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大题 02 一次函数、反比例函数与二次函数综合
（13 大题型）
一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、
二次函数的图像和性质是考查的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二
次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况.
题型一： 动点问题的函数图像
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同
时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也
随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(04时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：
∴EF=EH=√2x，BE=12−x，
在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，
∴(√2x) 2+(√2x) 2=(12−x) 2，
∴x=4，
∴当00，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当HG在BC下方时，设AE=x，由题可得：
∴EF=√2x，BE=12−x，
∵∠AEF=∠B=45°，∠A=∠EOB=90°,
∴△FAE∽△EOB，
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AE EO
∴ = ，
EF EB
x EO
∴ = ，
√2x 12−x
12−x
∴EO= ，
√2
12−x
∴当40，根
据对称轴计算公式得到b=2a，即2a−b=0，则M(c,2a−b)在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象
限，得到当x=−1时，y=a−b+c>0，再由二次函数与x轴无交点，得到Δ=b2−4ac<0，则点
N(b2−4ac,a−b+c)在第二象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∵对称轴是直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
∴2a−b=0，
∴M(c,2a−b)在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当x=−1时，y=a−b+c>0，
∵二次函数与x轴无交点，
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∴Δ=b2−4ac<0，
∴点N(b2−4ac,a−b+c)在第二象限，
∴经过点M(c,2a−b)和点N(b2−4ac,a−b+c)的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
−c
2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b(a≠0)和y= (c≠0)的图象大致
x
如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得a<0,b<0，c>0，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数y=ax−b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0,−b>0，即a<0,b<0，
−c
∵反比例函数y= (c≠0)的图象位于第二、四象限，
x
∴−c<0，即c>0，
b
∴函数y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线x=− <0，
2a
故选：D．
根据函数性质判断图像的方法:
1）一次函数： y=kx+b，k的正负决定直线的升降，b的正负决定与y轴交点的位置。
k
2）反比例函数：y= ，k的正负决定双曲线所在象限。
x
3）二次函数： ，a的正负决定抛物线开口方向，a和b的正负决定对称轴位置，△的正
负决定与x轴的交点个数。
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1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数y=x−2n+4，二次函数y=x2+(n−1)x−3，反比例函数
n+1
y= 在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
x
A．n>−1 B．n>2 C．−10,
又由于当x=−1时，y=a−b+c>0
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
题型三： 已知函数值的大小，求取值范围
8
1．（2024·山东泰安·中考真题）直线y =kx+b(k≠0)与反比例函数y =− 的图象相交于点A(−2,m)，
1 2 x
B(n,−1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y 的表达式；
1
(2)若y >y ，请直接写出满足条件的x的取值范围；
1 2
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
1
【答案】(1)y =− x+3
1 2
(2)x<−2或0y 时，x<−2或02时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数
y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.
【答案】(1)k=1,b=−1
(2)m≥1
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将(2,1)代入y=−kx+3先求出k，再将(2,1)和k的值代入y=kx+b(k≠0)即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在
直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入y=−kx+3得：−2k+3=1，
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解得：k=1，
将k=1，(2,1)，代入函数y=kx+b(k≠0)中，
得：¿，
解得：¿，
∴k=1,b=−1；
（2）解：∵k=1,b=−1，
∴两个一次函数的解析式分别为y=x−1,y=−x+3，
当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数y=−x+3的
值，
即当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，则画
出图象为：
由图象得：当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时符合题意或者当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于直
线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时的夹角也符合题意，
∴当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时，m=1，
∴当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方时，
m≥1，
∴m的取值范围为m≥1．
以反比例函数与一次函数为例：
从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以 的解集为
或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以 的解集为
或 .
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y
① ② ③ ④ y=ax+b
A
y =k/x
x
B
O
1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数y=|x|−2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函
数y=|x|−2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y=|x|−2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … −3 −2 −1 0 1 2 4 …
y … 1 0 −1 −2 −1 0 m …
①求m的值；
②若A(a,6)，B(b,6)为该函数图象上不同的两点，求a+b的值．
（3）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画
出该函数的图象；根据函数图象可得：
①求该函数的最小值；
1 ( 4 2)
②已知直线y = x与函数y=|x|−2的图象交于C − ,− ，D(4,2)点，直接写出当y >y时x的取值范
1 2 3 3 1
围．
【答案】（2）①2 ②0
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4
（3）图见解析 ①−2 ②− y时x的取值范围．
1 2 1
【详解】解：（2）①把(4,m)代入y=|x|−2，得：
m=|4|−2=4−2=2；
②把y=6代入y=|x|−2，得：
6=|x|−2，
解得：x=−8或8，
∴a+b=−8+8=0；
（3）画出该函数的图象如下：
①由函数图象可知：该函数的最小值为−2；
1
②在同一平面直角坐标系中画出直线y = x，
1 2
4
由函数图象可知：y >y时x的取值范围是：− 0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
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【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
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画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
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把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于
点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0,n)．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为
M(m+1,m+3)，N(m+1,m)，P(m+5,m)，Q(m+5,m+3)．
(1)填空：a=______，b=______；
k
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y= 有且只有一个交点，求n2的最大值；
x
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，
直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．
①当m=−3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
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1 3
【答案】(1) ，−
2 2
(2)当m=−2时，n2可以取得最大值，最大值为2
1 3−√57
(3)①n的取值范围为： ≤n≤1或n=−4；②m的取值范围：−13≤m≤
2 2
【分析】（1）将点A(−1,0)，B(4,0)代入函数解析式y=ax2+bx−2得¿，解之即可；
（2）设直线BC的解析式为y=dx+e(d≠0)，将点B(4,0)和C(0,−2)代入得¿，求出直线BC的解析式
1 1
y= x−2；再求出直线l的解析式为y= x+n，根据反比例函数图象上点的坐标特征得
2 2
k=(m+1)(m+3)=m2+4m+3，再由直线l与双曲线有公共点x2+2nx−2m2−8m−6=0，由直线l与双曲
线有且只有一个交点得Δ=0，进而可求得；
1
（3）当直线l与抛物线有交点时，联立直线y= x+n与抛物线y=ax2+bx−2的解析式，得¿，可求得
2
1
n≥−4；当n=−4时，直线y= x−4与抛物线有且只有一个交点F(2,−3)；①当m=−3时，四边形
2
MNPQ的顶点分别为M(−2,0)，N(−2,−3)，P(2,−3)，Q(2,0)．第一种情况：如图2，n=−4时，直
线l与四边形MNPQ，抛物线y=ax2+bx−2都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大
于与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．第二种情况：当直线l经过点A时，如图3所示，
1 1 1
×(−1)+n=0，解得，n= ，当直线l经过点M时，如图4所示得n=1， ≤n≤1，最终可得n的取值范
2 2 2
1
围为： ≤n≤1或n=−4．
2
1
②（Ⅰ）当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在直线y= x−4上时，直线l与四边形
2
MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛
物线的交点的纵坐标，得解得，m=−13．
（Ⅱ）如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+1,m+3)在这条开口向上的抛物线上（对
称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交
点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
1 3
(m+1) 2− (m+1)−2=m+3，解之可求出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得m的取值范围：
2 2
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3−√57
−13≤m≤ ．
2
【详解】（1）将点A(−1,0)，B(4,0)代入函数解析式y=ax2+bx−2得
¿
解得¿
1 3
故答案为： ，− ；
2 2
（2）设直线BC的解析式为y=dx+e(d≠0)，
∵直线BC经过B(4,0)和C(0,−2)，
∴¿，解得¿，
1
∴直线BC：y= x−2．
2
∵直线BC平移得到直线l，且直线l与y轴交于点E(0,n)，
1
∴直线l：y= x+n，
2
k
∵双曲线y= 经过点M(m+1,m+3)，
x
∴k=(m+1)(m+3)=m2+4m+3，
m2+4m+3
∴y= ．
x
∵直线l与双曲线有公共点，
联立解析式得：¿，
1 m2+4m+3
∴ x+n= ，
2 x
整理得：x2+2nx−2m2−8m−6=0，
∵直线l与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ=0，
即(2n) 2−4(−2m2−8m−6)=0，
整理得：4n2+8m2+32m+24=0，
化简得：n2+2m2+8m+6=0，
∴n2=−2m2−8m−6=−2(m+2) 2+2，
∵点M在第二象限，
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∴¿，
解得，−3 2的解集．
1 x
4
【答案】(1)一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=
x
(2)15
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(3)−21
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0,2)得到OD=2，再解直角三角形得到OC=1，则C(−1,0)，据此利用待定系数法求出一
次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据S =S +S ，求
△ABE △CBE △ACE
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=k x+2中，当x=0时，y=2，
1
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵tan∠ACO=2，
OD
∴在Rt△CDO中，tan∠DCO= =2，
OC
∴OC=1，
∴C(−1,0)，
把C(−1,0)代入y=k x+2中得：0=−k +2，解得k =2，
1 1 1
∴一次函数解析式为y=2x+2，
在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=1，
∴A(1,4)，
k k
把A(1,4)代入y= 2中得：4= 2，解得k =4，
x 1 2
4
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：联立¿
解得¿或¿，
∴B(−2,−2)；
设E(e,0)，
由题意得，BD=ED，
∴(−2−0) 2+(−2−2) 2=(e−0) 2+(0−2) 2，
解得e=4或e=−4（舍去），
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∴E(4,0)，
∴CE=4−(−1)=5，
∴S =S +S
△ABE △CBE △ACE
1 1
= CE⋅y + CE⋅|y |
2 A 2 B
1 1
= ×5×4+ ×5×2
2 2
=15；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为−21，
k
∴关于x的不等式k x+2> 2的解集为−21．
1 x
解题思路：
1.设动点P的坐标为 ，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
1
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
2
交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点C的坐标为(0,−3)，连接BC．
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(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．
1 5
【答案】(1)y= x2− x−3
2 2
9
(2) √5
5
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
1 5
（2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为(x, x2− x−3)，
2 2
1 1
则点D的坐标为(x, x−3)，根据S = PD⋅OB求出面积的最大值，然后求高PN即可．
2 △PBC 2
【详解】（1）解：把(−1,0)和(0,−3)代入得：
¿，解得¿，
1 5
∴二次函数的解析式为y= x2− x−3；
2 2
1 5
（2）解：令y=0，则0= x2− x−3，解得：x =−1，x =6，
2 2 1 2
∴点B的坐标为(6,0)，
∴BC=√OB2+OC2=√32+62=3√5，
设直线BC的解析式为y=mx+n，代入得：
¿，解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y= x−3，
2
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
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1 5 1
设点P的坐标为(x, x2− x−3)，则点D的坐标为(x, x−3)，
2 2 2
1 1 5 1
∴PD= x−3−( x2− x−3)=− x2+3x，
2 2 2 2
1 1 1 3 27
∴S = PD⋅OB= ×6(− x2+3x)=− (x−3) 2+ ，
△PBC 2 2 2 2 2
27
∴△PBC最大为 ，
2
2S 27 9√5
∴PN= △PBC = = ．
BC 3√5 5
2．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的
坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求点D的坐标．
2
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐标．
【答案】(1)y=−4x+4
(2)(−2,0)或(4,0)
(18 8)
(3) ,− 或(−6,16)
7 7
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【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全
等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先求得A(2,0),B(0,4)，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）先求出S =4，进而得到△BCD的面积为6，如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，然后根
△AOB
据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：OC=1 OE=2，如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°，再证
明△OCE≌△DGC(AAS)可得DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，即G(3,−1)；再求出直
1
线EG的解析式为y= x−2，再与直线y=−2x+4即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的
3
对称点，则点F的坐标为(−1,1)，再求出直线EF的解析式为y=−3x−2，再与直线y=−2x+4即可确定
点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(2,0),B(0,4)，
∵点C 的坐标为(1,0)，
∴设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
∴直线BC的函数表达式为y=−4x+4．
（2）解：∵A(2,0),B(0,4)，
∴OA=2,OB=4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×4×2=4，
△AOB 2 2
3 3
∴△BCD的面积为 S = ×4=6，
2 △AOB 2
如图：设D的坐标为(d,0)，则CD=|d−1|，
1
则 |d−1|×4=6，解得：d=−2或4．
2
∴点D的坐标为(−2,0)或(4,0)．
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（3）解：∵C(1,0)，E(−2,0)，
∴OC=1，OE=2，
如图：过C作CG⊥CE且CG=CE，∠GCD+∠OCE=90°
∴△CEG是等腰三角形，即∠CEP=45°,
过G作GD⊥x轴，垂足为D，
∴∠GCD+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠OCE，
∴△OCE≌△DGC(AAS)，
∴DG=OC=1,CD=OE=2，即OD=OC+CE=3，
∴G(3,−1)，
设直线EG的解析式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
1
∴直线EG的解析式为y= x−2，
3
18
联立¿，解得：x= ，
7
(18 8)
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P ,− ；
7 7
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如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为(−1,1)，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
则¿，解得：¿，
∴直线EG的解析式为y=−3x−2，
联立¿，解得：x=−6，
∴直线EG与直线AB的交点即为所求点P(−6,16)．
(18 8)
综上，点P的坐标为 ,− 或(−6,16)．
7 7
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数y=−x2+2ax−4a+8．
(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数y=−x2+2ax−4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN
（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)a≤2
(3)△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3
【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；
（2）求出二次函数的对称轴x=a，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求
出a的取值范围；
（3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为 ，设抛物线对称轴 交 于点B，设
(a,a2−4a+8) x=a MN
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，根据等边三角形 得到 ，从而 ，把点M代入解
BM=BN=n AMN AB=√3n M(a−n,a2−4a+8−√3n)
析式，解得n=√3，从而可求出△AMN的面积，即可解答．
【详解】（1）解：令y=0，则−x2+2ax−4a+8=0，
∵Δ=(2a) 2−4×(−1)×(−4a+8)=4(a−2) 2+16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为x=a，
∵当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，
∴a≤2．
（3）解：∵y=−x2+2ax−4a+8=−(x−a) 2+a2−4a+8，
∴抛物线顶点A的坐标为(a,a2−4a+8)，
设抛物线对称轴x=a交MN于点B，则BM=BN，
∵△AMN是抛物线的内接正三角形，
AB
∴ =tan∠AMB=tan60°=√3，
BM
∴AB=√3BM=√3BN，
设BM=BN=n，则AB=√3n，
∴M(a−n,a2−4a+8−√3n)，
∵点M在抛物线上，
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∴a2−4a+8−√3n=−(a−n−a) 2+a2−4a+8，
整理得n2−√3n=0，
解得n=√3或n=0（不合题意，舍去）
∴MN=2BM=2√3，AB=3，
1 1
∴S = MN⋅AB= ×2√3×3=3√3，
△AMN 2 2
∴△AMN的面积是与a无关的定值，该定值为3√3．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边
三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
题型六： 函数的整点问题
1．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，
具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，
也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数
y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)见解析
(2)a=0或a=−1或a=1或a=−2
1 1
【分析】（1）分a=− 与a≠− 两种情况讨论论证即可；
2 2
1 1
（2）当a=− 时，不符合题意，当a≠− 时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，令y=0，
2 2
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4a−4 1
得(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，从而有x= 或x=− ，根据整数a，使图象T与x轴的公共
2a+1 2
点中有整点，即x为整数，从而有2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或
2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，解之即可．
1
【详解】（1）解：当a=− 时，4a+2=0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为一次函数
2
1
y=12x+6，此时，令y=0，则12x+6=0，解得x=− ，
2
( 1 )
∴一次函数y=12x+6与x轴的交点为 − ，0 ；
2
1
当a≠− 时，4a+2≠0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为二次函数，
2
∵y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
∴Δ=(9−6a) 2−4(4a+2)(−4a+4)
=81−108a+36a2+64a2−32a−32
=100a2−140a+49
=(10a−7) 2≥0，
1
∴当a≠− 时，y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4与x轴总有交点，
2
∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
1
（2）解：当a=− 时，不符合题意，
2
1
当a≠− 时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
2
令y=0，则(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，
∴[(2a+1)x−(4a−4)](2x+1)=0，
∴(2a+1)x−(4a−4)=0或2x+1=0
4a−4 1
∴x= 或x=− ，
2a+1 2
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6
∵x=2− ，整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，即x为整数，
2a+1
∴2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，
1 3 5 7
解得a=0或a=−1或a= （舍去）或a=− （舍去）或a=1或a=−2或a= （舍去）或a=− （舍去），
2 2 2 2
∴a=0或a=−1或a=1或a=−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟
练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是
解题的关键．
k
2．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数y= (k>0,x>0)的图象为G，直线
x
1
l:y=− x+b经过点A(2,3)，与图象G交于B，C两点．
2
(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点P(m,n)在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接OP．若S >3，求m的取值范围；
△OPQ
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的
边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数．
【答案】(1)4，画图见解析
( 3)
(2)① 4, ；②23，整理得(m−2)(m−6)<0，
2 2 2
得出不等式组¿或¿，然后解不等式组即可；
（3）分别画出k=1，k=2，k=3，k=4，k=5的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答
案．
1
【详解】（1）解：∵直线l:y=− x+b经过点A(2,3)，
2
1
∴− ×2+b=3，
2
∴b=4，
画图，如下：
；
（2）解：点B与点A(2,3)重合时，
∴k=2×3=6，
6
∴y= ，
x
1
由（1）知：直线l解析式为y=− x+4，
2
联立方程组¿，
解得¿或¿，
( 3)
∴点C的坐标为 4, ；
2
②∵点P(m,n)在第一象限内且在直线l上，
1
∴n=− m+4，
2
( 1 )
∴P m,− m+4 ，
2
∵PQ⊥x，
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1
∴OQ=m，PQ=− m+4，
2
∵S >3，
△OPQ
1 ( 1 )
∴ m − m+4 >3，
2 2
整理得m2−8m+12<0，即(m−2)(m−6)<0
∴¿或¿，
∴20,x>0)的图象G与直线l:y=− x+4所围成的封闭区域（含边界）为W，当区
x 2
域W的边界上有5个整点时，
当k=1时，图象如下：
区域W的边界上有4个整点，即(1,1),(2,3),(4,2),(6,1)，不符合题意；
当k=2时，图象如下：
区域W的边界上有5个整点，即(1,2),(2,1),(2,3),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=3时，图象如下：
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区域W的边界上有5个整点，即(1,3),(2,3),(3,1),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=4时，图象如下：
区域W的边界上有5个整点，即(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(6,1)，符合题意；
当k=5时，图象如下：
区域W的边界上有4个整点，即(2,3),(4,2),(5,1),(6,1)，不符合题意；
∴10）经过点 (2,2)和点M (4,n)，经过双曲线上的点
x
k
A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线 y= （x>0
x
）及线段OM之间的部分 （阴影部分），解决下列关于G （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整
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数）的问题：
（1）G内整点的个数最多有 个；
（2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是 ．
7 11
【答案】 5 0）经过点 (2,2) 点M (4,n)，
x
4
∴k=2×2=4，反比例函数解析式为y= ，
x
∴n=1，M(4,1)
当A点在C的左侧时，
G内整点的个数最多有(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(3,1)共5个点
故答案为：5．
k 1
（2）∵M(4，1)，设直线OM的解析式为y= 1，则k =
x 1 4
1
∴y= x，
4
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∵AB平行于OM
1
设AB的解析式为y= x+m
4
若G内整点的个数为4，则A点在C点的右侧，或与C点重合，即x ≥1
A
1 11
当AB经过点C(1,4)时，4= ×1+m，解得：m=
4 4
1 7
当AB经过点(1,2)时，2= ×1+m，解得：m=
4 4
∵整点有4个(1,2),(1,1),(2,1),(3,1)，则AB不经过(1,2)
7 11
∴ 0)与
x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛
物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐
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标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)AB=4
10
(2)tan∠ABD=
3
(3)抛物线L'与L交于定点(3,0)
【分析】（1）根据题意可得ax2−2ax−3a=0，整理得x2−2x−3=0，即可知A(−1,0),B(3,0),则有
AB=4；
（2）由题意得抛物线L：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，则C(1,−4),设D(n,n2−2n−3), (00)，由于过点A'，B'可求得抛物线L'
解析式为y=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a，根据ax2−2ax−3a=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a解得
x=3，即可判断抛物线L'与L交于定点(3,0)．
【详解】（1）解：∵抛物线L：y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点，
∴ax2−2ax−3a=0，整理得x2−2x−3=0，解得x =−1,x =3,
1 2
∴A(−1,0),B(3,0),
则AB=3−(−1)=4；
（2）当a=1时，抛物线L：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
则C(1,−4),
1 1
设D(n,n2−2n−3), (00)，
∵点A'，B'都落在抛物线L'上
∴¿
解得¿，
则抛物线L'解析式为y=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a
∵ax2−2ax−3a=ax2+(−2an−4a)x+6an+3a
整理得(n+1)x=3n+3，解得x=3，
∴抛物线L'与L交于定点(3,0)．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、
等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数y=kx2+(2k+1)x+2（k为正整数）．
(1)若函数y=kx2+(2k+1)x+2的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此
函数的解析式；
T11−T9−2T7+2T5+T3−T
(2)无论k为何值，该函数都经过定点M(s,t)，且T+3=st，求 的值．
T4−2T2+1
【答案】(1)y=x2+3x+2
(2)−2400
【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，幂的混合运算等知识．
1
（1）先解kx2+(2k+1)x+2=0，解出x =−2，x =− ．根据已知条件即可得出k=1，进而求出函数的
1 2 k
解析式．
（2）由二次函数与y轴的交点可知函数图象经过定点(0,2)，结合条件可得出T=−3，再计算幂的混合运
算，最后代入T=−3求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得k≠0，令y=0，则kx2+(2k+1)x+2=0，
1
解得x =−2，x =− ．
1 2 k
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∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴该函数的解析式为y=x2+3x+2．
（2）解：∵当x=0时，y=2，
∴函数图象经过定点(0,2)，
∵s=0，t=2
∴T+3=st=0×2=0，
∴T=−3，
T11−T9−2T7+2T5+T3−T
∴
T4−2T2+1
T9(T2−1)−2T5(T2−1)+T(T2−1)
=
(T2−1) 2
T9−2T5+T
=
T2−1
T(T8−2T4+1)
=
T2−1
T(T4−1) 2
=
T2−1
T(T4−1)(T4−1)
=
T2−1
T(T4−1)(T2−1)(T2+1)
=
T2−1
=T(T4−1)(T2+1)
=(−3)×(81−1)×(9+1)
=(−3)×80×10
=−2400．
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【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化
而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌
握好定点问题的本质即可快速解决.
解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成
即经过的顶点坐标为（a，b）.
1．（2023·湖北武汉·一模）已知二次函数y=ax2+6的图象经过点P(4,2)，直线AB与抛物线相交于A、B
两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为y=kx−4k−3，且△PAB的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若∠APB=90°，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
1
【答案】(1)y=− x2+6
4
√29 √29
(2)k=−2+ 或k=−2−
2 2
(3)C(−4,−2)
【分析】（1）把P(4,2)代入函数解析式即可得到答案；
1
（2）先求出D(4,−3)，可得PD=5，结合S = ⋅PD⋅|x −x |=35，可得方程
△ABP 2 B A
x2+4kx−16k−36=0，结合|x −x |=14，即可求解；
B A
（3）设A ( m,− 1 m2+6 ) ，B ( n,− 1 n2+6 ) ，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，
4 4
垂足分别为N、M，由AN:PM=PN:BM可得(m+4)(n+4)=−16，联立方程组¿，可得m+n=−4t，
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mn=4b−24，进而即可求解.
【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+6的图象经过点P(4,2)，
1
∴16a+6=2，解得a=− ，
4
1
∴抛物线的解析式为：y=− x2+6；
4
（2）如图1，已知直线AB的解析式为y=kx−4k−3，
令x=4，则y=−3，
∴直线AB过定点D(4,−3)，
∵P(4,2)，
∴PD∥y轴，PD=5，
1
∴S = ⋅PD⋅|x −x |=35，
△ABP 2 B A
∴|x −x |=14，
B A
1
令− x2+6=kx−4k−3，整理得x2+4kx−16k−36=0，
4
∴x +x =−4k，x ⋅x =−16k−36，
B A B A
∴|x −x | 2=(x +x ) 2−4x ⋅x =142，
B A B A B A
整理得16k2+64k−52=0，
√29 √29
解得k=−2+ 或k=−2− ；
2 2
（3）设A ( m,− 1 m2+6 ) ，B ( n,− 1 n2+6 ) ，
4 4
如图2，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析
式为y=tx+b，
∵∠APB=90°，△PAN∽△BPM，
∴AN:PM=PN:BM，
1 1
2+ m2−6 (m+4)(m−4)
4 4−m 4 4−m
∴ = ，即 = ，
n−4 1 n−4 1
2+ n2−6 (n−4)(n+4)
4 4
∴(m+4)(n+4)=−16，
∴mn+4(m+n)+32=0①，
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联立方程组¿，
1
∴
x2+tx+b−6=0，
4
∴m+n=−4t，mn=4b−24②，
将②代入①，得化简，得b=−4t−2，
∴直线AB的解析式为y=tx+4t−2，即y=t(x+4)−2，
∴直线AB经过定点C(−4,−2)．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关
键.
题型八： 函数的定值问题
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线y =x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将
1
抛物线y 向右平移两个单位长度，得到抛物线y ，点P是抛物线y 在第四象限内一点，连接PA并延长，
1 2 1
交抛物线y 于点Q．
2
(1)求抛物线y 的表达式；
2
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(2)设点P的横坐标为x ，点Q的横坐标为x ，求x −x 的值；
P Q Q P
(3)如图②，若抛物线y =x2−8x+t与抛物线y =x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线
3 1
y 和y 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m−n|
1 3
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)y =x2−6x+8；
2
(2)4；
(3)|m−n|是定值，|m−n|=6．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程
根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出y =x2−2x=(x−1) 2−1，再根据平移规律即可求出抛物线y 的表达式；
1 2
（2）设点P的坐标为(m,m2−2m)，待定系数法求出直线AP的解析式为y=mx−2m，联立y=mx−2m
与y =x2−6x+8得到x2−6x+8=mx−2m，解得x =4+m，即可求出答案；
2 ❑Q
（3）由（1）可得，y =x2−2x，与y =x2−8x+t联立得到x= 1 t，求出点C的坐标为 (1 t, 1 t2− 1 t ) ，
1 3 6 6 36 3
( 1 ) 1
又由点M的坐标为(m,m2−2m)，利用待定系数法求出直线CM的解析式为y= m+ t−2 x− tm，与
6 6
y =x2−8x+t联立得到x2− ( m+ 1 t+6 ) x+ ( 1+ 1 m ) t=0，则x +x =m+ 1 t+6，得到
3 6 6 ❑C ❑N 6
1 1
t+n=m+ t+6，即可得到n−m=6，得到定值．
6 6
【详解】（1）解：∵抛物线y =x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，
1
∴¿，
解得¿，
∴y =x2−2x=(x−1) 2−1，
1
∵抛物线y 向右平移两个单位长度，得到抛物线y ，
1 2
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∴y =(x−1−2) 2−1=(x−3) 2−1=x2−6x+8
2
即y =x2−6x+8
2
（2）解：设点P的坐标为(m,m2−2m)，设直线AP的解析式为y=kx+t，把点A和点P的坐标代入得到，
则¿
解得¿，
∴直线AP的解析式为y=mx−2m，
联立y=mx−2m与y =x2−6x+8得到
2
x2−6x+8=mx−2m，
解得x =4+m，
❑Q
则x −x =4+m−m=4
Q P
（3）解：由（1）可得，y =x2−2x，与y =x2−8x+t联立得到，x2−2x=x2−8x+t，
1 3
1
解得x= t，
6
此时y= (1 t ) 2 −2× 1 t= 1 t2− 1 t
6 6 36 3
∴点C的坐标为 (1 t, 1 t2− 1 t ) ，
6 36 3
∵点M的横坐标为m，且在y =x2−2x上，
1
∴y=m2−2m
即点M的坐标为(m,m2−2m)
设直线CM的解析式为y=rx+s，把点C和点M的坐标代入得到，
则¿
解得¿，
( 1 ) 1
∴直线CM的解析式为y= m+ t−2 x− tm，
6 6
与y =x2−8x+t联立得到，
3
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( m+ 1 t−2 ) x− 1 tm=x2−8x+t，
6 6
整理得到，x2− ( m+ 1 t+6 ) x+ ( 1+ 1 m ) t=0
6 6
1
则x +x =m+ t+6，
❑C ❑N 6
1 1
即 t+n=m+ t+6，
6 6
即n−m=6，
即|m−n|=6为定值．
2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A(−2,5)，点P(x ,y )，Q(x ,y )是
1 1 2 2
此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点
S
C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x =x +3，求证 △PDQ的值为定值；
2 1 S
△ADC
(3)如图2，点P在第二象限，x =−2x ，若点M在直线PQ上，且横坐标为x −1，过点M作MN⊥x轴
2 1 1
于点N，求线段MN长度的最大值．
【答案】(1)y=−x2+9
(2)为定值3，证明见解析
37
(3)
4
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【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB的解析式，P(x ,−x 2+9)，则Q(x +3,−(x +3) 2+9)，D(x ,−x +3)，表示出
1 1 1 1 1 1
S
PD=(x+2)(−x+3)，CD=−x +3，代入 △PDQ 即可求解；
1 S
△ADC
（3）设P(x ,−x 2+9)，则Q(−2x ,−4x 2+9)，求出直线PQ的解析式，把x=x −1代入即可求出线段
1 1 1 1 1
MN长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数y=−x2+c的图像经过点A(−2,5)，
∴5=−4+c，
∴c=9，
∴y=−x2+9；
（2）当y=0时，0=−x2+9，
∴x =−3,x =3，
1 2
∴B(3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴y=−x+3，
设P(x ,−x 2+9)，则Q(x +3,−(x +3) 2+9)，D(x ,−x +3)，
1 1 1 1 1 1
∴PD=−x 2+9−(−x +3)=−x 2+x +6=(x +2)(−x +3)，CD=−x +3．
1 1 1 1 1 1 1
S (x +2)(−x +3)(x +3−x )
∴ △PDQ = 1 1 1 1 =3，
S (−x +3)(x +2)
△ADC 1 1
S
△PDQ
∴ 的值为定值；
S
△ADC
（3）设P(x ,−x 2+9)，则Q(−2x ,−4x 2+9)，
1 1 1 1
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∴¿，
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∴¿，
∴y=x x−2x 2+9，
1 1
当x=x −1时，
1
y=x (x −1)−2x 2+9=− ( x + 1) 2 + 37 ，
1 1 1 1 2 4
1 37
∴当x=− 时，线段MN长度的最大值 ．
2 4
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二
次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动
中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去
参数后即得定值.
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A,B(1,0)两点，与y轴交于点C，且OA=OC=3OB．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点G为抛物线上一点，点H为y轴上一点，当以A,C,G,H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边
形时，求点G的坐标；
(3)若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y=kx+k−2交抛物线于D,E两点，直线ND交x轴于
点P，直线NE交x轴于点Q．试探究：MP⋅MQ是否为定值？若为定值，求出MP⋅MQ的值；若不是定
值，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x−3
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(2)G(3,12)
(3)8
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求出A(−3,0),C(0,3)，将三个点代入函数表达式求解即可；
（2）根据题意设G(g,g2+2g−3)，H(0,h)，分两种情况进行讨论，当AG为平行四边形对角线时；以
及AH为平行四边形对角线时，即可得到答案．
（3）设D(m,m2+2m−3)，E(n,n2+2n−3)，求出mn=−k−1,m+n=k−2，根据题意求出
3−m 3−n
P( ,0)，Q( ,0)，即可求出答案．
m+1 n+1
【详解】（1）解：∵B(1,0),OA=OC=3OB
∴A(−3,0),C(0,3)，
将A(−3,0),B(1,0),C(0,3)代入，
¿，解得¿，
∴该抛物线的函数表达式为y=x2+2x−3；
（2）解：∵点G为抛物线上一点，
设G(g,g2+2g−3)，
∵点H为y轴上一点，
设H(0,h)，
当以A,C,G,H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形时，
①AG为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式，
¿，
解得g=3，
∴G(3,12)，
②AH为平行四边形对角线时，
¿，
解得g=−3，
∴G(−3,0)，
此时点G和点A重合，故该情况不成立，
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综上所述，点G的坐标G(3,12)；
（3）解：设MP⋅MQ的值为定值，
∵ D、E为抛物线上两点，
∴设D(m,m2+2m−3)，E(n,n2+2n−3)，
∵ D、E为直线与抛物线的交点，
联立得：x2+2x−3=kx+k−2，
得：x2+(2−k)x−k−1=0，
∴mn=−k−1,m+n=k−2，
∵ N为抛物线的顶点，
∴N(−1,−4)，
∵ D(m,m2+2m−3)，
y+4 x+1
∴l 表示为： = ，
ND m2+2m−3 m+1
得y=(m+1)x+m−3，
∵直线ND交x轴于点P，
3−m
∴令y=0，得(m+1)x+m−3=0，解得x= ，
m+1
3−m
∴P( ,0)，
m+1
∵ E(n,n2+2n−3)，
y+4 x+1
∴l 表示为： = ，
NE n2+2n−3 n+1
得y=(n+1)x+n−3，
3−n
∴令y=0，得(m+1)x+m−3=0，解得x= ，
n+1
3−n
∴Q( ,0)，
n+1
∵ M为线段AB的中点，
∴M(−1,0)，
| −4 |
∴MP=|x −x |= ，
m p m+1
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|−4 |
MQ=|x −x |= ，
m Q n+1
| −4 −4 | | 16 | | 16 |
∴MP⋅MQ= ⋅ = = =8，
m+1 n+1 mn+m+n+1 −k−1+k−2+1
故MP⋅MQ的值为定值，为8．
题型九： 最值问题
1．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
且x ）：
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x =1，2；
(2)−4x −x ，利用不等式性质变形，即①可判断 ．
1 3 4 2 2 1 4 3
（2）根据题意得到30 x=0
2 4 2
9
时，y=c，当x=1时，y=1+b+c，由y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
16
当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时， 当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
63
① ② ③关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：∵ y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x x −x ，
2 1 4 3
∴ x −x >x −x ，即 x −x < x −x ；
2 4 1 3 1 3 2 4
∴ x +x >x +x ，即 ② x +x > x +x ．
2 3 1 4 2 3 1 4
故答案为；=；<；>；
③
（2）解：∵ x =1，20；
2
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=1+b+c，
b
当− ≥1，则b≤−2，
2
①
那么，在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，
9 25
有c−(1+b+c)= ，解得b= − （不符合题意，舍去）；
16 16
1 b
当 ≤− <1，解得−22×√2×8=8
1 1 √1 1 1
+ >2× × =
3 12 3 12 3
1 √1
+2>2× ×2=2
2 2
3+3=2×√3×3=6
1 1 √1 1 2
+ =2× × =
5 5 5 5 5
发现结论：如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
解释证明：
当a≠b时，
∵(√a−√b)
2>0
∴a−2√ab+b>0
∴a+b>2√ab
当a=b时，
∵(√a−√b)
2=0
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∴a−2√ab+b>0
∴a+b=2√ab
∴如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
任务：
2
(1)对于函数y=x+ (x>0)，当x等于___________时，函数y有最___________值（填“大”或“小”），
x
这个值是___________；
5
(2)对于函数y=− −x(x>−1)，当x等于___________时，函数y有最___________值，这个最值是
x+1
___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了
100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃ABCD的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或
所学知识求解该问题．
【答案】(1)√2，小，2√2，
(2)√5−1，大，−2√5+1；
50 2500
(3)当AB长为 米时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积是 平方米
3 3
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答；
( 5 ) ( 5 )
（2）先整理原式得y=− +x+1 +1(x>−1)，计算化简得− +x+1 +1≤−2√5+1，结合题
x+1 x+1
干的结论，即可作答．
（3）设AB的长为x米，建立S =−3x2+100x，根据二次函数的性质，即可作答．
ABCD
2 √ 2
【详解】（1）解：依题意，得y=x+ ≥2 x· =2√2(x>0)
x x
2
当x= 时，即x=√2（负值已舍去），有最小值，
x
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2
把x=√2代入y=x+ (x>0)
x
得y = 2√2；
min
故答案为：√2，小，2√2，
（2）解：依题意
5 ( 5 )
y=− −x=− +x+1 +1(x>−1)
x+1 x+1
5 √ 5
∵ +x+1≥2 ⋅(x+1)=2√5
x+1 x+1
( 5 )
∴− +x+1 +1≤−2√5+1
x+1
5
当 =x+1时，有最大值，且−2√5+1
x+1
此时5=(x+1) 2，
解得x =√5−1，x =−√5−1<−1（舍去）
1 2
故答案为：√5−1，大，−2√5+1；
（3）解：设AB的长为x米，
( 100)
则BC+3x=100 02时，分别求出点M的坐标即可．
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【详解】（1）解：把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3(a≠0)得：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：PA−PD存在最大值；
把x=0代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
连接PC、PD、PA，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴PC=PD，
∴PA−PC=PA−PD，
∴当PA−PC最大时，PA−PD最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，PA−PC最大，即当点P在点P'时，PA−PD最大，
∴PA−PD最大值为：AC=√12+32=√10．
（3）解：过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点E，如图所示：
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∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90°，
MN 2
∴tan∠MCN= = ，
CM 3
设点M的坐标为：(m,−m2+2m+3)，
∴DM=|−m2+2m+3−3|=|−m2+2m|，NE=|m−1|，
∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，
∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，
∴∠DCM=∠NME，
∴△CDM∽△MEN，
NE MN 2
∴ = = ，
DM CM 3
|m−1| 2
=
∴ ，
|−m2+2m| 3
∴2|−m2+2m|=3|m−1|，
当m≤0时，−m2+2m≤0，m−1<0，则：
2m2−4m=3−3m，
3
解得：m =−1，m = （舍去），
1 2 2
此时点M坐标为：(−1,0)；
当00，m−1≤0，则：
−2m2+4m=3−3m，
1
解得：m =3（舍去），m =
1 2 2
(1 15)
此时点M坐标为： , ；
2 4
当10，则：
−2m2+4m=3m−3，
3
解得：m = ，m =−1（舍去），
1 2 2
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(3 15)
此时点M坐标为： , ；
2 4
当m>2时，−m2+2m<0，m−1>0，则：
2m2−4m=3m−3，
1
解得：m =3，m = （舍去），
1 2 2
此时点M坐标为：(3,0)；
(1 15) (3 15)
综上分析可知：点M坐标为：(−1,0)或 , 或 , 或(3,0)．
2 4 2 4
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数
m
y= (x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
1
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF= AB时，求a的值．
2
6
【答案】(1)一次函数的表达式为y=−2x+8，反比例函数的表达式为y=
x
(2)点P的坐标为(0,5)
(3)a=6或a=10
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解
析式是解题的关键．
6
（1）根据已知条件列方程求得m=6，得到反比例函数的表达式为y= ，求得B(3,2)，解方程组即可得到
x
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结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的
性质得到E(−1,6)，得到直线BE的解析式为y=−x+5，当x=0时，y=5，于是得到点P的坐标为(0,5)；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后得直线EF的解析式为y=−2x+8−a，得到
(8−a )
E ,0 ．F(0，8−a)，根据勾股定理即可得到结论．
2
m
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，
x
m
∴ =6，
1
∴m=6，
6
∴反比例函数的表达式为y= ，
x
6
把B(n,2)代入y= 得，
x
6
2= ，
n
∴n=3，
∴B(3,2)，
把A(1,6)，B(3,2)代入y=kx+b得，
¿，
解得¿，
∴一次函数的表达式为y=−2x+8；
（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
此时，△PAB的周长最小，
∵点A(1,6)，
∴E(−1,6)，
设直线BE的解析式为y=mx+c，
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∴¿，
解得¿，
∴直线BE的解析式为y=−x+5，
当x=0时，y=5，
∴点P的坐标为(0,5)；
（3）解：将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y=−2x+8−a，
(8−a )
∴E ,0 ，F(0,8−a)，
2
1
∵EF= AB，
2
∴
√ (8−a) 2
+(8−a) 2=
1
×√(1−3) 2+(6−2) 2，
2 2
解得a=6或a=10．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(−2,0)，C(6,0)，反比
k
例函数y= (k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)m=2，k=8
9 ( 8)
(2)S 最大值是 ，此时P 3,
△PMN 2 3
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【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，把D的坐标代入直线AB的函数
表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=QP，设点P的坐标
( 8) 1
为 t, ，(2−4
∴AN2=(−3+1) 2+n2=4+n2，CN2=12+(n+3) 2=n2+6n+10
①当AN=AC时，4+n2=18，解得：n=√14或n=−√14
②当NA=NC时，4+n2=n2+6n+10，解得：n=−1
③当CA=CN时，18=n2+6n+10，解得：n=√17−3或n=−√17−3（舍去）
综上所述，N(−1,√14)或(−1,−√14)或(−1，−1)或(−1，√17−3)．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
【答案】(1)y=x2−6x+5
(2)存在，(4,−3)或(0,5)或(5,0)
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(3)√41
【分析】（1）根据题意，可求出点A,B的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当∠DAM=90°时；②当∠ADM=90°时；分别求出直线的
解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
1
（3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，可证△PBF∽△ABP，得PF= PA，当点
2
1
C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，运用勾股定理即可求解．
2
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴x=3，AB=4，
∴ A(1,0)，B(5,0)．
∴将A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5，
得¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2−6x+5；
（2）解：存在点M，理由如下：
∵直线AD的解析式为y=kx−1，将A(1,0)代入得
k−1=0
解得：k=1
∴直线AD的解析式为：y=x−1
∵抛物线对称轴x=3与x轴交于点E，
∴当x=3时，y=x−1=2，
∴D(3,2)，
①当∠DAM=90°时，设直线AM交对称轴于点F，
∵A(1,0)，D(3,2)，二次函数对称轴为x=3，
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∴AE=3−1=2，DE=2，DE⊥x轴，
∴△ADE是等腰直角三角形，∠EAD=∠EDA=45°，
∵∠DAM=90°，
∴∠MAE=45°，且∠FEA=90°，
∴△DAE≌△FAE(ASA)，
∴ED=EF=2，
∴点F坐标为(3,−2)，
设直线AM的解析式为y=k x+b ，将点A、F坐标代入，
1 1
得¿，
解得¿，
∴直线AM的解析式为y=−x+1，
解方程组¿，
得¿或¿，
∴点M的坐标为(4,−3)；
②∵A(1,0)，D(3,2)，B(5,0)
∴AD=2√2,DB=2√2,AB=4
∴AB2=AD2+DB2
∴△ABD是直角三角形，
当∠ADM=90°时，根据点A,B关于抛物线对称轴对称，
则直线DM经过点B坐标为(5,0)，
设直线DM的解析式为y=k x+b ，将点D、B坐标代入，
2 2
得¿，
解得¿，
∴直线DM的解析式为y=−x+5，
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解方程组¿，
解得¿或¿，
∴点M的坐标为(0,5)或(5,0)；
综上，点M的坐标为(4,−3)或(0,5)或(5,0)；
（3）解：已知B(5,0)，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，
如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，
∵PB=2
，
BF 1
∴ = ，
PB 2
PB 2 1
∵ = = ，
AB 4 2
BF PB
∴ = ，
PB AB
又∵∠PBF=∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
PF BF 1 1
∴ = = ，即PF= PA，
PA PB 2 2
1
∴PC+ PA=PC+PF≥CF,
2
1
∴当点C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，即为线段CF的长，
2
∵OC=5,OF=OB−1=5−1=4,
∴CF=√OC2+OF2=√52+42=√41，
1
∴PC+ PA的最小值为√41．
2
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的
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计算方法是解题的关键．
题型十二： 特殊平行四边形存在性问题
( 1)
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A −1,− 和点B(2,1)．
2
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点C(m+1,y )，D(m+2,y )都在该二次函数的图象上，试比较y 和y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
(3)点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x2+x+1
2
1 1 1
(2)m>− 时，y >y ；m=− 时，y = y ；m<− 时，y 0时，即m>− 时，y >y ；
2 2 1 2
1 1
当m+ =0时，即m=− 时，y = y ；
2 2 1 2
1 1
当m+ <0时，即m<− 时，y 1，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分BD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称，
∴¿，解得：¿，
∴y=−x2+2x+3；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵−1≤x≤t时，0≤ y≤2t−1，
①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：2t−1=−t2+2t+3，
解得：t=−2或t=2，均不符合题意，舍去；
②当t>1时，则：当x=1时，函数有最大值，即：2t−1=−12+2+3=4，
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5
解得：t= ；
2
5
故t= ；
2
（3）存在；
当y=−x2+2x+3=0时，解得：x =3,x =−1，当x=0时，y=3，
1 2
∴A(3,0)，B(0,3)，
设直线AB的解析式为y=kx+3，把A(3,0)代入，得：k=−1，
∴y=−x+3，
设C(m,−m2+2m+3)(0d
1 2
4
(3)n< 或n>4
3
(4)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用：
（1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出E,F的横坐标，进而求出线段EF的长即可；
（2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间
的关系，进而求出d ,d ，比较大小即可；
1 2
（3）根据增减性，得到点P距离对称轴近，列出不等式进行求解即可；
（4）根据菱形的性质，求出E,F的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分AD为矩形的边和矩形的对角
线两种情况进行讨论求解即可．
1+5
【详解】（1）解：由题意，得：抛物线L 的对称轴为直线x= =3，抛物线L 的对称轴为直线
1 2 2
2+10
x= =6，
2
∴E(3,k)，F(6,k)，
∴EF=6−3=3；
（2）设抛物线L 的解析式为：y=a (x−1)(x−5)，抛物线L 的解析式为：y=a (x−2)(x−10)，
1 1 2 2
∵E(3,k)，F(6,k)，
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∴a (3−1)(3−5)=a (6−2)(6−10)，
1 2
∴a =4a ，
1 2
∴抛物线L 的解析式为：y=4a (x−1)(x−5)，
1 2
∵点M(−7,d )在抛物线L 上，点N(16,d )在抛物线L 上，
1 1 2 2
∴d =4a (−7−1)(−7−5)=384a ，d =a (16−2)(16−10)=84a ，
1 2 2 2 2 2
∵两条抛物线的开口向上，
∴a >0，
2
∴d >d ；
1 2
（3）∵抛物线L 的对称轴为直线x=3，开口向上，
1
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点P(n+3,f )，Q(2n−1,f )在抛物线L 上，且满足f 4；
3
4
∴当n< 或n>4时，f 0)的图象与直线y=x+1交于
x
点A(1,m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P为直线y=x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数
k
y= (x>0)的图象于点Q，当PQ=2时，求a的值；
x
(3)观察图象，直接写出当PQ>2时，a的取值范围．
【答案】(1)m=2,k=2
−3+√17
(2)a=2或
2
−3+√17
(3)a>2或02时，a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵点A(1,m)在直线y=x+1上，
∴m=2，
∴A(1,2)，
∵A(1,2)在反比例函数图象上，
∴k=2，
∴m=2,k=2．
2
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y= ，
x
2
设点P坐标为(a,a+1)，则Q(a, )，
a
2
∴PQ=|a+1− |=2，
a
2
∴a+1− =±2，
a
−3+√17 −3−√17
解得：a=2或−1（舍去）或 或 （舍去），
2 2
−3+√17
∴a=2或 ，
2
−3+√17
（3）由图象可知，当PQ>2时，a>2或00)
①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M，求证：∠BMN=∠BAC．
②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB=∠BAC且GN恰好平分
∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B(1,0)，C(0,−2)；
1+√13 (−1+√13 )
(2)①见解析；②存在，t= ，点G的坐标为 ,1 ．
2 2
【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解．
（2）①设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求出AC的解析式，由中点的性质
( 1 ) ( 1 3) 3
可求得N − ，0 ，进而可求得点M − ，− ，即MN= ，由AO=CO=2，则∠BAC=45°，根
2 2 2 2
( 1 ) ( 1 3)
据B(1，0)，N − ，0 ，M − ，− ，可得MN=BN，再由平行线的性质可得∠MNB=90°，
2 2 2
进而可得∠BMN=45°，进而可求解；②过点G作GH⊥x轴于点H，设点G(a，a2+a−2)，利用相似
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三角形的判定及性质可得(a2+a−2) 2 =a2+a−2，解出方程即可求解．
【详解】（1）解：把A(−2，0)代入y=x2+mx−2得：0=4−2m−2，
解得：m=1，
∴该抛物线的解析式为：y=x2+x−2，
把x=0代入得：y=−2，
∴C(0，−2)；
把y=0代入得：0=x2+x−2，
解得：x =−2，x =1，
1 2
∴B(1，0)．
（2）①如图：
设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，
把A(−2，0)，C(0，−2)代入得：
¿，解得：¿，
∴直线AC的函数解析式为：y=−x−2，
∵A(−2，0)，B(1，0)，点N运动到AB的中点，
( 1 )
∴N − ，0 ，
2
1 1 3
把x=− 代入y=−x−2得：y= −2=− ，
2 2 2
( 1 3) 3
∴M − ，− ，则MN= ，
2 2 2
∵A(−2，0)，C(0，−2)，
∴AO=CO=2，则∠BAC=45°，
( 1 ) ( 1 3)
∵B(1，0)，N − ，0 ，M − ，− ，
2 2 2
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3
∴MN=BN= ，
2
∵MN∥y轴，
∴∠MNB=90°，
∴∠BMN=45°，
∴∠BMN=∠BAC；
②过点G作GH⊥x轴于点H，
由①可得：∠BAC=45°，
∴∠GNB=∠BAC=45°，
∴∠NGH=45°，则GH=NH，
设点G(a，a2+a−2)，
∵A(−2，0)，
∴AH=a+2，GH=a2+a−2，则NH=AH−AN=a+2−t，
∴a+2−t=a2+a−2，整理得：t=4−a2，
∵B(1，0)，
∴BH=a−1，
∵∠GNB=∠GAN+AGN，∠NGH=∠NGB+BGH，
∴∠GAN+AGN=∠NGB+BGH，
∵GN平分∠AGB，
∴∠AGN=∠NGB，
∴∠GAN=∠BGH，
又∵∠GHB=∠AHG=90°，
∴△AGH∽△GBH，
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AH GH a+2 a2+a−2
∴ = ，即 = ，
GH BH a2+a−2 a−1
整理得：(a2+a−2) 2 =a2+a−2，
令a2+a−2=A，则A2=A，
解得：A =0，A =1，
1 2
当A=0时，不符合题意，舍去；
−1+√13 −1−√13
当A=1时，解得：a = ，a = ，
1 2 2 2
7−√13 1+√13 7+√13 1−√13
此时t=4−a2=4− = ，或t=4−a2=4− = （舍），
2 2 2 2
1+√13 (−1+√13 )
综上：存在，t= ，点G的坐标为 ，1 ．
2 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题．
1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3cm．动点P从点A
出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以√3cm/s的速度
沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，
点N在射线AB．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y(cm2)，则能大致
反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】A
【分析】先证明菱形PQMN是边长为x，一个角为60°的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作PD⊥AC于点D，作QE⊥AB于点E，
由题意得AP=x，AQ=√3x，
√3
∴AD=AP⋅cos30°= x，
2
1
∴AD=DQ= AQ，
2
∴PD是线段AQ的垂直平分线，
∴∠PQA=∠A=30°，
∴∠QPE=60°，PQ=AP=x，
1 √3
∴QE= AQ= x，PQ=PN=MN=QM=x，
2 2
当点M运动到直线BC上时，
此时，△BMN是等边三角形，
1
∴AP=PN=BN= AB=1，x=1；
3
当点Q、N运动到与点C、B重合时，
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1 3 3
∴AP=PN= AB= ，x= ；
2 2 2
当点P运动到与点B重合时，
∴AP=AB=3，x=3；
√3 √3
∴当00)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于
x
点A(2,a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
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(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l,l与y= (x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
x
k
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y= (x>0)的图象上时，求点E的坐标．
x
12
【答案】(1)y= ；
x
(2)B(1,3)；
(3)点E(3,4)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，可得△EHB≌△BFA(AAS)，则设点
B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，得到点E(6−2n,4n−2)，根据反比例函数图象上点的坐
标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将A(2,a)代入y=3x得a=3×2=6，
∴A(2,6)，
k k
将A(2,6)代入y= 得6= ，解得k=12，
x 2
12
∴反比例函数表达式为y= ，
x
（2）解：如图，设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，
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12
由y= 可得xy=12，
x
所以3m(m+3)=12，
解得m =1,m =−4（舍），
1 2
∴B(1,3);
（3）解：如图，过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，
∴∠HEB+∠EBH=90°
，
∵点A绕点B顺时针旋转90°，
∴∠ABE=90°,BE=BA，
∴∠EBH+∠ABF=90°，
∴∠BEH=∠ABF，
∴△EHB≌△BFA，
设点B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，
∴点E(6−2n,4n−2)，
∴(4n−2)(6−2n)=12，
3
解得n = ,n =2，
1 2 2
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∴点E(3,4)或(2,6)（舍），此时点E(3,4)．
4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的
长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
S
(3)连接AD，交BC于点F，求 △≝¿ ¿的最大值．
S
△AEF
【答案】(1)y=x2−x−2
(2)l=−t2+2t(02时，可得出 △≝¿ ¿没
AF 3 3 3 S
△AEF
有最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，
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∴ ¿，
解得¿，
∴该抛物线的解析式为：y=x2−x−2；
（2）解：二次函数y=x2−x−2中，令x=0，则y=−2，
∴C(0,−2)，
设直线BC的解析式为：y=kx+m．将B(2,0)，C(0,−2)代入得到：
¿，解得¿，
∴直线BC的解析式为：y=x−2，
∵过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，
∴D(t,t2−t−2)，E(t,t−2)，
∴l=DE=t−2−(t2−t−2)=−t2+2t，
∵点D在直线BC下方的抛物线上，
∴02时，
此时DE=t2−t−2−(t−2)=t2−2t，
DF t2−2t (t−1) 2−1
∴ = = ，
AF 3 3
∵t>1时，t2−2t随着t的增大而增大，
DF
∴ 没有最大值，
AF
S
∴ ( △≝¿ )¿没有最大值，
S
△AEF
如图3，
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当−1
