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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.4 一元一次不等式（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1. 不等式的性质 ☆☆ 数学中考中，有关一元一次不等式(组)的部分，食欲
中考必考内容。每年考查1道题,分值为3~6分，通
考点 2. 一元一次不等式 常以选择题、填空题、 解答题的形式考查。在解答
☆☆☆
(组)的解法及解集表示 综合题里，考查其他知识时还渗透不等式（组）知
识点的考查。是高中阶段学习数学的重要基础。所
考点 3. 一元一次不等式 以学生复习时，要系统熟练学习不等式（组）的解
☆☆☆
的应用 法和应用。
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不
变。
性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变。
【易错点提示】利用性质3时，需要特别注意不等式的不等号方向的改变。不注意会导致解题错
误。
考点2. 一元一次不等式(组)的解法及解集表示
1. 不等式的定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式．
【区别与联系】一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但
也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但
两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．
3.一元一次不等式解法
根据不等式的性质解一元一次不等式。基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变
不等号方向．
【注意】符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号
合写形式．
4.一元一次不等式组及解集：一般地，关于同一未知数的两个一元一次不等式合在一起，组成一元
一次不等式组．两个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
【注意】不等式组可能也有三个或者多个含同一个未知数的一元一次不等式组成的。初中阶段只研
究含同一个未知数的两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组。
5. 一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组时，一般先分别求出其中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，
利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
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【注意】求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中
间找；大大小小找不到。
6. 几种常见的不等式组的解集
不等式组
（其中 数轴表示 解集 口诀
）
同大取大
同小取小
大小、小大
中间找
大大、小小
无解
取不了
考点3. 一元一次不等式的应用
1.不等式(组)与实际问题解题抓住技巧
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际
问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的
不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2.不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步： 列不等式 ( 组 )。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步： 解不等式 ( 组 )，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
【易错点提示】
1.利用数轴确定不等式组的解（整数解）：解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的
解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不
等式组的整数解．
2.已知解集（整数解）求字母的取值：一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解
不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数
式即可得到答案．
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考点1. 不等式的性质
【例题1】（2024广州）若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了不等式 基的本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基
本性质逐项判断即可得．
A．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
B．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符题意；
C．∵ ，
∴ ，则此项错误，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，则此项正确，符合题意；故选：D．
【对点变式练1】（2024广东一模）根据不等式的性质，下列变形正确的是( )
A．由a>b得ac2>bc2
B．由ac2>bc2得a>b
C．由－a>2得a<2
D．由2x＋1＞x得x＜－1
【答案】见解析
【解析】A中a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；B中不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不
等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右
边也应乘以－2，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错
误．故选B.
方法总结：本题考查不等式的性质，注意不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变．
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【对点变式练2】（2024深圳一模）用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则a+3 b+3
（2）已知 a （2）<
【解析】（1）因为 a>b，两边都加上3，
由不等式基本性质1，得 a+3 > b+3；
（2）因为 a-16
【解析】移项，得
4x-5x<15+1
合并同类项，得
-x<16
系数化为1，得
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x>-16
【对点变式练2】（2024贵州黔东南一模）不等式组 的解集是 ．
【答案】﹣ ＜x≤4．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣ ，
解不等式 ，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣ ＜x≤4．
【对点变式练3】（2024福州一模）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
【对点变式练4】（2024湖南怀化一模）不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（
）
A． B．
C． D．
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【答案】C
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣ x＞﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
考点3. 一元一次不等式的应用
【例题3】（2024吉林）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两
种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不
同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确
定不等式组整数解的个数即可．
设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得： ，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．故答案为B．
【对点变式练1】（2024黑龙江黑河一模）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的
矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
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（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴ ，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
考点1. 不等式的性质
1. （2024吉林长春）不等关系在生活中广泛存在．如图， 、 分别表示两位同学的身高， 表示
台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】A
【解析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可
解答．
由作图可知： ，由右图可知： ，即A选项符合题意．故选：A．
2. （2024江苏苏州）若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的
两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正
数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解： ，
A、 ，故错误，该选项不合题意；
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B、 ，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出 ，故错误，该选项不合题意；
D、 ，故正确，该选项符合题意；故选：D．
3. （2024上海市）如果 ，那么下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．
A．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C．
4. （2024安徽省）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判
断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项B错误，不符合题意；
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项C正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项D错误，不符合题意故选：C
考点2. 一元一次不等式(组)的解法及解集表示
1. （2024湖北省）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．根据一元一次不等式的
性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．
【详解】解： ，
．
在数轴上表示如图所示：
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故选：A．
2.（2024福建省）不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
，
，
，
故答案为： ．
3. （2024广西）不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元
一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
故答案为： ．
4. （2024广东） 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是
______．
【答案】 ##
【解析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同
小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
由数轴可知，两个不等式的解集分别为 ， ，
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∴不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
5. （2024山东烟台）关于 的不等式 有正数解， 的值可以是______（写出一个即
可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于
的一元一次不等式，即可求出 的取值范围，进而可得 的值，求出 的取值范围是解题的关
键．
【详解】解：不等式移项合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵不等式 有正数解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的值可以是 ，
故答案为： ．
6. （2024吉林省）不等式组 的解集为______．
【答案】 ##
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同
小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
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∴原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
7. （2024山东枣庄）写出满足不等式组 的一个整数解________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】本题考查一元一次不等式组 的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．
先解出一元一次不等式组的解集为 ，然后即可得出整数解．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的一个整数解为： ；
故答案为： （答案不唯一）.
8. （2024贵州省）不等式 的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【详解】不等式 的解集在数轴上的表示如下：
．
故选：C．
9. （2024江苏连云港）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，图见解析
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【解析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，
移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.
【详解】 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
解得 ．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
10. （2024内蒙古赤峰）解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上
表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解
集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
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故选：C．
11. （2024 黑龙江龙东）关于x的不等式组 恰有 3 个整数解，则a的取值范围是
________．
【答案】
【解析】本题考查解一元一次不等式（组 ，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确
解一元一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组 恰有3个整数解，即可得到关
于 的不等式组，然后求解即可．
【详解】由 ，得： ，
由 ，得： ，
不等式组 恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得 ，
故答案为： ．
12. （2024甘肃临夏）解不等式组： ．
【答案】
【解析】分别求出不等式组中两不等式 解的集，找出两解集的方法部分即可．
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解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以不等式组的解集是
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13. （2024武汉市）求不等式组 的整数解．
【答案】整数解为：
【解析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、
同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为： ，
∴整数解为：
14. （2024江苏扬州）解不等式组 ，并求出它 所有整数解的和．
的
【答案】 ，整数和为6
【解析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关
键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取
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小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．
【详解】 ，
由①得， ，
解得， ；
由②得， ，
移项得， ，
解得， ，
∴原不等式组的解为： ，
∴所有整数解为： ，
∴所有整数解的和为： ．
15. （2024天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【小问1详解】
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解：解不等式①得 ，
为
故答案 ： ；
【小问2详解】
解：解不等式②得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：在数轴上表示如下：
【小问4详解】
解：由数轴可得原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
考点3. 一元一次不等式的应用
1. （2024江苏常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸
爸行驶在最高限速 的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计
时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路
口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其
他因素，小亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬
间也可通过），则车速v（ ）的取值范围是________．
【答案】
【解析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
组是解题的关键．
利用路程 速度 时间，结合小亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口
（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出车速
的取值范围．
【详解】 ．
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根据题意得： ，
解得： ，
车速 的取值范围是 ．
故答案为： ．
2. （2024山东枣庄）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为 ；
②1班学生的最低身高小于 ；
③2班学生的最高身高大于或等于 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设 1班同学的最高身高为 ，最低身高为
，2 班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，根据 1 班班长的对话，得 ，
，然后利用不等式性质可求出 ，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得
， ，然后利用不等式性质可求出 ，即可判断②．
【详解】解：设1班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，2班同学的最高身高为 ，最低
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身高为 ，
根据1班班长的对话，得 ， ，
∴
∴ ，
解得 ，
故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确，故选：C．
3. （2024辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为 、工作期间需同时排水，乙池的排水
速度是 ．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于 ，那么最多可以排水几小时？
【答案】（1） （2）4小时
【解析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理
解题意是解题的关键．
（1）设甲池的排水速度为 ，由题意得， ，解方程即可；
（2）设排水a小时，则 ，再解不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲池的排水速度为 ，
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由题意得， ，
解得： ，
答：甲池的排水速度为 ；
【小问2详解】
解：设排水a小时，
则 ，
解得： ，
答：最多可以排4小时．
4. （2024江西省）如图，书架宽 ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数
学书厚 ，每本语文书厚 ．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）数学书最多还可以摆90本
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找
出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
（1）首先设这层书架上数学书有 本，则语文书有 本，根据题意可得等量关系： 本数学
书的厚度 本语文书的厚度 ，根据等量关系列出方程求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设书架上数学书有 本，由题意得：
，
解得： ，
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．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
【小问2详解】
设数学书还可以摆m本，
根据题意得： ，
解得： ，
∴数学书最多还可以摆90本．
5. （2024贵州省）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实
践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩
乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生
（2）至少种植甲作物5亩
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需
要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求
解即可．
【小问1详解】
解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；
【小问2详解】
解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，
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根据题意，得： ，
解得 ，
答：至少种植甲作物5亩．
6. （2024河南省）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义
务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每
份午餐中的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包
（2）选用A种食品3包，B种食品4包
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入 热量和 蛋白
质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于
”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
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解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
【小问2详解】
解：设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，
根据题意，得 ．
∴ ．
设总热量为 ，则 ．
∵ ，
∴w随a的增大而减小．
∴当 时，w最小．
∴ ．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
考点1. 不等式的性质
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A．5x－2＞0 B．－3＜2＋
C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2
【答案】A
【解析】选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，
选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式．故选A.
方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数
的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的整式．
2．若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【解析】A.由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B.若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C.若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
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D.由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3. 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足________.
【答案】a＜－1.
【解析】根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得 a＜－1.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
4. 用三个不等式a＞b，ab＞0， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成
一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
①若a＞b，ab＞0，则 ；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴ ；
②若ab＞0， ，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同号，
∵ ，
∴a＞b；
③若a＞b， ，则ab＞0，真命题；
理由：∵a＞b， ，
∴a、b同号，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个．
考点2. 一元一次不等式(组)的解法及解集表示
1.不等式组 的非负整数解有（ ）
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A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】
【解析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整
数解．
，
解不等式①得：x＞-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，共5个．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根
本，确定不等式组的解集及其非负整数解是关键．
2. 下列数值不是不等式组 的整数解的是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整
数解．
解： ，
解不等式①，得：x＞﹣ ，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式组的解集为：﹣ ＜x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1．
3.不等式组 的所有非负整数解的和是（ ）
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而
可得知不等式组的非负整数解．
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，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
4．对于不等式组 ,下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣ ＜x≤2
【答案】B．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此
类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再
写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
5．不等式组 的解集为 ．
【答案】1≤x＜7．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式x﹣3＜4，得：x＜2，
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解不等式 ≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜7．
6．若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x ，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出
2 3，解之可得答案．
∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x ，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2 3，
解得：﹣7＜a≤﹣4
7．关于x的不等式 的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于 m的不等式组，求出不等
式组的解集即可．
不等式组整理得： ，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，
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∴﹣2≤m＜﹣1
8. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2x－3＜； (2)－≤1.
【答案】1
【解析】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为 1，求出不等式的解集，然后在数轴
上表示出来即可．
(1)去分母，得3(2x－3)＜x＋1，
去括号，得6x－9＜x＋1，
移项，合并同类项，得5x＜10，
系数化为1，得x＜2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6，
去括号，得4x－2－9x－2≤6，
移项，得4x－9x≤6＋2＋2，
合并同类项，得－5x≤10，
系数化为1，得x≥－2.
不等式的解集在数轴上表示如下：
方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与
空心圆圈．
9．不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
解： ，
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解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x＜3．
故选：B．
10.解不等式组： ．
【答案】1＜x＜2．
【解析】有分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式 ，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
11．解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
12．解不等式组 请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
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（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
【答案】见解析。
【解析】先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解集．
解：
（1）解不等式①，得x≥﹣1；
（2）解不等式②，得x＞﹣5；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．
考点3. 一元一次不等式(组)的实际应用
1．某出租汽车公司计划购买 型和 型两种节能汽车，若购买 型汽车 辆， 型汽车 辆，共
需 万元；若购买 型汽车 辆， 型汽车 辆，共需 万元．
(1) 型和 型汽车每辆的价格分别是多少万元？
(2)该公司计划购买 型和 型两种汽车共 辆，费用不超过 万元，且 型汽车的数量少于
型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1) 型汽车每辆的价格为 万元， 型汽车每辆的价格为 万元；(2)费用最省的方案
是购买 型汽车 辆， 型汽车 辆，该方案所需费用为 万元.
【分析】(1)设 型汽车每辆的价格为 万元， 型汽车每辆的价格为 万元，根据购买 型汽车
辆， 型汽车 辆，共需 万元；购买 型汽车 辆， 型汽车 辆，共需 万元，列方
程组进行求解即可；
(2)设购买 型汽车 辆，则购买 型汽车 辆，根据总费用不超过 万元，且 型汽车
的数量少于 型汽车的数量，列不等式组进行求解得出购买方案，然后再讨论即可得.
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【解析】 (1)设 型汽车每辆的价格为 万元， 型汽车每辆的价格为 万元，
由题意得: ，解得 ，
答： 型汽车每辆的价格为 万元， 型汽车每辆的价格为 万元；
(2)设购买 型汽车 辆，则购买 型汽车 辆，
由题意得： ，解得： ，因为 是整数，所以 或 ，
当 时，该方案所需费用为： 万元；
当 时，该方案所需费用为： 万元，
答：费用最省的方案是购买 型汽车 辆， 型汽车 辆，该方案所需费用为 万元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，找准题中的等
量关系、不等关系是解题的关键.
2．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 辆调拨不超过 吨蔬菜和 吨肉制
品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜 吨和肉制品 吨；一辆中型车可运蔬菜 吨和肉制品
吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若一辆大型车的运费是 元，一辆
中型车的运费为 元，试说明 中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安
排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；（2）方案1安排 辆大
型车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是 元．
【分析】 设安排 辆大型车，则安排 辆中型车，根据 辆车调拨不超过 吨蔬菜和
吨肉制品补充当地市场，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，
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结合 为整数即可得出各运输方案； 根据总运费＝单辆车所需费用 租车辆车可分别求出三种租
车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设安排 辆大型车，则安排 辆中型车，
依题意，得： 解得： ． 为整数， ．
符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型
车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车．
方案1所需费用为： （元），
方案2所需费用为： （元），
方案3所需费用为： （元）．
， 方案1安排 辆大型车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是
元．
答：（1）符合题意的运输方案有 种，方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排
辆大型车， 辆中型车；方案 ：安排 辆大型车， 辆中型车；（2）方案1安排 辆大型
车， 辆中型车所需费用最低，最低费用是 元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
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