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大题 02 一次函数、反比例函数与二次函数综合
（13 大题型）
一次函数和反比例函数、二次函数综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容,每年都
有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟等原因导致失分. 从考点频率看，一次函数、反比例函数、
二次函数的图像和性质是考查的基础也是高频考点、必考点. 从题型角度看，一次函数与反比例函数、二
次函数常结合特殊四边形综合，难度较高，解题时要全面考虑，避免遗漏可能出现的情况.
题型一： 动点问题的函数图像
Rt△ABC ∠BAC=90°
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ，
AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点
E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为
x(0−1 B．n>2 C．−1y ，请直接写出满足条件的x的取值范围；
1 2
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点
(2,1).
(1)求k，b的值；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数
y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.
以反比例函数与一次函数为例：
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从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以 的解集为
或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以 的解集为
或 .
y
① ② ③④y=ax+b
A
y =k/x
x
B
O
1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数y=|x|−2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函
数y=|x|−2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y=|x|−2中，自变量x可以是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … −3 −2 −1 0 1 2 4 …
y … 1 0 −1 −2 −1 0 m …
①求m的值；
②若A(a,6)，B(b,6)为该函数图象上不同的两点，求a+b的值．
（3）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画
出该函数的图象；根据函数图象可得：
①求该函数的最小值；
1 ( 4 2)
②已知直线y = x与函数y=|x|−2的图象交于C − ,− ，D(4,2)点，直接写出当y >y时x的取值范
1 2 3 3 1
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围．
题型四： 函数间的交点问题
1．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
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（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于
点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0,n)．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为
M(m+1,m+3)，N(m+1,m)，P(m+5,m)，Q(m+5,m+3)．
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(1)填空：a=______，b=______；
k
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y= 有且只有一个交点，求n2的最大值；
x
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，
直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．
①当m=−3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
以反比例函数与一次函数为例：
已知反比例函数 与一次函数 ，将两个方程联立，构造一元二次方程，
无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：.
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）【阅读理解】：
关于x的函数y=mx−2m−3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标．
方法一：先将等式化为(x−2)m= y+3的形式，再根据0m=0时有m无数多个解，求得定点的坐标为
(2,−3)；
方法二：当m=1时，y=x−5；当m=2时，y=2x−7；
解方程组¿解得¿，
∴求得定点的坐标为(2,−3)；
【模仿练习】
关于x的二次函数y=mx2+(2m+1)x+1（ 为常数，且m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方
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法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−(x−1)(|x|−3)的图象和性质进行了
探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）计算x与y的几组对应值，其中m= ；
列表如下：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 −3 m −3 0 1 0 −3 …
（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出函数y=−(x−1)(|x|−3)这个图象；
（3）若直线y=tx−2t+2与函数y=−(x−1)(|x|−3)(2 2的解集．
1 x
解题思路：
1.设动点P的坐标为 ，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；
3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
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1
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
2
交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点C的坐标为(0,−3)，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．
2．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的
坐标为(1，0)，
(1)求直线BC的函数表达式．
3
(2)点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的 时，求点D的坐标．
2
(3)点E坐标为(0,−2),连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP=45°，求点P坐标．
3．（2025·河北·模拟预测）如图，已知二次函数y=−x2+2ax−4a+8．
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(1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
(2)当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)以二次函数y=−x2+2ax−4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN
（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由．
题型六： 函数的整点问题
1．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重
研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可
用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、
几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数
y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理
由．
k
2．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数y= (k>0,x>0)的图象为G，直线
x
1
l:y=− x+b经过点A(2,3)，与图象G交于B，C两点．
2
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(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点P(m,n)在第一象限内且在直线l上，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接OP．若S >3，求m的取值范围；
△OPQ
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的
边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数．
函数已知，找整点个数 根据整点情况求未知参数
第一步 寻找已知函数图像上的整点作为边 分类讨论，找临界状态时未知参数的取值
界点(线)
第二步 准确画图，确定区域 画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取
值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情
况
第三步 关注是否包含边界上的整点 关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或
范围
注意事 规范作图，防止画图错误导致点错 找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，
项 位的情况发生. 可以找一个整点时的临界状态.
1．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线m:y=b和直线n:y=x−b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的
抛物线L:y=−x2+bx与x轴的右交点为点D．
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(1)若AB=8，求b的值和抛物线L的对称轴；
(2)当点C在m下方时，求顶点C与m距离的最大值；
(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b=2023时“整
点”的个数．
k
2．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 y= （x>0）经过点 (2,2)和点M (4,n)，经过双曲线上的点
x
k
A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线 y= （x>0
x
）及线段OM之间的部分 （阴影部分），解决下列关于G （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整
数）的问题：
（1）G内整点的个数最多有 个；
（2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是 ．
题型七： 函数的定点问题
xOy L
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ：
y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限
上一点．
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(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛
物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐
标；若不是，请说明理由．
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数y=kx2+(2k+1)x+2（k为正整数）．
(1)若函数y=kx2+(2k+1)x+2的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此
函数的解析式；
T11−T9−2T7+2T5+T3−T
(2)无论k为何值，该函数都经过定点M(s,t)，且T+3=st，求 的值．
T4−2T2+1
【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化
而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌
握好定点问题的本质即可快速解决.
解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成
即经过的顶点坐标为（a，b）.
1．（2023·湖北武汉·一模）已知二次函数y=ax2+6的图象经过点P(4,2)，直线AB与抛物线相交于A、B
两点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为y=kx−4k−3，且△PAB的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若∠APB=90°，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
题型八： 函数的定值问题
y =x2+bx+c
1
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点
O(0,0)、A(2,0)，将抛物线y 向右平移两个单位长度，得到抛物线y ，点P是抛物线y 在第四象限内一
1 2 1
点，连接PA并延长，交抛物线y 于点Q．
2
(1)求抛物线y 的表达式；
2
(2)设点P的横坐标为x ，点Q的横坐标为x ，求x −x 的值；
P Q Q P
(3)如图②，若抛物线y =x2−8x+t与抛物线y =x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线
3 1
y 和y 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m−n|
1 3
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A(−2,5)，点P(x ,y )，Q(x ,y )是
1 1 2 2
此二次函数的图像上的两个动点．
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(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点
S
C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x =x +3，求证 △PDQ 的值为定值；
2 1 S
△ADC
(3)如图2，点P在第二象限，x =−2x ，若点M在直线PQ上，且横坐标为x −1，过点M作MN⊥x轴
2 1 1
于点N，求线段MN长度的最大值．
【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二
次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动
中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去
参数后即得定值.
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于
A,B(1,0)两点，与y轴交于点C，且OA=OC=3OB．
(1)求该抛物线的函数表达式；
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(2)若点G为抛物线上一点，点H为y轴上一点，当以A,C,G,H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边
形时，求点G的坐标；
(3)若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y=kx+k−2交抛物线于D,E两点，直线ND交x轴于
点P，直线NE交x轴于点Q．试探究：MP⋅MQ是否为定值？若为定值，求出MP⋅MQ的值；若不是定
值，请说明理由．
题型九： 最值问题
y=x2+bx+c(b<0)
1．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线 与x轴交点的坐标分别
为(x ,0)，(x ,0)，且x ）：
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x =1，22×√2×8=8
1 1 √1 1 1
+ >2× × =
3 12 3 12 3
1 √1
+2>2× ×2=2
2 2
3+3=2×√3×3=6
1 1 √1 1 2
+ =2× × =
5 5 5 5 5
发现结论：如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
解释证明：
当a≠b时，
∵(√a−√b)
2>0
∴a−2√ab+b>0
∴a+b>2√ab
当a=b时，
∵(√a−√b)
2=0
∴a−2√ab+b>0
∴a+b=2√ab
∴如果a>0,b>0，那么a+b≥2√ab（当且仅当a=b时等号成立）
任务：
2
(1)对于函数y=x+ (x>0)，当x等于___________时，函数y有最___________值（填“大”或“小”），
x
这个值是___________；
5
(2)对于函数y=− −x(x>−1)，当x等于___________时，函数y有最___________值，这个最值是
x+1
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___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了
100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃ABCD的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或
所学知识求解该问题．
题型十： 最值问题（线段和/差，周长，面积）
y=ax2+bx+3(a≠0)
1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴
交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若
存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若
2
tan∠MCN= ，求点M的坐标．
3
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数
m
y= (x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
x
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(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
1
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF= AB时，求a的值．
2
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(−2,0)，C(6,0)，反比
k
例函数y= (k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
1）线段和最小问题
图形
A A
B
m
D' D m
D' D
B B'
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为
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为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当 A，D，B 三点共线时，AD+BD 取得最小 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，
值，最小值为AB的长. 最小值为AB'的长.
2）线段差最大问题
图形
A A
B'
B
m
m D' D
D' D
B
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直
直线m 线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值. 上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大
值，最大值为AB的长 值，最大值为AB'的长
3) 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基
本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是
通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作
出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
3 k
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，直线y= x与双曲线y= (k≠0)交于A，B两点，点A的坐
2 x
标为(m,−3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)点M、N是y轴上的动点(M在N上方)且满足MN=1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；
(3)点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP=∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件
的P点的横坐标．
题型十一： 特殊三角形存在性问题
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y=−x2+bx+c x A(−3,0)
1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和
点B，与y轴交于点C(0,3)，点D在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴
交于点C．点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且
S =2S ，求点P的坐标；
△PMC △DMC
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角
形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
题型十二： 特殊平行四边形存在性问题
y=ax2+x+c
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图象经过点
( 1)
A −1,− 和点B(2,1)．
2
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点C(m+1,y )，D(m+2,y )都在该二次函数的图象上，试比较y 和y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
(3)点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点
A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．
(1)求该抛物线的解析式；
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(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤ y≤2t−1，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点
E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线L 交x轴于点A(1,0)，
1
C(5,0)，顶点坐标为E(m ,k)．抛物线L 交x轴于点B(2,0)，D(10,0)，顶点坐标为F(m ,k)，（k≠0
1 2 2
）．
(1)求线段EF的长；
(2)若点M(−7,d )在抛物线L 上，点N(16,d )在抛物线L 上．试讨论d 和d 大小；
1 1 2 2 1 2
(3)若点P(n+3,f )，Q(2n−1,f )在抛物线L 上，且满足f 0)的图象与直线y=x+1交于
x
点A(1,m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P为直线y=x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数
k
y= (x>0)的图象于点Q，当PQ=2时，求a的值；
x
(3)观察图象，直接写出当PQ>2时，a的取值范围．
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，点A在
第一象限，点B在x轴上，C为斜边OA上一点且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），
2 k
已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．
x x
(1)证明：四边形AOBD是平行四边形；
(2)求k的值；
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k
(3)取BD的中点E，证明：直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
4．（2025·陕西咸阳·一模）综合与探究
3 3
如图，抛物线y=− x2+ x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一
4 2
象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接AC，BC，BD，CD．
(1)求A，B，C三点的坐标，并求直线BC的函数表达式；
(2)当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值．
5．（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，
∠CAB=30°，∠CBA=120°．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？
6．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于A(−2,0)，B两点，与y轴交于点C，且顶点
为(2,8)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
1
则BQ+ PQ是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；
2
(3)如图②，连接CA，抛物线上是否存在点M，使得∠BCM+∠OCA=45°，如果存在，请求出直线CM
与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由．
7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线y=x2+mx−2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
点A坐标为(−2,0)．
(1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标．
(2)若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN=t(t>0)
①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M，求证：∠BMN=∠BAC．
②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB=∠BAC且GN恰好平分
∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3cm．动点P从点A
出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以√3cm/s的速度
沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，
点N在射线AB．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y(cm2)，则能大致
反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
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A． B．
C． D．
2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当00)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于
x
点A(2,a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l,l与y= (x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
x
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k
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y= (x>0)的图象上时，求点E的坐标．
x
4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的
长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
S
(3)连接AD，交BC于点F，求 △≝¿ ¿的最大值．
S
△AEF
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像经过原点和点A(4,0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交
于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点A，
与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次
方程x2−4x−12=0的一个根．请解答下列问题：
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(1)求点D的坐标；
(2)若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=3√2，
连接BE，求tan∠ABE的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角
边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
35
