文档内容
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专题 04 一次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一 一次函数的相关概念 知识模块二 一次函数的图象与性质
知识模块三 一次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（4大考点）
考点一：一次函数的图象与性质 考点二：一次函数解析式的确定（含图象变化）
考点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系 考点四：一次函数的实际应用
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：一次函数的平移 易错点2：求直线围成的图形面积
易错点3：一次函数探究性问题 易错点4：一次函数与几何综合
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知识模块一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
知识模块二 一次函数的图象与性质
知识点一：一次函数的图象特征及性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
y y y y y y
图象
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、 一、二、四 二、四 二、三、四
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四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
知识点二：一次函数图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
图象关系
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
图象确定
b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
知识点三：k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
知识点四：两个一次函数表达式（直线l ：y =k x＋b 与l ：y =k x＋b ）的位置关系
1 1 1 1 2 2 2 2
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
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2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
知识点五：用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
知识点六：正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 一次函数
一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
k的符号决定其增减性；
k，b符号 k的符号决定其增减性，
区别
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
的作用 同时决定直线所经过的象限
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
联系
或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
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②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
知识模块三 一次函数的应用
1.一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
【典例1】（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，
某折扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则
与 关系的图象大致是（ ）
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A． B． C． D．
【典例2】（2024·陕西安康·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函数
（a，b是常数，且 ）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 的
横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的
工作时间和加工的零件数， ．若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于 ，
， 大小关系的表述中，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【典例4】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示
的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为 ， ，
则关于 与 的关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】（2024·天津·中考真题）若正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、第三象限，
则 的值可以是 （写出一个即可）．
【典例6】（2024·广东阳江·二模）先从 ， ，0，6四个数中任取一个数记为 ，再从余下的三个数
中任取一个数记为 ．若 ，则正比例函数 的图象经过第一、三象限的概率是 ．
考点二：一次函数解析式的确定（含图象变化）
【典例1】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关
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于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾长
的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
【典例3】（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函
数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为
5kg时，弹簧的长度为 cm，
【典例4】（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，
则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
【典例5】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线
（k，b为常数，且 ）经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的
值为 ．
【典例6】（2024·四川乐山·一模）当 ， 是正实数，且满足 时，就称点 为“友谊
点”．已知点 与点 都在直线 上，点 、 是“友谊点”，且点 在线段 上．
（1）点 的坐标为 ；
（2）若 ， ，则 的面积为 ．
【典例7】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点
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的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ．
【典例8】（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x
轴、y轴分别交于A(−2,0)， 两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量 的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出 与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数 的大致图象；
(3)一次函数 的图象与函数 的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对
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称点为点E，点P是第一象限内函数 图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接 ， ， ．若
的面积为15，求点P的坐标．
【典例9】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 过点 ， ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)设点 在 上，抛物线G： 与 轴交于点 ， （点 在点 右侧），与 轴交于
点 ．
①当 时，试用含 的代数式表示四边形 的面积；
②当 ， ， 中有两点与点 ， 围成的四边形是平行四边形时，求 的函数解析式．
考点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系
【典例1】（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致
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是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示．则下列结论中：① 随 的增大而增大；② ；③．当 时，
；④关于 ， 的方程组 的解为 ，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，
数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式 的解集，某同学绘制了
与 （m，n为常数， ）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解
集在数轴上表示正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【典例4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 为坐标原点， 的两个顶点 ， ，点
在边 上， ，点 为 的中点，点 为边 上的动点，则使四边形 周长最小的点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、
B两点，若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
【典例6】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数 和 ，当 时，函数 的图
象在函数 的图象上方，则a的取值范围为
【典例7】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交
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于点 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围.
【典例8】（2024·陕西咸阳·模拟预测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观
察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数
性质．
(1)绘制函数图象
列表：下列是x与y的几组对应值，其中 ________；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 2 0 m 0 2 4 6 8 …
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描点：根据表中的数值描点 ；
连线：请用平滑的线顺次连接各点，在图中画出函数图象；
(2)探究函数性质
请写出函数 的一条性质：________________；（写一条即可）
(3)运用函数图象及性质
根据图象，求不等式 的解集．
【典例9】（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形 中， ， ，过点A作
于点E， ，动点P从点B出发，沿 运动，到达点D时停止运动．
设点P的运动路程为x， 的面积为 ．
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(1)请直接写出 与x之间的函数关系式以及对应的 的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)若直线 的图象如图所示，结合你所画 的函数图像，直接写出当 时x的取值范围．（保留一位
小数，误差不超过0.2）
【典例10】（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与y轴交于点A，直线
与y轴，x轴交于点B，点C， 与 交于点 ，连接 ，已知 的长为4．
(1)求点D的坐标及直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)若直线 上有一点P使得 的面积等于 的面积，直接写出点P的坐标．
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考点四：一次函数的实际应用
【典例1】（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩
短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的
长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是 ，单层部分的长度是 ，得到几
组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为 ．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的
倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为 ；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为
，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑
曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
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(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的
双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【典例2】（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有 三地，小明从 地跑步到达 地，休
息 后按原速跑步到达 地．小明距 地的距离 与时间 之间的函数图象如图所示．
(1)从 地到 地的距离为______ ；
(2)求出 段的函数表达式：
(3)求小明距 地 时所用的时间．
【典例3】（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批
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航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的
数量是用1800元购买航海模型数量的 ．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且
航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【典例4】（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个
监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经
过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速
度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平
均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶的时间 （时）之间的
函数图象如图所示．
(1) 的值为________；
(2)当 时，求 与 之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
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【典例5】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师
生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有 两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高 ；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
【问题解决】
(1)问题一：求出 两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 元，按问
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【典例6】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘
汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有 型和 型两种车型，若购买 型公交车 辆， 型
公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元．
(1)求购买 型和 型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的 型和 型新能源公交车每辆年均载客量分别为 万人次和 万人次．公司准
备购买10辆 型、 型两种新能源公交车，总费用不超过 万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
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【典例7】（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进 两种型号的电脑，已知每台电脑的进价 型
比 型多 元，用 万元购进 型电脑和用 万购进 型电脑的数量相同．
(1) 两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新， 型号电脑升级为 型号，该商城计划一次性购进 两种型号电脑共 台，
型号电脑的每台售价 元．经市场调研发现，销售 型号电脑所获利润 (万元)与 销售量 台(
)，如图所示，AB为线段， 为抛物线一部分 ( )．若这两种电
脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润 销售总价 总进价)
易错点1：一次函数的平移
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
【典例1】（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 向上平移 个单位长度
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后，与直线 的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ，将
直线 向左平移1个单位长度后得到直线 ．若直线 和直线 恰好重合，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【典例3】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与
轴， 轴交于 ， 两点，将直线 向左平移后与 轴， 轴分别交于点 ，点 ．若 ，则直
线 的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2024·湖南常德·模拟预测）已知点 关于 轴的对称点为 ，且 在直线 上，
把直线 的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为 ．
【典例5】（2024·四川眉山·二模）如图，已知直线 经过点A 且与直线 ： 平行，直
线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．
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(1)求直线 的表达式及其与 轴的交点 的坐标；
(2)判断四边形 是什么四边形？并证明你的结论．
易错点2：求直线围成的图形面积
解题方法：
1.求点---围成图形的顶点坐标。
2.确定底边---找到与坐标轴平行或者在坐标轴上的边长作为底边。
作辅助线：（切割法）过点作 y 轴的平行线切割图形。
3. 求出线段长。
4.带公式求出面积。S△= ×底×高
割补求面积（铅垂法）：
【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线 分别与x
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轴、直线 交于点A、B，则 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【典例2】（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解
析式为 ．
【典例3】（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于
点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线 向上平移3个单位长度与 的图象交于点 ，连接 ，求 的面积．
【典例4】（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线 的解析式为 ，且 与x轴交于点D，直线
经过点 、 ，直线 、 交于点C．
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(1)求直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)试问：在直线 上是否存在异于点C的另一点P，使得 与 的面积相等？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例5】（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交
于点 ，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与 相交于D．点P为线段 上一
点（不与点D，E重合），作直线 ．
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(1)求直线 的表达式及点D的坐标；
(2)若直线 将 的面积分为 两部分，求点P的坐标；
(3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线 的对称点 恰好落在直线 上方的坐标轴上．若存在，
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例6】（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)交 轴于点 ，
交 轴于点 ，与直线 交于点 ，点 是 轴正半轴上一动点，过点 作 轴的垂线，与直线
， 分别交于点 ， ，设点 的横坐标为 ．
(1)求直线y=kx+b(k≠0)的函数表达式；
(2)当 的面积为 时，求 的值；
(3)点 为 轴上一动点，当 为等腰直角三角形时，请直接写出 的值．
【典例7】（2024·河北衡水·二模）在平面直角坐标系中，直线 经过 ，直线
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与x轴交于点C，与直线 交于点D．
(1)求直线 的函数解析式：
(2)求 的面积；
(3)嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好
落在直角坐标系中坐标为 的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变
的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线 恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原
来的a倍，直接写出a的值．
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易错点3：一次函数探究性问题
【典例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针
旋转到 的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，如此下去，……，若点 的坐标为
(0,3)，则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形 ， ， ，…按如图所示的方式放
置，点 ， ， ，…和点 ， ， ，…分别在直线 和 轴上．已知点 ，点
，，则 的坐标是( )
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A． B． C． D．
【典例3】（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线 在第一象限内的一部分，其上有一点 ，且
．过 作 轴于 ，以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，过 作 于
，以 为圆心，以 为半径作弧交 于点 ；过 作 于 ；……，如此重复下
去．则：
（1） 的纵坐标是 ；
（2） 的纵坐标是 ．
【典例4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线 上有点 ，且 ，
， ， 分别过点 作直线 的垂线，交y轴于点
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，依次连接 ，得到 ， ， ，…， ，
则 的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【典例5】（2024·山东泰安·二模）如图，直线 x，点A坐标为(0,1)，过点A作y轴的垂线交直线
l于点 以 为边作等边三角形 ，再过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以 为边作等边三角
形 ，……，按此做法进行下去，点 的坐标为 ．
【典例6】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图放置的 ， ， ， ， ，都是以
， ， ， ， 为直角顶点的三角形，点 ， ， ， ， 都在直线 上，
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，点 在 轴上， ， ，则点 的坐标是
．
【典例7】（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 交
于点 ，过 作x轴的垂线，垂足为 ，过 作 的平行线交 于 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，过
作 的平行线交 于 ，过 作 轴的垂线，垂足为 按此规律，则点 的纵坐标为 ．
【典例8】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线 的解析式为 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，以 为边作正方形 ，点 坐标为 ，过点 作 交 于点 ，交 轴于点
，过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 ，以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．
过点 作 交 于 ，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，连接 ，以
为边作正方形 ， ，则 长为 ．
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【典例9】（2024·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，以
长为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，以点 为圆心，
以 长为半径画弧，交直线 于点 ；过点 作 轴，交直线 于点 ，以点 为圆
心，以 长为半径画弧，交直线 于点 ；过 点作 轴，交直线 于点 ，以点
为圆心，以 长为半径画弧，交直线 于点 ，…，按照如此规律进行下去，点 的坐标为
．
【典例10】（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线 ，直线 和点 ，过点 作 轴
的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点
，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，按此作法进行下去，则点 的横坐标为 ．
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易错点4：一次函数与几何综合
【典例1】（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形 四个顶点的坐标分别是 ， ，
， ，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和 最小， 则P点
坐标为 ．
【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线 ： ，直线 ： ，直线 与直线
交于点A，与直线 交于点B，直线 与直线 交于点C，与直线 交于点D，连接 ，当
是等腰直角三角形时， 的值为 ．
【典例3】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点P在边
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上，过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在
点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【典例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F
为小正方形边的中点，C为 ， 的延长线的交点．
(1) 的长等于___________．
(2)点P在线段 上，点Q在线段 上，且满足 ．请你用无刻度的直尺画出点P，点Q
（保留作图痕迹，不必写出做法）
【典例5】（2024·河北秦皇岛·一模）在平面直角坐标系中，点 ， ，直线 与y
轴相交于点C．
(1)如图1，当A，B关于y轴对称，且直线 经过点A时，求k的值．
(2)如图2，当 时，直线 与线段 存在交点P（不与点A，B重合），且 ，求m的取
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值范围．
【典例6】（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线 经过点 、点 ，点P是x轴上一个
动点，过点C、P作直线 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)已知点A(9,0)，当 时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，点M(x ,y )，N(x ,y )是直线 上任意两个点，若 时，有 ，请直
1 1 2 2
接写出m的取值范围．
【典例7】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在x上，
在y轴上， 的长分别是 的两个根（ ）， 于点E，交AB于点
D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度 向点C运动，到点C停止，过点P作 的
平行线，交 于点M，令 的面积为s．
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(1)求点B的坐标；
(2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在直线 上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【典例8】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，梯形 的下底 在x轴的正半
轴上，线段 ， 的长是方程 的两个根，且 ， ，边长为3的正
方形 在梯形右侧，边 也在x轴的正半轴上，点N与点C重合．
(1)求线段 所在直线的解析式
(2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段 向终点O运动，正方形 也随
之运动．设运动时间为t秒，连结 、 ，求 的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变
量t的取值范围
(3)在（2）的条件下，是否存在使 的面积等于 的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的
值；若不存在，请说明理由
【典例9】（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特
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殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，
勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边
形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形 中，点 、 分别在边 、 上，连接 ， ， ， ，若 ，
证明：四边形 为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点 在线段 上且 ，是否存在点
在第一象限，使得四边形 为“双直四边形”，若存在；求出所有点 的坐标，若不存在，请说明理
由．
【典例10】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点，点
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P沿着折线 （从A点开始运动到B点结束）运动，当点P的运动路程为x时，记 ．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在直角坐标系内画出y的图象，并写出y的性质；
(3)结合函数图象，直接写出当 时，x的取值范围．（结果取精确值）
【典例11】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线
交x轴于点A，交y轴于点 C，点B在x轴负半轴上，连接 ， ．
(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图1，点P在线段 上，点Q在线段 上， ，点P的横坐标为t，过点Q作 轴交
于点 D，连接 ， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范
围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作 交 于点E，过点D作 于点G， 交
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于点F，连接 交y轴于点M，连接 ， 求点 F的坐标．
【典例12】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴的正半轴
交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形 是平行四边形，线段 的长
是一元二次方程 的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段 的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交 于点G，点E在第一象限， ，
连接 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角
边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
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【典例13】．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于直线l和线段 ，
给出如下定义：若线段 关于直线l的对称图形是 的弦 （ ， 分别为P，Q的对应点），则称
线段 是 关于直线l的“对称弦”．
(1)如图，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．线段 ， ， 中，是 关于直
线 的“对称弦”的是
(2) 是 关于直线y=kx(k≠0)的“对称弦”，若点C的坐标为 ，且 ，直接写出点D
的坐标；
(3)已知直线 和点 ，若线段 是 关于直线 的“对称弦”，且
，直接写出 的最值和相应b的值．
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【典例14】（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与y
轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；
(2)点N是y轴负半轴上的一点且 ，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 ， 与抛物线
的对称轴交于点M，连接 ，当 平分 时，求点Q坐标；
(3)如图，直线 交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当 与 全等时，请直接写出点
P坐标．
【典例15】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数 的图像过点 和点 ．
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(1)求 和 的值；
(2)将直线 向上平移得到直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交 于点 ，若 ，
求直线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例16】（2024·四川雅安·模拟预测）将一长方形纸片 放在直角坐标系中，O为原点，点C在x
轴上， ．
(1)如图1，在 上取一点E，将 沿 折叠，使点O落在 边上的点D，求线段 ．
(2)如图2，在 边上选取适当的点M，F，将 沿 折叠，使点O落在 边上的点 处，
过点D，作 垂直于 于点G，交 于点T．
①求证： ；
②设 ，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
(3)在（2）的条件下，当 时，点P在直线 上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M， ，Q，P
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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【典例17】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形M上任意两点之间的
距离的最大值，称为该图形的“郡园长”，点P为图形M上任意一点，如果点P到直线l的距离恰好等于
图形M的“郡园长”，那么点P称为直线l的“郡园点”．
图1 图2
(1)已知图形M为线段 ，其中 ， ，则该图形M的“郡园长”为______；
(2)如图1，x轴上方有一个等腰直角三角形 ， ， 轴，顶点A在y轴上，且在 上
方， ，点P是线段 上一点，且点P是x轴的“郡园点”，求 的面积；
(3)如图2，以 ，B(−2,0)， ， 为顶点的正方形 上始终存在点P，使得点P
是直线 的“郡园点”．请直接写出b的取值范围．
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【典例18】．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一
点，点Q在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，
例如：如图1， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为
点Q在线段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，______是
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图形 的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的
“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的
等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
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