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专题 12 一次函数的图像与性质【十大题型】
【题型1 一次函数的相关概念】..............................................................................................................................2
【题型2 判断一次函数图象】..................................................................................................................................3
【题型3 探究一次函数经过的象限与系数之间关系】.........................................................................................4
【题型4 一次函数与坐标轴交点问题】..................................................................................................................5
【题型5 探究一次函数的增减性与系数之间关系】.............................................................................................6
【题型6 求一次函数解析式】..................................................................................................................................6
【题型7 一次函数的规律探究问题】......................................................................................................................7
【题型8 一次函数的新定义问题】..........................................................................................................................9
【题型9 求两直线与坐标轴围成的图形面积】...................................................................................................10
【题型10 探究函数与方程、不等式之间的关系】...............................................................................................11
【知识点 一次函数的图像与性质】
1.定义
定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是
正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2.一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数 y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线
y=kx。
y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0 三.一 从左向右上升 y随着x的增大而增大
k＜0 二.四 从左向右下降 y随着x的增大而减小
一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k.b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当
k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，
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即y随着x的增大而减小。
y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性
k＞0，b＞0 一二三
从左向右上升 y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0 一三四
k＜0，b＞0 一二四
从左向右下降 y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0 二三四
3.待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做
待定系数法。
函 数 解 析 式 满足条件的两定点 一次函数的图象直
y=kx+b (x 1 ，y 1 )与(x 2 ，y 2 ) 线l
4.一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，
反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型1 一次函数的相关概念】
【例1】（2023·湖南邵阳·校联考二模）若一次函数y=kx+b的图像如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
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A．k>0 B．b=2 C．y随x的增大而增大D．x=3时，y=0
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）若正比例函数的图象经过点(4m,3m)(m≠0)，则下列各点也在
该正比例函数图象上的是( )
4 3
A．(−1,− ) B．(−12,−1) C．(1, ) D．(3,4)
3 4
【变式1-2】（2023·江苏扬州·统考二模）已知一次函数y=x−1的图象经过点(m,2)，则m= ．
【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程2x−6=0的解，是一个一次函数的函数值
为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（ ）
A．y=2x−4 B．y=−2x+4 C．y=2x−6 D．y=−2x+6
【题型2 判断一次函数图象】
【例2】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚
好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致
是（ ）
A． B．
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C． D．
【变式2-1】（2023·北京延庆·统考一模）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，
它的邻边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
【变式2-2】（2023·陕西·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=x+a(a≠0)的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立
平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y =k x,y =k x，则关于k 与k 的
1 1 2 2 1 2
关系，正确的是（ ）
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A．k <00时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象
限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，
b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.
【例3】（2023·贵州毕节·统考中考真题）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、
四象限，则下列结论正确的是( )
A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
【变式3-1】（2023·陕西·中考真题）若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m
的取值范围是 ．
【变式3-2】（2023·天津·统考中考真题）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
则b的值可以是 （写出一个即可）．
【变式3-3】（2023·广东·中考真题）已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过第
象限.
【题型4 一次函数与坐标轴交点问题】
【例4】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=−2x−4的图象向右平移3个单位
长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(1,0) C．(−5,0) D．(5,0)
【变式4-1】（2023·陕西咸阳·校考三模）若一次函数y=kx+b与y=−2x+1的图象关于y轴对称，则
k、b的值分别等于 ．
【变式4-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，
(2)如果正比例函数y=k x与所求的一次函数平行，请直接写出k 的值、
1 1
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(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．
4
【变式4-3】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y= x+4交两坐标轴于
3
A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 ．
【题型5 探究一次函数的增减性与系数之间关系】
【例5】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数y=kx−1的函数值y随x的增大而减小，当x=2时，y
的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【变式5-1】（2023·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增
大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【变式5-2】（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知A（x，y），B（x，y）是一次函数y＝（a－2）x＋1图象
1 1 2 2
上不同的两个点，若（x－x）（y－y）＜0，则a的取值范围是（）
1 2 1 2
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若 是一次函数 图
A(2，y )，B(−1，y ) y=(k2+1)x+2
1 2
象上的两点，则（ ）
A．y ≤ y B．y y
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型6 求一次函数解析式】
【例6】（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点
A(0,1)和B(1,2)，与过点(0,4)且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
2
(2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y= x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4，直接写出n
3
的值．
【变式6-1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则
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k2−b2= ．
【变式6-2】（2023·山东·统考中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x
（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y=60x；当0.5≤x≤2时，
y与x之间的函数表达式为 ．
【变式6-3】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,1)，点A(4,1)，
以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转 得到点B，在 ， ( √3 )，
60° M (−1,−√3) M − ,0
1 2 3
， 四个点中，直线 经过的点是（ ）
M (1,√3−1) M (2,2√3) PB
3 4
A．M B．M C．M D．M
1 2 3 4
【题型7 一次函数的规律探究问题】
√3
【例7】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l :y= x
1 3
上，顶点B在x轴上， 垂直 轴，且 ，顶点 在直线 上， ；过点 作直线
AB x OB=2√2 C l :y=√3x BC⊥l A l
2 2 2
的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第一个
1 1 1 1 1 1 1 1 1
△A B C ；过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2
接A C ，得到第二个△A B C ；如此下去，……，则△A B C 的面积是 ．
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【变式7-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3x−√3与x轴交
于点A ，以OA 为边作正方形A B C O点C 在y轴上，延长C B 交直线l于点A ，以C A 为边作正方
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
形A B C C ，点C 在y轴上，以同样的方式依次作正方形A B C C ，…，正方形
2 2 2 1 2 3 3 3 2
A B C C ，则点B 的横坐标是 ．
2023 2023 2023 2022 2023
【变式7-2】（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l：y＝2x，l：y＝﹣x，过
1 2
点A（1，0）作x轴的垂线与l 交于点A，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A，过点A 作x轴的垂线与l
1 1 1 2 2 2 1
交于点A，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A，⋯，依次进行下去，
3 3 2 4 4 1 5
则点A 的坐标为 ．
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【变式7-3】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，△AB A ,△A B A ,△A B A ,⋅⋅⋅是等边三角
1 1 1 2 2 2 3 3
√3
形，直线y= x+2经过它们的顶点A,A ,A ,A ,⋅⋅⋅，点B ,B ,B ,⋅⋅⋅在x轴上，则点A 的横
3 1 2 3 1 2 3 2022
坐标是 .
【题型8 一次函数的新定义问题】
【例8】（2023·上海杨浦·统考二模）定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m
＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤
﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣
1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是 ．
【变式8-1】（2023·广东深圳·统考二模）定义：点A（x,y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把
点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N(-2,-2)，都是“平衡点”．当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有
“平衡点”，则m的取值范围是（ ）．
A．0≤m≤1 B．−3≤m≤1
C．−3≤m≤3 D．−1≤m≤0
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【变式8-2】（2023·广西钦州·统考一模）定义一种运算：a⊗b=¿则函数y=(x+2)⊗(x−1)的图象大致
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA最
短﹐则线段PA的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）．例如，在图1中，原点O(0,0)与
直线l:x=3的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3，则 d（O，直线x=3）=3．特别地，点P
在图形W上，则点P到图形的距离为0，即 d（P，图形W）=0．
①在平面直角坐标系中，原点O(0,0)与直线l:y=x的距离d(O,y=x)= ；
②如图2，点P的坐标为(0,m)且d(p,y=2x−2)=√5，则m= ．
【题型9 求两直线与坐标轴围成的图形面积】
【例9】（2023·河北石家庄·统考三模）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线
AC关于y轴对称．
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(1)求直线BC的解析式．
(2)若点P(m,2)在△ABC的内部，求m的取值范围．
(3)若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1:3，直接写出L的解析式．
【变式9-1】（2023·天津·模拟预测）如果直线y=−2x+k与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么k
的值为 ．
【变式9-2】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，在长方形．ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点
A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒1cm的速度运动5秒，之后以每秒2cm的速
度运动，设点P运动的时间是x（秒），△APD的面积是y(cm2)，请回答下列问题：
(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这
个函数的图象；
(2)请根据这个图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当y=3时x的值．
【变式9-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(5，0)，AB的中
点M的坐标为(3，2)，若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M，且将△AOB分成的两个部分面积之
比为2：3，则k的值为 ．
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【题型10 探究函数与方程、不等式之间的关系】
【例10】（2023·宁夏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与
1
y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
2
A．y 随x的增大而增大
1
B．by
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
【变式10-1】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,3)，B(4,0)，则不等
式ax+b>0的解集是（ ）
A．x>4 B．x<4 C．x>3 D．x<3
【变式10-2】（2023·陕西·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于
点P(3,n)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
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【变式10-3】（2023·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与
y=mx+n(a
