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第三章函数章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图
是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐
标系中，点 均为正六边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，
即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接 ，如图，设正六边形的边长为a，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P的坐标为 ，
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∴ ，
即 ；
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性
质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数
的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
3．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为
，则， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点 求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大，
又 点 在函数 的图象上，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例
函数的图象与性质是解题关键．
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4．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，
不符合题意；
当 时，
即
∴ ，
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∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的
交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·山东聊城·统考中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，
10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t
（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求
出交点的横坐标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地
时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，解得 ，
小亮对应函数图象的解析式为 ，
设小莹对应函数图象的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
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解得 ，
小莹对应函数图象的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函
数解析式，熟练运用数形结合思想．
6．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，
，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求得点 的坐标，进而根据旋转的性质可得
， ， ，进而得出 ，结合坐标系，
即可求解．
【详解】解：∵直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ，
∴当 时， ，即 ，则 ，
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当 时， ，即 ，则 ，
∵将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
又∵
∴ ， ， ，
∴ ，
延长 交 轴于点 ，则 ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的
性质是解题的关键．
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分
别为 与 关于直线 对称，反比例函数
的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等
腰三角形的判定和性质得出 ， ，利用各角之间的关系
，确定 ，B，O三点共线，结合图形确定 ，然后代入反比
例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，B，O三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
将其代入 得： ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，
理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线
（ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与
轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
9.（2023·广西·统考中考真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行
线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小
矩形，面积分别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ，
，推得 ，即可求得．
【详解】设 ，则 ， ，
∵点A在 的图象上
则 ，
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同理∵B，D两点在 的图象上，
则
故 ，
又∵ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质
是解题的关键．
10．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线 与x轴的一个交点为
，若 ，则实数 的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】根据抛物线有交点，则 有实数根，得出 或 ，分类讨
论，分别求得当 和 时 的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ 有实数根，
∴
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即
解得： 或 ，
当 时，如图所示，
依题意，当 时， ，
解得： ，
当 时， ，解得 ，
即 ，
当 时，
当 时， ，
解得：
∴
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综上所述， 或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐
标分别为 ．若将 向左平移3个单位长度得到 ，则点A
的对应点 的坐标是___________．
【答案】
【分析】根据平移的性质即可得出答案．
【详解】将 向左平移3个单位长度得到 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平移的性质，熟知左右平移纵坐标不变是解题的关键．
12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数 的图象经过点 和 ，
则 ________________．
【答案】
【分析】把点 和 代入 ，可得 ，再整体代入求值即可．
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【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平
方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
13．（2023·浙江温州·统考中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶
部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（ ）与汽缸内气体的体积V（
）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由 加压到 ，则气体体积
压缩了___________ ．
【答案】20
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为 ，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为 ，由图象可把点 代入得：
，
∴P关于V的函数解析式为 ，
∴当 时，则 ，
∴压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ；
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
14．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
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水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，
高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管长度应为____________．
【答案】
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角
坐标系，设抛物线的解析式为 ，将 代入求得a值，则
时得的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立
直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，
则设抛物线的解析式为：
，
代入 求得： ．
将 值代入得到抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ．
故水管长度为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确
建立平面直角坐标系是解题的关键．
15．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 的
相似比为 ，点 是位似中心，已知点 ，点 ， ．则点 的坐标为
_______．（结果用含 ， 的式子表示）
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【答案】
【分析】过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，根据题意得出 ，
则 ，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线 垂足分别为 ，
∵ 与 的相似比为 ，点 是位似中心，
∴
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在“ “探索一次函数 的系数 与图像的
关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点： ．同学们画出
了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式
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．分别计算 ， 的值，其中最大的值
等于_________．
【答案】5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
【详解】解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，
则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
17．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲
线 （其中 ）相交于 ， 两点，过点B作 轴，交y轴于
点P，则 的面积是___________．
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【答案】
【分析】把 代入到 可求得 的值，再把 代入双曲线函数的表达式
中，可求得 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ， 两
点，
∴
∴ ，
∴双曲线的表达式为： ， ，
∵过点 作 轴，交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反
比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
18．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且
其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上
升的，可确定 ，对称轴 ， ，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即 ，
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∵二次函数 的顶点在y轴正半轴上，
∴ ，即 ， ，
∴二次函数的解析式可以是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数
的正负是解题的关键．
19．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且
其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上
升的，可确定 ，对称轴 ， ，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即 ，
∵二次函数 的顶点在y轴正半轴上，
∴ ，即 ， ，
∴二次函数的解析式可以是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数
的正负是解题的关键．
20．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，
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与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在直线 上，若 ，则点E
的坐标是____________．
【答案】 和
【分析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE
的外角， ，而 ，所以此时 ，有
，可求出 所在直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点
距离公式， ，得到关于 的方程，求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线
段 的延长线上时，根据题中条件，可以证明 ，得到 为直角三
角形，延长 至 ，取 ，此时， ，从而证明 是要
找的点，应为 ， 为等腰直角三角形， 点 和 关于 点对称，可以根据
点坐标求出 点坐标．
【详解】解：根据 点坐标，有
所以 点坐标
设 所在直线解析式为 ，其过点 、
有 ，解得 所在直线的解析式为：
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当 点在线段 上时，设
而
∴
∴
因为： ， ，
有
解得： ，
所以 点的坐标为:
当 在 的延长线上时，
在 中， ， ,
∴
∴
如图延长 至 ，取 ，
则有 为等腰三角形， ，
∴
又∵
∴
则 为符合题意的点，
∵
∴
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的横坐标： ，纵坐标为 ；
综上E点的坐标为： 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象
和性质，分情况找到 点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每
天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下
的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【答案】(1)30；(2) ；(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，用待定系数法求解，再结合图象即
可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天
数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
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（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，
将 和 两个点代入，可得 ，
解得 ，
∴
（3）解：甲组每天挖 （千米）
甲乙合作每天挖 （千米）
∴乙组每天挖 （千米），乙组挖掘的总长度为 （千米）
设乙组己停工的天数为a，
则 ，
解得 ，
答：乙组己停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得
到有用信息是解题的关键．
22．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点 在直线
上，过点A的直线交y轴于点 ．
(1)求m的值和直线 的函数表达式．
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(2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线 的函数解析式为
，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得 ， ，则有
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ．
设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 代入得
，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解：∵点 在线段 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ 的值随 的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
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关键．
23．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函
数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ．
(1)求 的值．
(2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂线，
过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点．
【答案】(1) ， ；(2)见解析
【分析】（1）首先将点 的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入
求出 ，然后将点 的纵坐标代入 求出 ，然后代入
即可求出 ；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出
所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点 的横坐标是2，
∴将 代入
∴ ，
∴将 代入 得， ，
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∴ ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴解得 ，
∴ ；
（2）如图所示，
由题意可得， ， ，
∴设 所在直线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴直线 经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
24．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点 在反比例函数 图象上．一次
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函数 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 与 的面积比
为 ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出 时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或 ；(2)当
一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数解析式为
时x的取值范围为 或
【分析】（1）将 代入 得， ，解得 ，可得反比例函数解析式为
；当 ， ，则 ， ，当 ， ，则 ，
，由 与 的面积比为 ，可得 ，整理得 ，即 ，
解得 或 ，当 时，将 代入 得， ，解得 ，则
；当 时，将 代入 得， ，解得 ，则
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；
（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为 时，如图
1，联立 ，解得 或 ，根据函数图象判断x的取值范围即可；②
当一次函数解析式为 时，如图2，联立 ，解得 或 ，根
据函数图象判断x的取值范围即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
当 ， ，则 ， ，
当 ， ，则 ， ，
∵ 与 的面积比为 ，
∴ ，整理得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
综上，一次函数解析式为 或 ；
∴反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或 ；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
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①当一次函数解析式为 时，如图1，
联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
②当一次函数解析式为 时，如图2，
联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
综上，当一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数
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解析式为 时x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例
函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的A处射门，
球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面
．已知球门高 为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向
正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1) ，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射
门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求
出a的值即可得到函数表达式，再把 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较
即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
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当 时， ，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
把点 代入得 ，
解得 （舍去）， ，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等
知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的
竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水
后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
3
水面高度h/cm（观察值） 29 28.1 27 25.8
0
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“ ， ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，
但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
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任务2 利用 时， ； 时， 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函
数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定
优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对
应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越
小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过 的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取
时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2： ；任务3：（1） ，（2）
；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t
的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设 ，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由
此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，
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有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为， ； ；
； ；
任务2：设 ，
∵ 时， ， 时， ；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为 ．
任务3：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴
．
（2）设 ，则
．
当 时，w最小．
∴优化后的函数解析式为 ．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求
解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
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27．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数 中，
(1)若它的图象过点 ，则t的值为多少？
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
(3)如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范
围．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分 ，当 时，函数值最小，
以及 ，当 时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由 关于对称轴对称得 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右
侧；确定抛物线与y轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点为 ，结合已知确
定出 ；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出
不等式进行求解即可．
【详解】（1）将 代入 中，
得 ，
解得， ；
（2）抛物线对称轴为 ．
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 ．
，
若 ，当 时，函数值最小，
，
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解得 （不合题意，舍去）
综上所述 ．
（3） 关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得 ．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得 ，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况
作出分类讨论是解题的关键．
28.（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与
轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴
交于点 ．
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(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出
所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 ；(2)存在，点M
的坐标为 或 或 ；(3)
【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解
析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为
，解方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出
直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M的坐标；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到
，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，
即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，
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∴ ，
将 代入直线 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，
∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ．
∴当 时， ，
∴ ，
①当 时，
设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
得 或 ，
∴点M的坐标为 ；
②当 时，
设直线 的解析式为 ，将 代入，
得 ，
解得 ，
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∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为 或 或 ；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，、
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
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【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角
三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各
知识点是解题的关键．
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