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专题 6 一次函数
1.正比例函数及其性质
正比例函数的一般形式是 ，图象的性质有：(1)当k 时，图象经过第一、三象限，y随x 的
增大而增大；(2)当k 时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.
2.一次函数及其性质
一般地,如果 (k,b是常数,k≠0)，那么y叫作x的一次函数.一次函数的图象是必经过 ，
两点的一条直线.一般地,一次函数y= kx+b(k≠0)有下列性质:(1)当 k 时,y随x 的增大而增大；当k
时，y随x 的增大而减小；(2)当k>0且b>0时，函数图象经过第 象限；当k>0且b<0时，函数图象经过
第 象限；当k<0且b>0时，函数图象经过第 象限；当k<0且b<0时，函数图象经过第
象限.一次函数 y=k(x+m)+b(k≠0)的平移法则是“左右平移 ，上下平移 ， 须牢记，
错不了”.
3.确定一个正比例函数，就是需要确定正比例函数 y= kx(k≠0)中的 .确定一个一次函数，就是需要确
定一次函数 y= kx+b(k≠0)中的常数 和 .解这类问题的一般方法是 .求解与一次函数有关的
图形的面积问题时，一般将其 易求解的三角形、四边形问题来解 决.利用一次函数求实际问题中的最
值问题时首先 ，再根据其性质判断其 ，然后求出图象边缘的点的 所对应的函数值(最大或
最小)即可.
实战演练
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+a²与 y=a²x+a的图象可能是 ( )
2.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数. y=k₁x+b₁与 y=k₂x+b 的图象分别为直线 l 和直线 l，
2 1 2
下列结论正确的是 ( )
A.k₁⋅k₂<0
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B.k₁+k₂<0
C.b₁−b₂<0
D.b₁⋅b₂<0
3.在一次函数 y=-5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大,且 ab>0,则点 A(a,b)在 ( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
4.一辆汽车油箱中剩余的油量 y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量
相同，当油箱中剩余的油量为35 L时，那么该汽车已行驶的路程为 ( )
A.150 km B.165 km
C.125 km D.350 km
5.已知(x ,y),(x ,y),(x ,y)为直线 y=-2x+3上的三个点,且 x₁0,则 y₁y₃>0
B.若x₁x₃<0,则 y₁y₂>0
C.若x₂x₃>0,则 y₁y₃>0
D.若x₂x₃<0,则 y₁y₂>0
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(an B. m=n
C. m3的解集为 .
11.在正比例函数 y= kx 中,y的值 随着 x 值 的增大而增大，则点 P(3,k)在第 象限.
12.将直线 y=-2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 .
13.物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系 y= kx+15.下表是测
量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量.
14.在平面直角坐标系 xOy中,函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3),(-2,0),且与 y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点 A 的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y= kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.
15.在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
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已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓 2k m.小琪从
学生公寓出发，匀速步行了 12 min 到阅览室；在阅览室停留70 min后,匀速步行了 10 min到超市；在超市停留
20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离 y km与离开学生
公寓的时间x min 之间的对应关系.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表:
离开学生公寓
5 8 50 87 112
的时间/ min
离学生公寓
0.5 1.6
的距离/ km
(2)填空:
①阅览室到超市的距离为 km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/ min;
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 min.
(3)当0≤x≤92时,请直接写出 y关于x的函数解析式.
压轴预测
1.如图，已知直角坐标系中的四个点：A(0，2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).直线 AB 和直线CD 的函数表达式分别为
y₁=k₁x+b 和 y₂=k₂x+b₂,则 ( )
1
A.k₁=k₂,b₁>b₂
B.k₁=k₂,b₁b₂
D.k₁≠k₂,b₁0,且 00 <0
2. y= kx+b (0,b) (-b/k,0)
(1)>0 <0
(2)一、二、三 一、三、四 一、二、四二、三、四 在括号 在末梢 左正右负 上正下负
3. k k b 待定系数法 分割成 求出一次函数的解析式 增减性 横坐标
1. D 【解析】本题考查一次函数的图象与性质.由函数关系式可知，当a>0时，两条直线都是 y随x的增大而
增大，可判断四个选项中的函数图象都不符合此条件；当a<0时，一次函数 y=ax+a²的图象是 y随x的增大而
减小，与y轴交于正半轴，一次函数 y=a²x+a的图象是y随x的增大而增大，与y轴交于负半轴，且两直线交
点的横坐标一定为1.综上，故选 D.
2. D 【解析】本题考查一次函数的图象和性质.由函数的图象知 k₁>0,k₂>0,b₁>0,b₂<0,所以
k₁⋅k₂>0,k₁+ k₂>0,b₁−b₂>0,b₁⋅b₂<0,,故选 D.
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3. B 【解析】本题考查一次函数的图象与性质、平面直角坐标系内 点 的 坐标特征. 由题知， 解得
{a<0,
所以点 A(a,b)在第三象限,故选 B.
b<0,
4. A 【解析】本题考查一次函数图象的实际应用.由题图易知，y与x 为一次函数关系，其解析式为
1 1
y=− x+50,令 y=− x+50=35,解得x=150，所以该汽车已行驶的路程为150 km,故选 A.
10 10
5. D
6. B 【解析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系.对于①，由图知，在一次
{y−ax=b,
函数y= mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小，故①错误；对于②，方程组 的解的几何意义
y−mx=n
{x=−3,
是直线y= ax+b与直线y= mx+n的交点坐标,由图知,交点坐标为(-3，2)，所以原方程组的解为 故②正确；
y=2,
对于③，方程 mx+n=0的解的几何意义是直线y= mx+n与x轴的交点的横坐标，由图知，交点的横坐标x=2，所以
原方程的解为x=2，故③正确；对于④，由图知,当x=0时, ax+b=-2,故 ④错误.综上,正确结论的个数是2，故选 B.
3
7. C 【解析】本题考查一次函数的性质.在一次函数 y=2x+1中,k=2>0,∴y随x的增大而增大. ∵√2< ,∴m3.
11.一 【解析】本题考查正比例函数的图象与性质.根据题意可知，正比例函数 y随x 的增大而增大，
∴k>0，∴点(3,k)在第一象限.
12. y=-2x+1 【解析】本题考查直线的平移.将直线y= -2x 向上平移1个单位长度后直线变为y=-2x+1.
13.(1)y=2x+15 (2)2.5kg
(1)利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)将y=20代入函数关系式，求出x的值，即可求解.
解:(1)由表格知,当x=2时,y=19.
于是2k+15=19.
解得 k=2.
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所求函数关系式为 y=2x+15.
(2)当y=20时,2x+15=20.
解得x=2.5.
答:当弹 簧 长 度 为 20 cm 时, 所 挂物 体 的 质 量是 2.5kg.
1
14.(1)y= x+1,A(0,1) (2)n≥1
2
(1)将点(4,3),(-2,0)代入 y= kx+b,解方程组求出k，b的值，从而可求出一次函数的解析式，再令x=0，即可求
出点 A 的坐标；(2)根据题中条件建立不等式结合x>0，解不等式即可求出n的取值范围.
解:(1)将点(4,3),(-2,0)代入 y= kx+b(k≠0),
{ 1
{ 4k+b=3, k= ,
得 解得 2
−2k+b=0,
b=1,
1
所以一次函数的解析式为
y= x+1,
2
令x=0,得y=1,
所以点 A 的坐标为(0,1).
(2)n≥1.
1
由题知，当x>0时， x+n> x+1,所以x>2-2n,
2
所以2-2n≤0,解得n≥1,
所以 n的取值范围为n≥1.
15.(1)0.8,1.2,2 (2)①0.8 ②0.25③10 或 116 (3)当 0≤x≤12 时,y=0.1x;当120,
(2)由题意得 −mx+m<2x+m,解得00,
9
