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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 3 讲正比例函数与一次函数
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 3 讲正比例函数与一次函数
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一次函数和正比例函数的定义
考向二 一次函数的图象及性质
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
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第 3 讲正比例函数与一次函数
一次函数是中考非常重要的函数,年年考查, 总分值为5-10分左右，预计2024年各地中考
一定还会考, 一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与
几何图形综合为主。
→➊考点精析←
一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比
例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意
实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符
函数图象 图象的位置 性质
号
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
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2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，
图象关系
向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象
图象确定
时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
k>0，b>0 一、二、三
y=kx+b
y随x的增大而增大
(k≠0)
k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b
y随x的增大而减小
(k≠0)
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当– >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当– =0，即b=0时，直线经过原点．
③当– <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=kx+b（k≠0）与y=kx+b（k≠0）的位置关系：
1 1 1 2 2 2
①当k=k，b≠b，两直线平行； ②当k=k，b=b，两直线重合；
1 2 1 2 1 2 1 2
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③当k≠k，b=b，两直线交于y轴上一点； ④当k·k=–1时，两直线垂直．
1 2 1 2 1 2
四、待定系数法
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析
式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数 k，b的二元
一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数 一次函数
y=kx+b （ k 是 常 数 ， 且 y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
一般形式
k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
区 k的符号决定其增减性，同 k的符号决定其增减性；b的符号决定
k，b 符号的作
别 时决定直线所经过的象限 直线与y轴的交点位置；k，b的符号
用
共同决定直线经过的象限
求解析式的条 只需要一对x，y的对应值 需要两对x，y的对应值或两个点的坐
件 或一个点的坐标 标
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的
图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
联 ③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向
系 上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线 y=kx+b（k≠0，
b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减
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小．
→➋真题精讲←
考向一 一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
1．（2020·四川中考真题）已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的
值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
2．（2020·四川成都市·九年级二模）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；
（3）y＝ ；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向二 一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画
直线．
2．当k>0时，函数 y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当 k<0时，函数 y=kx
（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
3．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象
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限，则 的值可为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2020·山东济南·中考真题）若m ﹣2，则一次函数 的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向
右平移3个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是
（ ）
A． B．
C． D．
8.（2023·新疆·统考中考真题）一次函数 的图象不经过（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当
时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
10．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点 在直线
上，过点A的直线交y轴于点 ．
(1)求m的值和直线 的函数表达式．
(2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值．
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点
，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转 得到点B，在 ，
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， ， 四个点中，直线 经过的点是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数 的图象经过点 和 ，
则 ________________．
14．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
(3)若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
(4)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
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14．若 与 成正比例，且当 时， .
（1）求 与 的函数关系式
（2）如果点 在该函数图象上，求 的值.
15．若函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．
（1）求该函数的表达式．
（2）将该函数图象沿y轴向上或者向下平移，使其经过（1，﹣2），求平移的方向与距离．
10
