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热点 04 一次函数与反比例函数
中考数学中《一次函数与反比例函数》部分主要考向分为五类：
一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~7分）
二、一次函数的应用（每年1道，4~8分）
三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~7分）
四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~14分）
五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分）
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
而反比例函数在中考中的占比会更大，常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐
标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技
巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数
结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程
中需要更加重视该考点。
考向一：一次函数图象与性质
【题型1 一次函数的图象与性质】
满分技巧
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1、一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，
∵2＞0，
∴y随着x增大而增大，
故A不符合题意；
在一次函数y＝x﹣4中，
∵1＞0，
∴y随着x增大而增大，
故B不符合题意；
在一次函数y＝2x中，
∵2＞0，
∴y随着x增大而增大，
故C不符合题意；
在一次函数y＝﹣x+1中，
∵﹣1＜0，
∴y随着x增大而减小，
故D符合题意，
故选：D．
2．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，
故A不正确；
当x＝0时，y＝1，
∴图象与y轴交于点（0，1），
故B正确；
∵一次函数y＝x+1中，k＞0，
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∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故C不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x＞﹣1时，y＞0，
故D不正确；
故选：B．
3．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
4．（2023•陕西）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（
）
A．
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B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数 y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，
本题得以解决．
【解答】解：∵a＜0，
∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
5．（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【分析】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范
围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故选：D．
【题型2 一次函数图象上点的坐标特征】
满分技巧
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牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2023•济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式
y ＝ x +2 （答案不唯一） ．
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k+b＝3，
利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），
∴3＝k+b，
又∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1，b＝2符合题意，
∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
2．（2023•盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在
原点下方，则实数a的取值范围是 ﹣ ＜ a ＜ 2 ．
【分析】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于
0，据此作答．
【解答】解：根据题意得 ，
解得：﹣ ＜a＜2．
故答案为：﹣ ＜a＜2．
3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣ x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转
90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（ ，2）
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【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出 B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，
OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根
据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣ x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣ x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
4．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴
的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC
上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为
（﹣ 8 ， 6 ）或（﹣ 8 ， ） ．
【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（﹣t，
﹣2t﹣6），分两种情况求解即可．
【解答】解：①点N在AB下方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，
∴∠APQ＝∠NQM＝90°，
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∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AN＝NM，∠ANM＝90°，
∴∠ANP+∠MNQ＝∠NMQ+∠MNQ，
∴∠ANP＝∠NMQ，
∴△APN≌△NQM（AAS），
∴AP＝NQ，NP＝MQ，
设N（t，﹣2t﹣6），
∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，
又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，
∴8+t﹣2t﹣6＝6，
∴t＝﹣4，
CM＝MQ+CQ＝MQ+OP＝﹣t﹣2t﹣6＝6，
∴M（﹣8，6）；
②点N在AB上方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交直线BC于点Q，
同理得△APN≌△NQM（AAS），
∴AP＝NQ，NP＝MQ，
设N（t，﹣2t﹣6），
∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，
又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，
∴﹣2t﹣6﹣（8+t）＝6，
∴t＝﹣ ，
CM＝CQ﹣MQ＝OP﹣MQ＝﹣2t﹣6+t＝ ，
∴M（﹣8， ）．
故答案为：（﹣8，6）或（﹣8， ）．
5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ﹣ 6 ．
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【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴ ，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
6．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 2 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数 y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，
再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；
当y＝0时，x﹣2＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．
∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ×|﹣2|×2＝2．
故答案为：2．
7．（2023•广安）在平面直角坐标系中，点A 、A 、A 、A …在x轴的正半轴上，点B 、B 、B …在直线
1 2 3 4 1 2 3
y＝ x（x≥0）上，若点A 的坐标为（2，0），且△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
则点B 的纵坐标为 ×2 2022 ．
2023
【分析】设等边△B A A 的边长为a ，可得△B A A 的高为a •sin60°＝ a ，即B 的纵坐标为
n n n+1 n n n n+1 n n n
a ，由点A 的坐标为（2，0），可得a ＝2，a ＝2+2＝4，a ＝2+a +a ＝8，a ＝2+a +a +a ＝16，…，
n 1 1 2 3 1 2 4 1 2 3
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故a ＝2n，即可得到答案．
n
【解答】解：设等边△B A A 的边长为a ，
n n n+1 n
∵△B A A 是等边三角形，
n n n+1
∴△B A A 的高为a •sin60°＝ a ，即B 的纵坐标为 a ，
n n n+1 n n n n
∵点A 的坐标为（2，0），
1
∴a ＝2，a ＝2+2＝4，a ＝2+a +a ＝8，a ＝2+a +a +a ＝16，…，
1 2 3 1 2 4 1 2 3
∴a ＝2n，
n
∴B 的纵坐标为 ×2n﹣1，
n
当n＝2023时，
∴B 的纵坐标为 ×22022，
n
故答案为： ×22022．
8．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐
标．
【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；
（2）利用描点法画图象即可；
（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝2x﹣4 的图象与x轴交于点A，
∴令y＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，
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∴点A的坐标是（2，0），
∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4 的图象上，
把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，
∴m＝4，
∴点B的坐标是（4，4）；
（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB＝ ＝2 ，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为（6，0）或（2+2 ，0）．
【题型3 一次函数与方程、不等式的关系】
满分技巧
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是
（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
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∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．
故选：B．
2．（2023•德州）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等
式3x+a＜﹣2x+b的解集为（ ）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a
＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．
【解答】解：当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，
所以关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．
故选：A．
3．（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax+b（a≠0）与y ＝mx+n（m≠0）的图象如图
1 2
所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y 随x的增大而增大
1
B．b＜n
C．当x＜2时，y ＞y
1 2
D．关于x，y的方程组 的解为
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
【解答】解：A：由图象得y 随x的增大而增大，
1
故A正确的；
B：由图象得：n＞b，
故B是正确的；
C：由图象得：当x＜2时，y ＜y ，
1 2
故C是错误的；
D：由图象得： 的解为： ，
故D是正确的；
故选：C．
考向二：一次函数的应用
【题型4 一次函数与行程类问题】
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满分技巧
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
1．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午 9：00开车前往会
展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以
下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D
选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
2．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑
行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行
的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度
为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
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A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可
以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前
和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
3．（2023•随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与
时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，
乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（
）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【分析】根据图象可判断①和③选项，根据“路程÷时间＝速度”可求出甲和乙的速度，即可判断②
选项，设甲车出发后x小时，追上乙车，根据甲车追上乙车时，两车的路程相等列方程，求出x的值，
进一步判断即可．
【解答】解：由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城，
故①符合题意，③不符合题意；
甲车的平均速度是300÷3＝100（千米/小时），
乙车的平均速度是300÷5＝60（千米/小时），
故②不符合题意；
设甲车出发后x小时，追上乙车，
100x＝60（x+1），
解得x＝1.5，
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∴甲车出发1.5小时追上乙车，
∵甲车8：00出发，
∴甲车在9：30追上乙车，
故④符合题意，
综上所述，正确的有①④，
故选：D．
4．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶
往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮
与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是 a千
米/时，2a千米/时，即可得到方程： ax+2a（x﹣ ）＝a，求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是 小时， 小时，
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是 a千米/时，2a千米/时，
由题意得： ax+2a（x﹣ ）＝a，
∴x＝ ，
小时＝28分钟，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
5．（2023•武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，
今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程 s（单位：
步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 25 0 ．
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【分析】根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【解答】解：设点A、B的坐标为：（a，100）、（a，160），
则直线OP的表达式为：s＝ t①，
设直线BP的表达式为：s＝kx+100，
将点B的坐标代入上式得：160＝ak+100，
解得：k＝ ，
则直线BP的表达式为：s＝ t+100②，
联立①②得： t＝ t+100，
解得：s＝250，两图象交点P的纵坐标为250，
故答案为：250．
6．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各
自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l 和l 分别表示两人到小亮家的距离s（km）
1 2
和时间t（h）的关系，则出发 0.3 5 h后两人相遇．
【分析】用待定系数法求出l 和l 的函数解析式，再令S ＝S 解方程即可．
1 2 1 2
【解答】解：设l 的函数解析式为y ＝kx+b，
1 1
则 ，
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解得 ，
∴l 的函数解析式为S ＝5t+3.5；
1 1
设l 的函数解析式为S ＝mt，
2 2
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l 的函数解析式为S ＝15t；
2 2
令S ＝S ，即5t+3.5＝15t，
1 2
解得t＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
7．（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，
同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军
车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军
车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程 s（km）与所用时间t（h）的函数
关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【分析】（1）求出大巴速度为 ＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，可得：60（2
﹣x）＝100，即可解得答案．
【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为 ＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
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（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝ ，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
8．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A
地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即
按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关
系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 6 0 千米，a＝ 1 ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货
物耗时15分钟，即得a＝ + ＝1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解
析式为y＝﹣60x+120；
（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25× ＝25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡
逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当
货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵80× ＝60（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a＝ + ＝1，
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故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
，
解得 ，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；
（3）巡逻车速度为60÷（2+ ）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+25× ＝25x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x＝ ；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x＝ ；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x＝ ；
综上所述，货车出发 小时或 小时或 小时，两车相距15千米．
【题型5 一次函数与销售类问题】
满分技巧
1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量
2、利用函数的增减性得到最大利润
1．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商
机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达
式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这
两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好 10000元，
请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【分析】（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．
【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，
（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，
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解得m＝4000，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．
2．（2023•陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公
顷小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽
穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．
（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；
（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
【分析】（1）依据题意，分0≤x≤20和20＜x≤51两段通过待定系数法可以得解；
（2）依据题意，令x＝51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．
【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤20时，设y＝kx，
∴20k＝960．
∴k＝48．
∴y＝48x．
当20＜x≤51时，设关系式为y＝mx+n，
∴ ．
∴ ．
∴y＝35x+260．
综上，所求函数关系式为y＝ ．
（2）由题意，令x＝51，
∴y＝35×51+260＝2045．
又当x＝20时，y＝960，
∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．
3．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不
惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买
A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号
帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐
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篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型
号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B
种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：
，即可解得答案；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数
量的 ，可得x≤5，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的 ，
∴x≤ （20﹣x），
解得x≤5，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝5时，w取最小值，最小值为﹣400×5+20000＝18000（元），
∴20﹣x＝20﹣5＝15，
答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
4．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理
成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲
经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3
台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一
台B种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进
A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于 565元，请
说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
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【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，
由关系式求出最大利润．
【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：
，
解得： ，
答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进A型品牌小电器a台，
由题意得： ，
解得30≤a≤50，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．
（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，
∴﹣a+600≥565，
解得：a≤35，
∴30≤a≤35，
∵w随a的增大而减小，
∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，
答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．
考向三：反比例函数的性质
【题型6 反比例函数的性质】
满分技巧
在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的
1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝ 的函数值随着x增大而减小，
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故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣ 的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
2．（2023•武汉）关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．
【解答】解：反比例函数 ，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数 ，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数 图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
故选：C．
3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1
【分析】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大
而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y
1
＞0，y ＞0，y ＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y ＜y ，据此即可得出答案．
2 3 1 2
【解答】解：∵ ，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ），
1 2 3
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y ＞0，y ＞0，y ＜0，
1 2 3
又∵﹣4＜﹣2，
∴y ＜y ，
1 2
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∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
4．（2023•广州）已知正比例函数y ＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y ＝ 的图象位于第一、
1 2
第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即
可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵正比例函数y ＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
1
∴正比例函数y ＝ax的图象经过第二、四象限，
1
∴a＜0；
∵反比例函数y ＝ 的图象位于第一、第三象限，
2
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
5．（2023•镇江）点A（2，y ）、B（3，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y ＞ y （用“＜”、
1 2 1 2
“＞”或“＝”填空）．
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y 与y 的大小．
1 2
【解答】解：反比例函数y＝ 中，k＝5＞0，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y ＞y ，
1 2
故答案为＞．
6．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y ），（﹣2，3），（1，y ），（2，
1 2
y ），则，y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 1 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2
【分析】根据反比例函数经过点（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分别代入解析
式，求出函数值，进行比较即可得出答案．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0），
∵它的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式 ，
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当x＝﹣3时， ，
当x＝1时， ，
当x＝2时， ，
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：C．
【题型7 反比例函数图象上点的坐标特征】
满分技巧
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2023•牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝ 的图象经过点C和AD
的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特
征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
故选：B．
2．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝ （k≠0）的
图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
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A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a， ），再由正方形ADEF，建立关于a的
方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝ 图象上，
∴4＝ ．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a， ）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝ ．
∴a ＝4，a ＝﹣2．
1 2
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
3．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA
的中点，AC，BD交于点E，函数 的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图
象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝﹣ B． C． D．
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【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
A（6，0），B（6，3），C（0，3），
令直线AC的函数表达式为y ＝k x+b ，
1 1 1
则 ，
解得 ，
所以 ．
又因为点D为OA的中点，
所以D（3，0），
同理可得，直线BD的函数解析式为y ＝x﹣3，
2
由 得，
x＝4，
则y＝4﹣3＝1，
所以点E坐标为（4，1）．
将B，E两点坐标代入函数解析式得，
，
解得 ．
所以 ，
则 ，
将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
所得图象的函数解析式为： ．
故选：D．
4．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一
定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a＝ ，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一
象限．
【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数 的图象上，
∴a＝ ，
∵k＞0，
∴a＞0，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
方法二：
∵反比例函数 中，k＞0，
∴图象的两个分支在一、三象限，
∵点M（2，a）在反比例函数 的图象上，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
5．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2 ，
0），B（ ，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与
A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点A′、B、D共线，进而求出点C的坐标，
再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵O（0，0），A（2 ，0），B（ ，1），
∴BD＝1，OD＝ ，
∴AD＝OD＝ ，tan∠BOA＝ ＝ ，
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∴OB＝AB＝ ＝2，∠BOA＝∠BAO＝30°，
∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°，
∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称，
∴∠OBA′＝120°，
∴∠OBA′+∠OBD＝180°，
∴点A′、B、D共线，
∴A′B＝AB＝2，
∵A′C＝BC，
∴BC＝1，CD＝2，
∴点C（ ，2），
∵点C（ ，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝ ×2＝2 ，
故选：A．
6．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是
3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D，则k的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】先设B（3，a），则D（1，a+2），再根据反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D得出
3a＝a+2，求出a的值，进而得出B点坐标，求出k的值即可．
【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，
且横坐标为1，
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∴设B（3，a），则D（1，a+2），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D，
∴3a＝a+2，解得a＝1，
∴B（3，1），
∴k＝3×1＝3．
故选：C．
7．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若
AB＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，
即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝ ，
∴OB＝2AB＝2 ，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中 ＝ ，即 ＝ ，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中 ＝ ，即 ＝ ，CE＝2，
＝ ，即 ＝ ，
∴OE＝2 ，
∴点C（2 ，2），
∴k＝2 ×2＝4 ．
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故答案为：4 ．
考向四：反比例函数的应用
【题型8 反比例函数系数k的几何意义】
满分技巧
这类问题通常是由几何图形的面积求 k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关
键，如：
1．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，且
AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到 ，S矩形OCBD ＝
3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD ﹣S△ADO ，即可得解．
【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
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∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数 的图象上，
∴S矩形OCBD ＝3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD ﹣S△ADO ＝3﹣1＝2；
故选：B．
2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD
＝ AB，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，
DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（ ，
），确定D（ ，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM ＝S△AOB ﹣S△AOD ﹣S△BDM ＝3，
代入求解即可．
【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（ ， ），
∵点D在AB上，且 AD＝ AB，
∴D（ ，b），
∴BD＝ a，
∴S△BDM ＝ BD•h＝ × a×（b﹣ ）＝ ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ ab＝k，
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∵S△ODM ＝S△AOB ﹣S△AOD ﹣S△BDM ＝ ab﹣ k﹣ ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ ab＝4，
解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，
∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，
则三角形DBO的面积为6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，
即三角形ADO的面积为2，
∴K＝4．
故选：C．
3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝ 过A，B两
点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD ＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【分析】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和
CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b， ），则A（﹣b，﹣ ），b＞0，由题意知，
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AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b， ），
∴D（﹣3b， ），
∴CD＝ ，BC＝4b，
∴S△BCD ＝ ，
∴k＝﹣ ．
故选：C．
4．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点
B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为 6 ．
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，然后根据反比
例函数y＝ 中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．
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【解答】解：设反比例函数的解析式为 y＝ ，
∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝ |k|，
∴ |k|＝3，
∴k＝±6；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝6．
故答案为：6．
5．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC
的中点，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 4 ．
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，
OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝12，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据
点B为AC的中点得点 ，将点B代入反比例函数表达式得 ，据此即可取出k的
值．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：
设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD＝a，OA＝c，
∵△AOC的面积是6，
∴ ，
∴ac＝12，
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∵点C（a，b）在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴k＝ab，
∵点B为AC的中点，
∴点 ，
∵点B在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴ ，
即：4k＝a（b+c），
∴4k＝ab+ac，
将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．
故答案为：4．
6．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，延
长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝
2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 6 ．
【分析】证明△CNB∽△CDA，得到 ，即 ，求出点A（3m， n），则点D（0，
n），由△BCE的面积＝S△CDB +S△CDE ＝ CD•（x
B
﹣x
E
），即可求解．
【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B（m，n），k＝mn，
则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，
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则 ，即 ，
即AD＝3m，
则k＝mn＝3m•y ，则y ＝ n，
A A
则点A（3m， n），则点D（0， n），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝ x+ n，
则点E（﹣ m，0）；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣ （x﹣m）+n，
则点C（0， ），则CD＝n，
∵△BCE的面积＝S△CDB +S△CDE ＝ CD•（x
B
﹣x
E
）＝ n×（m+ m）＝4.5，
则mn＝6＝k，
故答案为：6．
7．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别
在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴
正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM
＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，
2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得 CK＝2TK，NK＝ AT，即 ，得
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， 故 ， 根 据 △ APN 的 面 积 为 3 ， 有
， 得 2ab+bc ＝ 9 ， 将 点 M （ 5b ， c ） ，
代入 ，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得 ，从而 ．
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴ ＝ ＝ ，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝ AT，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
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∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ ﹣S△AOP ﹣S△NPQ ＝3，
∴ ，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入 得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝ （a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x
轴于点C．点D，E在函数y＝ （b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC
＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 1 2 ，a的值为 9 ．
【分析】依据题意，设A（m， ），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣ ），
D（﹣2m，﹣ ），E（ ， ），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A（m， ），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝ 上，
∴E（ ， ）．
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∵AC＝2BC，且点B在函数y＝ 上，
∴B（﹣2m，﹣ ）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝ 上，
∴D（﹣2m，﹣ ）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE ＝ AE×（ + ）＝ （m﹣ ）（ + ）＝ m• • ＝ ＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝ DB•（ +2m）＝ （﹣ + ）（ ）m＝ （a﹣b）• •（ ）•m＝3（
）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
9．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，
D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 6 ．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD
与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC ＝4，
∵AC＝2AO，
∴S△ADO ＝2，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
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∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ODE ＝3，
由几何意义得， ＝3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【题型9 反比例函数与其他学科的结合】
满分技巧
因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这
几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
1．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）
Ω
是反比例函数关系（I＝ ）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系（I＝ ），于是得到
结论．
Ω
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系（I＝ ），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
Ω
故选：D．
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2．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻R（单位： ）
是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6 时，电流为（ ）
Ω
Ω
A．3A B．4A C．6A D．8A
【分析】根据函数图象可设I＝ ，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I＝ ，
∵图象过（8，3），
∴U＝24，
∴I＝ ，
当电阻为6 时，电流为：I＝ ＝4（A）．
故选：B．
Ω
3．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力
面积S（m2）的说法正确的是（ ）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2
C．S小于10m2 D．S大于10m2
【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
【解答】解：∵ ，F＝100，
∴ ，
∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴ ，
∴S＜0.1，
故选：A．
4．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反
比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为
2500 N．
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【分析】根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将 v＝30m/s代入即
可求解．
【解答】解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v＝ ，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，
即反比例函数为：v＝ ．当v＝30m/s时，F＝ ＝2500N．
胡答案为：2500．
5．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁
所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强
由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 2 0 mL．
【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝ ，求得V＝ ，当p＝75kPa时，求得V＝ ＝80，
当p＝100kPa时求得，V＝ ＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝ ，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝ ，
当p＝75kPa时，V＝ ＝80，
当p＝100kPa时，V＝ ＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
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6．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 （单位：m）会随着电磁波的
频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长 与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
λ
频率f（MHz） 10 15 50 λ
波长 （m） 30 20 6
（1）求波
λ
长 关于频率f的函数解析式．
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长 ．
λ
λ
【分析】（1）设解析式为 ＝ （ k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长 ．
λ
λ
【解答】解：（1）设波长 关于频率f的函数解析式为 ＝ （ k≠0），
λ λ
把点（10，30）代入上式中得： ＝30，
解得：k＝300，
∴ ＝ ；
λ
（2）当f＝75MHz时， ＝ ＝4，
答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长 为4m．
λ
7．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘 A（固定）中放置一个物体，
λ
在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的
水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质
量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y /g 10 12 15 20 30
1
加入的水的质量y /g 5 7 10 15 25
2
把上表中的x与y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起
1
来，得到如图所示的y 关于x的函数图象．
1
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（1）请在该平面直角坐标系中作出y 关于x的函数图象；
2
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y 与x之间的函数关系，并求y 关于x的函数表达式；
1 1
②求y 关于x的函数表达式；
2
③当0＜x≤60时，y 随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 随x的增大而 减小
1 2
（填“增大”或“减小”），y 的图象可以由y 的图象向 下 （填“上”或“下”或“左”或
2 1
“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y （g）满足19≤y ≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
2 2
【分析】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y 关于x的函数表达式；
1
②由y 与y 关系，结合①可得答案；
2 1
③观察图象可得答案；
（3）根据19≤y ≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
2
【解答】解：（1）作出y 关于x的函数图象如下：
2
（2）①观察表格可知，y 是x的反比例函数，
1
设y ＝ ，把（30，10）代入得：10＝ ，
1
∴k＝300，
∴y 关于x的函数表达式是y ＝ ；
1 1
②∵y ＝y +5，
1 2
∴y +5＝ ；
2
∴y ＝ ﹣5；
2
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③观察图象可得，当0＜x≤60时，y 随x的增大而减小，y 随x的增大而减小，y 的图象可以由y 的
1 2 2 1
图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y ＝ ﹣5，19≤y ≤45，
2 2
∴19≤ ﹣5≤45，
∴24≤ ≤50，
∴6≤x≤12.5．
考向五：一次函数与反比例函数的结合
【题型10 一次函数与反比例函数图象的存在性问题】
满分技巧
求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所
得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立；
1．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反
比例y＝ 应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝ 应
该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝ 应
该位于第二、四象限，故本选项不可能；
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D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝ 应
该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
2．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝ 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y
＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y
＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
故选：A．
3．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
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【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛
盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，一
致，符合题意；
故选：D．
【题型11 求反比例函数与一次函数的交点】
满分技巧
1、求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐
标；
2、不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时：
①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方，
②求交点的横坐标，
③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中
一部分肯定和0有关）
1．（2023•无锡）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A、B，
与x轴交于点C，AB＝BC．若△OAC的面积为8，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【分析】过点A，B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，先证BE是△ADC的中位线，从而得AD＝
2BE ， 设 BE ＝ t ， 则 AD ＝ 2t ， 然 后 求 出 点 A ， 点 B ， 进 而 得
， 则 b ＝ 3t ， 再 求 出 点 C ， 根 据 △ OAC 的 面 积 为 8 得
，则bt＝﹣8a，将b＝3t代入得 ，由此根据 可得出k的值．
【解答】解：过点A，B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图所示：
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∴AD∥BE，
∵AB＝BC，
∴BE是△ADC的中位线，
∴AD＝2BE，
设BE＝t，则AD＝2t，
对于y＝ax+b，当y＝t时，x＝ ，当y＝2t时，x＝ ，
∴点A ，点B ，
∵点A，B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴b＝3t，
对于y＝ax+b，当y＝0时， ，
∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∵△OAC的面积为8，
∴ ，
即 ，
∴bt＝﹣8a，
∵b＝3t，
∴ ，
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∴k＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
2．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，3），B（m，﹣
2），则不等式ax+b 的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值
范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞ 时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比
例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0）， ，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据 ＝ ，以
及△COA和△AOB等高，所以S△COA ：S△AOB ＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，
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得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
【解答】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝ ，
∴一次函数解析式：y＝ ；
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为 ，OB＝ ；
∵△COA和△AOB等高，且 ，
∴S△COA ：S△AOB ＝1：2；
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝ ＝ ；
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
∴C点坐标（3， ），
∴k＝3× ＝ ；
故选：C．
4．（2023•宿迁）如图，直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线 分别相交于点A、B、C、D．若四
边形ABCD的面积为4，则k的值是（ ）
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A． B． C． D．1
【分析】根据已知可得四边形 ABCD 为矩形，O 为中心，根据直线 y＝x+1、y＝x﹣1 与双曲线
的性质得BC＝ ，再根据四边形ABCD的面积为4，可得AB＝ ＝2 ，所以OA＝
，设A（m，m+1），则m2+（m+1）2＝（ ）2，所以k＝m（m+1）＝m2+m＝ ．
【解答】解：如图，连接AC，设直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于点E，F，作OG⊥AB于点G，
则E（0，1），F（﹣1，0），
∴EF＝ ，
∴OG＝ EF＝ ，
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝45°，
同理直线CD也与x轴正半轴的夹角为45°，
∴四边形ABCD为矩形，O为中心，
∴BC＝ ，
∵四边形ABCD的面积为4，
∴AB＝ ＝2 ，
∴AC＝ ＝ ，
∴OA＝ ，
设A（m，m+1），
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∴m2+（m+1）2＝（ ）2，
∴2m2+2m+1＝ ，
∴m2+m＝ ，
∵点A在双曲线 上，
∴k＝m（m+1）＝m2+m＝ ．
故选：A．
5．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证
得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为
PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得
k．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴ ＝ ＝1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
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∵点P在反比例函数 的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
6．（2023•济宁）如图，正比例函数 和反比例函数 的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与 y轴交于点B，与 的图象交于点 C，连接
AB，AC，求△ABC的面积．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定 B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解
析式，利用三角形面积公式列式计算．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 得：
，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 得：
，
解得k＝8，
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∴反比例函数的解析式为 ；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 ，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
，
解得： ，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣ x+3，
联立解析式得：
解得： ，
∴C点坐标为（2，4），
在y＝﹣ x+3中，当 x＝2时， ，
∴CN＝4﹣ ＝ ，
∴S△ABC ＝ × ×4＝3；
∴△ABC的面积为3．
7．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线 为常数）相交于A（2，a），B
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（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线 上任取两点M（x ，y ）和N（x ，y ），若x ＜x ，试确定y 和y 的大小关系，并
1 1 2 2 1 2 1 2
写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式 的解集．
【分析】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点
代入直线解析式可以得解；
（2）由题意，分成两种情形：一种是 M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，
然后根据图象可以得解；
（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝ ，
∴2＝ ．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y＝﹣ ．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得 ，
∴ ．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y＝﹣ ，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x ＜x 时，y ＜y ．
1 2 1 2
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②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x ＜x ，
1 2
∴x ＜0＜x ．
1 2
∴此时由图象可得y ＞0＞y ，
1 2
即此时当x ＜x 时，y ＞y ．
1 2 1 2
（3）依据图象， 即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式 的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
8．（2023•遂宁）如图，一次函数 y＝k x+b的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于A（﹣4，1），B
1
（m，4）两点．（k ，k ，b为常数）
1 2
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k x+b＞ 的解集；
1
（3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣4，1）代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点 B
（m，4）代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，进而得点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入
一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的x的取值范围即可；
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，根据点A，B的坐标可求出四边形ACDB，据此
可判断点P在线段CD上，然后根据S△ABC ＝S四边形ACDB ﹣S△PBD ﹣S△PAC 即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，1）代入 之中，得：k ＝﹣4，
2
∴反比例函数的解析式为： ，
将B（m，4）代入反比例函数 之中，得：m＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，4），
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将点A（﹣4，1），B（﹣1，4）代入y＝k x+b之中，得：﹣ ，
1
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5．
（2）观察函数的图象可知：当﹣4＜x＜﹣1或x＞0时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴ 的解集为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，
∵A（﹣4，1），B（﹣1，4），
∴AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4，
∴CD＝OD﹣OC＝4﹣1＝3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴ ，
设点P的坐标为（0，t），
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP＝t，
∴DP＝OD﹣OP＝4﹣t，PC＝OP﹣OC＝t﹣1，
∴ ， ，
∴ ，
解得：t＝3，
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∴此时点P的坐标为（0，3）；
②当P在CD延长线上时，记作P'
DP'＝t﹣4，P'C＝t﹣1，
， ，
又∵S△P'AB ＝S△P'AC ﹣S△P'BD ﹣S梯形ACDB ，
，
解得：t＝7，
此时点P的坐标为（0，7）．
综上所述：点P的坐标为（0，3）或（0，7）．
9．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝ 相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的
面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
【分析】（1）将A（2，3）代入双曲线y＝ ，求出m的值，从而确定双曲线的解析式，再将点B
（n，1）代入y＝ ，确定B点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由平行求出直线CD的解析式为y＝﹣ x﹣1，过点D作DG⊥AB交于G，设直线AB与y轴的交
点为H，与x轴的交点为F，可推导出∠HDG＝∠HFO，再由cos∠HFO＝ ，求出DG＝ DH＝2
，则△ABD的面积＝ 2 ×2 ＝10；
（3）数形结合求出x的范围即可．
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【解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝ ，
∴m＝6，
∴双曲线的解析式为y＝ ，
将点B（n，1）代入y＝ ，
∴n＝6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝﹣ x+4；
（2）∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y＝﹣ x+n，
将点C（﹣2，0）代入y＝﹣ x+n，
∴1+n＝0，
解得n＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣ x﹣1，
∴D（0，﹣1），
过点D作DG⊥AB交于G，
设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，
∴H（0，4），F（8，0），
∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，
∴∠HDG＝∠HFO，
∵OH＝4，OF＝8，
∴HF＝4 ，
∴cos∠HFO＝ ，
∵DH＝5，
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∴DG＝ DH＝2 ，
∵AB＝2 ，
∴△ABD的面积＝ 2 ×2 ＝10；
方法2：S△ABD ＝S△HBD ﹣S△HAD
＝ HD （x ﹣x ）
B A
＝ 5×4
＝10；
（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣ x﹣1＞ ．
【题型12 一次函数与反比例函数的综合应用】
满分技巧
一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何
图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性
质；
1．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点
B（0，2），与反比例函数 在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当 时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线 上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，
再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，
与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴一次函数表达式为：y＝﹣ x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣ ×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝ 得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝ ；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立 ，
解得： 或 ，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞ ，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
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∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴ ，
∴ ，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得： ，
解得： ，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立： ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
2．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝ （k≠0）在第
一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的
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坐标．
【分析】（1）设 C（m， ），然后过 C 点作 MN⊥x轴于 M点，过 B作BN⊥CM 于N 点，证明
△ACM≌△CBN，得到CN＝AM，BN＝CM，建立方程即可解决；
（2）根据（1）中结论可得C（2，2），由A（1，0），利用两点距离公式求得AC＝ ，再由CE∥x
轴，），∠DAC的平分线交直线EC于点F，证明CF＝CA，即可分别求出F的横纵坐标．
【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m， ），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝ ，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣ ，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣ ＝m﹣1，m＝ ，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
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∴反比例函数的解析式：y＝ ；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝ ＝ ，
分两种情况：
当D在A点右侧时：如（1）中图所示，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝ ，
∴F点横坐标为2+ ，
∴F（2+ ，2），
当D在A点左侧时，如图：
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝ ，
∵C（2，2），
∴F点横坐标为2﹣ ，
∴F（2﹣ ，2），
综上所述：F（2+ ，2）或（2﹣ ，2）．
3．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+ （k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m为常数，
m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
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【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、n的方程组，通过解方程组求
得它们的值；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求得m的值即可；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理以及AP＝AB列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+ ，得
．
解得 ．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y＝ ，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y＝ x+ ，反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝ ＝5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5＝ ．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
4．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函
数y＝ 的图
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象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点
D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B
（1，4），将B（1，4）代入y＝ 得，求得反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝
5，根据两点间的距离的结论公式得到 ＝ ，求得M（0，3），待定系数法
求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到 t＝﹣4
或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定
理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解
析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣ ， ），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝ 得，4＝ ，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
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令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴ ＝ ，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴ ，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k x+b ，
1 1
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k x+b 得， ，
1 1
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ •|x ﹣x |＝ ，
B C
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A
的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组 ，
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解得， 或 ，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b ，
2
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b ，
2
∴b ＝﹣5，
2
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组 得， 或 ，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组 得， ，
∴P（﹣ ， ），
∴ ，
，
∴m＝ ．
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（建议用时：40分钟）
1．（2023•新疆）一次函数y＝x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函数的图象即可判断．
【解答】解：在一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝x+1经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣ b
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣ b，
∴kb＜0，
∴k+b＝ b＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
3．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
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A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】本题考查一次函数的系数k，b对图象的影响．一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞
0，b＜0．
【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则k＞0，b＜0．
故答案为B．
4．（2023•兰州）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，分别计算各选项中y和x值下的k值，看哪
个是负数，哪个就符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
A、当x＝2，y＝2时，k＝ ，不符合题意；
B、当x＝2，y＝1时，k＝1，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，k＝0，不符合题意；
D、当x＝2，y＝﹣2时，k＝﹣ ，符合题意；
故选：D．
5．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向
左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【分析】根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，
由题意可知m﹣6+m＝0，解得m＝3．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，
∴A（m，0），
将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到y＝﹣（x+6）+m＝﹣x﹣6+m，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′，
∴A′（m﹣6，0），
∵点A′与A关于原点O对称，
∴m﹣6+m＝0，
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解得m＝3，
故选：B．
6．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是
（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．
故选：B．
7．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故选：D．
8．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物
体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数
关系式为（ ）
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A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y
与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
9．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程 s（m）与时间t（min）
之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝ 得出
小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．
【解答】解：设小明家距离商场为s m，
∵小明购物用时30min，
∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），
∴小明从家到商场的速度为 （m/min），
∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，
∴小明返回所用时间为 ＝10（min），
∴a＝42+10＝52，
故选：D．
10．（2023•广西）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于
B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S ，S ，S ，
1 2 3
S ，若 ，则k的值为（ ）
4
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A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】设A（m， ），在y＝﹣ 中，令y＝ 得x＝﹣ ，令x＝m得y＝﹣ ，可得B（﹣ ，
），D（m，﹣ ），即得C（﹣ ，﹣ ），故S ＝S ＝1，S ＝ ，根据 ，得1+ +1
2 4 3
＝ ，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设A（m， ），
在y＝﹣ 中，令y＝ 得x＝﹣ ，令x＝m得y＝﹣ ，
∴B（﹣ ， ），D（m，﹣ ），
∴C（﹣ ，﹣ ），
∴S ＝S ＝1，S ＝ ，
2 4 3
∵ ，
∴1+ +1＝ ，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
故选：C．
11．（2023•济南）已知点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1
【分析】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大
而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y
1
＞0，y ＞0，y ＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y ＜y ，据此即可得出答案．
2 3 1 2
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【解答】解：∵ ，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ），
1 2 3
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y ＞0，y ＞0，y ＜0，
1 2 3
又∵﹣4＜﹣2，
∴y ＜y ，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
12．（2023•湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝ （k≠0）图象上的
一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2．则k的值是（
）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
【解答】解：由题意，设A（a，b），
∴ab＝k．
又S四边形ANOM ＝2＝ab，
∴k＝2．
故选：A．
13．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
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∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：B．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比
例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0）， ，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据 ＝ ，以
及△COA和△AOB等高，所以S△COA ：S△AOB ＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，
得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
【解答】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝ ，
∴一次函数解析式：y＝ ；
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为 ，OB＝ ；
∵△COA和△AOB等高，且 ，
∴S△COA ：S△AOB ＝1：2；
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又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝ ＝ ；
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
∴C点坐标（3， ），
∴k＝3× ＝ ；
故选：C．
15．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k x（k ＞0）的图象与反比例函数 （k
1 1 2
＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为 1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k x的
1
图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数 的图象上．当p﹣m与q﹣n的
积为负数时，t的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k ＝k ．令k ＝k ＝k，代入两个函数
1 2 1 2
表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达
式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝k x（k ＞0）的图象与反比例函数 （k ＞0）的图象的两个交点中，有一个交点
1 1 2
的横坐标为1，
∴k ＝k ．
1 2
令k ＝k ＝k（k＞0），则y＝k x＝kx， ＝ ．
1 2 1
将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得 ；
将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝ ，得 ．
∴p﹣m＝kt﹣ ＝k（t﹣ ），q﹣n＝k（t+2）﹣ ＝k（t+2﹣ ），
∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣ ）（t+2﹣ ）＜0，
∴（t﹣ ）（t+2﹣ ）＜0．
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∵（t﹣ ）（t+2﹣ ）＝ • ＝ ＜0，
∴ ＜0，
∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．
①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．
②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．
③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．
④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴0＜t＜1符合要求．
⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＞1不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．
故选：D．
16．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F
为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．
∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
17．（2023•大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R
（单位： ）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．0
Ω
【分析】设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可．
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【解答】解：由题意知，I＝ ，
∴U＝IR＝5×8＝40（V），
∴当R＝10时，I＝ ＝4（A），
故选：A．
18．（2023•无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）： y ＝ x ﹣ 2 （答案不唯一）
．
【分析】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．
【解答】解：设k＝1，则y＝x+b，
∵它的图象经过点（2，0），
∴代入得：2+b＝0，
解得：b＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2，
故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．
19．（2023•南通）已知一次函数y＝x﹣k，若对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小
于2k，则k的取值范围是 k ≥ 1 ．
【分析】根据题意一次函数的性质和题意，可以得到3﹣k≤2k，然后求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣k，
∴y随x的增大而增大，
∵对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，
∴3﹣k≤2k，
解得k≥1，
故答案为：k≥1．
20．（2023•杭州）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标
系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函
数的图象，并得到对应的函数表达式y ＝k x+b ，y ＝k x+b ，y ＝k x+b ．分别计算k +b ，k +b ，k +b
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
的值，其中最大的值等于 5 ．
【分析】解法一：利用待定系数法求出分别求出 k ，b ，k ，b ，k ，b 的值，再计算k +b ，k +b ，
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
k +b 的值，最后比较大小即可得到答案．
3 3
解法二：作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待
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定系数法求出直线BC解析式中k，b的值即可得到答案．
【解答】解：解法一：设直线AB的解析式为y ＝k x+b ，
1 1 1
将点A（0，2），B（2，3）代入得， ，
解得： ，
∴k +b ＝ ，
1 1
设直线AC的解析式为y ＝k x+b ，
2 2 2
将点A（0，2），C（3，1）代入得， ，
解得： ，
∴k +b ＝ ，
2 2
设直线BC的解析式为y ＝k x+b ，
3 3 3
将点B（2，3），C（3，1）代入得， ，
解得： ，
∴k +b ＝5，
3 3
∴k +b ＝ ，k +b ＝ ，k +b ＝5，其中最大的值为5．
1 1 2 2 3 3
解法二：如图，作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，
设直线AB的解析式为y ＝k x+b ，直线AC的解析式为y ＝k x+b ，直线BC的解析式为y ＝k x+b ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
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由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，
即当x＝1时，k +b ，k +b ，k +b 其中最大的值为k +b ，
1 1 2 2 3 3 3 3
将点B（2，3），C（3，1）代入得， ，
解得： ，
∴k +b ＝5，
3 3
k +b ，k +b ，k +b 其中最大的值为k +b ＝5．
1 1 2 2 3 3 3 3
故答案为：5．
21．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C
（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣ 1 ．
【分析】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过
点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），
2m+1＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
22．（2023•阜新）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的
“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同时参加了往返
10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲，乙之间的距离 s（km）与甲所用的时间t
（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 4 km．
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【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4千米/小时，再根据相遇时用了0.625小时，列方程求解．
【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（x﹣4）千米/小时，
则： [（x﹣4）+x]＝10，
解得：x＝10，
∴x﹣4＝6，
∴10﹣6× ＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
23．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，顶点B、C在第
一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝ ，则k＝ ﹣
．
【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，
求得S△OEA ＝ ，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝ ，
∴ ，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
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∴△OEA∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴S△OEA ＝ ，
∵S△OEA ＝ |k|，k＜0，
∴k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
24．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数 图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣
图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 ﹣ 6
．
【分析】由正方形的面积可求AB，AD的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合AB长度列出关
于k的方程，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，
∴AD＝BC＝AB＝3，
∴A（ ，3），B（ ，3），
∴AB＝ ，
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解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
25．（2023•枣庄）如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上有P ，P ，P ，…P 等点，它们的横坐
1 2 3 2024
标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左
到右依次为S ，S ，S ，…，S ，则S +S +S +…+S ＝ ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出所求面积为矩形ABP D的面积，再分别
1
求矩形ODP C和矩形OABC的面积即可．
1
【解答】解：∵P ，P ，P ，…P 的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
1 2 3 2024
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S +S +S +…+S ＝ ，
1 2 3 2023
把x＝2024代入关系式得，y＝ ，即OA＝ ，
∴S矩形OABC ＝OA•OC＝ ，
由几何意义得， ＝8，
∴ ＝8﹣ ＝ ．
故答案为： ．
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26．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，
反比例函数y＝ （k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点
N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 2 4 ．
【分析】设 OA＝4a，因为 OA＝2AB，所以 AB＝2a，则 A（4a，0），B（6a，0），由于正方形
OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：
x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝ AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y
＝ （k＞0）上，所以 k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为 ，宽为：a，面积为 6，所以可得
12×k4a×a＝6，即可解决．
【解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝ AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝ （k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝ （k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝ ，
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∴P（ ，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝ ，MH＝a，
∴S矩形OMHN ＝NH×MH＝ ×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
27．（2023•淄博）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y＝ （x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴
的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 3 ．
【分析】设P（x， ），则Q（x，x﹣4），将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最
值解得出来即可．
【解答】解：设P（x， ），则Q（x，x﹣4），
线段PQ＝ ﹣x+4，
∴S△POQ ＝ ×x×（ ﹣x+4）＝1﹣ x2+2x＝﹣ （x2﹣4x﹣2）＝﹣ （x﹣2）2+3，
∵﹣ ＜0，二次函数开口向下，有最大值，
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∴当x＝2时，S△POQ 有最大值，最大值是3．
故答案为：3．
28．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．点A的
坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 2 ﹣ 2 ．
【分析】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关
于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m ＝﹣1+ ，m ＝﹣1﹣ （舍去），
1 2
∴点A的坐标为（﹣1+ ，2），
∴k＝xy＝2（ ﹣1）＝2 ﹣2．
29．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，BA＝BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象
限，经过点A的反比例函数 的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点
E为AC的中点，BD＝2AD，BF﹣CF＝3，则k的值为 4 ．
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【分析】过点A作AH⊥x轴于H，先证EF为△AHF的中位线得AH＝2EF，CF＝HF，再根据BF﹣CF
＝3得出BH＝3，然后根据AH⊥x轴，BD＝2AD得OB＝2OH，进而可求出OH＝1，OB＝2，BH＝3，
设CF＝HF＝a，EF＝b，则AH＝2EF＝2b，CH＝2a，点A（1，2b），点E（1+a，b），进而可得k＝
1×2b＝（1+a）×b，由此可得a＝1，则CH＝2a＝2，BA＝BC＝5，最后在Rt△ABH中由勾股定理得AH
＝4，由此得点A（1，4），进而可求出k的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于H，如图：
∵EF⊥x轴，
∴EF∥AH，
又点E为AC的中点，
∴EF为△AHF的中位线，
∴AH＝2EF，CF＝HF，
∵BF﹣CF＝3，
∴BF﹣HF＝3，即：BH＝3，
∵AH⊥x轴，
∴AH∥OD，
∴BD：AD＝OB：OH，
∵BD＝2AD，
∴OB＝2OH，
∴BH＝OB+OH＝3OH＝3，
∴OH＝1，OB＝2，BH＝3，
设CF＝HF＝a，EF＝b，则AH＝2EF＝2b，CH＝2a，
∴点A的坐标为（1，2b），点E的坐标为（1+a，b），
∵点A，E在反比例函数y＝k/x（x＞0）的图象上，
∴k＝1×2b＝（1+a）×b，
解得：a＝1，
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∴CH＝2a＝2，
∴BA＝BC＝BH+CH＝3+2＝5，
在Rt△ABH中，BH＝3，BA＝5，
由勾股定理得： ，
∴点A的坐标为（1，4），
∴k＝1×4＝4．
故答案为：4．
30．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝
30°，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 4 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出 A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC
（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴ ，
∴ ，
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，
∴△OPC≌△APC（HL），
∴ ，
在Rt△OPC中，PC＝ ，
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∴C（ ，1）．
∵反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴ ，
解得k＝ ．
故答案为： ．
（2）设直线AC的解析式为y＝k x+b（k≠0），
1
则 ，
解得 ，
∴AC的解析式为y＝﹣ x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得 ，
解得 ， ，
当D的坐标为（2 +3， ）时，
BD2＝ ＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
当D的坐标为（2 ﹣3， ）时，
BD2＝ + ＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
综上，OB2﹣BD2＝4．
故答案为：4．
31．（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，
热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千
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克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，
当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解
答本题．
【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：
，
解得： ，
∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，
∵m≥2（36﹣m），
∴24≤m＜36，
∵k＝8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
32．（2023•吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作
一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 y
（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了 3 0 天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【分析】（1）读图直接写出答案；
（2）利用已知两点的坐标，待定系数求出k、b值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围；
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（3）求出乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数即可．
【解答】解：（1）由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘
了30天．
故答案为：30．
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为：y＝kx+b，点（30，210）（60，300）在图象上，
，解得 ．
∴函数关系式为：y＝3x+120（30≤x≤60）．
（3）由（1）关系式可知，甲单独干了30天，挖掘的长度是＝300﹣210＝90，甲的工作效率是3m每天．
前30天是甲乙合作共挖掘了210m，则乙单独挖掘的长度是210﹣90＝120．
当甲挖掘的长度是120m时，工作天数是120÷3＝40（天），
乙组已停工的天数是：40﹣30＝10（天）．
33．（2023•金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中
速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s
（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上
时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【分析】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
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∴设BC所在直线为s ＝100t+b，
1
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s ＝100t﹣900．
1
当s
1
＝1900时，t哥哥 ＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s ＝160t+b，
2
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s ＝160t﹣2400．
2
令s ＝s ，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
1 2
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
34．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动
变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R ＝2 ） 亮度的实验（如图），已知串联电路
L
Ω
中，电流与电阻R、R 之间关系为 I＝ ，通过实验得出如下数据：
L
R/ … 1 a 3 4 6 …
I/AΩ … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 2 ，b＝ 1. 5 ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数 y＝ （x≥0），结合表格信息，探究函数 y＝
（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝ （x≥0）的图象；
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②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥﹣ x+6的解集为 x ≥ 2 或 x ＝ 0 ．
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3＝ ，b＝ ，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5），在平面直角
坐标系中画出对应函数y＝ （x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时， ≥﹣ x+6，
即当x≥0时， ≥﹣ x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
35．某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的性质进行了初步探究，
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部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，函数化简为y＝x；当x＜0时，函数化简为y＝ ﹣ x
．
（2）当a＝2，b＝1，c＝0时，即y＝2|x﹣1|．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 m 2 0 2 4 6 …
其中m＝ 4 ．
② 在 图 1 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 内 画 出 函 数 y ＝ 2|x﹣ 1| 的 图 象 ．
（3）当a＝﹣2，b＝1，c＝2时，即y＝﹣2|x﹣1|+2．
①当x≥1时，函数化简为y＝ ﹣ 2 x + 4 ．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣1|+2的图象．
（4）请写出函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的一条性质： 当 a ＞ 0 ，函数 y ＝ a | x ﹣ b |+ c 有
最低点（ b ， c ） ．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【分析】（1）根据绝对值的意义进行化简；
（2）①根据绝对值的意义进行化简；
②根据描点法作图；
（3）①根据绝对值的意义进行化简；
②根据描点法作图；
（4）根据图象解答．
【解答】解：（1）y＝|x|．当x＜0时，函数化简为y＝﹣x，
故答案为：﹣x；
（2）①当x＝﹣1时，y＝2|x﹣1|＝2|﹣1﹣1|＝4，
故答案为：4；
②如图1所示：
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（3）①当x≥1时，函数化简为y＝﹣2（x﹣1）+2＝﹣2x+4，
故答案为：﹣2x+4；
②如图2所示：
（4）当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）；
故答案为：当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）．
（建议用时：45分钟）
1．（2023•茂南区校级模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y
＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经
过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：B．
2．（2023•西湖区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝k x+b 与 y＝k x+b （其中
1 1 2 2
k k ≠0）的图象分别为直线l 和直线l ，下列结论中一定正确的是（ ）
1 2 1 2
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A．k +k ＜0 B．k k ＞0 C．b +b ＜0 D．b b ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象位置，可得k ＞0，b ＞0，k ＞0，b ＜0，然后逐
1 1 2 2 1 1 2 2
一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k x+b 的图象过第一、二、三象限，
1 1
∴k ＞0，b ＞0，
1 1
∵一次函数y＝k x+b 的图象过第一、三、四象限，
2 2
∴k ＞0，b ＜0，且|b |＞|b |，
2 2 1 2
∵A、k +k ＜0，
1 2
故A不符合题意；
B、k k ＞0，
1 2
故B符合题意；
C、b +b ＞0，
1 2
故C不符合题意；
D、b •b ＜0，
1 2
故D不符合题意；
故选：B．
3．（2023•城关区一模）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x的增大而减小，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围内的值即
可．
【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＜0时，即k＜3时，y随x的增大而减小，
分析选项可得A选项正确．
故选：A．
4．（2023•定远县二模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
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5．（2023•高州市校级二模）点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，结合
点P在一次函数y＝3x+4的图象上可得出点P不可能在第四象限．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝4＞0，
∴一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，
又∵点P在一次函数y＝3x+4的图象上，
∴点P不可能在第四象限．
故选：D．
6．（2023•灞桥区校级二模）若一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是
（ ）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2
【分析】根据一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，可得m﹣1＞0且m﹣2≤0，进一
步求解即可确定m的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，
∴m﹣1＞0且m﹣2≤0，
解得1＜m≤2，
故选：D．
7．（2023•安徽自主招生）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关
于x的形如y＝ x+ 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1， ）在“勾股一次函数”的
图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2 B．24 C．2 D．12
【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣ c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c
的值．
【解答】解：∵点P（﹣1， ）在“勾股一次函数”y＝ x+ 的图象上，
∴ ＝﹣ + ，即a﹣b＝﹣ c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
即∴（﹣ c）2+2×8＝c2，
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解得c＝2 ，
故选：A．
8．（2023•泰安一模）如图，直线 分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，∠MPN＝
90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【分析】以MN为直径作 E，连接CE并延长交 E于点P′，此时PC的长度最大，利用一次函数图
象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度及点E的长度，结合点C的坐标可求
⊙ ⊙
出CE的长，再利用CP′＝EP′﹣CE＝ MN﹣CE＝ ×10﹣4＝1即可求出PC长度的最大值．
【解答】解：如图，以MN为直径作 E，连接EC并延长交 E于点P′，此时P′C的长度最小，
当x＝0时，y＝0+6＝6，
⊙ ⊙
∴点N的坐标为（0，6）；
当y＝0时， x+6＝0，
解得：x＝﹣8，
∴点M的坐标为（﹣8，0）．
∴MN＝ ＝ ＝10，点E的坐标为（﹣4，3）．
又∵点C的坐标为（0，3），
∴CE＝4，
∴CP′＝EP′﹣CE＝ MN﹣CE＝ ×10﹣4＝1．
故选：D．
9．（2023•秦皇岛一模）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣ x和点P（1，0），过点P作y轴的平
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行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，过点P 作y轴的平行线交直线a于点
1 1 2 2
P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，…，按此作法进行下去，则点P 的横坐标为（ ）
3 3 4 2023
A．﹣21011 B．﹣21010 C．﹣22023 D．﹣22022
【分析】点P（1，0），P 在直线y＝x上，得到P （1，1），求得P 的纵坐标＝P 的纵坐标＝1，得
1 1 2 1
到P （﹣2，1），即P 的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P 的横坐标为﹣2＝﹣21，P 的横坐标为4＝22，
2 2 3 4
P ＝22，P ＝﹣23，P ＝﹣23，P ＝24…，求得P ＝22n，于是得到结论．
5 6 7 8 4n
【解答】解：∵点P（1，0），P 在直线y＝x上，
1
∴P （1，1），
1
∵P P ∥x轴，
1 2
∴P 的纵坐标＝P 的纵坐标＝1，
2 1
∵P 在直线y＝﹣ x上，
2
∴1＝﹣ x，
∴x＝﹣2，
∴P （﹣2，1），即P 的横坐标为﹣2＝﹣21，
2 2
同理，P 的横坐标为﹣2＝﹣21，P 的横坐标为4＝22，P ＝22，P ＝﹣23，P ＝﹣23，P ＝24…，
3 4 5 6 7 8
∴P ＝22n，
4n
∴P 的横坐标为22×505＝21010，
2020
∴P 的横坐标为21010，
2021
∴P 的横坐标为﹣21011，
2022
∴P 的横坐标为﹣21011，
2023
故选：A．
10．（2023•新城区校级一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），
则关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为（ ）
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A．x＞4 B．x＜4 C．x＞2 D．x＜2
【分析】先利用解析式y＝x+2确定M点坐标，然后结合函数图象写出y＝kx+b在y＝x+2下方所对应的
自变量的范围即可．
【解答】解：把M（m，4）代入y＝x+2，得m+2＝4，
解得m＝2，
则M（2，4），
∵kx﹣2＜x﹣b，
∴kx+b＜x+2，
由图象得关于x的不等式kx+b＜x+2的解集为x＞2．
即关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为x＞2．
故选：C．
11．（2024•灞桥区校级一模）如图，一次函数 的图象与y＝kx+b的图象相交于点 P（﹣2，
n），则关于x，y的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一次函数的解析式求得点P的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的
交点坐标进行判断．
【解答】解：把点P（﹣2，n）代入 得，n＝ ×（﹣2）+ ＝3，
∴P（﹣2，3），
∵一次函数 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
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∴关于x，y的方程组 的解是 ，
故选：B．
12．（2024•柳州一模）如图，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝kx与y＝ （k≠0）的图象大致是（
）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】利用反比例函数的图象及正比例函数的图象分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限，正比例函数的图象位于一三象限，②正
确；
当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，正比例函数的图象位于二四象限，④正确；
故选：C．
13．（2023•海口二模）如图，直线 与双曲线 相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为
（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1， ） D．（ ，﹣1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（2，﹣1）．
故选：A．
14．（2023•鹤庆县一模）下列关于反比例函数y＝ 的描述中，正确的是（ ）
A．图象在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点（﹣1，3）在反比例函数的图象上
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D．当x＜1时，y＞3
【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得．
【解答】解：A、 ，k＝3＞0，则图象在第一、三象限，选项说法错误，不符合题意；
B、 ，k＝3＞0，则图象在第一、三象限，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，选项说法正确，符
合题意
C、当x＝﹣1时，y＝3≠﹣3，点（﹣1，3）不在反比例函数的图象上，选项说法错误，不符合题意；
D、 ，图象在第一、三象限，当x＜1时，y＜3，选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
15．（2023•梁溪区一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）上，
若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 ，根据中心在反比例
函数y＝ 上，求出中心的横坐标为 ，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．
【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为 ，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝ 上，
∴x＝ ，
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∴矩形ABCD中心的坐标为（ ， ）
∴BC＝2（ ）＝ ﹣2m，
∵S矩形ABCD ＝8，
∴（ ﹣2m）•n＝8．
4k﹣2mn＝8，
∵点A（m，n）在y＝ 上，
∴mn＝k，
∴4k﹣2k＝8
解得：k＝4
故选：D．
16．（2024•历下区校级模拟）若点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（5，y ）都在反比例函数 的图
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3
【分析】根据k＜0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解答】解：∵k＝﹣10＜0，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每一象限内，y随着x增大而增大，
根据A，B，C点横坐标，可知点C，B在第四象限，A在第二象限，
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：C．
17．（2024•大渡口区模拟）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C
（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝ 的图象与边AC交于点
E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE•EG＝ ，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设 k＝12m，则 E（4m，3），F（4，3m），设直线 EF 的解析式为：y＝ax+b，则有：
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，解得 ，得到直线 EF 解析式 y＝﹣ +3m+3，令 x＝0，y＝3m+3，D（0，
3m+3），由勾股定理可得DE＝5m和EG＝5，代入DE•EG＝ 可计算出m值，继而k值可得．
【解答】解：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得 ，
∴y＝﹣ +3m+3，
令x＝0，y＝3m+3，
∴D（0，3m+3），
作EM⊥x轴，垂足为M，则OM＝AE＝4m，EM＝3，
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，
∴DE＝5m，
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，
∴EG＝5，
∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，
∴m＝ ，
∴k＝12m＝12× ＝1．
故选：A．
18．（2023•鄞州区模拟）一次函数y ＝﹣x+6与反比例函数 （x＞0）的图象如图所示，当y ＞y 时，
1 1 2
自变量x的取值范围是（ ）
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A．2≤x≤4 B．x＞4 C．2＜x＜4 D．x＜2
【分析】求得交点坐标，然后利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变
量的范围即可．
【解答】解：由 解得 或 ，
所以交点坐标为（2，4），（4，2），
由图象可知，当2＜x＜4时，y ＞y ．
1 2
故选：C．
19．（2024•深圳模拟）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略
不计）的可变电阻R （ ）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U 换算为人的质量m
1 0
（kg），已知U
0
随着RΩ1 的变化而变化（如图2），R
1
与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法
不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U 越大，R 越小
0 1
B．当U ＝3V时，R 的阻值为50
0 1
C．当踏板上人的质量为90kg时， ΩU
0
＝2V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
0
【分析】根据图2中U 随R 的增大而减小可得A选项正确；图2中的图象经过点（50，3），可得选项
0 1
B正确；把m＝90代入图三可得R 为60 ，而U ＝2V时，对应的是90 ，故C错误；根据图三可得R
1 0 1
随m的增大而减小，所用求m的最大值，
Ω
找到R
1
的最小值10代入即可求
Ω
得最大该电子体重秤可称的最
大质量．
【解答】解：∵图2中U 随R 的增大而减小，
0 1
∴在一定范围内，U 越大，R 越小．
0 1
A正确，不符合题意；
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∵图2中的图象经过点（50，3），
∴当U ＝3V时，R 的阻值为50 ．
0 1
B正确，不符合题意；
Ω
∵当m＝90时，R ＝﹣2m+240＝60 ，U ＝2V时，对应的是90 ，
1 0
∴踏板上人的质量为90kg时，U
0
＝ Ω2V，错误．
Ω
C符合题意．
∵R ＝﹣2m+240，
1
∴R 随m的增大而减小．
1
∵R 的最小值为10，
1
∴m的最大值为115．
∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．
0
D正确，不符合题意．
故选：C．
20．（2023•三江县校级一模）点（﹣1，y ）、（2，y ）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y ＞ y
1 2 1 2
（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜2即可得出y ＞y ．
1 2
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣1，y ）、（2，y ）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，且﹣1＜2，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
21．（2024•宿迁模拟）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是 y
＝ 3 x ﹣ 2 ．
【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答
案．
【解答】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，
∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．
∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；
故答案为：y＝3x﹣2．
22．（2023•迎江区校级三模）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x相交于点A，则关于x的不等式0＜﹣x＜
kx+b的解集为 ﹣ 2 ＜ x ＜ 0 ．
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【分析】以两函数图象交点为分界，比较直线y＝kx+b在y＝﹣x上面的部分，再以y＝﹣x与x交点为
分界，比较直线y＝﹣x在x轴上面部分，同时满足的自变量x的取值即为不等式的解集．
【解答】解：把y＝2代入y＝﹣x中，得：2＝﹣x，
解得：x＝﹣2；
根据图象可知，直线y＝kx+b在y＝﹣x上面的部分，且直线y＝﹣x在x轴上面部分的图象所对应的自
变量为0＜﹣x＜kx+b的解集：
即：不等式0＜﹣x＜kx+b的解集为：﹣2＜x＜0；
故答案为：﹣2＜x＜0．
23．（2023•兴宁区三模）小亮从家步行到公交站台，等公交车去学校，图中折线表示小亮的行程 s（km）
与所花时间t（min）之间的函数关系，下列说法：①他离家8km共用了30min；②他等公交车的时间
是6min；③他步行的速度是100m/min；④公交车的速度是350m/min正确的有 ①②③ ．（只填
正确说法的序号）
【分析】根据图象可以确定他离家8km用了多长时间，等公交车时间是多少，他步行的时间和对应的路
程，公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．
【解答】解：依题意得他离家8km共用了30min，故①正确；
依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，故②正确；
他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min，故③正确；
公交车（30﹣16）min走了（8﹣1）km，故公交车的速度为7000÷14＝500m/min，故④错误．
综上所述，正确的有：①②③．
故答案为：①②③
24．（2024•雁塔区校级二模）如图，Rt△ABC的边AC平行于x轴，∠BAC＝90°，BC的延长线过原点
O，且OC＝2BC．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，连接OA．若Rt△ABC的面积是1，k＝
12 ．
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【分析】延长BA交x轴于点D，设OD＝a，则点A ，进而得AD＝ ，根据OC＝2BC，AC平
行于x轴，得AB＝ AD＝ ，再证△ABC和△DBO相似，得AC＝ OD＝ ，然后根据Rt△ABC的
面积是1，得 AC•AB＝1，即 ，由此解出k即可．
【解答】解：延长BA交x轴于点D，如图所示：
∵AC平行于x轴，∠BAC＝90°，
∴AD⊥x轴，
设OD＝a，
∵反比例函数 的图象经过点A，
∴点A的坐标为 ，
∴AD＝ ，
∵OC＝2BC，
∴OC：BC＝2，
∵AC平行于x轴，
∴AD：AB＝OC：BC＝2，
∴AB＝ AD＝ ，
∵OC＝2BC，
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∴OB＝3BC，
∴BC：OB＝1：3，
∵AC平行于x轴，
∴△ABC∽△DBO，
∴AC：OD＝BC：OB＝1：3，
∴AC＝ OD＝ ，
∵Rt△ABC的面积是4，
∴ AC•AB＝1，
即 ，
解得：k＝12．
故答案为：12．
25．（2023•桥东区模拟）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽，一个圆柱形的空玻璃杯放置在乙槽中（空玻璃
杯的厚度忽略不计）．将甲槽的水匀速注入乙槽的空玻璃杯中，甲水槽内最高水位y（厘米）与注水时
间t（分钟）之间的函数关系如图2线段DE所示，乙水槽（包括空玻璃杯）内最高水位y（厘米）与注
水时间t（分钟）之间的函数关系如图 2折线O﹣A﹣B﹣C所示．记甲槽底面积为S ，乙槽底面积为
1
S ．则：
2
（1）甲水槽开始注水时的水位为 1 0 cm；
（2）S ：S ＝ 4 ： 5 ；
1 2
（3） ＝ 1 ．
【分析】（1）观察图2函数关系可得；
（2）根据圆柱的体积公式（V＝Sh），结合题意可得10S ＝8S ，据此解答即可；
1 2
（3）根据水的体积是等量的，可得 ．
【解答】解：（1）由图2可知，甲水槽开始注水时的水位为10cm，
故答案为：10；
（2）由题意可得，甲槽最高水位是10cm，乙槽最高水位是8cm，
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∴10S ＝8S ，
1 2
S ：S ＝4：5，
1 2
故答案为：4：5；
（3）由图2可知，乙槽的空玻璃杯的高度是h厘米，
设y ＝kx+b，（x＞0），代入D、E两点，
DE
，
解得：k＝﹣ ，b＝10，
y ＝﹣ x+10，
DE
令x＝b，则y＝ ，
∴b分钟，甲槽水位下降（ ）厘米，甲槽向乙槽注入的水的体积为（ S ）立方厘米，
1
∴hS ＝ S ，
2 1
∵S ：S ＝4：5，
1 2
∴ ＝1，
故答案为：1．
26．（2024•深圳模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反
比例函数 的图象上，若S△ABC ＝4，则k＝ 2 4 ．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，利用两次相似求出点D的坐标即可求出k值．
【解答】解：∵S△ABC ＝4，
∴ ，
∴BC2＝4，
∴小正方形边长为2，
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∴AB＝4，BC＝AF＝1，DF＝6，AC＝2 ，
如图，作DE⊥x轴，垂足为点E，
∵∠BAF＝90，
∴∠OAF＝∠BCA，
∴△ABC∽△FOA，
∴ ，即 ，
∴AO＝ ，OF＝ ，
同理△AOF∽△FED，
，即 ，
∴EF＝ ，DE＝ ，
∴OE＝OF+EF＝ + ＝2 ．
D（2 ， ），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2 × ＝24．
故答案为：24．
27．（2024•碑林区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB在第一象限，∠B＝90°，BO＝BA，点
M是OB的中点，点A和点M都在反比例函数 上．若点M的坐标为（m，2），则k的值
是 ．
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【分析】构造全等三角形推出点A的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关
于m的方程，解出m即可求出M的坐标，
【解答】解：过点B作x轴的平行线交y轴于点C，过点A作y轴的平行线交CB的延长线于点D．
∵点M的坐标为（m，2），点M是OB的中点，
∴B（2m，4），
∴BC＝2m，OC＝4，
∵∠BOC+∠OBC＝90°，∠ABD+∠OBC＝90°
∴∠BOC＝∠ABD，
∵∠BCO＝∠ADB＝90°，BO＝BA．
∴△BCO≌△ADB（AAS），
∴BC＝AD＝2m，CO＝BD＝4．
∴B（2m+4，4﹣2m），
∵点M、A都在反比例函数上，
∴2m＝（2m+4）（4﹣2m），
解得：m ＝ ，m ＝ （舍去），
1 2
∴点M的坐标为（ ，2），
∴k＝xy＝ ．
故答案为： ．
28．（2024•雁塔区校级二模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝ （k
＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝ x﹣4，则k的值为 2 4 ．
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【分析】解方程求得B（8，0），G（0，﹣4），得到OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作
CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，
BE＝CF，根据相似三角形的性质得 ，设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标
特征即可得到结论．
【解答】解：在y＝ x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
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∴ ，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
解得a＝2或a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝6×4＝24，
故答案为：24．
29．（2023•城阳区三模）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，
教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y
＞1.6，则x的取值范围是 2 ＜ x ＜ 5 0 ．
【分析】先求得反比例函数和正比例函数的解析式，然后把y＞分别代入正比例和反比例函数解析式，
求出相应的x取值范围即可．
【解答】解：当0≤x≤6时，设每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y
＝kx，
把（10，8）代入解析式得：10k＝8，
解得k＝ ，
∴每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝ x，
当y＞1.6时， x＞1.6，
解得x＞2；
当x＞10时，y与x的函数解析式为y＝ ，
把（10，8）代入解析式得：m＝80，
∴y与x的函数解析式为y＝ ，
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当y＞1.6时， ＞1.6，
解得x＜50，
∴y＞1.6x的取值范围是2＜x＜50．
故答案为：2＜x＜50．
30．（2023•六安三模）如图1，工人正在用撬棒撬石头，撬棒是杠杆，O为杠杆的支点．当支点和石头的
大小不变时，工人师傅用的力F与其力臂l之间的关系式为F＝ ，其图象如图2所示，点P为F＝ 图
象上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，S△OPM ＝20000cm2．若OA＝40cm，撬棒与水平地面的夹角为
30°，则这块石头重力为 115 5 N．
【分析】根据杠杆均衡公式和反比例函数图象推出力臂与力的关系，利用三角比求出重力的值．
【解答】解：根据杠杆均衡公式：F压×OA＝F×l，
由图2可知，S△OPM ＝20000（cm2），
即 OM•PM＝20000（cm2），
∵OM为力臂l，PF为力F，
∴ Fl＝20000（cm2），
Fl＝40000（N•cm），
若OA＝40cm，
解得F压 ＝1000N，
因为夹角为30°，
∴重力＝ ＝1155N．
故答案为：1155．
31．（2023•船营区一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻R（单位：
）是反比例函数关系，它的图象如图所示：
（1）求电流I关于电阻R的函数解析式；
Ω
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控
制在什么范围？
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【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝ ，将点（20，1.8）代入函数解析式，利用
待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为 ．
∵函数图象过点（9，4），
∴ ，
解得k＝36．
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为 ．
（2）∵限制电流不能超过10A，
∴ ≤10，
解得R≥3.6，
∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6 ．
32．（2024•碑林区校级二模）为了迎接“三八”妇女节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花，康乃
Ω
馨和玫瑰花的进价、售价如表所示：
进价（元/支） 售价（元/支）
康乃馨 6 9
玫瑰花 8 12
已知该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的 ，设康
乃馨购买x支，出售康乃馨和玫瑰花的总利润为y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x取何值时，商家获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据总利润＝每支康乃馨的利润×康乃馨+每支玫瑰的利润×玫瑰的数量列出函数解析式；
（2）根据购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的 ，求出x的取值范围，再根据函数的性质求出最
值．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（9﹣6）x+（12﹣8）（5000﹣x）＝3x+20000﹣4x＝﹣x+20000，
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∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+20000；
（2）∵购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的 ，
∴x≥ （5000﹣x），
解得x≥1250，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1250时，y最大，最大值为18750，
答：当x＝1250时，商家获得最大利润，最大利润是18750元．
33．（2023•前郭县四模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比
货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关
系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列
问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出
轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到线段CD对应的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千
米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴ ，
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解得 ，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x ＝3.6，x ＝4.2，
1 2
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
34．（2024•碑林区校级一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数 的性质．
以下是他的研究过程，请补充完整．
（1）如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣1 ﹣2 2 1 m …
﹣ ﹣
直接写出m的值，m＝ ；
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的
图象；
（3）观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为 （ 1 ， 0 ） ；
（4）若直线y＝2x与函数 的图象交于第一象限内一点P（x，y），则下面关于x的取值范围描
述正确的是 C ．
A.1＜x＜1.25
B.1.25＜x＜1.5
C.1.5＜x＜1.75
D.1.75＜x＜2
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【分析】（1）①将x＝4代入 即得m的值；
（2）描点、连线即可；
（3）根据图象即可求解；
（4）求得y＝3时，函数y＝2x和函数y＝ 的x的值，结合图象即可判断．
【解答】解：（1）①x＝4时，y＝ ＝ ，
∴m＝ ，
故答案为： ；
（2）如图：
；
（3）观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（4）作出直线y＝2x如图：
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把y＝3代入y＝2x求得x＝1.5，
把y＝3代入 ，求得x＝ ，
观察图象，若直线y＝2x与函数 的图象交于第一象限内一点P（x，y），则x的取值范围是1.5
＜x＜ ，
∴下面关于x的取值范围描述正确的是C，
故答案为：C．
35．（2023•泰安）如图，一次函数y ＝﹣2x+2的图象与反比例函数y ＝ 的图象分别交于点A，点B，与
1 2
y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当y ＜y 时，直接写出x的取值范围；
1 2
（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
【分析】（1）根据一次函数的关系式可求出与x轴，y轴的交点D、点C的坐标，再利用全等三角形的
判断和性质得出AE＝OD＝1，进而确定点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值
即可；
（2）求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象直观得出答案；
（3）求出直线PA的关系式，再根据关系式求出其与x轴的交点坐标即可．
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【解答】解：（1）∵一次函数y ＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D，
1
∴点C（0，2），点D（1，0），
∵OE＝4，
∴OC＝CE＝2，
∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，
∴△AEC≌△DOC（ASA），
∴AE＝OD＝1，
∴点A（﹣1，4），
∵点A在反比例函数y ＝ 的图象上，
2
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的关系式为y ＝﹣ ；
2
（2）方程组 的解为 ， ，
∵点A（﹣1，4），
∴点B（2，﹣2），
由于是在第二象限，当y ＜y 时，x的取值范围为﹣1＜x＜0；
1 2
（3）由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y＝ x+b，
把点A（﹣1，4）代入得，4＝﹣ +b，
解得b＝ ，
∴直线PA的关系式为y＝ x+ ，
当y＝0时，x＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣9，0）．
36．（2023•济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边
用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函
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数y＝ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成
一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个
函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与直线l ：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 （ 4 ， 2 ）
1
，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ 4 m，BC＝
2 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x
通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝ （x＞0）的
图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝ 图象在第一象限内
交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
2
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的长均不小于1m，所以1≤x≤8，直线y＝﹣2x+a在l 、l 上面或之间移动，可得求a的
3 4
范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y＝ 与直线l ：y＝﹣2x+10联立得
1
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，
∴ ＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x ＝1，x ＝4，
1 2
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l 所示：
2
∵l 与函数 图象没有交点，
2
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l 所示：
3
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴ ≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l 、l 上面或之间移动，
3 4
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
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37．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于A、B（1，m）两
点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ﹣ 3 ，k＝ ﹣ 3 ，点C的坐标为 （﹣ 4 ， 0 ） ；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，在△AOC中，tan∠AOH＝3，∠ACO＝45°，AO＝
，用解直角三角形的方法求出CO，即可求解；
（2）证明点P在x轴的正半轴时，存在△AOC∽△BOP和△AOC∽△POB，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y＝﹣ ，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA＝ ，过点A作AH⊥x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝ x＝ ，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
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（2）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则 ，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则 ，
即 ，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
125
