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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 3 讲正比例函数与一次函数
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 3 讲正比例函数与一次函数
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一次函数和正比例函数的定义
考向二 一次函数的图象及性质
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
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第 3 讲正比例函数与一次函数
一次函数是中考非常重要的函数,年年考查, 总分值为5-10分左右，预计2024年各地中考
一定还会考, 一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与
几何图形综合为主。
→➊考点精析←
一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比
例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意
实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符
函数图象 图象的位置 性质
号
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
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2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，
图象关系
向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象
图象确定
时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
k>0，b>0 一、二、三
y=kx+b
y随x的增大而增大
(k≠0)
k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b
y随x的增大而减小
(k≠0)
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当– >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当– =0，即b=0时，直线经过原点．
③当– <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=kx+b（k≠0）与y=kx+b（k≠0）的位置关系：
1 1 1 2 2 2
①当k=k，b≠b，两直线平行； ②当k=k，b=b，两直线重合；
1 2 1 2 1 2 1 2
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③当k≠k，b=b，两直线交于y轴上一点； ④当k·k=–1时，两直线垂直．
1 2 1 2 1 2
四、待定系数法
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析
式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数 k，b的二元
一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数 一次函数
y=kx+b （ k 是 常 数 ， 且 y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
一般形式
k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
区 k的符号决定其增减性，同 k的符号决定其增减性；b的符号决定
k，b 符号的作
别 时决定直线所经过的象限 直线与y轴的交点位置；k，b的符号
用
共同决定直线经过的象限
求解析式的条 只需要一对x，y的对应值 需要两对x，y的对应值或两个点的坐
件 或一个点的坐标 标
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的
图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
联 ③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向
系 上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线 y=kx+b（k≠0，
b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减
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小．
→➋真题精讲←
考向一 一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
1．（2020·四川中考真题）已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的
值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【解析】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣ =3，解得：x=﹣ ，不合题意舍去；∴x=﹣2，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数
进行分段求解是解题的关键．
2．（2020·四川成都市·九年级二模）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；
（3）y＝ ；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确；
（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝ 属于反比例函数，故错误；
（4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B．
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【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数
y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
考向二 一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画
直线．
2．当k>0时，函数 y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当 k<0时，函数 y=kx
（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
3．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式
，进行计算即可得到答案．
【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式 ，
A.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
B.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
C.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
D.当 时， ，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都
在函数图象上，是解题的关键．
4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象
限，则 的值可为（ ）
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A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，
∴ ，
∴ 的值可为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系
是解题的关键．
5．（2020·山东济南·中考真题）若m ﹣2，则一次函数 的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解析】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数 的图象经过一，二，四象限，故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数
中的 对函数图像的影响是解题的关键 ．
6．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向
右平移3个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数 的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数
的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
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【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
8.（2023·新疆·统考中考真题）一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据 即可求解．
【详解】解：∵一次函数 中 ，
∴一次函数 的图象不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当
时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把 代入函数 ，从而判
断函数值y的取值．
【详解】∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当 时，
故选：D.
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
10．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点 在直线
上，过点A的直线交y轴于点 ．
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(1)求m的值和直线 的函数表达式．
(2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线 的函数解析式为
，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得 ， ，则有
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ．
设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 代入得
，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解：∵点 在线段 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
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∴ 的值随 的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点
，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转 得到点B，在 ，
， ， 四个点中，直线 经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线
的解析式，依次将 四个点的一个坐标代入 中可解答．
【详解】解：∵点 ，点 ，
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∴ 轴， ，
由旋转得： ，
如图，过点B作 轴于C，
∴ ，
∴ ，
∴ ），
设直线 的解析式为： ，
则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴点 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 在直线 上，
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当 时 ，
∴ 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 不在直线 上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标
是解本题的关键．
12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数 的图象经过点 和 ，
则 ________________．
【答案】
【分析】把点 和 代入 ，可得 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平
方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
14．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
(3)若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
(4)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
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【答案】(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣ ．
【分析】
(1)根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；
(2)根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；
(3)根据两函数图象平行，k值相等可得2m+1＝3；
(4)根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．
【详解】
解：(1)∵函数图象经过原点，
∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，
解得：m＝3；
(2)∵函数图象在y轴的截距为﹣2，
∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，
解得：m＝1；
(3)∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
解得：m＝1；
(4)∵y随着x的增大而减小，
∴2m+1＜0，
解得：m＜﹣ ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y轴的交点就是y＝kx+b中，b的值，k＞
0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右
下降．
14．若 与 成正比例，且当 时， .
（1）求 与 的函数关系式
（2）如果点 在该函数图象上，求 的值.
【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.
【分析】
（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k的值，进而可得出y与x的函数关系式；
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（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．
【详解】
解：（1）设 （ ）
当x＝2时，y＝5
5-1=(2+2)k
∴k=1
当K＝10时
y-1=x+2
y=x+3
（2）当点（m，5）在该函数图象上
∴5=m+3
∴m=2
【点睛】
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般
步骤是解答此题的关键．
15．若函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．
（1）求该函数的表达式．
（2）将该函数图象沿y轴向上或者向下平移，使其经过（1，﹣2），求平移的方向与距离．
【答案】（1）y＝2x；（2）沿y轴向下平移4个单位．
【分析】
（1）根据正比例函数的定义可得一个关于m的等式，求得m值代入函数解析式即可得；
（2）根据函数解析式可设平移后的函数解析式为 ，将 代入求得b值，再
根据平移后的函数解析式即可得.
【详解】
（1）根据题意得 且 ，
解得 ，
所以该函数的表达式为 ；
（2）设平移后的函数解析式为 ，
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将 代入得 ，
解得 ，
则平移后的函数解析式为 ，
所以函数的图象是沿y轴向下平移4个单位，使其经过 .
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、以及函数图象的平移，掌握正
比例函数的定义是解题关键.
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