文档内容
微专题 12 反比例函数与一次函数、几何结合
高频考点突破
考点1 反比例函数与一次函数结合(6年3考)
方法解读
求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用
点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.
常见求三角形面积的示例如下：
1
①S ＝ OB·AD；
△AOB 2
②S ＝S ＋S ；
△ADB △ACD △BDC
③S ＝S ＋S ＝S ＋S .
△AOB △ACO △BOC △ADO △BDO
例1 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x＋b (k ≠0)的图象与反比例
1 1 1
k 3
函数y＝ 2(k ≠0)的图象分别交于点A(－1，－2)，B( ，n).
x 2 2
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
第 1 页 共 13 页(2)如图①，点C是反比例函数图象上一动点，过点C作y轴的垂线，交y轴于
点D，交一次函数图象于点E，当点C恰好是DE的中点时，求点C的坐标；
例1题图①
(3)核心设问 如图②，连接OA，OB，求△AOB的面积；[2019广东23(2)题考查]
例1题图②
(4)核心设问 如图③，点M是一次函数图象上一动点，当AM＝3BM时，求点M
的坐标.[2021广东21(2)题考查]
例1题图③
考点2 反比例函数与几何结合(6年2考)
方法解读
一、坐标法
k k
由y＝ 得到xy＝k，如：点A(x ，y )，B(x ，y )在反比例函数y＝ 的图象
x A A B B x
上，则x ·y ＝x ·y ＝k①，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，都等
A A B B
x y
于k；①式变形为 A＝ B②，即反比例函数图象上两点横坐标的比值与纵坐标的
x y
B A
比值互为倒数.
第 2 页 共 13 页二、面积法
面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象
上的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：
1
S ＝S ＝ ｜k｜.
△AOB △COD 2
k
例2 (北师九上习题改编)如图，已知双曲线y＝ (x＞0)经过Rt△OAB斜边OB
x
的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面
积为3，则k等于 .
例2题图
6
例3 (2024东莞一模改编)如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)的图象上任意一
x
3
点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－ (x＜0)的图象于点B，以AB为边作菱形
x
ABCD，其中C，D在x轴上，则菱形ABCD的面积为 .
例3题图
第 3 页 共 13 页例4 (人教九上习题改编)如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点
k
E，AE∶EC＝1∶2，反比例函数y＝ (x＞0)的图象过点C，且交线段BC于点D，
x
11
BD∶DC＝1∶3，连接AD，若S ＝ ，则k的值为 .
△ABD 4
例4题图
真题及变式
命题点1 反比例函数与一次函数结合(6年3考)
1. (2021广东21题8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图
4
象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝ 图象的一个交点为
x
P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值.
k
2. (2019广东23题9分)如图，一次函数y＝k x＋b的图象与反比例函数y＝ 2的
1 x
图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n).
k
(1)根据图象，直接写出满足k x＋b＞ 2的x的取值范围；
1 x
(2)求这两个函数的表达式；
(3)点P在线段AB上，且S ∶S ＝1∶2，求点P的坐标.
△AOP △BOP
第2题图
命题点2 反比例函数与几何结合(6年2考)
第 4 页 共 13 页8
3. (2020广东24题10分)如图，点B是反比例函数y＝ (x＞0)图象上一点，过点
x
k
B分别向坐标轴作垂线，垂足为A， C.反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过
x
OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点
G与点O关于点C对称，连接BF，BG.
(1)填空：k＝ ；
(2)求△BDF的面积；
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.
第3题图
第 5 页 共 13 页高频考点
k k
例1 解：(1)将点A(－1，－2)代入y＝ 2(k ≠0)中，得 2 ＝－2，
x 2 －1
解得k ＝2，
2
2
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
x
3 2 4
将点B( ，n)代入y＝ 中，得n＝ ，
2 x 3
3 4
∴点B( ， )，
2 3
3 4
将点A(－1，－2)，B( ， )分别代入y＝k x＋b (k ≠0)中，
2 3 1 1 1
{－k ＋b ＝－2
1 1
得 3 4 ，
k ＋b ＝
2 1 1 3
4
{ k ＝
1 3
解得 ，
2
b ＝－
1 3
4 2
∴一次函数的解析式为y＝ x－ ；
3 3
2
(2)设点C的坐标为(x， )，
x
∵点C是DE的中点，
2
∴点E的坐标为(2x， )，
x
2 4 2
将点E(2x， )代入y＝ x－ 中，
x 3 3
4 2 2
得 ·2x－ ＝ ，
3 3 x
整理得4x2－x－3＝0，
3
解得x＝1或x＝－ ，
4
2
当x＝1时，y＝ ＝2，点C的坐标为(1，2)，
1
第 6 页 共 13 页2
3 8 3 8
当x＝－ 时，y＝ 3 ＝－ ，点C的坐标为(－ ，－ ).
4 － 3 4 3
4
3 8
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(－ ，－ )；
4 3
3 4
(3)由(1)可知点A(－1，－2)，点B( ， )，
2 3
4 2 1
在一次函数y＝ x－ 中，令y＝0，得x＝ ，
3 3 2
1 1 4 5
∴S ＝ × ×( ＋2)＝ ；
△AOB 2 2 3 6
(4)设点M(a，b)，当点M在AB的延长线上时，
2
∵AM＝3BM，∴AB＝ AM，
3
如解图①，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点
B作BQ⊥AP于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
AQ BQ AB 2
∴ ＝ ＝ ＝ ，
AP MP AM 3
3 4
+1 +2 2
∴2 ＝3 ＝ ，
3
a+1 b+2
11
解得a＝ ，b＝3，
4
11
∴点M的坐标为( ，3)；
4
当点M在线段AB上时，
4
∵AM＝3BM，∴AB＝ AM，
3
如解图②，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点
B作BQ⊥AP交AP的延长线于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
AQ BQ AB 4
∴ ＝ ＝ ＝ ，
AP MP AM 3
第 7 页 共 13 页3 4
+1 +2 4
∴2 ＝3 ＝ ，
3
a+1 b+2
7 1
解得a＝ ，b＝ ，
8 2
7 1
∴点M的坐标为( ， ).
8 2
11 7 1
综上所述，点M的坐标为( ，3)或( ， ).
4 8 2
图①
图②
例1题解图
1
例2 2 【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中点，∴OE＝
2
1 x OA k x y
OA，DE＝ AB，∴ C＝ ＝2，又∵点C，D都在y＝ 上，∴ C＝ D＝2，即
2 x OE x x y
D D C
1 1 3
DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S ＝ BC·OA＝ ·3AC·OA＝ k＝
△OBC 2 2 2
3，∴k＝2.
一题多解法
k k
∵点C，D都在y＝ 上，∴S ＝S ＝ ，由题意得△ODE∽△OBA，且相似
x △ODE △OCA 2
DE 1 S 1 1
比 ＝ ，∴ △ODE＝ ，∴S ＝4S ＝2k，又∵S ＝S ＋S ＝3＋
AB 2 S 4 △OBA △ODE △OBA △OBC △OCA 2
△OBA
1
k，∴2k＝3＋ k，∴k＝2.
2
第 8 页 共 13 页3 3
例3 9 【解析】设点B的纵坐标为b，∴－ ＝b，解得x＝－ ，∵AB∥x轴，
x b
6 6 6 3 9
∴点A的纵坐标为b，∴b＝ ，解得x＝ ，∴AB＝ －(－ )＝ ，∴S ＝
x b b b b 菱形ABCD
9
·b＝9.
b
k
例4 4 【解析】设A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴点C(2a， )，
2a
k 1 k k
∵BD∶DC＝1∶3，∴点D的纵坐标为 × ＝ ，∴点D的坐标为(8a， )，
2a 4 8a 8a
11
∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S ＝4S ＝4× ＝11，
△ABC △ABD 4
1 k
∴S ＝ ×11a× ＝11，解得k＝4.
△ABC 2 2a
真题及变式
4
1. 解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝ 图象上一点，
x
4
∴当x＝1时，m＝ ＝4； (2分)
1
(2)如解图，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
由(1)得P(1，4)，
∴PM＝4，PN＝1.
①当点B在y轴的正半轴时，
∵PA＝2AB，
A B 1
∴ 1 1＝ ，
PA 2
1
易证△A OB ∽△A MP，
1 1 1
OB A B 1
∴ 1＝ 1 1＝ ，
MP A P 2
1
∴OB ＝2，
1
∴B (0，2)，
1
将P(1，4)，B (0，2)分别代入y＝kx＋b中，
1
{k＋b=4 {k=2
得 ，解得 ； (5分)
b=2 b=2
第 9 页 共 13 页②当点B在y轴的负半轴时，
∵PA＝2AB，
A B 1
∴ 2 2＝ ，
PB 3
2
易证△B A O∽△B PN，
2 2 2
OA A B 1
∴ 2＝ 2 2＝ ，
NP PB 3
2
1
∴OA ＝ ，
2 3
1
∴A ( ，0)，
2 3
1
将P(1，4)，A ( ，0)分别代入y＝kx＋b中，
2 3
{
k＋b=4
{ k=6
得 1 ，解得 .
k＋b=0 b＝－2
3
综上所述，k的值为2或6. (8分)
第1题解图
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4； (2分)
k
(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝ 2的图象上，
x
k
∴4＝ 2 ， (3分)
－1
解得k ＝－4，
2
4
∴反比例函数的表达式为y＝－ . (4分)
x
4
∵点B(4，n)在反比例函数y＝－ 的图象上，
x
4
∴n＝－ ＝－1，
4
第 10 页 共 13 页∴B(4，－1).
∵一次函数的图象过A，B两点，
{ －k ＋b=4
∴ 1 ， (5分)
4k ＋b＝－1
1
{k ＝－1
解得 1 ，
b=3
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3； (6分)
(3)如解图，连接OP，OA，OB，设一次函数y＝－x＋3与x轴交于点C，
第2题解图
∵当y＝0时，x＝3，
∴点C的坐标为(3，0).
∵S ＝S ＋S ，
△AOB △AOC △BOC
1 1 15
∴S ＝ ×3×4＋ ×3×1＝ . (7分)
△AOB 2 2 2
∵S ∶S ＝1∶2，
△AOP △BOP
2 2 15
∴S ＝ S ＝ × ＝5.
△BOP 3 △AOB 3 2
∵点P在线段AB上，
∴设P的坐标为(m，－m＋3)，－1＜m＜4，
∵S ＝S ＋S ，
△POB △POC △BOC
1 1
∴S ＝ ×3×(－m＋3)＋ ×3×1＝5， (8分)
△BOP 2 2
2
解得m＝ ，
3
2 7
∴－m＋3＝－ ＋3＝ ，
3 3
2 7
∴点P的坐标为( ， ). (9分)
3 3
第 11 页 共 13 页3. (1)2； (2分)
【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S
1 1
＝8，S ＝｜k｜.∵M是OB的中点，∴S ＝ S ＝ ×8＝
矩形ABCO 矩形PMQO 矩形PMQO 4 矩形ABCO 4
2，即k＝2 .
第3题解图①
(2)解：如解图②，连接OD，
1 1 ｜k｜
∴S ＝S ＝S －S ＝ S －S ＝ ×8－ ＝4－1＝3； (6
△BDF △BDO △BAO △DAO 2 矩形ABCO △DAO 2 2
分)
第3题解图②
(3)证明：如解图③，过点D作DH⊥OG于点H.
8 m 8 2 m
设B(m， )，则C(m，0)，G(2m，0)，D( ， )，E(m， )，H( ，0)，
m 4 m m 4
m 3m
∴DB＝m－ ＝ ，
4 4
易得△DHF∽△EBD，(8分)
DH HF
∴ ＝ ，
EB BD
8 3m
×
DH·DB m 4
∴HF＝ ＝ ＝m，
EB 8 2
－
m m
m 3m
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－ －m＝ ，
4 4
∴FG＝DB， (9分)
由题意可得FG∥DB，
第 12 页 共 13 页∴四边形BDFG为平行四边形.(10分)
第3题解图③
第 13 页 共 13 页
