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第 7 讲 不等式与不等式组
第一部分 知识点梳理
知识点1 不等式的概念及性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立
的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数
性质1 若 ，则
（或式子），不等号的方向不变
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正
性质2 数，不等号的方向不变 若 ， ，则 或
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负
性质3 数，不等号的方向改变 若 ， ，则 或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不
等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数
轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
知识点2 一元一次不等式
1.一元一次不等式.不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 次，这样
的不等式叫一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤ 系数化为 1 （注意不
等号方向是否改变）。
知识点3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组.一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等
式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3.一元一次不等式组的解法.先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解
集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4.几种常见的不等式组的解集 a，b是常数，且 ，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示
（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组 数轴表示 解集 口诀
第 1 页 共 11 页（其 中）
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
知识点4 不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤：
①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设
计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用
“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质 2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
第 2 页 共 11 页第二部分 考点突破
考点1不等式的概念及性质
1．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水， ，都加入c克水
后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳·中考真题）如果 ，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·中考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·上海·中考真题）如果 ，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
8．（2023·山东济南·中考真题）实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
9．（2023·北京·中考真题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
第 3 页 共 11 页C． D．
10．（2022·江苏南京·中考真题）已知实数 ， ， ，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
12．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点 、 分别表示实数 、 ，则 ．（填
“>”、“=”或“<”）
考点2一元一次不等式与不等式组
13．（2025·福建·中考真题）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·吉林·中考真题）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·山西·中考真题）不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
17．（2024·贵州·中考真题）不等式 的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
第 4 页 共 11 页A． B．
C． D．
19．（2025·浙江·中考真题）不等式组 的解集是 ．
20．（2025·上海·中考真题）不等式组 的解集为 ．
21．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组：
22．（2025·四川自贡·中考真题）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
23．（2024·西藏·中考真题）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
第 5 页 共 11 页24．（2025·北京·中考真题）解不等式组：
25．（2025·陕西·中考真题）解不等式组：
26．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
27．（2025·重庆·中考真题）求不等式组： 的所有整数解．
28．（2025·江苏连云港·中考真题）解不等式组
29．（2025·江苏苏州·中考真题）解不等组：
第 6 页 共 11 页30．（2025·甘肃·中考真题）解不等式组：
31．（2025·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
32．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次方程组 ，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
考点3不等式与不等式组的应用
33．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道
题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对
的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
34．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单
笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件 商品，立减了20元；乙在该商场单笔购
买2件 商品与1件 商品，立减了30元．若 商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
第 7 页 共 11 页A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
35．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小
亮爸爸行驶在最高限速 的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时
32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、
绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小
亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则
车速v（ ）的取值范围是 ．
36．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买 两种型
号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元；购买 个 型号的
新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元．
材料二：据统计该社区需购买 两种型号的新型垃圾桶共 个，但总费用不超过 元，且 型
号的新型垃圾桶数量不少于 型号的新型垃圾桶数量的 ．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求 两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
37．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价
高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
38．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种
中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结，则需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号
中国结，则需用绳13米．
(1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
(2)春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编
第 8 页 共 11 页织多少个大号中国结？
39．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为
125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80
元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
40．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千
克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少
千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买 两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．
设小明买A水果 千克．
①若这两种水果按标价出售，求 的取值范围；
②小明到这家商店后，发现 两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1
千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的 出
售．）若小明合计付款48元，求 的值．
41．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买 ， 两种香料．已知 种材
料的单价比 种材料的单价多3元，且购买4件 种材料与购买6件 种材料的费用相等．
(1)求 种材料和 种材料的单价；
(2)若需购买 种材料和 种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买 种材料多少件？
第 9 页 共 11 页42．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共
50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的
总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
43．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费
用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按
每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，
则购进A商品的件数最多为多少？
44．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充
电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 万元，且用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B
型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不少
于A型充电桩购买数量的 ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
45．（2024·江苏南通·中考）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分
拣．
相关信息如下：
信息一
第 10 页 共 11 页信息二
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
第 11 页 共 11 页
