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→➌题型突破←→➍专题精练←
题型三 一次函数与不等式
1．（2019秋•常州期末）已知直线y＝mx+3（m≠0）经过点（1，0），则关于x的不等式
mx+3＞0的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3
【分析】根据直线与x轴的交点坐标和函数的图象即可求出答案．
【解答】解：∵直线y＝mx+3（m≠0）经过点（1，0），
∴图象过第一，二，四象限，y随x的增大而减小，
∴不等式mx+3＞0的解集是x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能
力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
2．如图是一次函数 （ 、 是常数）的图象，则不等式 的解集是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数图像与不等式的性质即可求解.
【详解】
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∵一次函数 与x轴的交点横坐标为-2，
∴不等式 的解集为
故选B.
【点睛】
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数与不等式的关系.
3．如图，直线 与 交于点 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
观察函数图象得到，当x＞-1时，直线L：y=x+3的图象都在L：y=mx+n的图象的上方，
1 2
由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．
【详解】
解：∵直线L：y=x+3与L：y=mx+n交于点A（-1，b），
1 2
从图象可以看出，当x＞-1时，直线L：y=x+3的图象都在L：y=mx+n的图象的上方，
1 2
∴不等式x+3＞mx+n的解集为：x＞-1，
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，关键是从函数图象中找出正确信息．
4．（2020春•历城区期末）如图，直线y＝kx+6经过点（3，0），则关于x的不等式kx+6
＜0的解集是（ ）
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A．x＞3 B．x＜3 C．x＞6 D．x＜6
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵x＞3时，y＜0，
∴关于x的不等式kx+6＜0的解集是x＞3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线 y
＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（乐山）已知一次函数 y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与 x轴交于点（2，
0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，得到b＞0，a＜0，把（2，
b b
0）代入解析式y＝ax+b求出 =−2，解a（x﹣1）﹣b＞0，得x﹣1＜ ，代入即可求出答
a a
案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
b
=−2，
a
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
b
∴x﹣1＜ ，
a
∴x＜﹣1，
故选：A．
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【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数
图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的性质
得出a、b的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．
6．（瑶海区期中）如图，函数y ＝﹣2x和y ＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x
1 2
的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x
＞ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x过点A（m，2），
1
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7．（2020秋•兴化市期末）如图，已知直线y ＝kx过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y
1 1 2
＝kx+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式kx＜kx+b＜0的解集为（ ）
2 1 2
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0
【分析】利用函数图象，写出在x轴下方且函数y ＝kx的函数值小于函数y ＝kx+b的函
1 1 2 2
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数值对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣6时，y＝kx+b＜0；当x＜﹣3时，y＜y，
2 2 1 2
所以不等式kx＜kx+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣3．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直
线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（简阳市期末）一次函数y＝kx+b与y＝x+a的图象如图，则下列结论：
1 2
①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y＜y；④当x＞3时，y≥y 中正确的个数是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据y ＝kx+b和y ＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的
1 2
值，y 图象均高于y 的图象．
1 2
【解答】解：∵y＝kx+b的函数值随x的增大而减小，
1
∴k＜0；故①正确
∵y＝x+a的图象与y轴交于负半轴，
2
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y 图象均高于y 的图象，
1 2
∴y＞y，故②③错误，④错误．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与 y轴的交点来
判断各个函数k，b的值．
9.（2020·广东省·中考模拟）如图，直线 与 分别交x轴于点
， ，则不等式 的解集为
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A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ①或 ②．
∵直线 与 分别交x轴于点 ，
观察图象可知①的解集为： ，②的解集为：
∴不等式 的解集为 或 .
故选D.
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关
键.
10．（2019·贵州黔东南·中考真题）如图所示，一次函数 （ 、 为常数，
且 ）的图象经过点 ，则不等式 的解集为___．
【答案】 ．
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【分析】由于一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据
图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．
【解析】函数 的图象如图所示，图象经过点 ，且函数值 随 的增大而
增大，
故不等式 的解集是 ． 故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解题的关键是仔细
观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
11．（2019·山东烟台·中考真题）如图，直线l：y=x+1与直线l：y=mx+n相交于点P
1 2
（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为______．
【答案】 的所有值
【分析】把y=2代入y=x+1，求出x的值，从而得到点P的坐标，由于点P是两条直线的交
点，根据两个函数图象特点可以求得不等式x+1≤mx+n的解集．
【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），
根据图象可以知道当x≤1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值．
因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1．故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问
题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
12．（2021春•黔南州期末）一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系
的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为 ．
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【分析】当x≥﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：从图象可看出当 x≥﹣1，直线l 的图象在直线l 的上方，不等式ax+b＞
2 1
kx．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大
于，在下方时小于．
13．（2021•滨海县一模）如图，两条直线 l 和 l 的关系式分别为 y ＝kx+b ，y ＝
1 2 1 1 1 2
kx+b，两直线的交点坐标为（2，1），当y＞y 时，x的取值范围为 ．
2 2 1 2
【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的
关系即可作出判断．
【解答】解：∵直线l：y＝kx+b 与直线l：y＝kx+b 的交点坐标是（2，l），
1 1 1 1 2 2 2 2
∴当x＝2时，y＝y＝1；
1 2
而当y＞y 时，x＜2．
1 2
故答案为x＜2．
【点评】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可
直接解答，能够数形结合是解题的关键．
14．（2021春•商河县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k ，b均
1 1
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为常数）与正比例函数y＝kx（k 为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx＜
2 2 2
kx+b的解集为 ．
1
【分析】由图象可以知道，当x＝3时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性
可以判断出不等式kx＜kx+b的解集．
2 1
【解答】解：两条直线的交点坐标为（3，﹣1），且当x＜3时，直线y＝kx在直线y＝
2
kx+b的下方，
1
故不等式kx＜kx+b的解集为x＜3．
2 1
故答案为x＜3．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元
一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处
函数值的大小发生了改变．
15．（2021春•青川县期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
{y=−x+3
（2）通过解方程组 得C点坐标；
y=x−2
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得不等式kx+b＞x﹣2的解集．
{3k+b=0 {k=−1
【解答】解：（1）根据题意得 ，解得 ，
k+b=2 b=3
∴直线解析式为y＝﹣x+3；
5
{x=
{y=−x+3 2
（2）解方程组 得 ，
y=x−2 1
y=
2
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5 1
∴C点坐标为（ ， ）；
2 2
5
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得x＜ ，
2
5
即不等式kx+b＞x﹣2的解集为x＜ ．
2
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一
次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是
确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（2020秋•海州区期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＜kx+b的解集．
【分析】
（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，
再解方程组即可；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；
（3）根据C点坐标可直接得到答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
{5k+b=0
∴ ，
k+b=4
{k=−1
解得 ，
b=5
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
{y=−x+5
∴
y=2x−4
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{x=3
解得 ，
y=2
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可得x＜3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数
与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
题型三 一次函数的应用
类型一工程问题
17．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每
天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下
的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【答案】(1)30；(2) ；(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，用待定系数法求解，再结合图象即
可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天
数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
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（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，
将 和 两个点代入，可得 ，
解得 ，
∴
（3）解：甲组每天挖 （千米）
甲乙合作每天挖 （千米）
∴乙组每天挖 （千米），乙组挖掘的总长度为 （千米）
设乙组己停工的天数为a，
则 ，
解得 ，
答：乙组己停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得
到有用信息是解题的关键．
类型二最值问题
18．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今
年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比
节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根
据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节
前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利
润最大？最大利润是多少？
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【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元；(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，
最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为
元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方
程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为
w元，根据利润 售价 进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根
据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为
元，根据题意得：
，
解得： ， ，
经检验 ， 都是原方程的解，但 不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利
润为w元，根据题意得：
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，且最大值为： ，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
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【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方
程和关系式．
19．（2023·四川成都·统考中考真题） 年 月 日至 月 日，第 届世界大学生运
动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买 ， 两
种食材制作小吃．已知购买 千克 种食材和 千克 种食材共需 元，购买 千克 种食
材和 千克 种食材共需 元．
(1)求 ， 两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买 种食材千克数不少于 种食材千克数
的 倍，当 ， 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1) 种食材单价是每千克 元， 种食材单价是每千克 元；(2) 种食材购买
千克， 种食材购买 千克时，总费用最少，为 元
【分析】（1）设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意列出二元一次
方程组，解方程组即可求解；
（2）设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意列出不等式，得出
，进而设总费用为 元，根据题意， ，根据一次函数
的性质即可求解．
【详解】（1）解：设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意得，
，
解得： ，
答： 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元；
（2）解：设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意，
解得： ，
设总费用为 元，根据题意，
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∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 最小，
∴最少总费用为 （元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，
根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
20．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量
增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费
2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如
下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的
数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用
最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为 元，根据题意，
得 ，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则 ，解
得 ，故最小整数解为 ， ，根据一次函数增减性，求得最小值
= ．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为 元，根据题
意，得
解得， ，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
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则 ，解得 ，故最小整数解为 ，
，
∵ ，则w随m的增大而增大，
∴ 时，w取最小值，最小值 ．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不
等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
21．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进
甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，
用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽
子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，
两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
(2)①w与m的函数关系式为 ；②购进甲粽子134个，乙粽子66个
才能获得最大利润，最大利润为466元
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为 元，根据“用
1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方
程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子 个，，由题意得 ，再由甲种
粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得 ；
②由一次函数的性质即可得出结论．
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【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子 个，利润为w元，
由题意得： ，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴ ，
解得： ，
∴w与m的函数关系式为 ；
②∵ ，则w随m的增大而减小， ，即m的最小整数为134，
∴当 时，w最大，最大值 ，
则 ，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题
的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元
一次不等式．
22.（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听
蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲
健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐篷．若购买 种型号帐篷2
顶和 种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买 种型号帐篷3顶和 种型号帐篷1顶，则
需2800元．
(1)求每顶 种型号帐篷和每顶 种型号帐篷的价格；
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(2)若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买 种
型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买
种型号帐篷和 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】(1)每顶 种型号帐篷的价格为600元，每顶 种型号帐篷的价格为1000元
(2)当 种型号帐篷为5顶时， 种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元
【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；
（2）根据购买 种型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，列出一元一次不等式，
得出 种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取 种型号帐篷数量的最大值时总
费用最少，从而得出答案．
【详解】（1）解：设每顶 种型号帐篷的价格为 元，每顶 种型号帐篷的价格为 元．
根据题意列方程组为： ，
解得 ，
答：每顶 种型号帐篷的价格为600元，每顶 种型号帐篷的价格为1000元．
（2）解：设 种型号帐篷购买 顶，总费用为 元，则 种型号帐篷为 顶，
由题意得 ，
其中 ，得 ，
故当 种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为 ，
答：当 种型号帐篷为5顶时， 种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出
准确的等量关系及不等关系是解题的关键．
类型三方案选择问题
23．在购买某场足球赛门票时，设购买门票为 （张），总费用为 （元）．现有两种购
买方案：
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方案一：若单位赞助广告费5000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用=广
告赞助费+门票费）
方案二：购买门票方式如下图所示：
解答下列问题：
（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；方案二中，当 时，y与x的函
数关系式为______，当 时，y与x的函数关系式为______；
（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明
理由．
【答案】（1） ， ， ．（2）当 时，方案
一、二均可；当 时，选择方案二总费用最省；当 时，选择方案一总
费用最省
【分析】
（1）根据题意可直接写出方案一的函数解析式，根据待定系数法求出方案二的函数解析式
即可；
（2）根据题意，列出关于x的一元一次方程和一元一次不等式，分情况讨论即可．
【详解】
解：（1）方案一中，y与x的函数关系式为
方案二中，当 时，设y与x的函数关系式为
将（100,8000）代入得 ，
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∴当 时，y与x的函数关系式为 ．
当 时，设y与x的函数关系式为
将（100，8000）、（150，11500）代入得
∴当 时，y与x的函数关系式为 ．
（2）由 ，得
∴当 时，方案一、二均可；
由 ，得
∴当 时，选择方案二总费用最省；
由 ，得 ．
∴当 时，选择方案一总费用最省．
【点睛】
本题主要考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法，学会分类讨
论思想，是解题的关键．
24．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大
幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选
一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
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(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【答案】(1)30件；(2) ；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；
若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数
超过30件，则选择方案一
【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；
（2）由图象可得点 ，设方案二的函数表达式为 ，利用待定系数
法即可得到方案二y关于x的函数表达式；
（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为 ，即员工生产30件产品时，两种方案
付给的报酬一样多；
（2）由图象可得点 ，设方案二的函数表达式为 ，
把 代入上式，得
解得
∴方案二的函数表达式为 ．
（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；
若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．
【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确
信息和掌握待定系数法是解题的关键．
25．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．
已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需
53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的
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，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1） 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元；（2）购进 种消毒
液67瓶，购进 种23瓶，最少费用为676元
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种
消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元．
由题意得： ，解之得， ，
答： 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．
则 ，
∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值．
又 ，∴ ．
由于 是整数， 最大值为67，
即当 时，最省钱，最少费用为 元．
此时， ．
最省钱的购买方案是购进 种消毒液67瓶，购进 种23瓶．
【点睛】
本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问
题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
26．（2021·云南中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
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方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的
工资 （单位：元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）
的函数关系．
（1）分别求 ﹑ 与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资
超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）根据图像中l 和l 经过的点，利用待定系数法求解即可；
1 2
（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．
【详解】
解：（1）根据图像，l 经过点（0，0）和点（40，1200），
1
设 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴l 的解析式为 ，
1
设 的解析式为 ，
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由l 经过点（0，800），（40，1200），
2
则 ，解得： ，
∴l 的解析式为 ；
2
（2）方案一： ，即 ，
解得： ；
方案二： ，即 ，即 ，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求
出两种方案对应的解析式．
27．（2021·浙江宁波市·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 266
每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限
超出后每兆收费（元） n n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图
所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月
使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
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【答案】（1） ；（2） ；（3）当每月使用
的流量超过3772兆时，选择C方案最划算
【分析】
（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相
除求得；
（2）直接运用待定系数法求解即可；
（3）计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解．
【详解】
解：（1）
．
（2）设函数表达式为 ，
把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴y关于x的函数表达式 ．
（注：x的取值范围对考生不作要求）
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（3） （兆）．
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
数形结合的思想解答．
类型四行程问题
28．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧
看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200
米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程 （米）与哥哥离开学校的时间 （分）的
函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中 的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的 倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若
能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】(1) ；(2)① ；②能追上，理由见解析
【分析】（1）结合图表可得 ，根据速度等于路程除以时间，即可解答；
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知 的解析式的k为200，设 的解
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析式为 ，根据妺妺比哥哥迟2分钟到书吧可得 ，将 代入
，即可得到一次函数解析式，把 代入一次函数即可得到a的值；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将 和 的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得 ，
（米/分），
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知 的解析式的k为200，
设 所在直线为 ，将 代入，得 ，
解得 ．
∴ 所在直线为 ，
当 时， ，解得 ．
∴ ．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得 的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于
哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，
设 所在直线为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
∴ ．
∵妺妺的速度是160米/分．
设 所在直线为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
∴ ．
联立方程 ，
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解得 ，
∴ 米，即追上时兄妺俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题
的关键．
29．（2023·天津·统考中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，
文具店离宿舍 ，体育场离宿舍 ，张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体
育场，在体育场锻炼了 ，之后匀速步行了 到文具店买笔，在文具店停留
后，用了 匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图
象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ；
③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果
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李明的速度为 ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直
接写出结果即可）
【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③ ；(2)
【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时
间求解即可；③当 时，直接根据图象写出解析式即可；当 时，设y与
x的函数解析式为 ，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直
接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为
，求解即可．
【详解】（1）① ，
由图填表：
张强离开宿舍的时间/
1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为 ，
故答案为：0.06；
当 时，
；
当 时，设y与x的函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ；
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综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为 ；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直
接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
∴
解得 ，
当 时， ，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是 ．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问
题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
30.（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：
00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图
1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地 的地方追上大巴并继
续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师
生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2
所示．
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将 ，代入解析
式求出 的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用
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总时间减去两段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为 ，由图象
可知，直线过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
当 时： ，解得： ，
∴ ；
（2）由图象可知，军车的速度为： ，
∴军车到达仓库所用时间为： ，
从仓库到达基地所用时间为： ，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 ．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数
解析式，是解题的关键．
31．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）一条笔直的路上依次有 三地，其中 两
地相距1000米．甲、乙两机器人分别从 两地同时出发，去目的地 ，匀速而行．
图中 分别表示甲、乙机器人离 地的距离 （米）与行走时间 （分钟）的函数关
系图象．
(1)求 所在直线的表达式．
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(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到 地后，再经过1分钟乙机器人也到 地，求 两地间的距离．
【答案】(1) ；(2)出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇；(3) 两地间
的距离为600米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出 所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵ ，
∴ 所在直线的表达式为 ．
（2）设 所在直线的表达式为 ，
∵ ，
∴ 解得
∴ ．
甲、乙机器人相遇时，即 ，解得 ，
∴出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走 分钟时到 地， 地与 地距离 ，
则乙机器人 分钟后到 地， 地与 地距离 ，
由 ，得 ．
∴ ．
答： 两地间的距离为600米．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方
程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．
32．（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠
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杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列
方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：
.其中秤盘质量 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘
的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘
米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定 ， ，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末
刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关
于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)相邻刻线间的
距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
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（5）分别把 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，∴ ；
（3）解：由（1）（2）可得： ，解得： ；
（4）解：由任务一可知： ，
∴ ，∴ ；
（5）解：由（4）可知 ，
∴当 时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
33．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑
步．开始时男生跑了 ，女生跑了 ，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑
步速度为 ，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用
时 ．已知 轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间， 轴代表跑过的路程，则：
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(1)男女跑步的总路程为_______________．
(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以 ，即可求解
（2）根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，求得女生
的速度，进而得出解析式为 ， 联立求得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵开始时男生跑了 ，男生的跑步速度为 ，从开始匀速跑步
到停止跑步共用时 ．
∴男生跑步的路程为 ，
∴男女跑步的总路程为 ，
故答案为： ．
（2）解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，
依题意，女生匀速跑了 ，用了 ，则速度为 ，
∴ ，
联立 ，解得： .
将 代入
解得： ，
∴此时男、女同学距离终点的距离为 ．
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【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用 、
两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）． 型车每辆租金 元， 型车每辆租金
元．若 辆 型和 辆 型车坐满后共载客 人； 辆 型和 辆 型车坐满后共载
客 人．
(1)每辆 型车、 型车坐满后各载客多少人？
(2)若该校计划租用 型和 型两种客车共 辆，总租金不高于 元，并将全校 人载
至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
(3)在这次活动中，学校除租用 、 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从
学校到夏令营目的地的路程为 千米，甲车从学校出发 小时后，乙车才从学校出发，
却比甲车早 小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程 （千米）与甲车行驶的时间
（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后， 为何值时两车相
距 千米．
【答案】(1)每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人；(2)共有 种租车方案，租 辆
型车， 辆 型车最省钱；(3)在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车
相距 千米
【分析】（1）设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意列出二元一次方程
组，解方程组即可求解；
（2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意列出一元一次不等式组，解不
等式组，求整数解即可得出 的值，设总租金为 元，根据一次函数的性质即可求解；
（3）设 ， ，由题意可知，甲车的函数图像经过 ；乙车的函数图
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像经过 ， 两点．求出函数解析式，进而即可求解．
【详解】（1）解：设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意得
解得
答：每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人
（2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意得
解得：
取正整数，
， ， ，
共有 种租车方案
设总租金为 元，则
随着 的增大而减小
时， 最小
租 辆 型车， 辆 型车最省钱
（3）设 ， ．
由题意可知，甲车的函数图象经过 ；乙车的函数图象经过 ， 两点．
∴ ，
，即
解得
或
解得
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所以，在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距25千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，
根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
35．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知甲，乙两地相距 ，一辆出租车从甲地出发
往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务
区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，货车继续出发 后与出租车
相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距
各自出发地的距离 与货车行驶时间 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中 的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之间的
函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距 ．
【答案】(1)120；(2) ；(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求得 的解析式，将 代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得 的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，
发现此时与出租车相距 ，可求出装货时间，即点 的坐标，再根据货车继续出发
后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线 的解析式中 的值，最后将点
B坐标代入直线 的解析式，利用待定系数法即可解答；
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（3）根据（2）中直线 的解析式求得点 的坐标，结合题意，可得点 的坐标，从而
可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距
时；②出租车和货车第二次相遇后，距离 时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：结合图象，可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，
可得此时出租车距离乙地为 ，
出租车距离甲地为 ，
把 代入 ，可得 ，解得 ，
货车装完货时， ，可得 ，
根据货车继续出发 后与出租车相遇，可得 （出租车的速度 货车的速度） ，
根据直线 的解析式为 ，可得出租车的速度为 ，
相遇时，货车的速度为 ，
故可设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之间的函
数关系式为 ；
（3）解：把 代入 ，可得 ，解得 ，
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，
，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得
,
，
出租车返回时的速度为 ，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距 ，
此时货车距离乙地为 ，出租车距离乙地为 ，
①出租车和货车第二次相遇前，相距 时；
可得 ，
解得 ，
②出租车和货车第二次相遇后，相距 时；
可得 ，
解得 ，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 或 与出租车相距 ．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应
用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．
类型五其他问题
36．（2023·上海·统考中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000
元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油
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卡的面值能够一次性全部用完．
(1)他实际花了多少钱购买会员卡？
(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定
义域）
(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【答案】(1)900；(2) ；(3)
【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知， ，整理求解即可；
（3）当 ，则 ，根据优惠后油的单价比原价便宜 元，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， （元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）解：由题意知， ，整理得 ，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（3）解：当 ，则 ，
∵ ，
∴优惠后油的单价比原价便宜 元．
【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在
于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
37．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点
移动到点 称为一次甲方式：从点 移动到点 称为一次乙方式．
点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，
最终移动到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
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(1)设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位长度
得到的直线 的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．
其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接
画出 的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若A，
B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】(1) 的解析式为 ； 的解析式为 ；(2)①
；② 的解析式为 ，图象见解析；(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减
即可求出直线 的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ，再得出点
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按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线 的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，
再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设 的解析式为 ，把 、 代入，得
，解得： ，
∴ 的解析式为 ；
将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式为 ；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了 次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ；
∴点 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为 ，纵坐
标为 ，
∴ ；
②由于 ，
∴直线 的解析式为 ；
函数图象如图所示：
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（3）∵点 的横坐标依次为 ，且分别在直线 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把A、B两点坐标代入，得
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴ ，
整理得： ；
即a，b，c之间的关系式为： ．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，
正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
题型六 一次函数与几何图形综合
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38．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分
别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点
C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用
两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
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∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的
性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特
殊三角形．
39．（2020·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在
y轴的正半轴上， ．矩形 的顶点D，E，C分别在 上，
．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与 重叠部分的面积为
时，则矩形 向右平移的距离为___________．
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【答案】2
【分析】先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，
根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关
系式求出 ，再利用一次函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.
【解析】∵ ，∴OA=6，在Rt△AOB中， ，
∴ ，∴B（0， ），∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y= ，∴E（2， ），即DE= ，
∵四边形CODE是矩形，∴OC=DE= ，
设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，∴ ∥OB，
∴△ ∽△AOB，∴∠ =∠AOB=30°，∴∠ =∠ =30°，∴
,
∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，
∴五边形 的面积为 ,∴ ,
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∴ ,∴ ,
∴矩形 向右平移的距离 = ，故答案为：2.
【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，
是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
40.（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴
上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接
DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为_____．
【答案】y＝﹣2x+8
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，
PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线OB的解析
式为y＝x，解方程组得到P（ ， ），由待定系数法即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCO是正方形，∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，
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∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，∴AD＝ AB＝2，∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴ ，∴ ，∴直线CD的解析式为：y
＝﹣ x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，∴ ，解得：x＝y＝ ，∴P（ ， ），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解
析式，正确的找出点P的位置是解题的关键．
41．如图，将直线 向上平移后经过点 ，分别交x轴y轴于点B、C．
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（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P为直线 上一动点，连接 ．问：线段 的长是否存在最小值？若存在，
求出线段 的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，线段 的最小值为4.8．
【分析】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，代入A点坐标即可求解；
（2）根据OP⊥BC时，线段 最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】
（1）设平移后的直线 的解析式为 ，
代入 得
解得
∴直线 的解析式为 ；
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（2）存在，理由如下：
令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6
令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8
∴BC=
∵OP⊥BC时，线段 最小，
∵S = =
△ABC
∴ =
即线段 的最小值为4.8．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、三角形的
面积公式．
42．（2020·河北中考模拟题）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+5的图象l
1
分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C（m，4）．（1）求m的
2 1
值及l 的解析式；（2）求S ﹣S 的值；（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1，
2 △AOC △BOC 3 1
l，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
2 3
【答案】（1）m=2，l 的解析式为y=2x；（2）S ﹣S =15；（3）k的值为 或2或﹣
2 △AOC △BOC
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．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l 的解析式；
2
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），
可得AO=10，BO=5，进而得出S ﹣S 的值；（3）分三种情况：当l 经过点C（2，4）
△AOC △BOC 3
时，k= ；当l，l 平行时，k=2；当1，l 平行时，k=﹣ ；故k的值为 或2或﹣ ．
2 3 1 3
【解析】（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣ x+5，可得4=﹣ m+5，解得m=2，∴C
（2，4），
设l 的解析式为y=ax，则4=2a，解得a=2，∴l 的解析式为y=2x；
2 2
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣ x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，∴S ﹣S = ×10×4﹣ ×5×2=20﹣5=15；
△AOC △BOC
（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1，l，l 不能围成三角形，∴当l 经过点C（2，
3 1 2 3 3
4）时，k= ；
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当l，l 平行时，k=2；当1，l 平行时，k=﹣ ；故k的值为 或2或﹣ ．
2 3 1 3
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解
析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
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