣BD＝t﹣4，
∵AC⊥y轴于点C，BD∥x轴交OA于点D，
∴BM＝t，OM＝ ，BD∥AC，
∵AC＝ ，
∴点A的横坐标为 ，
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴点AA ，
∴OC＝ ，
∵BD∥AC，
∴△OMD∽△OCA，
∴OM：OC＝MD：AC，
∴OC•MD＝OM•AC，
即 ，
整理得：t2﹣4t﹣12＝0，
解得：t ＝6，t ＝﹣2（不合题意，舍去），
1 2
检验后知道t＝6是分式方程 的根，
∴BM＝t＝6，
在Rt△OBM中，BM＝6，OB＝8，
由勾股定理得：OM＝ ＝ ，
∴点B（6， ），
∴k＝6× ＝ ．
故答案为： ．
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7．（2024•浙江模拟）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝ （x＜
0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．
（1）若点A的坐标为（ ，2），则a+b的值是 ﹣ 2 ．
（2）若点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是 6 ．
【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得a、b的值，进而求得a+b的值；
（2）设A点的纵坐标为n，由题意可知C点的纵坐标为n﹣1，根据AB∥x轴，AB＝2得出 ﹣ ＝2，
得到a﹣b＝2n，根据CD∥AB，CD＝3，得出 ﹣ ＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣
3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（ ，2），AB∥x轴，AB＝2，
∴B（﹣ ，2），
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
∴a＝ ＝1，b＝﹣ ＝﹣3，
∴a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（2）设A点的纵坐标为n，则C点的纵坐标为n﹣1，
∵AB∥x轴，AB＝2，
∴A（ ，n），B（ ，n），
∴ ﹣ ＝2，
∴a﹣b＝2n，
∵CD∥AB，CD＝3，
∴C（ ，n﹣1），D（ ，n﹣1），
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∴ ﹣ ＝3，
∴a﹣b＝3n﹣3，
∴2n＝3n﹣3，
∴n＝3，
∴a﹣b＝2n＝6．
故答案为：6．
8．（2024•遵义一模）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究 的图象
与性质，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
（1）表中m的值是 1 ，并将函数 的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），请直接写出不等式 的
解集．
【分析】（1）将x＝2代入 的求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）将x＝2代入 的得y＝ ＝1，
∴m＝1，
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将函数 的图象补充完整如图：
；
故答案为：1；
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），
∴ ，解得 ，
∴一次函数为y＝ ，
令 ，整理得x2+5x﹣4＝0，
解得x＝ 或x＝ （舍去），
∴一次函数y＝ 与函数y＝ 的交点的横坐标是 ，
令 ＝﹣ ，整理得x2+5x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴一次函数y＝ 与函数y＝﹣ 的交点的横坐标是﹣4或﹣1，
由图象可知，不等式 的解集是﹣4＜x＜﹣1或x＞ ．
题型02 反比例函数与一次函数图象的交点问题
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解题大招：反比例函数与一次函数的交点的求解方法——联立两个函数的解析式，解得方程的解就是交点
的横纵坐标。
【中考真题练】
1．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y ＝x﹣2与反比例函数y ＝ 的图象交于A，B两点，
1 2
下列结论正确的是（ ）
A．当x＞3时，y ＜y B．当x＜﹣1时，y ＜y
1 2 1 2
C．当0＜x＜3时，y ＞y D．当﹣1＜x＜0时，y ＜y
1 2 1 2
【分析】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y ＞y ，故选项A结论错误，不符合题意；
1 2
当x＜﹣1时，y ＜y ，故选项B结论正确，符合题意；
1 2
当0＜x＜3时，y ＜y ，故选项C结论错误，不符合题意；
1 2
当﹣1＜x＜0时，y ＞y ，故选项D结论错误，不符合题意．
1 2
故选：B．
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式
ax+b 的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值
范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
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∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞ 时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
3．（2023•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两
点，且与反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0）， ，则k的值
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据 ＝ ，以
及△COA和△AOB等高，所以S△COA ：S△AOB ＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，
得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
【解答】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；
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∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝ ，
∴一次函数解析式：y＝ ；
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为 ，OB＝ ；
∵△COA和△AOB等高，且 ，
∴S△COA ：S△AOB ＝1：2；
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝ ＝ ；
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
∴C点坐标（3， ），
∴k＝3× ＝ ；
故选：C．
4．（2023•达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边
三角形ABC，若反比例函数y＝ 的图象过点C，则k的值为 ﹣ 6 ．
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【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y＝﹣ ，故可设C（a，﹣ ），
再由AC＝AB求出a的值代入y＝ 即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组 ，
∴ 或 ．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣ ．
∴可设C（a，﹣ ）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得： ．
∴a＝±2 ．
∴C（2 ，﹣ ）或（﹣2 ， ）．
将点C代入y＝ 得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
5．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．
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【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证
得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为
PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得
k．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴ ＝ ＝1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数 的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
6．（2023•阜新）正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x
轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC的面积是 5 ．
【分析】先求出A，B两点的坐标，进而得出点C的坐标，以AC为底，则高为A，B两点间的水平距离，
可求得△ABC的面积．
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【解答】解：由题知，
，解得 或 ，
即A（ ， ），B（ ， ）．
又AC⊥x轴，垂足为点C，
所以C（ ，0）．
则AC＝ ，
故h＝ ＝ ．
所以 ＝5．
故答案为：5．
7．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交
y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （ ， 2 ） ．
【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作
BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
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【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴2＝ ．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝ ．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝ ．
∴C点的横坐标为 ．
又C在双曲线y＝ 上，
∴C（ ，2 ）．
故答案为：（ ，2 ）．
8．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝k x+b与双曲线y ＝ （其中k •k ≠0）相交于
1 1 2 1 2
A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
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【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形
的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵直线y ＝k x+b与双曲线y ＝ （其中k •k ≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）
1 1 2 1 2
两点，
∴k ＝﹣2×3＝﹣2m
2
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP ＝ ＝ ．
故答案为： ．
9．（2023•湖北）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）与函数为 的图象交于
1
两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y ﹣y ＞0时x的取值范围；
1 2
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点Q，若△POQ的面积
2
为3，求点P的坐标．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y ＝ （x＞0），求得函数的解析式，进而求得B
2
的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y ＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
1
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（2）由题意即求y ＞y 的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的
1 2
取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且 ≤p≤4，则Q（p， ），求得PQ＝﹣2p+9﹣ ，根据三角形面
积公式得到S△POQ ＝ （﹣2p+9﹣ ）•p＝3，解得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y ＝ （x＞0）的图象经过点A（4，1），
2
∴1＝ ．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y ＝ （x＞0）．
2
把B（ ，a）代入y ＝ （x＞0），得a＝8．
2
∴点B坐标为（ ，8），
∵一次函数解析式y ＝kx+b图象经过A（4，1），B（ ，8），
1
∴ ．
∴ ．
故一次函数解析式为：y ＝﹣2x+9．
1
（2）由y ﹣y ＞0，
1 2
∴y ＞y ，即反比例函数值小于一次函数值．
1 2
由图象可得， ＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且 ≤p≤4，
∴Q（p， ）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣ ．
∴S△POQ ＝ （﹣2p+9﹣ ）•p＝3．
解得p ＝ ，p ＝2．
1 2
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∴P（ ，4）或（2，5）．
【中考模拟练】
1．（2024•南通模拟）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m为常数且m≠0）
1 2
的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞ ﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx＞ ﹣b的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y ＝ （m为常数且
1 2
m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx＞ ﹣b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：C．
2．（2024•关岭县一模）如图，反比例函数 与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点
到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可计算出第一象限的交点坐标为（1，2），继而求出交点与原点之间的距离，再根据
反比例函数中心对称性质得到结果．
【解答】解：∵中一个交点到坐标轴x的距离是2，即y＝2，
∴其中在第一象限的交点坐标为（1，2），
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∴交点到原点的距离为 ＝ ，
∴两交点之间的距离为2 ．
故选：B．
3．（2024•石峰区一模）如图，一次函数y ＝k x+b的图象与反比例函数 的图象交于点
1 1
A（4，n）与点B（﹣1，﹣4）．连接BO并延长交反比例函数于另一点C，过点C作y轴的平行线交直
线AB于点D，连接OD，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点A的坐标，进一步求得直线AB的解析式，
利用反比例函数的中心对称性求得C的坐标，即可求得D点的坐标，从而求得CD的长度．
【解答】解：∵反比例函数 的图象交于点A（4，n）与点B（﹣1，﹣4），
∴k ＝4n＝﹣1×（﹣4），
2
∴k ＝4，n＝1，
2
∴A（4，1），
把A、B的坐标代入y ＝k x+b得 ，
1 1
解得 ，
∴直线AB为y＝x﹣3，
∵B（﹣1，﹣4），
∴C（1，4），
∵CD∥y轴，
∴D（1，﹣2），
∴CD＝4+2＝6，
故选：B．
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4．（2024•武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数 的图
象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD＝8，则k的值为
（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出
∠OAB＝∠OBA＝45°，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD＝8列出即可求
出k的值．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x＝0代入y＝x+b，
∴y＝b，
∴B（0，b），
∴OB＝﹣b，
令y＝0代入y＝x+b，
∴x＝﹣b，
∴（﹣b，0），
∴OA＝OB＝﹣b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
设M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴﹣y＝ AC，x＝ BD，
∴AC＝﹣ y，BD＝ x，
∵AC•BD＝8，
∴﹣ y• x＝8，
∴xy＝﹣4，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
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5．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边
BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝ 的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和
x轴相交于点D和G，若DE•EG＝ ，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得 ，得到直线EF解析式y＝﹣ +3m+3，令x＝0，y＝3m+3，D（0，
3m+3），由勾股定理可得DE＝5m和EG＝5，代入DE•EG＝ 可计算出m值，继而k值可得．
【解答】解：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得 ，
∴y＝﹣ +3m+3，
令x＝0，y＝3m+3，
∴D（0，3m+3），
作EM⊥x轴，垂足为M，则OM＝AE＝4m，EM＝3，
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，
∴DE＝5m，
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，
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∴EG＝5，
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，
∴m＝ ，
∴k＝12m＝12× ＝1．
故选：A．
6．（2024•西城区校级模拟）如图，函数y＝﹣x与函数 的图象相交于A、B两点，BD⊥y轴于点D，
则四边形ADBC的面积为 8 ．
【分析】根据反比例函数k值几何意义可得S△BOD ＝S△AOC ＝ ＝2，根据反比例函数图象是中心对
称图形可得S△AOD ＝S△BOD ＝S△BOD ＝S△AOC ＝2，继而可得四边形面积．
【解答】解：∵函数y＝﹣x与函数 的图象相交于A、B两点，
∴AO＝OB，S△BOD ＝S△AOC ＝ ＝2，
根据反比例函数图象是中心对称图形，
∴S△AOD ＝S△BOD ＝S△BOD ＝S△AOC ＝2，
∴四边形ADBC的面积为2×4＝8．
故答案为：8．
7．（2024•庐阳区校级一模）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、
y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函
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数y＝ （k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ 2 ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
【分析】（1）用k分别表示出点E和点F的坐标即可解决问题．
（2）过点E作x轴的垂线，利用相似三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）因为四边形AOBC是矩形，且OB＝6，OA＝3，
所以x ＝6，y ＝3．
F E
又因为点E和点F在反比例函数y＝ 的图象上，
所以点E坐标为（ ），点F坐标为（6， ），
所以CE＝6﹣ ，CF＝3﹣ ．
在Rt△CEF中，
tan∠EFC＝ ．
（2）过点E作x轴的垂线，垂足为M，
因为点F坐标为（ ），点E坐标为（ ），
所以BF＝ ，CE＝ ．
有折叠可知，
tan∠GFE＝tan∠EFC＝2，
所以 ．
因为∠MEG+∠MGE＝∠MGE+∠BGF＝90°，
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所以∠MEG＝∠BGF．
又因为∠EMG＝∠GBF＝90°，
所以△EMG∽△GBF，
所以 ，
所以MG＝ ，GB＝ ，
则MG+GB＝EC，
即 ，
解得k＝ ．
故答案为： ．
8．（2024•玉山县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，
且与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中
OA＝OB＝OD＝2．
（1）直接写出点A，C的坐标．
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝ 的解析式．
【分析】（1）利用OA＝OB＝OD＝2直接写出A点坐标和B点坐标，再利用平分线分线段成比例定理
计算出CD得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OD＝2．
∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），
∵OB∥CD，
∴OB：CD＝OA：AD，
∴CD＝ ＝4，
∴C点坐标为（2，4），
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（2）把C（2，4）代入 ，得m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为 ，
把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
题型03 反比例函数k的几何意义
解题大招：这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这
类题的关键，如：
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函
数 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为
AC的中点，△AEF的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a， ），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，
再由S△AEF ＝2，转化为S△ACF ＝4，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a， ），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
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则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为 ，
∴E（2a， ）
∵E为AC的中点，
∴点C（3a， ），
∴点F（3a， ），
∵△AEF的面积为2，AE＝EC，
∴S△ACF ＝4，
∴ CF•AB＝ ＝4，
解得：k＝﹣6．
故选：A．
2．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝ 过A，B两
点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD ＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【分析】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和
CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b， ），则A（﹣b，﹣ ），b＞0，由题意知，
AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
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∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b， ），
∴D（﹣3b， ），
∴CD＝ ，BC＝4b，
∴S△BCD ＝ ，
∴k＝﹣ ．
故选：C．
3．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，且
AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到 ，S矩形OCBD ＝
3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD ﹣S△ADO ，即可得解．
【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数 的图象上，
∴S矩形OCBD ＝3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD ﹣S△ADO ＝3﹣1＝2；
故选：B．
4．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD
＝ AB，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，
DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（ ，
），确定D（ ，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM ＝S△AOB ﹣S△AOD ﹣S△BDM ＝3，
代入求解即可．
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【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（ ， ），
∵点D在AB上，且 AD＝ AB，
∴D（ ，b），
∴BD＝ a，
∴S△BDM ＝ BD•h＝ × a×（b﹣ ）＝ ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ ab＝k，
∵S△ODM ＝S△AOB ﹣S△AOD ﹣S△BDM ＝ ab﹣ k﹣ ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ ab＝4，
解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，
∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，
则三角形DBO的面积为6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，
即三角形ADO的面积为2，
∴K＝4．
故选：C．
5．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别
在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴
正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM
＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，
2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝ AT，即 ，得
，故 ，根据△APN的面积为3，有
，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c），
代入 ，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得 ，从而 ．
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴ ＝ ＝ ，
∵NC＝2AN，
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∴CK＝2TK，NK＝ AT，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ ﹣S△AOP ﹣S△NPQ ＝3，
∴ ，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入 得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC
的中点，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 4 ．
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【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，
OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝12，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据
点B为AC的中点得点 ，将点B代入反比例函数表达式得 ，据此即可求出k的
值．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：
设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD＝a，OA＝c，
∵△AOC的面积是6，
∴ ，
∴ac＝12，
∵点C（a，b）在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴k＝ab，
∵点B为AC的中点，
∴点 ，
∵点B在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴ ，
即：4k＝a（b+c），
∴4k＝ab+ac，
将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．
故答案为：4．
7．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 （k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点
A（x ，y ），B（x ，y ），满足x ＝2x ，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，
1 1 2 2 2 1
则△ABC的面积是 2 ．
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【分析】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC
面积即可．
【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x ＝2x ，
2 1
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE ＝S△OBF ，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB ＝ S矩形OECF ＝6，
∴S矩形OECF ＝16，
∴S△ABC ＝ ×16＝2．
故答案为：2．
2
8．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，延
长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝
2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 6 ．
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【分析】证明△CNB∽△CDA，得到 ，即 ，求出点A（3m， n），则点D（0，
n），由△BCE的面积＝S△CDB +S△CDE ＝ CD•（x
B
﹣x
E
），即可求解．
【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B（m，n），k＝mn，
则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，
则 ，即 ，
即AD＝3m，
则k＝mn＝3m•y ，则y ＝ n，
A A
则点A（3m， n），则点D（0， n），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝ x+ n，
则点E（﹣ m，0）；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣ （x﹣m）+n，
则点C（0， ），则CD＝n，
∵△BCE的面积＝S△CDB +S△CDE ＝ CD•（x
B
﹣x
E
）＝ n×（m+ m）＝4.5，
则mn＝6＝k，
故答案为：6．
9．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中， A与x轴相切于点B，CB为 A的直径，点C在函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 2 4 ．
⊙ ⊙
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【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设 A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的
坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答
⊙
案．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
设 A的半径为r，
∵ A与x轴相切于点B，
⊙
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
⊙
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵ ，
∴ ，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
【中考模拟练】
1．（2024•邗江区一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴
上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数 的图象上，若S△ADF ＝1，则k的
值为（ ）
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A． B． C． D．24
【分析】过点E作EM⊥x轴于M，过点G作GH⊥x轴于H，先证△CDT和△ADF全等得DT＝DF，则
AF＝2DF，根据S△ADF ＝1得DF＝1，AF＝2，则AD＝ ，B＝6，再证△EBM∽△ADF得BM：DF＝
EM：AF＝BE：AD，从而得BM＝ ，EM＝ ，再证△BGH∽△EBM得BH：EM＝BG：BE，
从而得BH＝ ，然后证△ADE和△AKG全等得DF＝GK＝1，则OK为△BGH的中位线，从而得
OB＝ BH＝ ，则OM＝OB+BM＝ ，据此得点E ，再将点E代入 之中
即可得出k的值．
【解答】解：过点E作EM⊥x轴于M，过点G作GH⊥x轴于H，设BG交y轴于K，如图所示：
根据正方形的性质得：CT＝AF＝TF，∠T＝∠AFD＝90°，AF∥BE，
在△CDT和△ADF中，
，
∴△CDT≌△ADF（AAS），
∴DT＝DF，
∴AF＝2DF，
∵S△ADF＝1，
∴ DF•AF＝1，
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即 DF•2DF＝1，
∴DF＝1，
∴AF＝2，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ，
∴BE＝3AF＝6，
∵AF∥BE，EM∥AD，
∴∠BEM＝∠DAF，
又∵∠EMB＝∠AFD＝90°，
∴△EBM∽△ADF，
∴BM：DF＝EM：AF＝BE：AD，
即BM：1＝EM：2＝6： ，
∴BM＝ ，EM＝ ，
∵∠GBE＝90°，EM⊥x轴，
∴∠GBH+∠EBM＝90°，∠EBM+∠BEM＝90°，
∴∠GBH＝∠BEM，
又∵∠BHG＝∠EMB＝90°，
∴△BGH∽△EBM，
∴BH：EM＝BG：BE，
即 ，
∴BH＝ ，
在△ADE和△AKG中，
，
∴△ADE≌△AKG（AAS），
∴DF＝GK＝1，
∴点K为BG的中点，
∴OK为△BGH的中位线，
∴OB＝ BH＝ ＝ ，
∴OM＝OB+BM＝ ＝ ，
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∴点E的坐标为 ，
∵点E在反比例函数 的图象上，
∴k＝ ＝ ．
故选：B．
2．（2024•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B在第
一象限，且纵坐标为4，点D为边AB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点C、D．
若S△OCD ＝6，则点D的横坐标为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】作BE⊥x轴，DF⊥x轴，CG⊥x轴，根据k值的几何意义可知S梯形CDFG ＝S△COD ＝6，依据已
知条件求出k值，得到反比例函数解析式，将y＝2代入解析式可知点D的横坐标．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，
∵点B在第一象限，纵坐标为4，D为AB的中点，
∴C（ ，4），D（ ，2），
根据反比例函数k值的几何意义，
S梯形CDFG ＝S△COD ＝6，
∴ ，解得k＝8．
∴反比例函数解析式为：y＝ ，
当y＝2时，x＝4，
∴点D的横坐标为4．
故选：C．
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3．（2024•安阳模拟）如图，已知P，Q分别是反比例函数 与 图象上的点，且PQ∥x轴，点
P的坐标为 ，分别过点P，Q作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N．若四边形PMNQ的面积
为2，则k 的值为（ ）
2
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．先求出过点P时，与
坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形PMNQ的面积，求出过点Q时，k 的值．
2
【解答】解：∵点P是反比例函数 上的点，
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积：|﹣ ×2|＝3，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积：3﹣2＝1，
∵反比例函数在第二象限，
∴k ＝﹣1，
2
故选：D．
4．（2024•特克斯县一模）如图，在△OAB中，AB∥于y轴，反比例函数 的图象过△OAB
的顶点B，交OA交于点C，且AC＝2OC，连接BC．则S△OBC 的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】延长AB交x轴于D，过点C，A分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，则四边形ADOF为矩
形得S△OAD ＝S△OAF ，由反比例函数比例系数的几何意义得S△OBD ＝S△OCE ＝3，证△OCE∽△OAF得
，则S△OAF ＝9S△OCE ＝27，由此可求出S△OAB ＝24，进而可得S△OBC 的值．
【解答】解：延长AB交x轴于D，过点C，A分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示：
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∵AB∥y轴，AE⊥y轴，∠DOF＝90°，
∴四边形ADOF为矩形，
∴S△OAD ＝S△OAF ，
∵点B，C在反比例函数 的图象上，且BD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBD ＝S△OCE ＝ ×|﹣6|＝3，
∵AC＝2OC，
∴ ，
∵CE⊥y轴，AF⊥y轴，
∴CE∥AF，
∴△OCE∽△OAF，
∴ ，
∴S△OAF ＝9S△OCE ＝27，
∴S△OAD ＝S△OAF ＝27，
∴S△OAB ＝S△OAD ﹣S△OBD ＝27﹣3＝24，
∵ ，
∴ ，
∴S△OBC ＝ S△OAB ＝ ×24＝8．
故选：B．
5．（2024•镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数
的图象上，且OA⊥OB，连结AB交 图象于点C，若C是AB的中点，则
△AOB的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】依据题意，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证得△AOD∽△OBE，根
据反比例函数系数的几何意义可得 ＝ ，即可得出 ＝ ＝ ＝ ，设A（m， ），则B
（﹣ ， m），运用中点坐标公式可得C（ ， ），代入y＝ ，可得 •
＝1，从而可得出m2﹣ ＝2 ，进而可得OA2＝m2+ ＝4，最后结合面积公式可以得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°．
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°．
∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°．
∴∠OAD＝∠BOE．
∴△AOD∽△OBE．
∴ ＝（ ）2．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
设A（m， ），则B（﹣ ， m），
∵点C为AB的中点，
∴C（ ， ）．
∵点C也恰好在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
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∴ • ＝1．
∴m2﹣ ＝2 ．
∴m2+ ＝ ＝4．
∴S△AOB ＝O A•OB＝ OA• OA＝ OA2＝ （m2+ ）＝2 ．
故选：C．
6．（2024•新北区一模）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点
B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝AO，若矩形ABCD的面积是8，k＝ 1 6 ．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：1，求出△ADO面积，利用相似求出AD
与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC ＝4，
∵AC＝AO，
∴S△ADO ＝4，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝1：2，
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∴S△ODE ＝8，
由几何意义得， ＝8，
∵k＞0，
∴k＝16，
故答案为：16．
7．（2024•阳谷县一模）如图，在反比例函数 的图象上有P
1
，P
3
，⋯，P
2024
等点，它们的
横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S
1
，S
2
，S
3
，⋯，S
2023
，S
2024
，则S
1
+S
2
+S
3
+⋯+S
2023
+S
2024
＝ 7 ．
【分析】分别将它们的横坐标代入解析式中，即可得到纵坐标；再求出每个阴影部分的面积；最后根据
规律性来解答．
【解答】解：当x＝1时，P 的纵坐标为 ＝8；
1
当x＝2时，P 的纵坐标为 ＝4；
2
当x＝3时，P 的纵坐标为 ；
3
当x＝4时，P 的纵坐标为 ＝2；
4
当x＝5时，P 的纵坐标为 ；
5
……
当x＝n时，P 的纵坐标为 ．
n
则S ＝1×（8﹣4）＝8﹣4；
1
S ＝1×（4﹣ ）＝4﹣ ；
2
S ＝1×（ ）＝ ；
3
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S ＝1×（2﹣ ）＝2﹣ ；
4
……
S ＝1×（ ）＝ ．
n
∴S
1
+S
2
+S
3
+⋯+S
2023
+S
2024
＝8﹣4+4﹣ + +2﹣ +⋯+ ＝8﹣ ＝7 ，
故答案为：7 ．
题型04 反比例函数的应用
易错点：反比例函数的应用常和实际结合，故问题中多注意其自变量x的取值范围
解题大招：因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物
理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
【中考真题练】
1．（2023•南京）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）
与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意有：100＝v•t，
所以t＝ ，
故v与t之间是反比例函数，其图象在第一象限．
故选：D．
2．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁
所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强
由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 2 0 mL．
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【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝ ，求得V＝ ，当p＝75kPa时，求得V＝ ＝80，
当p＝100kPa时求得，V＝ ＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝ ，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝ ，
当p＝75kPa时，V＝ ＝80，
当p＝100kPa时，V＝ ＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
3．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反
比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为
2500 N．
【分析】根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将v＝30m/s代入即
可求解．
【解答】解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v＝ ，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，
即反比例函数为：v＝ ．当v＝30m/s时，F＝ ＝2500N．
胡答案为：2500．
4．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h
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（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，
h＝20cm．
ρ
（1）求h关于 的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度 ．
ρ
ρ
【分析】（1）设h关于 的函数解析式为 ，把 ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
ρ ρ
（2）把 h＝25 代入 ，求得 ＝0.8，于是得到结论．
ρ
【解答】解：（1）设h关于 的函数解析式为 ，
把 ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
ρ
ρ
∴h关于 的函数解析式为 ；
ρ
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得： ＝0.8，
答：该液体的密度 为 0.8g/cm3．
ρ
5．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，
ρ
在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的
水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质
量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y /g 10 12 15 20 30
1
加入的水的质量y /g 5 7 10 15 25
2
把上表中的x与y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起
1
来，得到如图所示的y 关于x的函数图象．
1
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（1）请在该平面直角坐标系中作出y 关于x的函数图象；
2
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y 与x之间的函数关系，并求y 关于x的函数表达式；
1 1
②求y 关于x的函数表达式；
2
③当0＜x≤60时，y 随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 随x的增大而 减小
1 2
（填“增大”或“减小”），y 的图象可以由y 的图象向 下 （填“上”或“下”或“左”或
2 1
“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y （g）满足19≤y ≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
2 2
【分析】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y 关于x的函数表达式；
1
②由y 与y 关系，结合①可得答案；
2 1
③观察图象可得答案；
（3）根据19≤y ≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
2
【解答】解：（1）作出y 关于x的函数图象如下：
2
（2）①观察表格可知，y 是x的反比例函数，
1
设y ＝ ，把（30，10）代入得：10＝ ，
1
∴k＝300，
∴y 关于x的函数表达式是y ＝ ；
1 1
②∵y ＝y +5，
1 2
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∴y +5＝ ；
2
∴y ＝ ﹣5；
2
③观察图象可得，当0＜x≤60时，y 随x的增大而减小，y 随x的增大而减小，y 的图象可以由y 的
1 2 2 1
图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y ＝ ﹣5，19≤y ≤45，
2 2
∴19≤ ﹣5≤45，
∴24≤ ≤50，
∴6≤x≤12.5．
【中考模拟练】
1．（2024•江西模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，
发现电流I（A）随着电阻R（ ）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．
若该电路的最小电阻为1 ，则该电路能通过的（ ）
Ω
Ω
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
【分析】可设 ，由于点（4，9）代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝1求得I的
值即可．
【解答】解：根据电压＝电流×电阻，设 ，
将点（4，9）代入得 ，解得U＝36，
∴ ；
若该电路的最小电阻值为1 ，该电路能通过的最大电流是 ，
故选：A．
Ω
2．（2024•裕华区一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关
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于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近
视眼镜的度数减少了 20 0 度．
【分析】由已知设y＝ ，则有图象知点（0.2，500）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y＝
，令x＝0.25，x＝0.5时，分别求y的值后作差即可．
【解答】解：设y＝ （k≠0），
∵（0.2，500）在图象上，
∴k＝500×0.2＝100，
∴函数解析式为：y＝ ，
当x＝0.25时，y＝ ＝400，
当x＝0.5时，y＝ ＝200，
∴度数减少了400﹣200＝200（度），
故答案为：200．
3．（2023•西峡县三模）如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图
象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要 h．
【分析】直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．
【解答】解：设双曲线的解析式为v＝ ，
∵A（40，1）在双曲线上，
∴1＝ ．
∴k＝40，
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∴双曲线的解析式为v＝ ，
∵ ≤80，
∴t≥ ，
即该汽车通过这段公路最少需要 h．
故答案为： ．
4．（2024•武汉模拟）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水
温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此
过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，
……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 5 0 ℃．
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间
x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数
关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可，由56﹣40＝16＞8，将x＝16代入反比例函数
关系式中求出y值即可得出结论．
【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得 ，
解得： ，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为： ，
依据题意，得： ，
解得：m＝800，
∴ ，
当y＝20时， ，
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解得：t＝x＝40，
∵56﹣40＝16＞8，
∴当x＝16时， ．
故答案为：50．
5．（2023•六安三模）如图1，工人正在用撬棒撬石头，撬棒是杠杆，O为杠杆的支点．当支点和石头的
大小不变时，工人师傅用的力F与其力臂l之间的关系式为F＝ ，其图象如图2所示，点P为F＝ 图
象上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，S△OPM ＝20000cm2．若OA＝40cm，撬棒与水平地面的夹角为
30°，则这块石头重力为 115 5 N．
【分析】根据杠杆均衡公式和反比例函数图象推出力臂与力的关系，利用三角比求出重力的值．
【解答】解：根据杠杆均衡公式：F压×OA＝F×l，
由图2可知，S△OPM ＝20000（cm2），
即 OM•PM＝20000（cm2），
∵OM为力臂l，PF为力F，
∴ Fl＝20000（cm2），
Fl＝40000（N•cm），
若OA＝40cm，
解得F压 ＝1000N，
因为夹角为30°，
∴重力＝ ＝1155N．
故答案为：1155．
6．（2024•思明区校级模拟）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随
上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较
为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x
（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为（10，40），点C的坐标为（24，40），CD为反比例函
数图象的一部分．
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（1）求CD所在的反比例函数的解析式；
（2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要
求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出注意力指数为38时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不
能．
【解答】解：（1）由题意，设CD所在反比例函数的解析式为y ＝ ，
CD
∵点C的坐标为（24，40），
∴k＝24×40＝960．
∴y ＝ （x＞24）．
CD
（2）老师安排不合理．
理由：由题意，设y ＝mx+n，
AB
∵A（0，20），B（10，40），
∴ ，
∴ ，
∴y ＝2x+20，
AB
令y ＝2x+20＝38，
AB
∴38＝2x+20，
∴x＝9．
令y ＝ ＝38，
CD
∴x≈25.3，
∵25.3﹣9＝16.3＜23，
∴老师安排不合理．
题型05 反比例函数与几何的综合
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解题大招：反比例函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐
标特征；
【中考真题练】
1．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反
比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边
形为平行四边形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2﹣ ＝2、2n+2﹣ ＝﹣2两种情况，计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n， ），
∴DE＝|2n+2﹣ |，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣ |＝2，
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当2n+2﹣ ＝2时，n ＝ ，n ＝﹣ （舍去），
1 2
此时，点D的坐标为（ ，2 +2），
当2n+2﹣ ＝﹣2时，n ＝ ﹣1，n ＝﹣ ﹣1（舍去），
1 2
此时，点D的坐标为（ ﹣1，2 ），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（ ，2 +2）或（
﹣1，2 ）．
2．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函
数y＝ 的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点
D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B
（1，4），将B（1，4）代入y＝ 得，求得反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝
5，根据两点间的距离的结论公式得到 ＝ ，求得M（0，3），待定系数法
求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4
或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定
理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解
析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣ ， ），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
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将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝ 得，4＝ ，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴ ＝ ，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴ ，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k x+b ，
1 1
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k x+b 得， ，
1 1
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ •|x ﹣x |＝ ，
B C
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解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A
的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组 ，
解得， 或 ，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b ，
2
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b ，
2
∴b ＝﹣5，
2
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组 得， 或 ，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
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解方程组 得， ，
∴P（﹣ ， ），
∴ ，
，
∴m＝ ．
3．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为 、∠FAD为 ，若tan ＝ ，
α β α
则tan ＝ ．
证明：设BE＝k，
β
∵tan ＝ ，
∴AB＝2k，
α
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tan ＝ ＝ ＝ ，
β
若 + ＝45°时，当tan ＝ ，则tan ＝ ．
α β α β
同理：若 + ＝45°时，当tan ＝ ，则tan ＝ ．
根据上述材料，完成下列问题：
α β α β
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点
A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已
知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
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【分析】（1）设A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系数
法得反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）；
（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM＝ ＝ ，而
∠BAE＝45°，故∠BAM+∠NAE＝45°，由阅读材料得tan∠NAE＝ ；
（3）由tan∠NAE＝ ，A（4，3），得NE＝2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为
y＝ x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y＝ （x＞0）得：
3＝ ，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
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∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM＝ ＝ ，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若 + ＝45°时，当tan ＝ ，则tan ＝ 可得：
α β α β
tan∠NAE＝ ；
（3）由（2）知tan∠NAE＝ ，
∴ ＝ ，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴ ＝ ，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
，
解得 ，
∴直线AE解析式为y＝ x+1．
【中考模拟练】
1．（2024•沭阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已
知对角线OC＝5，tan∠BOC＝ ．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y＝ （k＞0）的图象与AC
边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
【分析】过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝DF，易证
Rt△DEM∽Rt△BMF；而EC＝AC﹣AE＝4﹣ ，CF＝BC﹣BF＝3﹣ ，可得 的比值；故可得出
EM：MB＝ED：MF＝4：3，而ED＝3，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的
方程，解方程求出k的值．
【解答】解：过点E作ED⊥OB于点D，
∵对角线OC＝5，tan∠BOC＝ ，
∴BC＝3，BO＝4，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣ ，CF＝BC﹣BF＝3﹣ ，
∴EM＝4﹣ ，MF＝3﹣ ，
∴ ＝ ＝ ；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝3，
∴MB＝ ，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（3﹣ ）2＝（ ）2+（ ）2，
解得：k＝ ，
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故选：D．
2．（2024•河南一模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，且A（2，0）， ，点C在反比例
函数 的图象上．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）当菱形OABC绕点O逆时针旋转150°时，判断点C的对应点C′是否在 的图象上；并直接写
出CC′所在的直线解析式．
【分析】（1）根据菱形的性质得到BC＝OA，BC∥OA，求得BC＝OA＝2，得到C（1， ），于是
得到结论；
（2）过C作CE⊥OA于E，得到OE＝1，根据三角函数的定义得到∠COA＝60°，过C′作C′F⊥x轴
于F，求得∠C′FO＝90°，根据旋转的性质得到∠C′OC＝150°，OC′＝OC＝2，求得∠C′OF＝
30°，得到C′（﹣ ，﹣1），代入y＝ 得到﹣ ×（﹣1）＝ ＝k，于是得到点C的对应点
C′在 的图象上；设直线CC′的解析式为y＝mx+n，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵A（2，0）， ，
∴BC＝OA＝2，
∴C（1， ），
∴k＝1× ＝ ，
∴反比例函数 的表达式为y＝ ；
（2）过C作CE⊥OA于E，
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∴OE＝1，
∴cos∠COE＝ ＝ ，
∴∠COA＝60°，
过C′作C′F⊥x轴于F，
∴∠C′FO＝90°，
∵菱形OABC绕点O逆时针旋转150°时，
∴∠C′OC＝150°，OC′＝OC＝2，
∴∠C′OF＝30°，
∴C′F＝ ，
∴OF＝ ，
∴C′（﹣ ，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）＝ ＝k，
∴点C的对应点C′在 的图象上；
设直线CC′的解析式为y＝mx+n，
∴ ，
∴ ，
∴CC′所在的直线解析式为y＝x+ ．
3．（2024•历下区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴
上，AB＝AC．反比例函数 的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边
AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
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【分析】（1）根据反比例函数 的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k
＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝ ，把F（2，n）代入y＝ ，得到F（2，2），设直线
AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝
2x+6，设M（m，2m+6），N（n， ），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
把F（2，n）代入y＝ ，得n＝ ＝2，
∴F（2，2），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∴ ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴A（0，6）；
（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝ ＝3；
（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
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∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC＝3，
∴B（（﹣3，0），
∴直线AB的解析式为y＝2x+6，
设M（m，2m+6），N（n， ），
∵MN∥x轴，
∴2m+6＝ ，
∴n＝ ，
∴△OMN面积＝ （n﹣m）×（2m+6）＝ （ ﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+ ）2+
，
∴△OMN面积的最大值为 ．
4．（2024•双流区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），直线AB与
反比例函数y＝ （k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，6），
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点E（6，m）是反比例函数y＝ （k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是
否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒
麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐
标系中，△ABC为“麒麟三角形”，AB为“麒麟边”，∠BAC为“麒麟角”，其中A，B两点在反比
例函数 图象上，且A点横坐标为﹣1，点C坐标为（0，2），当△ABC为直角三角形时，求n的值．
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【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点D在点A右侧时，过点E作直线m∥AB，交x轴于点D，则点D为所求点，即可求解；当点
D（D′）在点A的左侧时，根据点的对称性即可求解；
（3）由题意可知2AC＝AB，因此当△ABC为直角三角形时，AC不可能为斜边，有∠ACB＝90°或
∠BAC＝90°两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解．
【解答】解：（1）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4，
当y＝6时，即x+4＝6，则x＝2，
即点C（2，6），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×6＝12，
即反比例函数的表达式为：y＝ ；
（2）存在，理由：
∵点E（6，m）是反比例函数y＝ （k≠0）图象上一点，则点E（6，2），
当点D在点A右侧时，
过点E作直线m∥AB，交x轴于点D，则点D为所求点，
∵直线AB的表达式为：y＝x+4，m∥AB，
则直线m的表达式为：y＝（x﹣x ）+y ＝x﹣6+2＝x﹣4，
E E
令y＝0，则x＝4＝0，
解得：x＝4，则点D（4，0），
则AD＝4+4＝8，
当点D（D′）在点A的左侧时，
则点D′的坐标为：﹣4﹣8＝﹣12，
即点D′（﹣12，0），
综上，点D的坐标为：（4，0）或（﹣12，0）；
（3）∵△ABC为“麒麟三角形”，AB为“麒麟边”，∠BAC为“麒麟角”，
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∴AB＝2AC，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC不可能为斜边，即∠ABC≠90°，
∴∠BAC＝90°或∠ACB＝90°，
①如图1，当∠ACB＝90°时，过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D，
∵AC2+BC2＝AB2，AB＝3AC，
∴BC2＝3AC2，
∴BC＝2 AC，
∵∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∵∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴ ＝ ，
∵AD＝1，
∴CE＝2 ，
∵点C坐标为（0，2），
∴E（0，2﹣2 ），
此时，点E不可能在反比例函数上，故该情况不存在；
②如图2，当∠BAC＝90°时，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴交AD于E，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠E＝∠ADC＝90°，
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∴△ABE∽△CAD，
∴ ＝3，
∴AE＝3CD，BE＝3AD＝3，
设CD＝m，AE＝3m，
∴DE＝1+3m，
OD＝2+m，
∴点A坐标（﹣1，2+m），点B坐标（﹣1﹣3m，m﹣1）．
∵A，B在y＝上，
∴﹣1×（2+m）＝（﹣1﹣3m）（m﹣1），
解得：m＝ ；
综上，m＝ ，
则点A的坐标为：（﹣1， ），
将点A的坐标代入函数表达式得：n＝﹣1× ＝ ．
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