专题 4 不等式与不等式组
1.不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫作不等式；使不等式成立的 的值叫作不等式的解；
一个含有 的不等式的解的 叫作不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解
的过程叫作解不等式.
a b
);
2.不等式的基本性质：(1)若a<b，则a+c b+c;(2)若a>b,c>0,则 ac bc (或 c c (3)若
¯
a b
).
a>b,c<0,则 ac bc(或 c c
¯
3.一元一次不等式：只含有 未知数，未知 数 的 次 数 是 ，系数 且不等式的两
边都是整式，这样的不等式称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax<b；解一元一次不
等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.
4.几个关于 的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.求 的解集的过程，
叫作解不等式组.解不等式组的方法：先要分别求出不等式组中 的解集，再利用 求出这些不等式
的解集的 ，即是这个不等
{x<a,
式组的 .由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(已知a<b): 的 解 集 是
x<b
{x>a, {x>a, {x<a
, 即 “ ” ; 的解集是 ，即“ ”; 的解集是 ，即“ ”; 的
x>b x<b x>b
解集是 ，即“ ”.
5.求不等式(组)的特殊解：不等式(组)的解往往有 ，但其 在某些范围内是有限的，如整数解，
非负整数解，求这些 应先确定 ，然后再找到相应答案.
6.列不等式(组)解应用题的一般步骤：
① ：审题，分析题中 什么， 什么，明确各数量之间的关系；② ：找出能够表
示应用题全部含义的一个 ；③ ：设未知数(一般求什么，就设什么为x)；④ ：根据这个不
等关系列出需要的代数式，从而列出不等式(组)；⑤ ：解所列出的不等式(组)，写出 未 知 数 的 值 或
范 围；⑥ ：检验所求解是否 ，写出答案(包括 单 位).要搞 清 楚 、 、 、
、 、 等术语与相应的不等号.
7.确定不等式(组)中字母的取值范围
①利用 解集；② 确定；③从 确定；④借助 确定.
实战演练1.已知a,b,c,d是实数,若a>b,c=d,则 ( )
A. a+c>b+d
B. a+b>c+d
C. a+c>b--d
D. a+b>c-d
2.不等式2x-4<10的解集是 ( )
A. x<3
B. x<7
C. x>3
D. x>7
{y+9≤2(y+2),
3x−a x+1
3.关于x的分式方程 + =1的解为正数，且关于 y的不等式组 2y−a 的解集为 y≥5，
x−3 3−x >1
3
则所有满足条件的整数a的值之和是 ( )
A.13
B.15
C.18
D.20
4.已知a>b,则一定有-4a□-4b, “□”中应填的序号是 ( )
A.>
B.<
C.≥
D. =
x−1
5.不等式 <x+1的解集在数轴上表示正确的是 ( )
3
1 1
6.已知a>b,下列结论:①a²> ab;②a²>b²;③若b<0,则a+b<2b;④若 b>0,则 < .其中正确的个数是 ( )
a b
A.1 B.2
C.3 D.4
x−3
7.不等式 ≥1的解集为 .
2
{3x+4≥0,
8.不等式组 的解集是 .
4−2x<−1
9.某品牌护眼灯的进价为240元，商店以 320元的价格出售. “五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润
率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元.{2x≥x−1,①
10.解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答.
x+1≤3.②
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为 .
11.解不等式组:
{3(x+2)≥2x+5①,
x x−2
−1< .②
2 3
12.麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排 A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A
型收割机比一台 B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台 A 型收割机收割15 公顷小麦所用时间与一台 B
型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.
(1)一台 A 型收割机和一台 B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷?
(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于 50公顷的小麦收割
任务，至少要安排多少台 A 型收割机?
13.为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，
学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得4分，答错扣
1分，不答得0分.
(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86 分，则该参赛同学一共答对了多少道题?
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至
少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”?
压轴预测
1不等式-2x+1<3的解集是 ( )
{x>a
2.如果不等式组 恰有 3个整数解，则a的取值范围是 ( )
x<2
A.a≤-1 B. a<-1
C.-2<a≤-1 D.-2≤a<-13.某种商品的进价为500 元，出售时标价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于
20%，那么至多打 ( )
A.6折 B.7折
C.8折 D.9折
4.刘畅的爸爸接到老家妈妈的电话，家里出了事，要求他马上赶回家处理，爸爸立即从距家90 km的工作位置
骑车赶回，为了安全起见，计划途中行驶时间不低于 2 h，不超过3 h，问爸爸行驶的平均速度应控制在什么 范
围内? 设爸爸的行驶速度为x km/h,则x的取值范围是( )
A.30≤x≤45 B.30<x<45
C.30<x≤45 D.30≤x<45
{2x+12≥4(x+2),
5.不等式组 5 的整数解有 个.
x>x−1
4
6.2021 年是中国共产党100 周年诞辰，为了庆祝中国共产党的生日增进广大师生对中国共产党发展历程的了
解，加强同学们爱国爱党的意识.某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞
赛共 25 题，答对一题得 10 分，答错一题或不答题扣5分，设小林同学在这次竞赛中答对了x道题.
(1)根据所给的条件，补全下表.
答题情况 题数(道) 每题得分(分) 得分(分)
答对 x 10
答错或不答
(2)若小林同学的竞赛成绩不低于150分，则小林至少要答对几道题?
{x−4
≥x−3,
7.解不等式组 2 并把解集在数轴上表示.
2x+5>2−x,
x−2 3x+5 2−x
8.解不等式 − ≥x− ,并把它的解集在数轴上表示出来.
3 2 3
参考答案
1.不等号 未知数 未知数 全部 解集
2.(1)< (2)> > (3)< <
3.一个 1 不为0 ax+b<0 去括号合并同类项
4.同一个未知数 不等式组 各个不等式 数轴 公共部分 解集 x<a同小取小 x>b 同大取大 a<x<b大小小大取
中间 无解 大大小小取不到
5.无限个 特殊解 特殊解 原不等式组的解集6.①审 已知 求 ②找 不等关系③设 ④列 ⑤解 ⑥验 符合题意不超过 至少 不大于 不少于最多 最少
7.不等式(组) 分类讨论反面求解数轴
1. A 【解析】本题考查不等式的性质.因为a>b,c=d,所以a+c>b+d,故选 A.
2. B 【解析】本题考查解一元一次不等式.2x-4<10,移项并合并同类项得2x<14，系数化为1得x<7，故选 B.
3. A 【解析】本题考查解分式方程、解一元一次不等式组.解分式方程得：x=a-2.∵x>0且x≠3,∴a-2>0且
a+3
a-2≠3,∴a>2且a≠5.解不等式组得 ∵不等式组的解集为 y≥5,∴ <5,∴a<7,∴2<a<7且a≠5，∴所有满
2
足条件的整数a的值之和为3+4+6=13,故选 A.
4. B 【解析】本题考查不等式的性质.∵a>b,∴-4a<-4b,故选 B.
5. B 【解析】本题考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式.去分母得x-1<3x+3,移项得x-3x<3+1,
合并同类项得-2x<4,系数化为1得x>-2,将不等式的解集表示在数轴上为 选 B.
6. A 【解析】本题考查不等式的性质.∵a>b,∴当 a>0时. a²>ab,当a<0时, a²<ab,故结论①错误;∵a>b,∴当|a|
1 1
>|b|时,a²>b²,当|a|<|b|时, a²<b²,故结论②错误;∵a>b,b<0,∴a+b>2b,故结论③错误;∵a>b,b>0,∴a>b>0,∴ < 故结论
4 6
④正确，故选 A.
7. x≥5 【解析】本题考查解一元一次不等式.根据题意，将原不等式变形为x-3≥2，解得x≥5，∴原不等式的解
集为x≥5.
5 4 5
8.x> 【解析】本题考查解一元一次不等式组.由3x+4≥0,解得 x≥− ,由4-2x<-1,得 x> ,所以原不等式
2 3 2
5
组的解集为 x> .
2
9.32 【解析】本题考查一元一次不等式的实际应用.由题意，设该护眼灯可降价x元，则
320−x−240
×100%≥20%,解得x≤32，所以该护眼灯最多可降价32元.
240
10.(1)x≥1 (2)x≤2 (3)略(4)-1≤x<2
解:(1)x≥-1;
(2)x≤2;
(3)
(4)-1≤x≤2.
11.-1≤x<2
解:解不等式①,得x≥-1;
解不等式②,得x<2,
∴原不等式组的解集为-1≤x<2.
12.(1)x=5 (2)y≥7
(1)根据题意列分式方程，解方程并检验即可求解；(2)根据题意列一元一次不等式即可求解.
解：(1)设一台 A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台 B型收割机平均每天收割小麦(x-2)公顷.
15 9
根据题意，得 = ,
x x−2
解得x=5,
经检验：x=5是所列分式方程的根，
∴x-2=5-2=3(公顷).
答：一台A 型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷.
(2)设每天要安排y台 A 型收割机，根据题意,得5y+3(12-y)≥50,解得 y≥7.
答：至少要安排7台A 型收割机.
13.(1)22 (2)23
(1)根据已知的等量关系列一元一次方程即可求解；
(2)根据已知不等关系列一元一次不等式即可求解.
解：(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(24-x)道题,
由题意得4x-(24-x)=86,
解得x=22.
答：该参赛同学一共答对了22道题.
(2)设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人”，
依题意得4y-(25-y)≥90,
解得y≥23.
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”.
压轴预测
1. A
2. D 【解析】本题考查解不等式组.有 3个整数解, ∴-2≤a<-1,故选 D.
3. C 【解析】本题考查一元一次不等式的应用.设该商品打x折销售，依题意得
x
750× −500≥500×20%,解得x≥8,故选 C.
10
{2x≤90,
4. A 【解析】本题考查一元一次不等式组的应用.根据题意列不等式组得 解得30≤x≤45,故选 A.
3x≥90,
5
5.6 【解析】本题考查不等式组整数解的确定.解不等式2x+12≥4(x+2)得x≤2,解不等式 x>x−1得x>-4，所
4
以不等式组的解集是-4<x≤2，其中的整数解有-3,-2,-1,0,1,2 共6个.
6.(1)略(2)19
解：(1)补全如表：
答题情况 题数(道) 每题得分(分) 得分(分)
答对 x 10 10x
答错或不答 25-x -5 -5(25-x)55
(2)根据题意,得10x-5(25-x)≥150,解得 x≥ .
3
∵x为正整数，
∴x最小取19.
答：小林至少要答对19道题.
7.-1<x≤2 数轴表示略
分别解出两个不等式，再取交集，并在数轴上表示出来即可.
x−4
解：解不等式 ≥x−3,得x≤2;
2
解不等式2x+5>2-x,得x>-1,
∴原不等式组的解集为-1<x≤2.
解集在数轴上表示如图.
8.x≤-1数轴表示略
解:原不等式可化简为2x-4-9x-15≥6x-4+2x,即-7x-19≥8x-4,解得x≤-1.解集在数轴上表示如
