解答题02一次函数，反比例函数与二次函数综合（13大题型+好题必刷）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025中考二轮课件ppt+讲义+练习数学

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大题 02 一次函数、反比例函数与二次函数综合
（13 大题型）
一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、
二次函数的图像和性质是考查的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二
次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况.
题型一： 动点问题的函数图像
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同
时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也
随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形
EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之
间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当x≤4时图象的
走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：
∴EF=EH=√2x，BE=12−x，
在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，
∴(√2x) 2+(√2x) 2=(12−x) 2，
∴x=4，
∴当0<x≤4时，y=(√2x) 2=2x2，
∵2>0，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当HG在BC下方时，设AE=x，由题可得：
∴EF=√2x，BE=12−x，
∵∠AEF=∠B=45°，∠A=∠EOB=90°,
∴△FAE∽△EOB，
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AE EO
∴ = ，
EF EB
x EO
∴ = ，
√2x 12−x
12−x
∴EO= ，
√2
12−x
∴当4<x<12时，y=(√2x)· =(12−x)x=−x2+12x，
√2
∵−1<0，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的
顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2√3cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以
1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形
ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，
先求得菱形的面积为6√3，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱
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形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图所示，设EG,HF交于点O，
∵菱形EFGH，∠E=60°，
∴HG=GF
又∵∠E=60°，
∴△HFG是等边三角形，
∵EF=2√3cm，∠HEF=60°，
∴∠OEF=30°
∴EG=2EO=2×EFcos30°=√3EF=6
1 1
∴S ❑ = EG⋅FH= ×6×2√3=6√3
菱形EFG H 2 2
当0≤x≤3时，重合部分为△MNG，
如图所示，
依题意，△MNG为等边三角形，
t 2√3
运动时间为t，则NG= = t，
cos30° 3
2
∴S= 1 ×NG×NG×sin60°= √3(2√3 t ) = √3 t2
2 4 3 3
当3<x≤6时，如图所示，
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EM 6−t 2√3
EK= = = (6−t)
依题意，EM=EG−t=6−t，则 sin60° √3 3
2
1 1 2√3 √3
∴S = EJ⋅EM= × (6−t) 2= (6−t) 2
△EKJ 2 2 3 3
∴S=S −S
菱形EFGH △EKJ
√3 √3
=6− (6−t) 2=− t2+4√3t−12√3+6
3 3
∵EG=6<BC
∴当6<x≤8时，S=6√3
√3
当8<x≤11时，同理可得，S=6− (t−8) 2
3
当11<x≤14时，同理可得，S= √3 [6−(t−8)] 2 = √3 (14−t) 2
3 3
综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段
抛物线，当6<x≤8时，函数图象为一条线段，当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当
11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
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类型一 动点与函数图像判断的解题策略
方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减
变化趋势；
方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断；
方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行
排除；
方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图像计算的解题策略
一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
1．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线
AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的
函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A． BD=10 B． AD=12
C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x=15时，△APD的面积为20
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，
应用相关知识求解即可．
【详解】解：当点P运动到点B处时，x=10，即AB=10，当点P运动到点D处时，x=20，所以
BD=20−10=10，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，y=12，即AD=12，故B正确，不符合题意；
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∴平行四边形ABCD的周长为2(10+12)=44，故C正确，不符合题意；
当x=15时，点P在BD中点处，如图，
此时△ADP的面积是△ABD面积的一半，
作BH⊥AD，
∵AB=BD=10，
∴AH=DH=6，
∴BH=√AB2−AH2=8，
1
∴S = ×12×8=48，
△ABD 2
1
∴△APD的面积为 ×48=24，故D错误，符合题意．
2
故选：D．
2．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4 3
【分析】先求出AB=10，则AD=BD=5，sinA= ，sinB= ，过点E作EM⊥AB于M，过点F作
5 5
4x
FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM= ，S =2x，设BF=a，则
5 △ADE
3a S
CF=8−a，FN= ， 3a ，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得
5 △≝¿= 2 ¿
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， ，再证 ，进而求得 ， ，根据 列出函数
FH2=a2+x2 FE2=(6−x) 2+(8−a) 2 FH=FE a S y=S −¿
△≝¿¿ △ABC
关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，
∵ D为AB的中点，
∴ AD=BD=5，
BC 8 4 AC 6 3
又sin A= = = ，sinB= = = ，
AB 10 5 AB 10 5
过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如图：
EM
在Rt△AEM中，AE=x，sin A= ，
AE
4x
∴EM=AE⋅sin A= ，
5
1 1 4x
∴S = AD⋅EM= ×5× =2x，
△ADE 2 2 5
设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
FN
在Rt△BFN中，sinB= ，
BF
3a
∴FN=BF⋅sinB= ，
5
1 1 3a 3a
∴S = BD⋅FN= ×5× = ，
△DBF 2 2 5 2
在△AED和△BHD中，
¿，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
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∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理得：FE2=CE2+CF2=(6−x) 2+(8−a) 2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴a2+x2=(6−x) 2+(8−a) 2，
25−3x
∴a= ，
4
3a 75−9x
∴S = = ，
△DBF 2 8
75−9x 75+7x 25−3x 3x+7
∴S +S =2x+ = ，CF=8−a=8− = ，
△ADE △DBF 8 8 4 4
1 1 3x+7 1
∴S = CE⋅CF= (6−x)× = (−3x2+11x+42)，
△CEF 2 2 4 8
1 1
而S = AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
∴y=S −¿，
△ABC
75+7x 1
即y=24− − (−3x2+11x+42)，
8 8
3 9 75
整理得：y= x2− x+ ，
8 4 8
∵s= y−6，
3 9 75 3 9 27 3
∴s= x2− x+ −6= x2− x+ = (x−3) 2 ，
8 4 8 8 4 8 8
27 27
当x=0时，s= ，当x=6时，s= ，顶点坐标为(3,0)，
8 8
( 27) ( 27)
∴该函数图象是抛物线，与y轴交于点 0, ，顶点为(3,0)，且过点 6, ，
8 8
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二
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次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
题型二： 判断函数图像
1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，则过点
M(c,2a−b)和点N(b2−4ac,a−b+c)的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到c>0，根
据对称轴计算公式得到b=2a，即2a−b=0，则M(c,2a−b)在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象
限，得到当x=−1时，y=a−b+c>0，再由二次函数与x轴无交点，得到Δ=b2−4ac<0，则点
N(b2−4ac,a−b+c)在第二象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∵对称轴是直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
∴2a−b=0，
∴M(c,2a−b)在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当x=−1时，y=a−b+c>0，
∵二次函数与x轴无交点，
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∴Δ=b2−4ac<0，
∴点N(b2−4ac,a−b+c)在第二象限，
∴经过点M(c,2a−b)和点N(b2−4ac,a−b+c)的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
−c
2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b(a≠0)和y= (c≠0)的图象大致
x
如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得a<0,b<0，c>0，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数y=ax−b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0,−b>0，即a<0,b<0，
−c
∵反比例函数y= (c≠0)的图象位于第二、四象限，
x
∴−c<0，即c>0，
b
∴函数y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线x=− <0，
2a
故选：D．
根据函数性质判断图像的方法:
1）一次函数： y=kx+b，k的正负决定直线的升降，b的正负决定与y轴交点的位置。
k
2）反比例函数：y= ，k的正负决定双曲线所在象限。
x
3）二次函数： ，a的正负决定抛物线开口方向，a和b的正负决定对称轴位置，△的正
负决定与x轴的交点个数。
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1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数y=x−2n+4，二次函数y=x2+(n−1)x−3，反比例函数
n+1
y= 在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
x
A．n>−1 B．n>2 C．−1<n<1 D．1<n<2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等
式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
¿，
解得：−1<n<1，
∴n的取值范围是−1<n<1，
故选：C．
2．（2024威海市模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象
a−b+c
和反比例函数y= 的图象在同一坐标系中大致为（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通
过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用x=−1代入解析式，得到a−b+c的正负即可判定两个函数
的图象所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：a<0,b<0,c>0,
又由于当x=−1时，y=a−b+c>0
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
题型三： 已知函数值的大小，求取值范围
8
1．（2024·山东泰安·中考真题）直线y =kx+b(k≠0)与反比例函数y =− 的图象相交于点A(−2,m)，
1 2 x
B(n,−1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y 的表达式；
1
(2)若y >y ，请直接写出满足条件的x的取值范围；
1 2
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
1
【答案】(1)y =− x+3
1 2
(2)x<−2或0<x<8
4
(3)
3
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等
知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
8
（1）分别将点A(−2,m)、点B(n,−1)代入y =− ，求出m、n的值，再分别代入y =kx+b中即可解答；
2 x 1
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（2）根据函数图像确定不等式的解集即可；
8
（3）先把y=3代入y =− 中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
2 x
8
【详解】（1）解：分别将点A(−2,m)、点B(n,−1)代入y =− 中，可得：−2m=−8，−n=−8，解
2 x
得：m=4，n=8，
∴A点坐标为(−2,4)，B点坐标为(8,−1)，
把A点坐标(−2,4)，B点坐标(8,−1)分别代入y =kx+b,可得¿，解得：
1
¿，
1
∴一次函数表达式为y =− x+3．
1 2
8
（2）解：∵直线y =kx+b(k≠0)与反比例函数y =− 的图象相交于点A(−2,4)，B(8,−1)
1 2 x
∴由图象可知，当y >y 时，x<−2或0<x<8．
1 2
8 8
（3）解：把y=3时代入y =− 中，得x=− ，
2 x 3
( 8 ) 8
∴D点坐标为 − ,3 ，即CD= ，
3 3
1 8 4
∴S = × ×(4−3)= ．
△ACD 2 3 3
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点
(2,1).
(1)求k，b的值；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数
y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.
【答案】(1)k=1,b=−1
(2)m≥1
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将(2,1)代入y=−kx+3先求出k，再将(2,1)和k的值代入y=kx+b(k≠0)即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在
直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入y=−kx+3得：−2k+3=1，
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解得：k=1，
将k=1，(2,1)，代入函数y=kx+b(k≠0)中，
得：¿，
解得：¿，
∴k=1,b=−1；
（2）解：∵k=1,b=−1，
∴两个一次函数的解析式分别为y=x−1,y=−x+3，
当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数y=−x+3的
值，
即当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，则画
出图象为：
由图象得：当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时符合题意或者当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于直
线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时的夹角也符合题意，
∴当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时，m=1，
∴当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方时，
m≥1，
∴m的取值范围为m≥1．
以反比例函数与一次函数为例：
从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以 的解集为
或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以 的解集为
或 .
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y
① ② ③ ④ y=ax+b
A
y =k/x
x
B
O
1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数y=|x|−2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函
数y=|x|−2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y=|x|−2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … −3 −2 −1 0 1 2 4 …
y … 1 0 −1 −2 −1 0 m …
①求m的值；
②若A(a,6)，B(b,6)为该函数图象上不同的两点，求a+b的值．
（3）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画
出该函数的图象；根据函数图象可得：
①求该函数的最小值；
1 ( 4 2)
②已知直线y = x与函数y=|x|−2的图象交于C − ,− ，D(4,2)点，直接写出当y >y时x的取值范
1 2 3 3 1
围．
【答案】（2）①2 ②0
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4
（3）图见解析 ①−2 ②− <x<4
3
【分析】（2）①把(4,m)代入y=|x|−2，得m=|4|−2，由此即可求出m的值；②把y=6代入y=|x|−2，
得6=|x|−2，解方程即可求出a与b的值，进而可求出a+b的值；
（3）在如图所示的平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象即可；①由函数图象即可直接得出该函数的
1
最小值；②在同一平面直角坐标系中画出直线y = x，由函数图象即可直接得出y >y时x的取值范围．
1 2 1
【详解】解：（2）①把(4,m)代入y=|x|−2，得：
m=|4|−2=4−2=2；
②把y=6代入y=|x|−2，得：
6=|x|−2，
解得：x=−8或8，
∴a+b=−8+8=0；
（3）画出该函数的图象如下：
①由函数图象可知：该函数的最小值为−2；
1
②在同一平面直角坐标系中画出直线y = x，
1 2
4
由函数图象可知：y >y时x的取值范围是：− <x<4．
1 3
【点睛】本题主要考查了用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，根据两条直线的交点求不等式的
解集，代数式求值，求函数值，用表格表示变量间的关系，绝对值方程等知识点，运用数形结合思想是解
题的关键．
题型四： 函数间的交点问题
1．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
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如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
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【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
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画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
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把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于
点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0,n)．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为
M(m+1,m+3)，N(m+1,m)，P(m+5,m)，Q(m+5,m+3)．
(1)填空：a=______，b=______；
k
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y= 有且只有一个交点，求n2的最大值；
x
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，
直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．
①当m=−3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
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1 3
【答案】(1) ，−
2 2
(2)当m=−2时，n2可以取得最大值，最大值为2
1 3−√57
(3)①n的取值范围为： ≤n≤1或n=−4；②m的取值范围：−13≤m≤
2 2
【分析】（1）将点A(−1,0)，B(4,0)代入函数解析式y=ax2+bx−2得¿，解之即可；
（2）设直线BC的解析式为y=dx+e(d≠0)，将点B(4,0)和C(0,−2)代入得¿，求出直线BC的解析式
1 1
y= x−2；再求出直线l的解析式为y= x+n，根据反比例函数图象上点的坐标特征得
2 2
k=(m+1)(m+3)=m2+4m+3，再由直线l与双曲线有公共点x2+2nx−2m2−8m−6=0，由直线l与双曲
线有且只有一个交点得Δ=0，进而可求得；
1
（3）当直线l与抛物线有交点时，联立直线y= x+n与抛物线y=ax2+bx−2的解析式，得¿，可求得
2
1
n≥−4；当n=−4时，直线y= x−4与抛物线有且只有一个交点F(2,−3)；①当m=−3时，四边形
2
MNPQ的顶点分别为M(−2,0)，N(−2,−3)，P(2,−3)，Q(2,0)．第一种情况：如图2，n=−4时，直
线l与四边形MNPQ，抛物线y=ax2+bx−2都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大
于与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．第二种情况：当直线l经过点A时，如图3所示，
1 1 1
×(−1)+n=0，解得，n= ，当直线l经过点M时，如图4所示得n=1， ≤n≤1，最终可得n的取值范
2 2 2
1
围为： ≤n≤1或n=−4．
2
1
②（Ⅰ）当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在直线y= x−4上时，直线l与四边形
2
MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛
物线的交点的纵坐标，得解得，m=−13．
（Ⅱ）如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在这条开口向上的抛物线上（对
称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交
点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
1 3
(m+1) 2− (m+1)−2=m+3，解之可求出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得m的取值范围：
2 2
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3−√57
−13≤m≤ ．
2
【详解】（1）将点A(−1,0)，B(4,0)代入函数解析式y=ax2+bx−2得
¿
解得¿
1 3
故答案为： ，− ；
2 2
（2）设直线BC的解析式为y=dx+e(d≠0)，
∵直线BC经过B(4,0)和C(0,−2)，
∴¿，解得¿，
1
∴直线BC：y= x−2．
2
∵直线BC平移得到直线l，且直线l与y轴交于点E(0,n)，
1
∴直线l：y= x+n，
2
k
∵双曲线y= 经过点M(m+1,m+3)，
x
∴k=(m+1)(m+3)=m2+4m+3，
m2+4m+3
∴y= ．
x
∵直线l与双曲线有公共点，
联立解析式得：¿，
1 m2+4m+3
∴ x+n= ，
2 x
整理得：x2+2nx−2m2−8m−6=0，
∵直线l与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ=0，
即(2n) 2−4(−2m2−8m−6)=0，
整理得：4n2+8m2+32m+24=0，
化简得：n2+2m2+8m+6=0，
∴n2=−2m2−8m−6=−2(m+2) 2+2，
∵点M在第二象限，
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∴¿，
解得，−3<m<−1．
∴当m=−2时，n2可以取得最大值，最大值为2．
1
（3）如图1，当直线l与抛物线有交点时，联立直线y= x+n与抛物线y=ax2+bx−2的解析式.
2
得：¿，
1 3 1
得： x2− x−2= x+n，
2 2 2
整理得：x2−4x−4−2n=0，
∴Δ≥0，
即16+16+8n≥0，
∴n≥−4，
1
当n=−4时，直线l：y= x−4与抛物线有且只有一个交点F(2,−3)．
2
①当m=−3时，四边形MNPQ的顶点分别为M(−2,0)，N(−2,−3)，P(2,−3)，Q(2,0)．
第一种情况：如图2，当直线l经过P(2,−3)时，此时P(2,−3)与F(2,−3)重合.
∴n=−4时，直线l与四边形MNPQ，抛物线y=ax2+bx−2都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点
的纵坐标都不大于与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．
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第二种情况：当直线l经过点A时，如图3所示.
1 1
×(−1)+n=0，解得，n= ，
2 2
当直线l经过点M时，如图4所示
1
×(−2)+n=0，解得，n=1，
2
1
∴ ≤n≤1，
2
1
综上所述，n的取值范围为： ≤n≤1或n=−4．
2
1
②（Ⅰ）当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在直线y= x−4上时，直线l与四边形
2
MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛
物线的交点的纵坐标．
1
m+3= (m+1)−4，
2
解得，m=−13．
（Ⅱ）如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在这条开口向上的抛物线上（对
称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交
点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
1 3
(m+1) 2− (m+1)−2=m+3，
2 2
化简，得：m2−3m−12=0．
3+√57 3−√57
解得，m = （舍），m = ，
1 2 2 2
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在m的值逐渐增大的过程中，均存在直线l，同时与矩形MNPQ、抛物线
y=ax2+bx−2相交，且对于同一条直线l上的交点，直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛
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物线的交点的纵坐标．
3−√57
综上所述，m的取值范围：−13≤m≤ ．
2
【点睛】本题考查二次函数与反比例函数、一次函数的综合题，属中考压轴题，难度大，根据题中条件正
确分类是解题关键．
以反比例函数与一次函数为例：
已知反比例函数 与一次函数 ，将两个方程联立，构造一元二次方程，
无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：.
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】：
关于x的函数y=mx−2m−3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标．
方法一：先将等式化为(x−2)m= y+3的形式，再根据0m=0时有m无数多个解，求得定点的坐标为
(2,−3)；
方法二：当m=1时，y=x−5；当m=2时，y=2x−7；
解方程组¿解得¿，
∴求得定点的坐标为(2,−3)；
【模仿练习】
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关于x的二次函数y=mx2+(2m+1)x+1（ 为常数，且m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方
法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−(x−1)(|x|−3)的图象和性质进行了
探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）计算x与y的几组对应值，其中m= ；
列表如下：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 −3 m −3 0 1 0 −3 …
（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数y=−(x−1)(|x|−3)这个图象；
（3）若直线y=tx−2t+2与函数y=−(x−1)(|x|−3)(2<x≤4)的图象只有一个交点，请结合函数图象，
求出t的取值范围．
【答案】【模仿练习】过定点，理由见解析；【尝试应用】（1）−4；（2）见解析；（3）t<−2.5或
t=−2
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数
的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的x求出对应的y．
模仿练习：将二次函数整理为：y−x−1=m(x2+2x)，即可求解；
尝试应用：（1）当x=−1时，y=−(x−1)(|x|−3)=−4=m；
（2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象即可；
（3）当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，进而求解．
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【详解】解：模仿练习：过定点，理由：
将二次函数整理为：y−x−1=m(x2+2x)，
则当x=0或−2时，y=1或−1，
即过定点(0,1),(−2,−1)；
尝试应用：
（1）当x=−1时，y=−(x−1)(|x|−3)=−4=m，
故答案为：−4；
（2）根据表格数据描点、连线、绘制函数图象如下：
（3）当2<x≤4时，函数表达式为：y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3，如图，
由直线y=tx−2t+2得：y=t(x−2)+2，
则该直线过点(2,2)，如图，
设直线p和该抛物线有一个交点，直线l为：x=2，直线q过点(2,2)和(4,−3)，
当直线在l和q之间及在p位置时，两个函数只有一个交点，
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5 5
①由(2,2)和(4,−3)得，直线q的表达式为： y=− (x−2)+2，即t=− ；
2 2
②直线p和抛物线只有一个交点，
则联立y=−x2+4x−3和y=t(x−2)+2并整理得：x2+(t−4)x−2t+5=0，
则Δ=(t−4) 2−4(5−2t)=0，
解得：t=−2（不合题意的值已舍去）；
综上，t<−2.5或t=−2．
题型五：几何图形的面积
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数y=−x+5的图像与二次函数y=x2+bx+c的图像
的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y=x2+bx+c的图像上的动点，且位于直线AB的
下方，连接PA、PB．
(1)求b、c的值；
(2)求△PAB的面积的最大值．
【答案】(1)b=−5，c=5
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：y=x2−5x+5，设P(m,m2−5m+5)，作PE∥OA交AB于E，则E(m,−m+5)，则
PE=4m−m2，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当x=0时，y=−x+5=5；当x=4时，y=−x+5=1，
则A(0,5)，B(4,1)，
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则¿，
解得：¿；
（2）解：由（1）可得：y=x2−5x+5，设P(m,m2−5m+5)，作PE∥OA交AB于E，
则E(m,−m+5)，则PE=4m−m2，
1
∴S = (4m−m2)×(4−0)=−2(m−2) 2+8，
△ABP 2
当m=2时，最大值为8．
k
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数y=k x+2的图象与反比例函数y= 2的图象相交于
1 x
A(m,4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO=2．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
k
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k x+2> 2的解集．
1 x
4
【答案】(1)一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=
x
(2)15
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(3)−2<x<0或x>1
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0,2)得到OD=2，再解直角三角形得到OC=1，则C(−1,0)，据此利用待定系数法求出一
次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据S =S +S ，求
△ABE △CBE △ACE
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=k x+2中，当x=0时，y=2，
1
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵tan∠ACO=2，
OD
∴在Rt△CDO中，tan∠DCO= =2，
OC
∴OC=1，
∴C(−1,0)，
把C(−1,0)代入y=k x+2中得：0=−k +2，解得k =2，
1 1 1
∴一次函数解析式为y=2x+2，
在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=1，
∴A(1,4)，
k k
把A(1,4)代入y= 2中得：4= 2，解得k =4，
x 1 2
4
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：联立¿
解得¿或¿，
∴B(−2,−2)；
设E(e,0)，
由题意得，BD=ED，
∴(−2−0) 2+(−2−2) 2=(e−0) 2+(0−2) 2，
解得e=4或e=−4（舍去），
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∴E(4,0)，
∴CE=4−(−1)=5，
∴S =S +S
△ABE △CBE △ACE
1 1
= CE⋅y + CE⋅|y |
2 A 2 B
1 1
= ×5×4+ ×5×2
2 2
=15；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为−2<x<0或
x>1，
k
∴关于x的不等式k x+2> 2的解集为−2<x<0或x>1．
1 x
解题思路：
1.设动点P的坐标为 ，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
1
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
2
交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点C的坐标为(0,−3)，连接BC．
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(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．
1 5
【答案】(1)y= x2− x−3
2 2
9
(2) √5
5
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
1 5
（2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为(x, x2− x−3)，
2 2
1 1
则点D的坐标为(x, x−3)，根据S = PD⋅OB求出面积的最大值，然后求高PN即可．
2 △PBC 2
【详解】（1）解：把(−1,0)和(0,−3)代入得：
¿，解得¿，
1 5
∴二次函数的解析式为y= x2− x−3；
2 2
1 5
（2）解：令y=0，则0= x2− x−3，解得：x =−1，x =6，
2 2 1 2
∴点B的坐标为(6,0)，
∴BC=√OB2+OC2=√32+62=3√5，
设直线BC的解析式为y=mx+n，代入得：
¿，解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y= x−3，
2
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
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1 5 1
设点P的坐标为(x, x2− x−3)，则点D的坐标为(x, x−3)，
2 2 2
1 1 5 1
∴PD= x−3−( x2− x−3)=− x2+3x，
2 2 2 2
1 1 1 3 27
∴S = PD⋅OB= ×6(− x2+3x)=− (x−3) 2+ ，
△PBC 2 2 2 2 2
27
∴△PBC最大为 ，
2
2S 27 9√5
∴PN= △PBC = = ．
BC 3√5 5
2．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的
坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求点D的坐标．
2
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
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【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全
等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，然后根
△AOB
据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°，再证
明△OCE≌△DGC(AAS)可得DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直
1
线EG的解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的
3
对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，再与直线y=−2x+4即可确定
点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，
∴OA=2,OB=4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，
1
则 |d−1|×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
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（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，
∴G(3,−1)，
设直线EG的解析式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
18
联立¿，解得：x= ，
7
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
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如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
则¿，解得：¿，
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
联立¿，解得：x=−6，
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数y=−x2+2ax−4a+8．
(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数y=−x2+2ax−4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN
（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)a≤2
(3)△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3
【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）求出二次函数的对称轴x=a，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求
出a的取值范围；
（3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为 ，设抛物线对称轴 交 于点B，设
(a,a2−4a+8) x=a MN
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，根据等边三角形 得到 ，从而 ，把点M代入解
BM=BN=n AMN AB=√3n M(a−n,a2−4a+8−√3n)
析式，解得n=√3，从而可求出△AMN的面积，即可解答．
【详解】（1）解：令y=0，则−x2+2ax−4a+8=0，
∵Δ=(2a) 2−4×(−1)×(−4a+8)=4(a−2) 2+16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为x=a，
∵当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，
∴a≤2．
（3）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴抛物线顶点A的坐标为(a,a2−4a+8)，
设抛物线对称轴x=a交MN于点B，则BM=BN，
∵△AMN是抛物线的内接正三角形，
AB
∴ =tan∠AMB=tan60°=√3，
BM
∴AB=√3BM=√3BN，
设BM=BN=n，则AB=√3n，
∴M(a−n,a2−4a+8−√3n)，
∵点M在抛物线上，
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∴a2−4a+8−√3n=−(a−n−a) 2+a2−4a+8，
整理得n2−√3n=0，
解得n=√3或n=0（不合题意，舍去）
∴MN=2BM=2√3，AB=3，
1 1
∴S = MN⋅AB= ×2√3×3=3√3，
△AMN 2 2
∴△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边
三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
题型六： 函数的整点问题
1．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，
具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，
也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数
y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)见解析
(2)a=0或a=−1或a=1或a=−2
1 1
【分析】（1）分a=− 与a≠− 两种情况讨论论证即可；
2 2
1 1
（2）当a=− 时，不符合题意，当a≠− 时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，令y=0，
2 2
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4a−4 1
得(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，从而有x= 或x=− ，根据整数a，使图象T与x轴的公共
2a+1 2
点中有整点，即x为整数，从而有2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或
2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，解之即可．
1
【详解】（1）解：当a=− 时，4a+2=0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为一次函数
2
1
y=12x+6，此时，令y=0，则12x+6=0，解得x=− ，
2
( 1 )
∴一次函数y=12x+6与x轴的交点为 − ，0 ；
2
1
当a≠− 时，4a+2≠0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为二次函数，
2
∵y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
∴Δ=(9−6a) 2−4(4a+2)(−4a+4)
=81−108a+36a2+64a2−32a−32
=100a2−140a+49
=(10a−7) 2≥0，
1
∴当a≠− 时，y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4与x轴总有交点，
2
∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
1
（2）解：当a=− 时，不符合题意，
2
1
当a≠− 时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
2
令y=0，则(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，
∴[(2a+1)x−(4a−4)](2x+1)=0，
∴(2a+1)x−(4a−4)=0或2x+1=0
4a−4 1
∴x= 或x=− ，
2a+1 2
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6
∵x=2− ，整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，即x为整数，
2a+1
∴2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，
1 3 5 7
解得a=0或a=−1或a= （舍去）或a=− （舍去）或a=1或a=−2或a= （舍去）或a=− （舍去），
2 2 2 2
∴a=0或a=−1或a=1或a=−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟
练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是
解题的关键．
k
2．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数y= (k>0,x>0)的图象为G，直线
x
1
l:y=− x+b经过点A(2,3)，与图象G交于B，C两点．
2
(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点P(m,n)在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接OP．若S >3，求m的取值范围；
△OPQ
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的
边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数．
【答案】(1)4，画图见解析
( 3)
(2)① 4, ；②2<m<6
2
(3)3
1
【分析】（1）把A(2,3)代入l:y=− x+b，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可；
2
（2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组¿，解方程组，即可求出点C的坐标；
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1 1 ( 1 )
②根据点P在直线l上，可得出n=− m+4，结合条件得出 m − m+4 >3，整理得(m−2)(m−6)<0，
2 2 2
得出不等式组¿或¿，然后解不等式组即可；
（3）分别画出k=1，k=2，k=3，k=4，k=5的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答
案．
1
【详解】（1）解：∵直线l:y=− x+b经过点A(2,3)，
2
1
∴− ×2+b=3，
2
∴b=4，
画图，如下：
；
（2）解：点B与点A(2,3)重合时，
∴k=2×3=6，
6
∴y= ，
x
1
由（1）知：直线l解析式为y=− x+4，
2
联立方程组¿，
解得¿或¿，
( 3)
∴点C的坐标为 4, ；
2
②∵点P(m,n)在第一象限内且在直线l上，
1
∴n=− m+4，
2
( 1 )
∴P m,− m+4 ，
2
∵PQ⊥x，
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1
∴OQ=m，PQ=− m+4，
2
∵S >3，
△OPQ
1 ( 1 )
∴ m − m+4 >3，
2 2
整理得m2−8m+12<0，即(m−2)(m−6)<0
∴¿或¿，
∴2<m<6；
k 1
（3）解：函数y= (k>0,x>0)的图象G与直线l:y=− x+4所围成的封闭区域（含边界）为W，当区
x 2
域W的边界上有5个整点时，
当k=1时，图象如下：
区域W的边界上有4个整点，即(1,1),(2,3),(4,2),(6,1)，不符合题意；
当k=2时，图象如下：
区域W的边界上有5个整点，即(1,2),(2,1),(2,3),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=3时，图象如下：
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区域W的边界上有5个整点，即(1,3),(2,3),(3,1),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=4时，图象如下：
区域W的边界上有5个整点，即(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=5时，图象如下：
区域W的边界上有4个整点，即(2,3),(4,2),(5,1),(6,1)，不符合题意；
∴1<k<5时，区域W的边界上有5个整点，
∴符合条件的整数k只有3个．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数
法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键．
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函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数
第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值
界点(线)
第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取
值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情
况
第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或
范围
注意事 规范作图，防止画图错误导致点错 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，
项 位的情况发生. 可以找一个整点时的临界状态.
1．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线m:y=b和直线n:y=x−b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的
抛物线L:y=−x2+bx与x轴的右交点为点D．
(1)若AB=8，求b的值和抛物线L的对称轴；
(2)当点C在m下方时，求顶点C与m距离的最大值；
(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b=2023时“整
点”的个数．
【答案】(1)b=4，对称轴x=2
(2)1
(3)4048个
【分析】（1）先求得B(0,−b)，根据AB=8即可得出b=4，然后确定抛物线L的对称轴即可；
（2）设点C与m的距离为S，求出S与b的函数关系式，即可确定顶点C与m距离的最大值；
（3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个
数．
【详解】（1）解：当x=0时，可有y=x−b=−b，
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∴B(0,−b)，
∵AB=8，A(0,b)，
∴b−(−b)=8，解得b=4，
∴L:y=−x2+4x=−(x−2) 2+4，
∴抛物线L的对称轴为x=2；
（2）设点C与m的距离为S，
b 2 b2
∵抛物线L:y=−x2+bx=−(x− ) + ，
2 4
b b2
∴L的顶点C( , )，
2 4
∵点C在m下方，
b2 1
∴C与m的距离为S=b− =− (b−2) 2+1，
4 4
∴当b=2时，点C与m距离的最大值为1；
（3）当b=2023时，抛物线解析式L:y=−x2+2023x，
直线解析式n:y=x−2023，
联立上述两个解析式，得x =−1，x =2023，
1 2
∴抛物线L与直线n的交点为(−1,−2024)和(2023,0)，
∴每一个整数x的值都对应一个整数y值，且−1和2023之间（包括−1和2023）共有2025个整数，
∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2025个整数点，
∴总计4050个点，
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴ “整点”的个数：4050−2=4048个．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、 坐标与图形、二次函数的图像与性质、
二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
k
2．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 y= （x>0）经过点 (2,2)和点M (4,n)，经过双曲线上的点
x
k
A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线 y= （x>0
x
）及线段OM之间的部分 （阴影部分），解决下列关于G （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整
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数）的问题：
（1）G内整点的个数最多有 个；
（2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是 ．
7 11
【答案】 5 <m≤
4 4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题；
（1）取点C(1,4)，观察函数图象，数出整点个数，即可求解；
1
（2）根据题意求得OM的解析式，根据AB平行于OM，设AB的解析式为y= x+m，根据G内整点的个
4
数为4，找到特殊点C(1,4)，(1,2)，待定系数法的求得m的值，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，取点C(1,4)，
k
∵双曲线 y= （x>0）经过点 (2,2) 点M (4,n)，
x
4
∴k=2×2=4，反比例函数解析式为y= ，
x
∴n=1，M(4,1)
当A点在C的左侧时，
G内整点的个数最多有(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(3,1)共5个点
故答案为：5．
k 1
（2）∵M(4，1)，设直线OM的解析式为y= 1，则k =
x 1 4
1
∴y= x，
4
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∵AB平行于OM
1
设AB的解析式为y= x+m
4
若G内整点的个数为4，则A点在C点的右侧，或与C点重合，即x ≥1
A
1 11
当AB经过点C(1,4)时，4= ×1+m，解得：m=
4 4
1 7
当AB经过点(1,2)时，2= ×1+m，解得：m=
4 4
∵整点有4个(1,2),(1,1),(2,1),(3,1)，则AB不经过(1,2)
7 11
∴ <m≤
4 4
7 11
故答案为： <m≤ ．
4 4
题型七： 函数的定点问题
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3a(a>0)与
x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛
物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐
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标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)AB=4
10
(2)tan∠ABD=
3
(3)抛物线L'与L交于定点(3,0)
【分析】（1）根据题意可得ax2−2ax−3a=0，整理得x2−2x−3=0，即可知A(−1,0),B(3,0),则有
AB=4；
（2）由题意得抛物线L：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，则C(1,−4),设D(n,n2−2n−3), (0<n<3)，可
求得S =−2n2+4n+6，结合题意可得直线AD解析式为y=(n−3)(x+1)，设直线AD与抛物线对称轴
△ABD
交于点E，则E(1,2n−6)，即可求得S =n2−1，进一步解得点D
(7
,−
20)
，过D作DH⊥AB于点
△ACD 3 9
2 20 DH
H，则BH= ,DH= ，即可求得tan∠ABD= ；
3 9 BH
（3）设D(n,an2−2an−3a),可求得直线AD解析式为y=a(n−3)(x+1)，过点D作DM⊥AB，可得
AM=n+1,DM=−an2+2an+3a，结合题意得EM=n+1, A'(n,−an2+2an+3a),
B'(n+4,−an2+2an+3a),设抛物线L'解析式为y=ax2+bx+c(a>0)，由于过点A'，B'可求得抛物线L'
解析式为y=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a，根据ax2−2ax−3a=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a解得
x=3，即可判断抛物线L'与L交于定点(3,0)．
【详解】（1）解：∵抛物线L：y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点，
∴ax2−2ax−3a=0，整理得x2−2x−3=0，解得x =−1,x =3,
1 2
∴A(−1,0),B(3,0),
则AB=3−(−1)=4；
（2）当a=1时，抛物线L：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
则C(1,−4),
1 1
设D(n,n2−2n−3), (0<n<3)，则S = AB⋅|y |=− ×4×(n2−2n−3)=−2n2+4n+6，
△ABD 2 D 2
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设直线AD解析式为y=k(x+1)，
∵点D在直线AD上，
∴n2−2n−3=k(n+1)，解得k=n−3，
则直线AD解析式为y=(n−3)(x+1)，
设直线AD与抛物线对称轴交于点E，则E(1,2n−6)，
1 1
∴S = CE⋅(x −x )= ×[2n−6−(−4)]×(n+1)=n2−1，
△ACD 2 D A 2
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等，
7
∴−2n2+4n+6=n2−1，解得n =−1,n = ，
1 2 3
(7 20)
∴点D ,− ，
3 9
7 2 20
过点D作DH⊥AB于点H，则BH=3− = ,DH= ，
3 3 9
DH 10
则tan∠ABD= = ；
BH 3
（3）设D(n,an2−2an−3a),直线AD解析式为y=k (x+1)，
1
则an2−2an−3a=k (n+1)，解得k =an−3a，
1 1
那么直线AD解析式为y=a(n−3)(x+1)，
过点D作DM⊥AB，如图，
则AM=n+1,DM=−an2+2an+3a，
∵AD=DE，
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∴EM=n+1，
∵将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，A(−1,0),B(3,0),
∴A'(n,−an2+2an+3a),B'(n+4,−an2+2an+3a),
由题意知抛物线L平移得到抛物线L'，设抛物线L'解析式为y=ax2+bx+c(a>0)，
∵点A'，B'都落在抛物线L'上
∴¿
解得¿，
则抛物线L'解析式为y=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a
∵ax2−2ax−3a=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a
整理得(n+1)x=3n+3，解得x=3，
∴抛物线L'与L交于定点(3,0)．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、
等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数y=kx2+(2k+1)x+2（k为正整数）．
(1)若函数y=kx2+(2k+1)x+2的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此
函数的解析式；
T11−T9−2T7+2T5+T3−T
(2)无论k为何值，该函数都经过定点M(s,t)，且T+3=st，求 的值．
T4−2T2+1
【答案】(1)y=x2+3x+2
(2)−2400
【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，幂的混合运算等知识．
1
（1）先解kx2+(2k+1)x+2=0，解出x =−2，x =− ．根据已知条件即可得出k=1，进而求出函数的
1 2 k
解析式．
（2）由二次函数与y轴的交点可知函数图象经过定点(0,2)，结合条件可得出T=−3，再计算幂的混合运
算，最后代入T=−3求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得k≠0，令y=0，则kx2+(2k+1)x+2=0，
1
解得x =−2，x =− ．
1 2 k
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∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴该函数的解析式为y=x2+3x+2．
（2）解：∵当x=0时，y=2，
∴函数图象经过定点(0,2)，
∵s=0，t=2
∴T+3=st=0×2=0，
∴T=−3，
T11−T9−2T7+2T5+T3−T
∴
T4−2T2+1
T9(T2−1)−2T5(T2−1)+T(T2−1)
=
(T2−1) 2
T9−2T5+T
=
T2−1
T(T8−2T4+1)
=
T2−1
T(T4−1) 2
=
T2−1
T(T4−1)(T4−1)
=
T2−1
T(T4−1)(T2−1)(T2+1)
=
T2−1
=T(T4−1)(T2+1)
=(−3)×(81−1)×(9+1)
=(−3)×80×10
=−2400．
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【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化
而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌
握好定点问题的本质即可快速解决.
解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成
即经过的顶点坐标为（a，b）.
1．（2023·湖北武汉·一模）已知二次函数y=ax2+6的图象经过点P(4,2)，直线AB与抛物线相交于A、B
两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为y=kx−4k−3，且△PAB的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若∠APB=90°，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
1
【答案】(1)y=− x2+6
4
√29 √29
(2)k=−2+ 或k=−2−
2 2
(3)C(−4,−2)
【分析】（1）把P(4,2)代入函数解析式即可得到答案；
1
（2）先求出D(4,−3)，可得PD=5，结合S = ⋅PD⋅|x −x |=35，可得方程
△ABP 2 B A
x2+4kx−16k−36=0，结合|x −x |=14，即可求解；
B A
（3）设A ( m,− 1 m2+6 ) ，B ( n,− 1 n2+6 ) ，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，
4 4
垂足分别为N、M，由AN:PM=PN:BM可得(m+4)(n+4)=−16，联立方程组¿，可得m+n=−4t，
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mn=4b−24，进而即可求解.
【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+6的图象经过点P(4,2)，
1
∴16a+6=2，解得a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为：y=− x2+6；
4
（2）如图1，已知直线AB的解析式为y=kx−4k−3，
令x=4，则y=−3，
∴直线AB过定点D(4,−3)，
∵P(4,2)，
∴PD∥y轴，PD=5，
1
∴S = ⋅PD⋅|x −x |=35，
△ABP 2 B A
∴|x −x |=14，
B A
1
令− x2+6=kx−4k−3，整理得x2+4kx−16k−36=0，
4
∴x +x =−4k，x ⋅x =−16k−36，
B A B A
∴|x −x | 2=(x +x ) 2−4x ⋅x =142，
B A B A B A
整理得16k2+64k−52=0，
√29 √29
解得k=−2+ 或k=−2− ；
2 2
（3）设A ( m,− 1 m2+6 ) ，B ( n,− 1 n2+6 ) ，
4 4
如图2，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析
式为y=tx+b，
∵∠APB=90°，△PAN∽△BPM，
∴AN:PM=PN:BM，
1 1
2+ m2−6 (m+4)(m−4)
4 4−m 4 4−m
∴ = ，即 = ，
n−4 1 n−4 1
2+ n2−6 (n−4)(n+4)
4 4
∴(m+4)(n+4)=−16，
∴mn+4(m+n)+32=0①，
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联立方程组¿，
1
∴
x2+tx+b−6=0，
4
∴m+n=−4t，mn=4b−24②，
将②代入①，得化简，得b=−4t−2，
∴直线AB的解析式为y=tx+4t−2，即y=t(x+4)−2，
∴直线AB经过定点C(−4,−2)．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关
键.
题型八： 函数的定值问题
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线y =x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将
1
抛物线y 向右平移两个单位长度，得到抛物线y ，点P是抛物线y 在第四象限内一点，连接PA并延长，
1 2 1
交抛物线y 于点Q．
2
(1)求抛物线y 的表达式；
2
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(2)设点P的横坐标为x ，点Q的横坐标为x ，求x −x 的值；
P Q Q P
(3)如图②，若抛物线y =x2−8x+t与抛物线y =x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线
3 1
y 和y 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m−n|
1 3
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)y =x2−6x+8；
2
(2)4；
(3)|m−n|是定值，|m−n|=6．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程
根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出y =x2−2x=(x−1) 2−1，再根据平移规律即可求出抛物线y 的表达式；
1 2
（2）设点P的坐标为(m,m2−2m)，待定系数法求出直线AP的解析式为y=mx−2m，联立y=mx−2m
与y =x2−6x+8得到x2−6x+8=mx−2m，解得x =4+m，即可求出答案；
2 ❑Q
（3）由（1）可得，y =x2−2x，与y =x2−8x+t联立得到x= 1 t，求出点C的坐标为 (1 t, 1 t2− 1 t ) ，
1 3 6 6 36 3
( 1 ) 1
又由点M的坐标为(m,m2−2m)，利用待定系数法求出直线CM的解析式为y= m+ t−2 x− tm，与
6 6
y =x2−8x+t联立得到x2− ( m+ 1 t+6 ) x+ ( 1+ 1 m ) t=0，则x +x =m+ 1 t+6，得到
3 6 6 ❑C ❑N 6
1 1
t+n=m+ t+6，即可得到n−m=6，得到定值．
6 6
【详解】（1）解：∵抛物线y =x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，
1
∴¿，
解得¿，
∴y =x2−2x=(x−1) 2−1，
1
∵抛物线y 向右平移两个单位长度，得到抛物线y ，
1 2
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∴y =(x−1−2) 2−1=(x−3) 2−1=x2−6x+8
2
即y =x2−6x+8
2
（2）解：设点P的坐标为(m,m2−2m)，设直线AP的解析式为y=kx+t，把点A和点P的坐标代入得到，
则¿
解得¿，
∴直线AP的解析式为y=mx−2m，
联立y=mx−2m与y =x2−6x+8得到
2
x2−6x+8=mx−2m，
解得x =4+m，
❑Q
则x −x =4+m−m=4
Q P
（3）解：由（1）可得，y =x2−2x，与y =x2−8x+t联立得到，x2−2x=x2−8x+t，
1 3
1
解得x= t，
6
此时y= (1 t ) 2 −2× 1 t= 1 t2− 1 t
6 6 36 3
∴点C的坐标为 (1 t, 1 t2− 1 t ) ，
6 36 3
∵点M的横坐标为m，且在y =x2−2x上，
1
∴y=m2−2m
即点M的坐标为(m,m2−2m)
设直线CM的解析式为y=rx+s，把点C和点M的坐标代入得到，
则¿
解得¿，
( 1 ) 1
∴直线CM的解析式为y= m+ t−2 x− tm，
6 6
与y =x2−8x+t联立得到，
3
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( m+ 1 t−2 ) x− 1 tm=x2−8x+t，
6 6
整理得到，x2− ( m+ 1 t+6 ) x+ ( 1+ 1 m ) t=0
6 6
1
则x +x =m+ t+6，
❑C ❑N 6
1 1
即 t+n=m+ t+6，
6 6
即n−m=6，
即|m−n|=6为定值．
2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A(−2,5)，点P(x ,y )，Q(x ,y )是
1 1 2 2
此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点
S
C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x =x +3，求证 △PDQ的值为定值；
2 1 S
△ADC
(3)如图2，点P在第二象限，x =−2x ，若点M在直线PQ上，且横坐标为x −1，过点M作MN⊥x轴
2 1 1
于点N，求线段MN长度的最大值．
【答案】(1)y=−x2+9
(2)为定值3，证明见解析
37
(3)
4
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【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB的解析式，P(x ,−x 2+9)，则Q(x +3,−(x +3) 2+9)，D(x ,−x +3)，表示出
1 1 1 1 1 1
S
PD=(x+2)(−x+3)，CD=−x +3，代入 △PDQ 即可求解；
1 S
△ADC
（3）设P(x ,−x 2+9)，则Q(−2x ,−4x 2+9)，求出直线PQ的解析式，把x=x −1代入即可求出线段
1 1 1 1 1
MN长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数y=−x2+c的图像经过点A(−2,5)，
∴5=−4+c，
∴c=9，
∴y=−x2+9；
（2）当y=0时，0=−x2+9，
∴x =−3,x =3，
1 2
∴B(3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴y=−x+3，
设P(x ,−x 2+9)，则Q(x +3,−(x +3) 2+9)，D(x ,−x +3)，
1 1 1 1 1 1
∴PD=−x 2+9−(−x +3)=−x 2+x +6=(x +2)(−x +3)，CD=−x +3．
1 1 1 1 1 1 1
S (x +2)(−x +3)(x +3−x )
∴ △PDQ = 1 1 1 1 =3，
S (−x +3)(x +2)
△ADC 1 1
S
△PDQ
∴ 的值为定值；
S
△ADC
（3）设P(x ,−x 2+9)，则Q(−2x ,−4x 2+9)，
1 1 1 1
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∴¿，
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∴¿，
∴y=x x−2x 2+9，
1 1
当x=x −1时，
1
y=x (x −1)−2x 2+9=− ( x + 1) 2 + 37 ，
1 1 1 1 2 4
1 37
∴当x=− 时，线段MN长度的最大值 ．
2 4
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二
次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动
中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去
参数后即得定值.
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A,B(1,0)两点，与y轴交于点C，且OA=OC=3OB．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点G为抛物线上一点，点H为y轴上一点，当以A,C,G,H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边
形时，求点G的坐标；
(3)若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y=kx+k−2交抛物线于D,E两点，直线ND交x轴于
点P，直线NE交x轴于点Q．试探究：MP⋅MQ是否为定值？若为定值，求出MP⋅MQ的值；若不是定
值，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x−3
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(2)G(3,12)
(3)8
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求出A(−3,0),C(0,3)，将三个点代入函数表达式求解即可；
（2）根据题意设G(g,g2+2g−3)，H(0,h)，分两种情况进行讨论，当AG为平行四边形对角线时；以
及AH为平行四边形对角线时，即可得到答案．
（3）设D(m,m2+2m−3)，E(n,n2+2n−3)，求出mn=−k−1,m+n=k−2，根据题意求出
3−m 3−n
P( ,0)，Q( ,0)，即可求出答案．
m+1 n+1
【详解】（1）解：∵B(1,0),OA=OC=3OB
∴A(−3,0),C(0,3)，
将A(−3,0),B(1,0),C(0,3)代入，
¿，解得¿，
∴该抛物线的函数表达式为y=x2+2x−3；
（2）解：∵点G为抛物线上一点，
设G(g,g2+2g−3)，
∵点H为y轴上一点，
设H(0,h)，
当以A,C,G,H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形时，
①AG为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式，
¿，
解得g=3，
∴G(3,12)，
②AH为平行四边形对角线时，
¿，
解得g=−3，
∴G(−3,0)，
此时点G和点A重合，故该情况不成立，
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综上所述，点G的坐标G(3,12)；
（3）解：设MP⋅MQ的值为定值，
∵ D、E为抛物线上两点，
∴设D(m,m2+2m−3)，E(n,n2+2n−3)，
∵ D、E为直线与抛物线的交点，
联立得：x2+2x−3=kx+k−2，
得：x2+(2−k)x−k−1=0，
∴mn=−k−1,m+n=k−2，
∵ N为抛物线的顶点，
∴N(−1,−4)，
∵ D(m,m2+2m−3)，
y+4 x+1
∴l 表示为： = ，
ND m2+2m−3 m+1
得y=(m+1)x+m−3，
∵直线ND交x轴于点P，
3−m
∴令y=0，得(m+1)x+m−3=0，解得x= ，
m+1
3−m
∴P( ,0)，
m+1
∵ E(n,n2+2n−3)，
y+4 x+1
∴l 表示为： = ，
NE n2+2n−3 n+1
得y=(n+1)x+n−3，
3−n
∴令y=0，得(m+1)x+m−3=0，解得x= ，
n+1
3−n
∴Q( ,0)，
n+1
∵ M为线段AB的中点，
∴M(−1,0)，
| −4 |
∴MP=|x −x |= ，
m p m+1
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|−4 |
MQ=|x −x |= ，
m Q n+1
| −4 −4 | | 16 | | 16 |
∴MP⋅MQ= ⋅ = = =8，
m+1 n+1 mn+m+n+1 −k−1+k−2+1
故MP⋅MQ的值为定值，为8．
题型九： 最值问题
1．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
且x <x ．
1 2
(1)若抛物线y =x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ．试判断下列每组
1 3 4 3 4
数据的大小（填写<、=或>）：
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x =1，2<x <3，求b②的取值范围； ③
1 2
9
(3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，求b的值．
16
【答案】(1)=；<；>；
(2)−4<b<−3
3 1
(3)b的值为− 或− ．
2 2
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到x +x =−b，以及x +x =−b，即可判断 ，利用二次函数的图像与性质
1 2 3 4
得到x <x <x <x ，进而得到x −x >x −x ，利用不等式性质变形，即①可判断 ．
1 3 4 2 2 1 4 3
（2）根据题意得到3<x +x <4，结合x +x =−b进行求解，即可解题；
②③
2 1 1 2
（3）根据题意得到抛物线 顶点坐标为( b 4c−b2 )，对称轴为 b ；当
y=x2+bx+c(b<0) − , x=− >0 x=0
2 4 2
9
时，y=c，当x=1时，y=1+b+c，由y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
16
当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时， 当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
63
① ② ③关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：∵ y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ，
1 2 1 2
∴x +x =−b，且抛物线开口向上，
1 2
∵ y =x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x <x ．
1 3 4 3 4
即y=x2+bx+c(b<0)向上平移1个单位，
∴ x <x <x <x ，且x +x =−b，
1 3 4 2 3 4
∴ x +x = x +x ；
1 2 3 4
∵① x −x >x −x ，
2 1 4 3
∴ x −x >x −x ，即 x −x < x −x ；
2 4 1 3 1 3 2 4
∴ x +x >x +x ，即 ② x +x > x +x ．
2 3 1 4 2 3 1 4
故答案为；=；<；>；
③
（2）解：∵ x =1，2<x <3，
1 2
∴ 3<x +x <4，
2 1
∴ 3<−b<4，
∴ −4<b<−3；
( b 4c−b2 )
（3）解：抛物线y=x2+bx+c(b<0)顶点坐标为 − , ，
2 4
b
对称轴为x=− >0；
2
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=1+b+c，
b
当− ≥1，则b≤−2，
2
①
那么，在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，
9 25
有c−(1+b+c)= ，解得b= − （不符合题意，舍去）；
16 16
1 b
当 ≤− <1，解得−2<b≤−1，
2 2
②
那么，在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时，
4c−b2 9 3 3
有c− = ，解得b= （不符合题意，舍去）或b=− ，
4 16 2 2
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b 1
当0<− < ，解得−1<b<0，
2 2
③
那么，在x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，
4c−b2 9 7 1
有1+b+c− = ，解得b=− （不符合题意，舍去）或b=− ；
4 16 2 2
3 1
综上所述，b的值为− 或− ．
2 2
2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值
问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … −4 −2 0 2 4 …
x … * 2 0 −2 −4 …
y的最小值 … * −9 −3 −5 −15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
11
【答案】（1）①y=x2−8x−7；②当x=4时，y有最小值为−23（2）见解析（3）正确，−
4
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把a=−4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出y的最大值，再利用二次函数求最值即可．
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【详解】解：（1）①把a=−4代入y=x2+2ax+a−3，得：
y=x2+2⋅(−4)x+(−4)−3=x2−8x−7；
∴y=x2−8x−7；
②∵y=x2−8x−7=(x−4) 2−23，
∴当x=4时，y有最小值为−23；
（2）∵y=x2+2ax+a−3=(x+a) 2−a2+a−3，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=−a时，y有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵y=x2+2ax+a−3=(x+a) 2−a2+a−3，
∴当x=−a时，y有最小值为−a2+a−3，
即：y =−a2+a−3=− ( a− 1) 2 − 11 ，
min 2 4
1 11
∴当a= 时，y 有最大值，为− ．
2 min 4
以定轴定区间最值问题为例
解题方法：对于二次函数 在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和
n均为定值， 表示y的最大值， 表示y的最小值.
b
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=− 时，取到最小值，无最大值.
2a
b b b
− + ＞− −m
2）若m≤ 2a≤n，n 2a 2a 时，如图②，当 ，当
b b b
− + ＜− −m
3) 若m≤ 2a≤n，n 2a 2a 时，如图③，当 ，当
b
−
4) 若m≤x≤n＜ 时，如图④，当 ，当
2a
b
−
5) 若 ＜m≤x≤n时，如图⑤，当 ，当
2a
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x=-b/2a x=-b/2a x=-b/2a x=-b/2a x=-b/2a
① ② ③ ④ ⑤
1．（2024·贵州遵义·二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,−3)，(1,−4)，对称轴为直线
x=m．
(1)直接写出b= ，c= ，m= ；
(2)当−4≤x≤0时，求二次函数的最值；
(3)当n−2≤x≤n时，二次函数的最小值为2n，求n的值．
【答案】(1)−2，−3，1
(2)x=−4时有最大值y=21，x=0时有最小值y=−3
(3)2−√7或4+√11
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，待定系数法求出二次函
数是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质，结合−4≤x≤0得到当x=0时取最小值；
（3）根据题意分三种情况进行分类讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,−3)，(1,−4)，
∴¿，
解得¿，
∴二次函数为y=x2−2x−3，
−2
∴对称轴为直线x=− =1，
2×1
∴m=1，
故答案为：−2，−3，1；
（2）解：∵抛物线y=x2−2x−3开口向上，对称轴为直线x=1，
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∵在−4≤x≤0内，当x=−4时有最大值y=16+8−3=21，
当x=0时有最小值y=−3；
（3）解：∵抛物线y=x2−2x−3开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当n≤1时，x=n时有最小值y=2n，即y=n2−2n−3=2n，
解得n=2−√7或n=2+√7（舍去）；
当n−2≥1时，x=n−2时有最小值y=2n，即y=(n−2) 2−2(n−2)−3=2n．
解得n=4+√11或n=4−√11（舍去）；
当n−2<1<n时，x=1时有最小值y=2n，即y=1−2−3=2n，
解得n=−2（舍去）；
综上所述，n的值为2−√7或4+√11．
2．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
问题背景：
数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于(a−b) 2≥0，故
a2+b2≥2ab，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究．
探索发现：
2+8>2×√2×8=8
1 1 √1 1 1
+ >2× × =
3 12 3 12 3
1 √1
+2>2× ×2=2
2 2
3+3=2×√3×3=6
1 1 √1 1 2
+ =2× × =
5 5 5 5 5
发现结论：如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
解释证明：
当a≠b时，
∵(√a−√b)
2>0
∴a−2√ab+b>0
∴a+b>2√ab
当a=b时，
∵(√a−√b)
2=0
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∴a−2√ab+b>0
∴a+b=2√ab
∴如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
任务：
2
(1)对于函数y=x+ (x>0)，当x等于___________时，函数y有最___________值（填“大”或“小”），
x
这个值是___________；
5
(2)对于函数y=− −x(x>−1)，当x等于___________时，函数y有最___________值，这个最值是
x+1
___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了
100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃ABCD的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或
所学知识求解该问题．
【答案】(1)√2，小，2√2，
(2)√5−1，大，−2√5+1；
50 2500
(3)当AB长为 米时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积是 平方米
3 3
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答；
( 5 ) ( 5 )
（2）先整理原式得y=− +x+1 +1(x>−1)，计算化简得− +x+1 +1≤−2√5+1，结合题
x+1 x+1
干的结论，即可作答．
（3）设AB的长为x米，建立S =−3x2+100x，根据二次函数的性质，即可作答．
ABCD
2 √ 2
【详解】（1）解：依题意，得y=x+ ≥2 x· =2√2(x>0)
x x
2
当x= 时，即x=√2（负值已舍去），有最小值，
x
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2
把x=√2代入y=x+ (x>0)
x
得y = 2√2；
min
故答案为：√2，小，2√2，
（2）解：依题意
5 ( 5 )
y=− −x=− +x+1 +1(x>−1)
x+1 x+1
5 √ 5
∵ +x+1≥2 ⋅(x+1)=2√5
x+1 x+1
( 5 )
∴− +x+1 +1≤−2√5+1
x+1
5
当 =x+1时，有最大值，且−2√5+1
x+1
此时5=(x+1) 2，
解得x =√5−1，x =−√5−1<−1（舍去）
1 2
故答案为：√5−1，大，−2√5+1；
（3）解：设AB的长为x米，
( 100)
则BC+3x=100 0<x<
3
∴BC=100−3x
则S =AB×BC=x⋅(100−3x)=−3x2+100x
ABCD
∵−3<0
100 50
∴开口向下，在x=− =
时有最大值
2×(−3) 3
50
把x= 代入S =−3x2+100x
3 ABCD
(50) 2 50 2500 5000 2500
得S =−3× +100× =− + =
ABCD 3 3 3 3 3
50 2500
∴当AB长为 米时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积是 平方米．
3 3
题型十： 最值问题（线段和/差，周长，面积）
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1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若
存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若
2
tan∠MCN= ，求点M的坐标．
3
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)PA−PD存在最大值；最大值为√10
(1 15) (3 15)
(3)点M的坐标为(−1,0)或 , 或 , 或(3,0)
2 4 2 4
【分析】（1）把A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为(0,3)，连接PC、PD、PA，根据轴对称的性质得出PC=PD，
PA−PC=PA−PD，得出当PA−PC最大时，PA−PD最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
PA−PC最大，即当点P在点P'时，PA−PD最大，求出最大值即可；
（3）过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点E，设点M的坐标为：
(m,−m2+2m+3)，得出DM=|−m2+2m+3−3|=|−m2+2m|，NE=|m−1|，证明△CDM∽△MEN，
DM CM 2
得出 = = ，从而得出3|−m2+2m|=2|m−1|，分四种情况：当m≤0时，当0<m≤1时，当
NE MN 3
1<m≤2时，当m>2时，分别求出点M的坐标即可．
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【详解】（1）解：把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3(a≠0)得：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：PA−PD存在最大值；
把x=0代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
连接PC、PD、PA，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴PC=PD，
∴PA−PC=PA−PD，
∴当PA−PC最大时，PA−PD最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，PA−PC最大，即当点P在点P'时，PA−PD最大，
∴PA−PD最大值为：AC=√12+32=√10．
（3）解：过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点E，如图所示：
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∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90°，
MN 2
∴tan∠MCN= = ，
CM 3
设点M的坐标为：(m,−m2+2m+3)，
∴DM=|−m2+2m+3−3|=|−m2+2m|，NE=|m−1|，
∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，
∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，
∴∠DCM=∠NME，
∴△CDM∽△MEN，
NE MN 2
∴ = = ，
DM CM 3
|m−1| 2
=
∴ ，
|−m2+2m| 3
∴2|−m2+2m|=3|m−1|，
当m≤0时，−m2+2m≤0，m−1<0，则：
2m2−4m=3−3m，
3
解得：m =−1，m = （舍去），
1 2 2
此时点M坐标为：(−1,0)；
当0<m≤1时，−m2+2m>0，m−1≤0，则：
−2m2+4m=3−3m，
1
解得：m =3（舍去），m =
1 2 2
(1 15)
此时点M坐标为： , ；
2 4
当1<m≤2时，−m2+2m≥0，m−1>0，则：
−2m2+4m=3m−3，
3
解得：m = ，m =−1（舍去），
1 2 2
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(3 15)
此时点M坐标为： , ；
2 4
当m>2时，−m2+2m<0，m−1>0，则：
2m2−4m=3m−3，
1
解得：m =3，m = （舍去），
1 2 2
此时点M坐标为：(3,0)；
(1 15) (3 15)
综上分析可知：点M坐标为：(−1,0)或 , 或 , 或(3,0)．
2 4 2 4
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数
m
y= (x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
1
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF= AB时，求a的值．
2
6
【答案】(1)一次函数的表达式为y=−2x+8，反比例函数的表达式为y=
x
(2)点P的坐标为(0,5)
(3)a=6或a=10
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解
析式是解题的关键．
6
（1）根据已知条件列方程求得m=6，得到反比例函数的表达式为y= ，求得B(3,2)，解方程组即可得到
x
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结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的
性质得到E(−1,6)，得到直线BE的解析式为y=−x+5，当x=0时，y=5，于是得到点P的坐标为(0,5)；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后得直线EF的解析式为y=−2x+8−a，得到
(8−a )
E ,0 ．F(0，8−a)，根据勾股定理即可得到结论．
2
m
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，
x
m
∴ =6，
1
∴m=6，
6
∴反比例函数的表达式为y= ，
x
6
把B(n,2)代入y= 得，
x
6
2= ，
n
∴n=3，
∴B(3,2)，
把A(1,6)，B(3,2)代入y=kx+b得，
¿，
解得¿，
∴一次函数的表达式为y=−2x+8；
（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
此时，△PAB的周长最小，
∵点A(1,6)，
∴E(−1,6)，
设直线BE的解析式为y=mx+c，
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∴¿，
解得¿，
∴直线BE的解析式为y=−x+5，
当x=0时，y=5，
∴点P的坐标为(0,5)；
（3）解：将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y=−2x+8−a，
(8−a )
∴E ,0 ，F(0,8−a)，
2
1
∵EF= AB，
2
∴
√ (8−a) 2
+(8−a) 2=
1
×√(1−3) 2+(6−2) 2，
2 2
解得a=6或a=10．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(−2,0)，C(6,0)，反比
k
例函数y= (k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)m=2，k=8
9 ( 8)
(2)S 最大值是 ，此时P 3,
△PMN 2 3
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【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，把D的坐标代入直线AB的函数
表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=QP，设点P的坐标
( 8) 1
为 t, ，(2<t<6)，则可求出S = ⋅(6−t)⋅t，然后利用二次函数的性质求解即可．
t △PMN 2
【详解】（1）解： ∵A(−2,0)，C(6,0)，
∴AC=8．
又∵AC=BC，
∴BC=8．
∵∠ACB=90°，
∴点B(6,8)．
设直线AB的函数表达式为y=ax+b，
将A(−2,0)，B(6,8)代入y=ax+b，得¿，
解得¿，
∴直线AB的函数表达式为y=x+2．
将点D(m,4)代入y=x+2，得m=2．
∴D(2,4)．
k
将D(2,4)代入y= ，得k=8．
x
（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
∵AC=BC ∠BCA=90°
， ，
∴∠BAC=45°．
∵PN∥x轴，
∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°．
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∵PM∥AB，
∴∠MPL=∠BLP=45°，
∴∠QMP=∠QPM=45°，
∴QM=QP．
( 8)
设点P的坐标为 t, ，(2<t<6)，则PQ=t，PN=6−t．
t
∴MQ=PQ=t．
1 1 1 9
∴S = ⋅PN⋅MQ= ⋅(6−t)⋅t=− (t−3) 2+ ．
△PMN 2 2 2 2
9 ( 8)
∴当t=3时，S 有最大值 ，此时P 3, ．
△PMN 2 3
1）线段和最小问题
图形
A A
B
m
D' D m
D' D
B B'
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为
为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当 A，D，B 三点共线时，AD+BD 取得最小 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，
值，最小值为AB的长. 最小值为AB'的长.
2）线段差最大问题
图形
A A
B'
B
m
m D' D
D' D
B
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直
直线m 线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值. 上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大
值，最大值为AB的长 值，最大值为AB'的长
3) 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基
本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是
通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作
出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
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3 k
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，直线y= x与双曲线y= (k≠0)交于A，B两点，点A的坐
2 x
标为(m,−3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)点M、N是y轴上的动点(M在N上方)且满足MN=1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；
(3)点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP=∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件
的P点的横坐标．
【答案】(1)k=6，B(2,3)；
(2)1+√65；
(3)点P的横坐标为：4−2√5，4+2√3，4−2√3
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定；
（1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解；
（2）根据BC=2CD，求得点C的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可；
（3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解．
3 k
【详解】（1）解：根据题意可知点A(m，−3)在直线y= x和双曲线y= (k≠0)的图象上，
2 x
3
∴ m=−3，解得m=−2，
2
k
∴点A的坐标为(−2,−3)，代入双曲线y= (k≠0)得：
x
k=(−2)×(−3)=6，
由图象可知点B与点A关于原点对称，
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∴B(2,3)；
（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单
位记为B″，连接B″C，
则BE∥CF，B'B'″=1，
∴△DCF∽△DBE，
CF DC
∴ = ，
BE DB
∵BC=2CD，B(2,3)，B' (−2,3)，B″ (−2,2)，
DC 1
∴ = ，BE=3，
DB 3
∴CF=1，即点C的纵坐标为1，
6
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
x
∴C(6,1)，B″C=√ (2−1) 2+[6−(−2)] 2 =√1+64=√65，
∴MB+MN+NC的最小值即为B'B″+B″C=1+√65；
（3）当∠ODP=∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，
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设直线BC的解析式为y=k x+b，
1
由（2）可知：B(2,3)，C(6,1)，
∴ ¿解得¿，
1
∴ y=− x+4，
2
1
当y=0时，− x+4=0，解得x=8，
2
∴D(8,0)，
3
∵ DP∥AB，直线AB的解析式为y= x，
2
3
∴设直线DE的解析式为y= x+n，
2
把D(8,0)代入得：12+n=0，
∴n=−12，
3
∴ y= x−12，
2
由P是直线DE与反比例函数的交点可得：
¿解得x =4+2√5，x =4−2√5，
1 2
此时点P在第三象限，x =4+2√5不符合题意，
1
当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，
3
可得直线DP的解析式为：y=− x+12，
2
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联立¿得x =4+2√3，x =4−2√3，
1 2
此时点P在第一象限，两个都符合题意，
∴点P的横坐标为：4−2√5，4+2√3，4−2√3．
题型十一： 特殊三角形存在性问题
1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴交于点
C(0,3)，点D在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2−2x+3
(2)D的坐标为(−1,4)或(−2,3)
(25−√193 −7+√193) (25+√193 −7−√193) (11 2)
(3)P的坐标为(0,3)或 , 或 , 或 ,−
18 6 18 6 9 3
【分析】（1）利用待定系数法求解；
1
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求出直线AC解析式，根据S = DK⋅|x −x |=3列式求解；
△ACD 2 A C
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线BC解析式，过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分以
下情况分别讨论即可：①P与C重合，D与A重合时；②当P在第一象限，D在第四象限时；③当P在第四
象限，D在第三象限时；④当P在第四象限，D在第一象限时．
【详解】（1）解：把A(−3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c得：
¿，
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解得¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
由A(−3,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3，
设D(t,−t2−2t+3)，则K(t,t+3)，
∴DK=−t2−2t+3−(t+3)=−t2−3t，
∵△ACD的面积为3，
1 1
∴ DK⋅|x −x |=3，即 (−t2−3t)×3=3，
2 A C 2
解得t=−1或t=−2，
∴D的坐标为(−1,4)或(−2,3)；
（3）解：在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在y=−x2−2x+3中，令y=0得0=−x2−2x+3，
解得x=−3或x=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
由B(1,0)，C(0,3)得直线BC解析式为y=−3x+3，
设P(m,−3m+3)，D(n,−n2−2n+3)，
过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，
①∵OA=OC=3，
∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图：
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此时P(0,3)；
②当P在第一象限，D在第四象限时，
∵△OPD PD
是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴OD=OP，∠POD=90°，
∴∠DOM=90°−∠PON=∠OPN，
∵∠DMO=90°=∠PNO，
∴△DOM≌△OPN(AAS)，
∴DM=ON，OM=PN，
∴¿，
解得¿（n小于0，舍去）或¿，
25−√193 −7+√193
∴−3m+3=−3× +3= ，
18 6
(25−√193 −7+√193)
∴P的坐标为 , ；
18 6
③当P在第四象限，D在第三象限时，如图：
∵△OPD PD
是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴OD=OP，∠POD=90°，
∴∠DOM=90°−∠PON=∠OPN，
∵∠DMO=90°=∠PNO，
∴△DOM≌△OPN(AAS)，
∴PN=OM，ON=DM，
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同理可得¿，
解得¿或¿（大于0，舍去），
25+√193 −7−√193
∴−3m+3=−3× +3= ，
18 6
(25+√193 −7−√193)
∴P的坐标为 , ；
18 6
④当P在第四象限，D在第一象限，如图：
∵△OPD PD
是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴OD=OP，∠POD=90°，
∴∠DOM=90°−∠PON=∠OPN，
∵∠DMO=90°=∠PNO，
∴△DOM≌△OPN(AAS)，
∴PN=OM，ON=DM，
∴¿，
解得¿（舍去）或¿，
11 2
∴−3m+3=−3× +3=− ，
9 3
(11 2)
∴P的坐标为 ,− ；
9 3
(25−√193 −7+√193) (25+√193 −7−√193) (11 2)
综上所述，P的坐标为(0,3)或 , 或 , 或 ,− ．
18 6 18 6 9 3
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三
角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴
交于点C．点D是抛物线的顶点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且
S =2S ，求点P的坐标；
△PMC △DMC
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角
形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)P(1,0)或P(−4,5)；
(3)N(−1,√14)或(−1,−√14)或(−1，−1)或(−1，√17−3)
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得C,M,D的坐标，根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，进而根据
S =2S 得出S =2，连接MB，设MD交x轴于点E，则ME=EB=2得出△MBE是等腰直角三
△PMC △DMC △PMC
角形，进而得出S =2，则点P与点B重合时符合题意，P(1,0)，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
△BMC
得出直线BP的解析式为y=−x+1，联立抛物线解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得AC2,AN2,CN2，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
∴¿
解得：¿
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
（2）由y=x2+2x−3，当x=0时，y=−3，则C(0,−3)
∵y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，则D(−1,−4)，对称轴为直线x=−1
设直线AC的解析式为y=k x+b ，代入A(−3,0)，C(0,−3)
1 1
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∴¿
解得：¿
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
当x=−1时，y=−2，则M(−1,−2)
∴MC=√12+(−2+3) 2=√2,MD=−2−(−4)=2,CD=√12+(−3+4) 2=√2
∴M D2=MC2+CD2
∴△MCD是等腰三角形，
1
∴S =2S =2× ×CD2=2
△PMC △DMC 2
连接MB，设MD交x轴于点E，则ME=EB=2
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，BM=2√2，
又∠DMC=45°
∴BM⊥AC
1 1
∴S = ×MC×BM= ×√2×2√2=2
△BMC 2 2
∴点P与点B重合时符合题意，P(1,0)
如图所示，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
设直线BP的解析式为y=−x+m，将B(1,0)代入得，
0=−1+m
解得：m=1
∴直线BP的解析式为y=−x+1
联立¿
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解得：¿，¿
∴P(−4,5)
综上所述，P(1,0)或P(−4,5)；
（3）解：∵A(−3,0)，C(0,−3)，
∴AC2=32+32=18
∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(−1,n)其中n>−4
∴AN2=(−3+1) 2+n2=4+n2，CN2=12+(n+3) 2=n2+6n+10
①当AN=AC时，4+n2=18，解得：n=√14或n=−√14
②当NA=NC时，4+n2=n2+6n+10，解得：n=−1
③当CA=CN时，18=n2+6n+10，解得：n=√17−3或n=−√17−3（舍去）
综上所述，N(−1,√14)或(−1,−√14)或(−1，−1)或(−1，√17−3)．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
【答案】(1)y=x2−6x+5
(2)存在，(4,−3)或(0,5)或(5,0)
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(3)√41
【分析】（1）根据题意，可求出点A,B的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当∠DAM=90°时；②当∠ADM=90°时；分别求出直线的
解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
1
（3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，可证△PBF∽△ABP，得PF= PA，当点
2
1
C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，运用勾股定理即可求解．
2
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴x=3，AB=4，
∴ A(1,0)，B(5,0)．
∴将A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5，
得¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2−6x+5；
（2）解：存在点M，理由如下：
∵直线AD的解析式为y=kx−1，将A(1,0)代入得
k−1=0
解得：k=1
∴直线AD的解析式为：y=x−1
∵抛物线对称轴x=3与x轴交于点E，
∴当x=3时，y=x−1=2，
∴D(3,2)，
①当∠DAM=90°时，设直线AM交对称轴于点F，
∵A(1,0)，D(3,2)，二次函数对称轴为x=3，
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∴AE=3−1=2，DE=2，DE⊥x轴，
∴△ADE是等腰直角三角形，∠EAD=∠EDA=45°，
∵∠DAM=90°，
∴∠MAE=45°，且∠FEA=90°，
∴△DAE≌△FAE(ASA)，
∴ED=EF=2，
∴点F坐标为(3,−2)，
设直线AM的解析式为y=k x+b ，将点A、F坐标代入，
1 1
得¿，
解得¿，
∴直线AM的解析式为y=−x+1，
解方程组¿，
得¿或¿，
∴点M的坐标为(4,−3)；
②∵A(1,0)，D(3,2)，B(5,0)
∴AD=2√2,DB=2√2,AB=4
∴AB2=AD2+DB2
∴△ABD是直角三角形，
当∠ADM=90°时，根据点A,B关于抛物线对称轴对称，
则直线DM经过点B坐标为(5,0)，
设直线DM的解析式为y=k x+b ，将点D、B坐标代入，
2 2
得¿，
解得¿，
∴直线DM的解析式为y=−x+5，
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解方程组¿，
解得¿或¿，
∴点M的坐标为(0,5)或(5,0)；
综上，点M的坐标为(4,−3)或(0,5)或(5,0)；
（3）解：已知B(5,0)，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，
如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，
∵PB=2
，
BF 1
∴ = ，
PB 2
PB 2 1
∵ = = ，
AB 4 2
BF PB
∴ = ，
PB AB
又∵∠PBF=∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
PF BF 1 1
∴ = = ，即PF= PA，
PA PB 2 2
1
∴PC+ PA=PC+PF≥CF,
2
1
∴当点C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，即为线段CF的长，
2
∵OC=5,OF=OB−1=5−1=4,
∴CF=√OC2+OF2=√52+42=√41，
1
∴PC+ PA的最小值为√41．
2
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的
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计算方法是解题的关键．
题型十二： 特殊平行四边形存在性问题
( 1)
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A −1,− 和点B(2,1)．
2
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点C(m+1,y )，D(m+2,y )都在该二次函数的图象上，试比较y 和y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
(3)点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x2+x+1
2
1 1 1
(2)m>− 时，y >y ；m=− 时，y = y ；m<− 时，y <y
2 1 2 2 1 2 2 1 2
( 15+5√41) ( −15+5√41) ( 5) ( 5)
(3)存在，N 0,− 或N 0, 或N(0,−5)或N(0,5)或N 0, 或N 0,−
16 16 8 8
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入y=ax2+x+c，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
1 1
（2）根据题意得出y =− (m+1) 2+(m+1)+1，y =− (m+2) 2+(m+2)+1，再用作差法得出
1 2 2 2
1
y −y =m+ ，进行分类讨论即可；
1 2 2
1
（3）求出直线AB的函数解析式为y= x，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时；当PQ为正方对
2
角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
( 1)
【详解】（1）解：把A −1,− ，B(2,1)代入y=ax2+x+c得：
2
¿，
解得：¿，
1
∴这个二次函数的表达式为y=− x2+x+1；
2
（2）解：∵C(m+1,y )，D(m+2,y )都在该二次函数的图象上，
1 2
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1 1
∴y =− (m+1) 2+(m+1)+1，y =− (m+2) 2+(m+2)+1，
1 2 2 2
1 [ 1 ] 1
∴y −y =− (m+1) 2+(m+1)+1− − (m+2) 2+(m+2)+1 =m+ ，
1 2 2 2 2
1 1
当m+ >0时，即m>− 时，y >y ；
2 2 1 2
1 1
当m+ =0时，即m=− 时，y = y ；
2 2 1 2
1 1
当m+ <0时，即m<− 时，y <y ；
2 2 1 2
（3）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+e，
( 1)
把A −1,− ，B(2,1)代入得：¿，
2
解得：¿，
1
∴直线AB的函数解析式为y= x，
2
当PQ为正方形的边时，
①∵B(2,1)，
1
∴tan∠BOC= ，
2
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，
∵PQ∥MN,MG∥x轴，
∴∠BOC=∠NMG，
1
∴tan∠BOC=tan∠NMG= ，则MG=2NG，
2
设NG=t，则MG=2t，
∴M(−2t,−2t2−2t+1)，
∴点N的纵坐标为−2t2−2t+1+t=−2t2−t+1，
即N(0,−2t2−t+1)，
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN=90°,PM=MN，
∴∠PMH+∠NMG=90°，
∵∠PMH+∠MPH=90°，
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∴∠NMG=∠MPH，
∵∠NMG=∠MPH，∠H=∠MGN，PM=MN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH=MG=2t，HM=NG=t，
∴P(−3t,−2t2+1)，
1 1
把P(−3t,−2t2+1)代入y= x得：−2t2+1= ×(−3t)，
2 2
3+√41 3−√41
解得：t = ，t = （舍去），
1 8 2 8
( 15+5√41)
∴N 0,− ；
16
②如图：构造Rt△MQG,Rt△NMH，
1
和①同理可得：△MQG≌△NMH，tan∠MNH= ，
2
设NH=GM=2t，则QG=MH=t，
∴M(2t,−2t2+2t+1)，N(0,−2t2+t+1)，Q(t,−2t2+4t+1)，
1 1
把Q(t,−2t2+4t+1)代入y= x得：−2t2+4t+1= t，
2 2
1
解得：t =2,t =− （舍去），
1 2 4
∴N(0,−5)；
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③如图：构造Rt△GMN,Rt△HPM，
1
和①同理可得：△GMN≌△HPM，tan∠GMN= ，
2
设GN=HM=2t，则GM=HP=t，
∴M(−2t,−2t2−2t+1)，N(0,−2t2−t+1)，P(−t,−2t2−4t+1)，
1 1
把P(−t,−2t2−4t+1)代入y= x得：−2t2−4t+1=− t，
2 2
1
解得：t = ,t =−2（舍去），
1 4 2
( 5)
∴N 0, ；
8
④如图：构造Rt△GMN,Rt△HNP，
1
和①同理可得：△GMN≌△HNP，tan∠GMN= ，
2
设GM=HN=2t，则GN=HP=t，
∴M(2t,−2t2+2t+1)，N(0,−2t2+t+1)，P(t,−2t2−t+1)，
1 1
把P(t,−2t2−t+1)代入y= x得：−2t2−t+1= t，
2 2
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−3+√41 −3−√41
解得：t = ，t = （舍去），
1 8 2 8
( −15+5√41)
∴N 0, ；
16
当PQ为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
易得∠QPK=∠BOC，
1
∴tan∠QPK=tan∠BOC= ，
2
设QK=x，则PK=2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN=PG=MJ=IQ,PH=GM=QJ=∋¿，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK=IJ=2x，
1 1 3
∴IQ=PG=JK= (IJ−QK)= x，则PH=GM=QJ=∋= x，
2 2 2
PG 1
∴tan∠PMG= = ，
GM 3
设PG=HN=t，则PH=GM=3t，
∴M(2t,−2t2+2t+1)，N(0,−2t2+6t+1)，P(−t,−2t2+3t+1)，
1 1
把P(−t,−2t2+3t+1)代入y= x得：−2t2+3t+1=− t，
2 2
1
解得：t =2,t =− （舍去），
1 2 4
∴N(0,5)；
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⑥如图：构造Rt△PMH,Rt△NPG，
1
同理可得：△PMH≌△NPG,tan∠PNG= ，
3
设PG=HM=t，则PH=GN=3t，
∴M(−2t,−2t2−2t+1)，N(0,−2t2−6t+1)，P(−3t,−2t2−5t+1)，
1 3
把P(−3t,−2t2−5t+1)代入y= x得：−2t2−5t+1=− t，
2 2
1
解得：t = ,t =−2（舍去），
1 4 2
( 5)
∴N 0,− ；
8
( 15+5√41) ( −15+5√41) ( 5)
综上：N 0,− 或N 0, 或N(0,−5)或N(0,5)或N 0, 或
16 16 8
( 5)
N 0,− ．
8
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【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点
A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤ y≤2t−1，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点
E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
5
(2)t=
2
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为3√2−2或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分t≤1和t>1，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分BD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称，
∴¿，解得：¿，
∴y=−x2+2x+3；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵−1≤x≤t时，0≤ y≤2t−1，
①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：2t−1=−t2+2t+3，
解得：t=−2或t=2，均不符合题意，舍去；
②当t>1时，则：当x=1时，函数有最大值，即：2t−1=−12+2+3=4，
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5
解得：t= ；
2
5
故t= ；
2
（3）存在；
当y=−x2+2x+3=0时，解得：x =3,x =−1，当x=0时，y=3，
1 2
∴A(3,0)，B(0,3)，
设直线AB的解析式为y=kx+3，把A(3,0)代入，得：k=−1，
∴y=−x+3，
设C(m,−m2+2m+3)(0<m<3)，则：D(m,−m+3)，
∴CD=−m2+2m+3+m−3=−m2+3m，BD=√m2+(−m+3−3) 2=√2m，BC2=m2+(−m2+2m) 2 ，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当BD为边时，则：BD=CD，即−m2+3m=√2m，
解得：m=0（舍去）或m=3−√2，
此时菱形的边长为√2m=3√2−2；
②当BD为对角线时，则：BC=CD，即：m2+(−m2+2m) 2 =(−m2+3m) 2 ，
解得：m=2或m=0（舍去）
此时菱形的边长为：−22+3×2=2；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为3√2−2或2．
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线L 交x轴于点A(1,0)，
1
C(5,0)，顶点坐标为E(m ,k)．抛物线L 交x轴于点B(2,0)，D(10,0)，顶点坐标为F(m ,k)，（k≠0
1 2 2
）．
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(1)求线段EF的长；
(2)若点M(−7,d )在抛物线L 上，点N(16,d )在抛物线L 上．试讨论d 和d 大小；
1 1 2 2 1 2
(3)若点P(n+3,f )，Q(2n−1,f )在抛物线L 上，且满足f <f ，求n的取值范围；
1 2 1 1 2
(4)若S、T分别为L 、L 上的动点，当BEFC为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四
1 2
边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)EF=3
(2)d >d
1 2
4
(3)n< 或n>4
3
(4)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用：
（1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出E,F的横坐标，进而求出线段EF的长即可；
（2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间
的关系，进而求出d ,d ，比较大小即可；
1 2
（3）根据增减性，得到点P距离对称轴近，列出不等式进行求解即可；
（4）根据菱形的性质，求出E,F的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分AD为矩形的边和矩形的对角
线两种情况进行讨论求解即可．
1+5
【详解】（1）解：由题意，得：抛物线L 的对称轴为直线x= =3，抛物线L 的对称轴为直线
1 2 2
2+10
x= =6，
2
∴E(3,k)，F(6,k)，
∴EF=6−3=3；
（2）设抛物线L 的解析式为：y=a (x−1)(x−5)，抛物线L 的解析式为：y=a (x−2)(x−10)，
1 1 2 2
∵E(3,k)，F(6,k)，
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∴a (3−1)(3−5)=a (6−2)(6−10)，
1 2
∴a =4a ，
1 2
∴抛物线L 的解析式为：y=4a (x−1)(x−5)，
1 2
∵点M(−7,d )在抛物线L 上，点N(16,d )在抛物线L 上，
1 1 2 2
∴d =4a (−7−1)(−7−5)=384a ，d =a (16−2)(16−10)=84a ，
1 2 2 2 2 2
∵两条抛物线的开口向上，
∴a >0，
2
∴d >d ；
1 2
（3）∵抛物线L 的对称轴为直线x=3，开口向上，
1
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点P(n+3,f )，Q(2n−1,f )在抛物线L 上，且满足f <f ，
1 2 1 1 2
∴点P距离对称轴近，
∴|n+3−3|<|2n−1−3|，
∴|n|<|2n−4|，
∴n2<(2n−4) 2，
∴n2−(2n−4) 2<0，
∴−3n2+16n−16<0，
4
当−3n2+16n−16=0时，解得：n=4或n= ，
3
∵抛物线y=−3n2+16n−16的开口向下，
4
∴当−3n2+16n−16<0时，n< 或n>4；
3
4
∴当n< 或n>4时，f <f ；
3 1 2
（4）不存在，理由如下：
∵B(2,0),C(5,0)，
∴BC=3=EF，
∵四边形BCFE为菱形，
∴BE=CF=3，
∵E(3,k)，F(6,k)，
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∴(3−2) 2+k2=32，
∴k2=8，
由图象可知：k<0，
∴k=−2√2，
∴E(3,−2√2)，F(6,−2√2)，
把E(3,−2√2)，F(6,−2√2)，分别代入y=a (x−1)(x−5)和y=a (x−2)(x−10)，
1 2
√2 √2
得：a = ,a = ，
1 2 2 8
√2 √2 5√2
∴抛物线L 的解析式为y= (x−1)(x−5)= x2−3√2x+ ，
1 2 2 2
√2 √2 3 5√2
抛物线L 的解析式为y= (x−2)(x−10)= x2− √2x+
2 8 8 2 2
当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况：
①当AD为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；
②当AD为对角线时，则AD的中点也是ST的中点，
(11 )
∵A(1,0),D(10,0)，设AD的中点为G，则：G ,0 ，
2
以G为圆心，AG的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：S,T都在圆G上，且
ST也为圆G的直径，
如图：
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由图可知，不存在点S,T分别在两条抛物线上且为圆G的直径，
故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；
综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角
定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题
的关键．
题型十三： 特殊角度存在性问题
1．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD=2∠OCQ．在y轴上是否存
在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−4x+3
(3 3)
(2)Q ,−
2 4
(3)存在，点E(0,8+√43)或(0,8−√43)或(0,5)或(0,√59)或(0,−√59)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PQ=−x+3−(x2−4x+3)=−x2+3x，即可求解；
（3）先求出点D(5,8)，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)=ax2+bx+3，
则a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−4x+3；
（2）解：由抛物线的表达式知，点C(0,3)，
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y=−x+3，
设点Q(x,x2−4x+3)，则点P(x,−x+3)，
则PQ=−x+3−(x2−4x+3)=−x2+3x，
∵−1<0，故PQ有最大值，
3 3
此时x= ，则y=x2−4x+3=− ，
2 4
(3 3)
即点Q ,− ；
2 4
（3）解：存在，理由：
设直线CQ的表达式为y=mx+n，
由点C,Q的坐标得，¿，解得：¿，
5
∴直线CQ的表达式为：y=− x+3，
2
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6 (6 )
令y=0，x= ，故M ,0 ，
5 5
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQC=∠QCO，
∵∠CQD=2∠OCQ,∠TQC=∠QCO
，
则∠CQT=∠DQT，
即直线CQ和DQ关于直线QT对称，故M'(9
,0
)
，
5
设直线DQ的表达式为y=dx+c，
代入Q
(3
,−
3) ，M'(9
,0
)
，得¿，
2 4 5
解得：¿，
5 9
则直线DQ的表达式为：y= x− ，
2 2
5 9
联立上式和抛物线的表达式得：x2−4x+3= x− ，
2 2
3
解得：x= (舍去)或5，
2
即点D(5,8)；
设点E(0,y)，由B,D,E的坐标得，BD2=68,DE2=25+(y−8) 2,BE2=9+ y2，
当DE=BD时，则68=25+(y−8) 2，
解得：y=8±√43，即点E(0,8+√43)或E(0,8−√43)；
当DE=BE或BD=BE时，
同理可得：25+(y−8) 2=9+ y2或9+ y2=68，
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解得：y=5或±√59，
即点E(0,5)或(0,√59)或(0,−√59)；
综上，点E(0,8+√43)或(0,8−√43)或(0,5)或(0,√59)或(0,−√59)．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−1(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交
于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D(3,0)，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
(1)求抛物线的解析式；
BQ 5
(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当 = 时．求点P的坐标；
PQ 7
(3)在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠≝=∠ACD+∠BED？若存在，请直
接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
1 6
【答案】(1)y=− x2+ x−1
5 5
( 32)
(2)P −3,−
5
( 5 48)
(3)F ,− 或F(10,4)．
13 13
【分析】（1）根据抛物线过点A(1,0)，对称轴为直线x=3，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得B(5,0)，tan∠CDO=tan∠DEB，求得BE=6，则E(5,−6)，进而求得直线EC的解
析式为y=−x−1，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T，证明△PTQ∽△BEQ，根据已知条件得出
PT= 42 设T(t,−t−1)，则P ( t,−t− 47) ，将点P代入y=− 1 x2+ 6 x−1，即可求解．
5 5 5 5
（3）根据题意可得∠≝=45°，以DE为对角线作正方形DMEN，则∠DEM=∠DEN=45°，进而求得
M,N的坐标，待定系数法求得EM,EN的解析式，联立BP解析式，即可求解．
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【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−1(a≠0)与x轴交于点A(1,0)，抛物线的对称轴交x轴于点
D(3,0)，则对称轴为直线x=3，
∴¿，
解得：¿
1 6
∴抛物线解析式为y=− x2+ x−1；
5 5
1 6 1 6
（2）解：由y=− x2+ x−1，当y=0时，− x2+ x−1=0，
5 5 5 5
解得：x =1,x =5，
1 2
∴B(5,0)，
当x=0时，y=−1，则C(0,−1)，
∵DE⊥CD，∠COD=∠EBD=∠CDE=90°
∴∠CDO=90°−∠EDB=∠DEB，
∴tan∠CDO=tan∠DEB，
OC DB
即 = ，
OD BE
1 2
∴ = ，
3 BE
∴BE=6，则E(5,−6)，
设直线EC的解析式为y=kx−1，则−6=5k−1，解得：k=−1，
∴直线EC的解析式为y=−x−1，
如图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T，
∵BE∥PT，
∴△PTQ∽△BEQ
BQ 5
∵ =
PQ 7
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BE BQ 5 42
∴ = = ，则PT=
PT PQ 7 5
( 42) ( 47)
设T(t,−t−1)，则P t,−t−1− 即P t,−t− ，
5 5
将点P ( t,−t− 47) 代入y=− 1 x2+ 6 x−1
5 5 5
47 1 6
即−t− =− t2+ t−1
5 5 5
解得：t=−3或t=14（舍去）
47 32
当t=−3时，−t− =− ，
5 5
( 32)
∴P −3,− ；
5
（3）∵A(1,0)，C(0,−1)，
则OA=OC=1，△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，由（2）可得∠BED=∠ADC，
∵∠≝=∠ACD+∠BED
∴∠≝=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°，
( 32)
由（2）可得P −3,− ，
5
设直线BP的解析式为y=ex+f，则
¿
解得：¿
4
∴直线BP的解析式为y= x−4
5
如图所示，以DE为对角线作正方形DMEN，则∠DEM=∠DEN=45°，
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√2
∵DB=2,BE=6，则DE=2√10，则DM= DE=2√5，E(5,−6)，
2
设M(m,n)，则¿，
解得：¿，¿，
则M(1,−4)，N(7,−2)，
设直线EM的解析式为y=sx+t，直线EN的解析式为y=s x+t
1 1
则¿，¿，
解得：¿，¿，
1 7
设直线EM的解析式为y=− x− ，直线EN的解析式为y=2x−16，
2 2
( 5 48)
∴¿解得：¿，则F ,− ，
13 13
¿解得：¿,则F(10,4)，
( 5 48)
综上所述，F ,− 或F(10,4)．
13 13
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
角度存在性问题的解题步骤
已知特殊角度求解 已知角度关系求解
第一步 读题、画图、理解题意
第二步 分析动点、定点，找不变特征
第三步 确定分类特征，进行分类讨论
第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似
三等角、直角三角形，再利用直角三角 三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等
形、相似三角形边的比例关系去计算求 转化为常见的类型，再利用直角三角形、相
解. 似三角形边的比例关系去计算求解.
【温馨提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
4
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交
3
于点C．
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(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
4 8
【答案】(1)抛物线解析式为y=− x2− x+4，B(1,0)，C(0,4)
3 3
(2)D(−2,−4)或D(−4,4)或D(4,4)
( 27)
(3)E −1,
7
【分析】（1）将点A(﹣3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,y=0，即可求得
B,C两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当AB，AC,BC为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，则A,O,C,G在
5
⊙F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=−x上，进而勾股定理，根据FG= 建立方程，求得点
2
G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解．
4
【详解】（1）解：∵抛物线y=− x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，
3
4
∴− ×(−3) 2−3b+4=0
3
8
解得：b=− ，
3
4 8
∴抛物线解析式为y=− x2− x+4，
3 3
当x=0时，y=4，
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∴C(0,4)，
4 8
当y=0时，0=− x2− x+4
3 3
解得：x =−3,x =1，
1 2
∴B(1,0)
（2）∵A(−3,0)，B(1,0)，C(0,4)，
设D(m,n)，
∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形
m+0 −3+1 4+n 0+0
当AB为对角线时， = , =
2 2 2 2
解得：m=−2,n=−4，
∴D(−2,−4)；
−3+0 1+m 4+0 0+n
当AC为对角线时， = , =
2 2 2 2
解得：m=−4,n=4
∴D(−4,4)
−3+m 0+1 0+4 0+n
当BC为对角线时， = , =
2 2 2 2
解得：m=4,n=4
∴D(4,4)
综上所述，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，D(−2,−4)或D(−4,4)或D(4,4)
（3）解：如图所示，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，
∵∠ACE=45°
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴A,O,C,G在⊙F上，
∵A(−3,0)，C(0,4)，
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( 3 ) 1 5
∴F − ,2 ，AC=√AO2+CO2=5，GF= AC=
2 2 2
∵∠AOG=∠ACG=45°，
∴G在y=−x上，
设G(t,−t)，则GF2= ( t+ 3) 2 +(−t−2) 2= (5) 2
2 2
7
解得：t =− ，t =0（舍去）
1 2 2
( 7 7)
∴点G − ，
2 2
设直线CG的解析式为y=kx+4
7 7
∴ =− k+4
2 2
1
解得：k=
.
7
1
∴直线CG的解析式y= x+4
7
∵A(−3,0)，B(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为直线x= =−1，
2
1 27
当x=−1时， ×(−1)+4= ，
7 7
( 27)
∴E −1, ．
7
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾
股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，D和E分别是AB和
AC的中点，点M和点N分别从点A和点E出发，沿着A→C→B方向运动，运动速度都是每秒1个单位长
度，当点N到达点B时，两点同时停止运动．设△DMN的面积为S，运动时间为t，则S与t之间的函数图
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像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断
图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接DE，作DF⊥BC，
∴DF∥AC，
∵点D、E是中点，
1 1
∴DF= AC=6，DE= BC=4，
2 2
当0<t≤6时，点M在AE上，点N在EC上，MN=AE=6，
1 1
∴S= MN⋅DE= ×6×4=12；
2 2
如图，当6<t≤12时，点M在EC上，点N在BC上，
∵AM=EC+CN=t，
∴MC=12−t，CN=t−6，BN=14−t，
∴S=S −S −S −S
△ABC △ADM △BDN △CMN
1 1 1 1
= ×8×12− ×4t− ×6(14−t)− (12−t)(t−6)
2 2 2 2
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1
= t2−8t+42；
2
如图，当12<t≤14时，点M、N都在BC上，
1 1
∴S= MN⋅DF= ×6×6=18，
2 2
综上判断选项A的图象符合题意，
故选：A．
k
2．（2024·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (x>0)的图象与直线y=x+1交于
x
点A(1,m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P为直线y=x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数
k
y= (x>0)的图象于点Q，当PQ=2时，求a的值；
x
(3)观察图象，直接写出当PQ>2时，a的取值范围．
【答案】(1)m=2,k=2
−3+√17
(2)a=2或
2
−3+√17
(3)a>2或0<a<
2
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，
（1）将点A(1,m)坐标代入y=x+1求出m，将A(1,2)坐标代入反比例函数解析式求出k值即可；
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2 2
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y= ，设点P坐标为(a,a+1)，则Q(a, )，列出关于a的方程
x a
解答即可；
（3）数形结合得到PQ>2时，a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵点A(1,m)在直线y=x+1上，
∴m=2，
∴A(1,2)，
∵A(1,2)在反比例函数图象上，
∴k=2，
∴m=2,k=2．
2
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y= ，
x
2
设点P坐标为(a,a+1)，则Q(a, )，
a
2
∴PQ=|a+1− |=2，
a
2
∴a+1− =±2，
a
−3+√17 −3−√17
解得：a=2或−1（舍去）或 或 （舍去），
2 2
−3+√17
∴a=2或 ，
2
−3+√17
（3）由图象可知，当PQ>2时，a>2或0<a< ．
2
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，点A在
第一象限，点B在x轴上，C为斜边OA上一点且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），
2 k
已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．
x x
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(1)证明：四边形AOBD是平行四边形；
(2)求k的值；
k
(3)取BD的中点E，证明：直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
【答案】(1)见详解
(2)k=1
(3)见详解
【分析】（1）运用 SAS证明△OBA≌△BCD，得出OA=BD，再结合等边对等角 ，则OA∥BD，故四
边形AOBD是平行四边形；
2
（2）先证明四边形OFDE是矩形，因为点D在反比例函数y= 的图象上，所以矩形OFDE的面积是2，
x
k
故矩形OBAE的面积是1，因为反比例函数y= 的图象过点A．则k=1；
x
( 1) ( 1) (3 1 )
（3）先设A a, ，再分别表示B(a,0)，D 2a, ，E a, ，再运用待定系数法求出直线AE解
a a 2 2a
析式为y=− 1 x+ 2 ，依题意，得¿，整理得 1 x2− 2 x+1=0，得Δ=b2−4ac= ( − 2) 2 −4× 1 ×1=0，
a2 a a2 a a a2
即可作答．
【详解】（1）证明：∵AB⊥OB，DC⊥BC，
∴∠OBA=∠BCD=90°，
∵OB=BC，AB=CD，
∴△OBA≌△BCD(SAS)，
∴OA=BD，∠AOB=∠DBC，
∵OB=BC，
∴∠AOB=∠OCB，
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∴∠DBC=∠OCB，
∴OA∥BD，
∵OA=BD，
∴四边形AOBD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD=OB,AD∥OB，
延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，如图所示：
∵AD∥OB，
∴∠OED=180°−∠FOE=90°，
∵DF⊥x轴，∠FOE=90°，∠OED=90°，
∴四边形OFDE是矩形，
同理，得证四边形OBAE是矩形，
2
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
∴矩形OFDE的面积是2，
∴ED=OF，
∵AD=OB，
∴AE=BF，
即OB=BF，
∴矩形OBAE的面积是1；
k
∵反比例函数y= 的图象过点A．
x
∴k=1；
1
（3）解：依题意，反比例函数y= 的图象过点A．
x
( 1)
设A a, ，
a
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∴B(a,0)，
∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD=OB,AD∥OB，
1
∴点D的纵坐标为 ，
a
2
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
1 2 1 2
把y= 代入y= ，得 = ，
a x a x
解得x=2a，
( 1)
∴D 2a, ，
a
∵点E是BD的中点，
(3 1 )
∴E a, ，
2 2a
设直线AE的解析式为y=kx+b(k≠0)，
(3 1 ) ( 1)
把E a, ，A a, 分别代入y=kx+b，
2 2a a
得¿
解得¿，
1 2
∴直线AE解析式为y=− x+
，
a2 a
依题意，得¿，
1 1 2
∴
=− x+
，
x a2 a
1 2
整理得
x2− x+1=0
a2 a
∴Δ=b2−4ac= ( − 2) 2 −4× 1 ×1=0，
a a2
k
∴直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点
x
1
∵反比例函数y= 的图象过点A．
x
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k
∴直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比
例函数的k值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4．（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究
3 3
如图，抛物线y=− x2+ x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一
4 2
象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接AC，BC，BD，CD．
(1)求A，B，C三点的坐标，并求直线BC的函数表达式；
(2)当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值．
3
【答案】(1)A(−2,0)，B(4,0)，C(0,6)，直线BC的解析式为y=− x+6；
2
(2)m的值为2；
【分析】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积等知识，运用了数形结合思
想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）分别令y=0和x=0即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线BC的函数表
达式；
（2）过D作x轴的垂线交BC于P，设D ( m,− 3 m2+ 3 m+6 ) ，则P ( m,− 3 m+6 ) ，根据题意表示出四
4 2 2
边形ACDB的面积，然后利用二次函数的性质求解即可．
3 3
【详解】（1）令y=0，得y=− x2+ x+6=0，
4 2
解得x=−2或x=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
令x=0，得y=6，
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∴C(0,6)；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(4,0)，C(0,6)代入得¿，
解得¿，
3
∴直线BC的解析式为y=− x+6；
2
（2）解：如图，过D作x轴的垂线交BC于P，
设D ( m,− 3 m2+ 3 m+6 ) ，则P ( m,− 3 m+6 ) ，
4 2 2
1 1
∴四边形ACDB的面积=S +S = AB⋅OC+ PD⋅OB
△ABC △BCD 2 2
= 1 ×6×6+ 1[ − 3 m2+ 3 m+6− ( − 3 m+6 )] ×4=− 3 m2+6m+18，
2 2 4 2 2 2
3
∵− <0，
2
6
m=− =2
∴当 ( 3) 时，四边形ACDB的面积最大，
2× −
2
∴当四边形ACDB的面积最大时，m的值为2；
5．（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，
∠CAB=30°，∠CBA=120°．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？
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【答案】(1)(6,2√3)
( 4√3)
(2)当点P运动到 0, 这个位置时，PB+PC的值最小
5
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，证明∠BAC=∠ACB，得出BC=AB=4，解直角三角
1 √3
形得出BE=BC·cos60°=4× =2， CE=BC·sin60°=4× =2√3，求出AE=AB+BE=4+2=6，
2 2
即可得出答案；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，则D(−4，0)，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，根据两点
√3 4√3
之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线y= x+ ，然后求出点P的坐标即可．
5 5
【详解】（1）解：过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，如图所示：
∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，
∴∠ACB=180°−30°−120°=30°，∠CBE=180°−120°=60°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB=4，
1
∴BE=BC·cos60°=4× =2，
2
√3
CE=BC·sin60°=4× =2√3，
2
∴AE=AB+BE=4+2=6，
∴点C的坐标为(6,2√3)；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则D(−4，0)，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，
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根据轴对称可知：PB=PD，
∴PB+PC=PD+PC，
∴当PD+PC最小时，PB+PC最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则¿ ，
解得：¿
√3 4√3
∴y= x+
5 5
4√3
当x=0时，y=
5
( 4√3)
∴当点P运动到 0, 这个位置时，PB+PC的值最小．
5
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的
性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线．
6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于A(−2,0)，B两点，与y轴交于点C，且顶点
为(2,8)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
1
则BQ+ PQ是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；
2
(3)如图②，连接CA，抛物线上是否存在点M，使得∠BCM+∠OCA=45°，如果存在，请求出直线CM
与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由．
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1 1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+8=− x2+2x+6；
2 2
507√2
(2)最大值 ；
72
(3)(2,0)或(18,0)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的
判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点P作x轴的垂线交BC于点D，交x轴于点E，求出B(6,0） C(0,6)，求出直线BC的解析式为
y=−x+6，由题意知P ( t,− 1 t2+2t+6 ) ，D(t,−t+6)，E(t,0)，得到
2
1 1 3√2( 5) 2 507√2
BQ+ PQ= PQ+DQ+BD=− t− + ，即可得到答案；
2 2 8 3 72
（3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为(2,8)
设该抛物线解析式为：y=a(x−2) 2+8
∵点A(−2,0)在抛物线上
∴0=a⋅(−2−2) 2+8
1
解得：a=−
2
1 1
∴抛物线解析式为：y=− (x−2) 2+8=− x2+2x+6
2 2
（2）如图，过点P作x轴的垂线交BC于点D，交x轴于点E
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1
令y=0则− x2+2x+6=0
2
解得：x =−2，x =6
1 2
∴B(6,0） C(0,6)
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则¿
解得¿
∴BC:y=−x+6
由题意知P ( t,− 1 t2+2t+6 ) ，D(t,−t+6)，E(t,0)
2
1
所以PD=− t2+3t，DE=−t+6
2
∵OB=OC=6,∠BOC=90°
∴∠EBD=∠BDE=∠PDQ=∠P=45°
√2 √2 3√2
∴BD=√2DE=−√2t+6√2，QD=PQ= PD=− t2+ t
2 4 2
∴BQ+
1
PQ=
1
PQ+DQ+BD=−
3√2
t2+
5√2
t+6√2=−
3√2(
t−
5) 2
+
507√2
2 2 8 4 8 3 72
5 1 507√2
∴当t= 时，BQ+ PQ的值最大，最大值是
3 2 72
（3）①如图，取点A关于y轴的对称点F(2,0)，连接CF，
直线CF与抛物线在第四象限的交点即为点M
∵∠OCB=45°
∴∠BCF+∠OCF=45°且∠FCO=∠OCA
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∴∠BCF+∠OCA=45°
∴直线CM与x轴的交点坐标为(2,0)
②如图，
∵∠OCB=45°
若∠BCF+∠OCA=45°，则∠ACF=90°
将AC绕着C点逆时针旋转90°得到线段CF，
则直线CF与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作MN⊥y轴于点N，
则∠CMN+∠MCN=∠ACO+∠MCN=90°，∠CNM=∠AOC=90°
∴∠CMN=∠ACO，
∴△CMN∽△ACO
CN MN
∴ = ，
AO CO
设点M的坐标为 ( s,− 1 s2+2s+6 ) ，则MN=s,ON=− 1 s2+2s+6，
2 2
∴CN=6− ( − 1 s2+2s+6 ) = 1 s2−2s
2 2
1
s2−2s
∴2 s
=
2 6
14
解得s=0或s=
3
(14 40)
则M , ，
3 9
设直线CF的解析式为y=kx+b
则¿
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解得¿
1
∴CF的解析式为：y=− x+6
3
令y=0，则x=18
∴直线CM与x轴的交点坐标为(18,0)
综上可知，直线CM与x轴的交点坐标为(2,0)或(18,0)
7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线y=x2+mx−2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
点A坐标为(−2,0)．
(1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标．
(2)若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN=t(t>0)
①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M，求证：∠BMN=∠BAC．
②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB=∠BAC且GN恰好平分
∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B(1,0)，C(0,−2)；
1+√13 (−1+√13 )
(2)①见解析；②存在，t= ，点G的坐标为 ,1 ．
2 2
【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解．
（2）①设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求出AC的解析式，由中点的性质
( 1 ) ( 1 3) 3
可求得N − ，0 ，进而可求得点M − ，− ，即MN= ，由AO=CO=2，则∠BAC=45°，根
2 2 2 2
( 1 ) ( 1 3)
据B(1，0)，N − ，0 ，M − ，− ，可得MN=BN，再由平行线的性质可得∠MNB=90°，
2 2 2
进而可得∠BMN=45°，进而可求解；②过点G作GH⊥x轴于点H，设点G(a，a2+a−2)，利用相似
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三角形的判定及性质可得(a2+a−2) 2 =a2+a−2，解出方程即可求解．
【详解】（1）解：把A(−2，0)代入y=x2+mx−2得：0=4−2m−2，
解得：m=1，
∴该抛物线的解析式为：y=x2+x−2，
把x=0代入得：y=−2，
∴C(0，−2)；
把y=0代入得：0=x2+x−2，
解得：x =−2，x =1，
1 2
∴B(1，0)．
（2）①如图：
设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，
把A(−2，0)，C(0，−2)代入得：
¿，解得：¿，
∴直线AC的函数解析式为：y=−x−2，
∵A(−2，0)，B(1，0)，点N运动到AB的中点，
( 1 )
∴N − ，0 ，
2
1 1 3
把x=− 代入y=−x−2得：y= −2=− ，
2 2 2
( 1 3) 3
∴M − ，− ，则MN= ，
2 2 2
∵A(−2，0)，C(0，−2)，
∴AO=CO=2，则∠BAC=45°，
( 1 ) ( 1 3)
∵B(1，0)，N − ，0 ，M − ，− ，
2 2 2
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3
∴MN=BN= ，
2
∵MN∥y轴，
∴∠MNB=90°，
∴∠BMN=45°，
∴∠BMN=∠BAC；
②过点G作GH⊥x轴于点H，
由①可得：∠BAC=45°，
∴∠GNB=∠BAC=45°，
∴∠NGH=45°，则GH=NH，
设点G(a，a2+a−2)，
∵A(−2，0)，
∴AH=a+2，GH=a2+a−2，则NH=AH−AN=a+2−t，
∴a+2−t=a2+a−2，整理得：t=4−a2，
∵B(1，0)，
∴BH=a−1，
∵∠GNB=∠GAN+AGN，∠NGH=∠NGB+BGH，
∴∠GAN+AGN=∠NGB+BGH，
∵GN平分∠AGB，
∴∠AGN=∠NGB，
∴∠GAN=∠BGH，
又∵∠GHB=∠AHG=90°，
∴△AGH∽△GBH，
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AH GH a+2 a2+a−2
∴ = ，即 = ，
GH BH a2+a−2 a−1
整理得：(a2+a−2) 2 =a2+a−2，
令a2+a−2=A，则A2=A，
解得：A =0，A =1，
1 2
当A=0时，不符合题意，舍去；
−1+√13 −1−√13
当A=1时，解得：a = ，a = ，
1 2 2 2
7−√13 1+√13 7+√13 1−√13
此时t=4−a2=4− = ，或t=4−a2=4− = （舍），
2 2 2 2
1+√13 (−1+√13 )
综上：存在，t= ，点G的坐标为 ，1 ．
2 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题．
1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3cm．动点P从点A
出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以√3cm/s的速度
沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，
点N在射线AB．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y(cm2)，则能大致
反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】A
【分析】先证明菱形PQMN是边长为x，一个角为60°的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作PD⊥AC于点D，作QE⊥AB于点E，
由题意得AP=x，AQ=√3x，
√3
∴AD=AP⋅cos30°= x，
2
1
∴AD=DQ= AQ，
2
∴PD是线段AQ的垂直平分线，
∴∠PQA=∠A=30°，
∴∠QPE=60°，PQ=AP=x，
1 √3
∴QE= AQ= x，PQ=PN=MN=QM=x，
2 2
当点M运动到直线BC上时，
此时，△BMN是等边三角形，
1
∴AP=PN=BN= AB=1，x=1；
3
当点Q、N运动到与点C、B重合时，
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1 3 3
∴AP=PN= AB= ，x= ；
2 2 2
当点P运动到与点B重合时，
∴AP=AB=3，x=3；
√3 √3
∴当0<x≤1时，y=x⋅ x= x2 ，
2 2
3
当1<x≤ 时，如图，作FG⊥AB于点G，交QM于点R，
2
√3
则BN=FN=FB=3−2x，FM=MS=FS=3x−3，FR= (3x−3)，
2
√3 1 √3 7√3 9√3 9√3
∴y= x2− ⋅(3x−3)⋅ (3x−3)=− x2+ x− ，
2 2 2 4 2 4
3
当 <x<3时，如图，作HI⊥AB于点I，
2
√3
则BP=PH=HB=3−x，HI= (3−x)，
2
1 √3 √3 3√3 9√3
∴y= ⋅(3−x)⋅ (3−x)= x2− x+ ，
2 2 4 2 4
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3
综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当0<x≤1时，是开口向上的一段抛物线，当1<x≤ 时，是
2
3
开口向下的一段抛物线，当 <x≤3时，是开口向上的一段抛物线，
2
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性
质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0<x≤2时，求y=x2−x+c的函数值的取值范围；
3 √5
(3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+ PM的
4 5
最小值．
【答案】(1)y=x2−x−2
9
(2)− ≤ y≤0
4
√5 6√5
(3)PA+ PM的最小值为：
5 5
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
−1 1
（2）求解y=x2−x−2的对称轴为直线x=− = ，而0<x≤2，再利用二次函数的性质可得答案；
2×1 2
(1 )
（3）求解C(0,−2)，B(2,0)，可得AB=3，求解直线AC为y=−2x−2，及M ,−3 ，证明M在直线
2
AC上，如图，过P作PG⊥AC于G，连接MB，过P作PH⊥MB于H，可得AC=√5，
1 √5 √5
sin∠ACO= = ，证明∠AMP=∠ACO，可得PG= PM，可得
√5 5 5
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√5
PA+ PM=PA+PG=PA+PH≤AH，再进一步求解即可．
5
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A(−1,0)，
∴1+1+c=0，
解得：c=−2，
∴抛物线的解析式为：y=x2−x−2；
−1 1
（2）解：∵y=x2−x−2的对称轴为直线x=− = ，而0<x≤2，
2×1 2
1 1 9
∴函数最小值为：y= − −2=− ，
4 2 4
当x=0时，y=−2，
当x=2时，y=4−2−2=0，
9
∴函数值的范围为：− ≤ y≤0；
4
（3）解：∵y=x2−x−2，
当x=0时，y=−2，
∴C(0,−2)，
当y=x2−x−2=0时，
解得：x =−1，x =2，
1 2
∴B(2,0)，
∴AB=3，
设直线AC为y=kx−2，
∴−k−2=0，
∴k=−2，
∴直线AC为y=−2x−2，
3 (1 9)
∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点M，而顶点为 ,− ，
4 2 4
(1 )
∴M ,−3 ，
2
∴M在直线AC上，
如图，过P作PG⊥AC于G，连接MB，过P作PH⊥MB于H，
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∵A(−1,0)，C(0,−2)，
1 √5
∴AC=√5，sin∠ACO= = ，
√5 5
∵对称轴与y轴平行，
∴∠AMP=∠ACO，
PG √5
∴sin∠AMP= = ，
PM 5
√5
∴PG= PM，
5
由抛物线的对称性可得：PG=PH，∠MAB=∠MBA，
√5
∴PA+ PM=PA+PG=PA+PH≤AH，
5
当A,P,H三点共线时取等号，
OC 2 2√5 AH
∴sin∠MAB= = = =sin∠ABH= ，
AC √5 5 AB
AH 2√5
∴ = ，
3 5
6√5
∴AH= ，
5
√5 6√5
即PA+ PM的最小值为： ．
5 5
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
k
3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于
x
点A(2,a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
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(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l,l与y= (x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
x
k
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y= (x>0)的图象上时，求点E的坐标．
x
12
【答案】(1)y= ；
x
(2)B(1,3)；
(3)点E(3,4)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，可得△EHB≌△BFA(AAS)，则设点
B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，得到点E(6−2n,4n−2)，根据反比例函数图象上点的坐
标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将A(2,a)代入y=3x得a=3×2=6，
∴A(2,6)，
k k
将A(2,6)代入y= 得6= ，解得k=12，
x 2
12
∴反比例函数表达式为y= ，
x
（2）解：如图，设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，
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12
由y= 可得xy=12，
x
所以3m(m+3)=12，
解得m =1,m =−4（舍），
1 2
∴B(1,3);
（3）解：如图，过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，
∴∠HEB+∠EBH=90°
，
∵点A绕点B顺时针旋转90°，
∴∠ABE=90°,BE=BA，
∴∠EBH+∠ABF=90°，
∴∠BEH=∠ABF，
∴△EHB≌△BFA，
设点B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，
∴点E(6−2n,4n−2)，
∴(4n−2)(6−2n)=12，
3
解得n = ,n =2，
1 2 2
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∴点E(3,4)或(2,6)（舍），此时点E(3,4)．
4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的
长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
S
(3)连接AD，交BC于点F，求 △≝¿ ¿的最大值．
S
△AEF
【答案】(1)y=x2−x−2
(2)l=−t2+2t(0<t<2)
S 1
(3)( △≝¿ ) = ¿
S 3
△AEF 最大
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出C(0,−2)，再用待定系数法求出直线BC的解析式为：y=x−2，可得出D(t,t2−t−2)，
E(t,t−2)，从而可得l=DE=t−2−(t2−t−2)=−t2+2t，再求出自变量取值范围即可；
DF DE
（3）分四种情形：当0<t<2时，作AG∥DE，交BC于G，可得出△≝∽△AGF，从而 = ，进而
AF AG
DF −t2+2t 1 1 S
得出 = =− (t−1) 2+ ，进一步得出结果；当t<−1，−1<t<0和t>2时，可得出 △≝¿ ¿没
AF 3 3 3 S
△AEF
有最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，
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∴ ¿，
解得¿，
∴该抛物线的解析式为：y=x2−x−2；
（2）解：二次函数y=x2−x−2中，令x=0，则y=−2，
∴C(0,−2)，
设直线BC的解析式为：y=kx+m．将B(2,0)，C(0,−2)代入得到：
¿，解得¿，
∴直线BC的解析式为：y=x−2，
∵过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，
∴D(t,t2−t−2)，E(t,t−2)，
∴l=DE=t−2−(t2−t−2)=−t2+2t，
∵点D在直线BC下方的抛物线上，
∴0<t<2；
（3）解：如图1，
当0<t<2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△≝∽△AGF，
DF DE
∴ = ，
AF AG
把x=−1代入y=x−2得，
y=−3，
∴AG=3，
DF −t2+2t 1 1
∴ = =− (t−1) 2+ ，
AF 3 3 3
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DF 1
∵当x=1时，( ) = ，
AF 3
最大
DF S
∵ = △≝¿ ¿，
AF S
△AEF
S 1
∴ ( △≝¿ ) = ¿，
S 3
△AEF 最大
如图2，
当t>2时，
此时DE=t2−t−2−(t−2)=t2−2t，
DF t2−2t (t−1) 2−1
∴ = = ，
AF 3 3
∵t>1时，t2−2t随着t的增大而增大，
DF
∴ 没有最大值，
AF
S
∴ ( △≝¿ )¿没有最大值，
S
△AEF
如图3，
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当−1<t<0时，
DF t2−2t (t−1) 2−1
= = ，
AF 3 3
当−1<t<0时，t2−2t随着t的增大而减小，
DF
∴ 没有最大值，
AF
S
∴ ( △≝¿ )¿没有最大值u，
S
△AEF
如图4，
当t<−1时，
由上可知，
S
( △≝¿ )¿没有最大值，
S
△AEF
S 1
综上所述：当0<t<2时，( △≝¿ ) = ¿．
S 3
△AEF 最大
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，
解决问题的关键是分类讨论．
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5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像经过原点和点A(4,0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交
于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x，C(0,4)
5 9
(2)①当m= 时，PD有最大值为 ；②当P的坐标为(2,4)或(3,3)时，△BPD与△AOC相似
2 4
【分析】（1）把(0,0)，A(4,0)，B(1,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可，利用待定系数法求出直线
AB解析式，然后令x=0，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，
△PBD∽△AOC两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把(0,0)，A(4,0)，B(1,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
得¿，
解得¿，
∴二次函数的解析式为y=−x2+4x，
设直线AB解析式为y=mx+n，
则¿，
解得¿，
∴直线AB解析式为y=−x+4，
当x=0时，y=4，
∴C(0,4)；
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（2）解：①设P(m,−m2+4m)(1<m<4)，则D(m,−m+4)，
∴PD=−m2+4m−(−m+4)
=−m2+5m−4
( 5) 2 9
=− m− + ，
2 4
5 9
∴当m= 时，PD有最大值为 ；
2 4
②∵A(4,0)，C(0,4)，
∴AO=CO=4，
又∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠AOC=45°，
又PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴∠PDB=∠ACO=45°，
当△PBD∽△OAC时，如图，
∴∠BPD=∠AOC=90°，
∴BP∥x轴，
∴P的纵坐标为3，
把y=3代入y=−x2+4x，得3=−x2+4x，
解得x =1，x =3，
1 2
∴m=3，
∴−m2+4m=3，
∴P的坐标为(3,3)；
当△PBD∽△AOC时，如图，过B作BF⊥PD于F，
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则BF=m−1，∠PBD=∠AOC=90°，
又∠BDP=45°，
∴∠BPD=45°=∠BDP，
∴BP=BD，
∴PF=DF，
1
∴BF= PD，
2
1
∴m−1= (−m2+5m−4)，
2
解得m =2，m =1（舍去），
1 2
∴−m2+4m=4，
∴P的坐标为(2,4)
综上，当P的坐标为(2,4)或(3,3)时，△BPD与△AOC相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点A，
与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次
方程x2−4x−12=0的一个根．请解答下列问题：
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(1)求点D的坐标；
(2)若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=3√2，
连接BE，求tan∠ABE的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角
边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)D(0,−6)
1
(2)
3
(3)存在，12个，N (0,0),N (8,0),N (10,0),N (12,0),N (18,0)
1 2 3 4 5
【分析】（1）先解方程求出OA=6，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求出AH=EH=3，然后证明△AEF≌△BGF，即可得到
BF=AF=2AH=6，然后求出∠ABE得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程x2−4x−12=0得x =6，x =−2，
1 2
∴OA=6，即点A的坐标为(6,0)，
把(6,0)代入y=x+b得b=−6，
∴y=x−6，点D的坐标为(0,−6)；
（2）解：过点E作EH⊥AB于点H，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ODA=∠EAH=45°，AD=√OA2+OD2=√62+62=6√2，
√2
∴AH=EH=AE⋅tan∠EAH=3√2× =3，
2
又∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6√2，AE∥BC，
∵GE是BC的垂直平分线，
1
∴BG= BC=3√2=AE，
2
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠GBF，∠AEF=∠FGB=90°，
∴△AEF≌△BGF，
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∴BF=AF=2AH=6，
∴BH=AF+FB−AH=6+6−3=9，
EH 1
∴tan∠ABE= = ；
BH 3
（3）如图，当∠MEN=90°时，有4个，
解：∵∠EAN =45°，
1
∴EN =EA=3√2，
1
由（2）得AN =6，OA=6，
1
∴ON =12，
1
∴点N得坐标为(12,0)；
当∠ENM=90°时，有4个，如图，
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当∠EMN=90°时，有4个，如图，
∵∠N AM =45°，
9 9
1
∴N M =M A= EM =EA=3√2，
9 9 9 2 9
∴N A=√M A2+N M 2=√ (3√2) 2+(3√2) 2=6，
9 9 9 9
∴点N 与O重合，
9
故点N 得坐标为(0,0)，
9
综上所述，点△EMN的个数为12个，和点N的坐标为(0,0)或(12,0)．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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