专题 06 二次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一：二次函数的相关概念
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识模块五 二次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）
考点一：二次函数的图象与性质
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
考点三：二次函数含参问题
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
考点五：二次函数最值
考点六：二次函数与一元二次方程关系
考点七：二次函数与不等式关系
考点八：二次函数的实际应用
考点九：二次函数综合
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）
易错点一：忽略题目中的隐含条件
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
易错点三：考虑不全,导致出错
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错知识模块一：二次函数的相关概念
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是
二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.
知识点二：二次函数解析式的确定
1.二次函数常见表达式
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
1 2注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方
ax²+bx+c=0的解
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式
(1)顶点在原点,可设为y=ax²
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;
(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;
(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线
的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
注意：
图象特征
二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法
找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值
找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y
y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x
O
O O O h<0,k<0 O
图
象
y
y y
y y h<0,k>0
x x
x
O
O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
Ob
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b
(− ，
2a
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
4ac−b2
)
4a
b 4ac−b2
a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=− 时 y 有最小值 ；
2a 4a
最
值
b 4ac−b2
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=− 时 时y有最大值 .
2a 4a
b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而增
a>0 2a 2a
增 大.
减
性 b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而减
a<0 2a 2a
小.
知识点二：二次函数的图象变换
1.二次函数的平移变换
总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或
y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
知识点三：二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0.
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情
况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为 图象 观察方法 解集
例ax2＋bx＋c>0 函数y=ax²+bx+c的 x<x 或x>x
1 2
的解集情况 图象位于x轴上方时
对应的自变量的取值
范围
ax2＋bx＋c<0 函数y=ax²+bx+c的 x<x<x
1 2
的解集情况 图象位于x轴下方时
对应的自变量的取值
范围
知识模块五 二次函数的应用
知识点一：用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶
点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
知识点二：方法技巧总结
1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求
出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值
2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题
3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值
4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线
或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进
行计算．
5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该
点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
考点一：二次函数的图象与性质
【典例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点
式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平
移后的抛物线为 ，再把 化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线 向下平移2个单位后，
则抛物线变为 ，
∴ 化成顶点式则为 ，
故选：A．
【典例2】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次
函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵ ， ， ，
而 ， ， ，
∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远，
∴ ；
故选：D．
【典例3】（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当 时，y随x的值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x
的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0
时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0
时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：A、由于 ，则当 时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
B、由于 ，则当 时，y随x的值的增大而增大，符合题意；
C、由于 ，对称轴为直线x=−1，则当 时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
D、由于 ，对称轴为直线x=1，则当 时，y随x的值的增大而增大，当x<1时，y随x的值的增大
而减小，不符合题意；
故选：B．
【典例4】（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点
， ，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线
开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，即可得出 ， ， ，从而求出 ，
即可判断①；根据二次函数与 轴的交点得出二次函数的对称轴为直线 ， ，
，计算即可判断②；根据当 时，二次函数有最小值 ，即可判断③；根据
即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，
∴二次函数的对称轴为直线 ， ， ，
由 得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，故②错误；
当 时，二次函数有最小值 ，
由图象可得，对任意实数m， ，
∴对任意实数m， 均成立，故③正确；
∵点 ， 在抛物线上，且 ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共 个，
故选：B．
【典例5】（2024·贵州遵义·二模）已知函数 的图象与二次函数 的图象交于点
， ， ．若点 在 轴下方且 时，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合．
先画出函数图象，根据函数的图象即可得．
【详解】解：如图所示，根据函数图象得， ；
故选：A．
【典例6】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点
在 轴上．若 两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟
练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
于点 ，先证明 ．可得 ， ．点 、 的横坐标分别为 、
，可得 ， ． ， ， ，设 ，则
， ， ， ， ， ．再由
， 进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是正方形，
、 互相平分， ， ，， ，
．
， ，
．
， ．
点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ．
， ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ， ．
又 ， ，
， ．
．
．
．
点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的右侧，
．
．
故选：B．
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
【典例1】（2024·山东青岛·三模）二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；
② ；③m为任意实数，则 ；④ ；⑤若 ，且 ，
则 ．其中正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行
判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与 轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；
④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则 ，
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，故②正确
抛物线与 轴交于负半轴，则 ，
∴ ，故①错误；
∵当 时，取得小值，
∴ ，
当m为任意实数，则 ，故③正确，
④∵抛物线关于 对称，
∴ 和 的函数值相同，
即： ，
由图象知，当 时，函数值大于0，
∴ ，故④正确；
⑤当 关于 对称时：即： 时，
对应的函数值相同，即： ，
∴
∴若 ，且 ，则 ；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
【典例2】（2024·湖北武汉·二模）函数 、 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直
角坐标系中，函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数
图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数 和函数 的开口都向上，所以函数 的开口一定向上，故C选项
不符合题意；
由图象知，函数 的对称轴在y轴的右侧，函数 的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数 的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；
函数 的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数 的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的
绝对值小于后者的绝对值，所以，函数 的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选
项B符合题意．
故选：B．
【典例3】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数 ，二次函数 ，反比例函数
在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等
式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
解得： ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：C．
【典例4】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的
对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端
点），则下列结论正确的有多少个（ ）
① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ， ， ，即可
判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为 ，即可判断②错误；将c和b用a表示，即
可得到 ，即可判断③正确；结合抛物线 和直线 与 轴得交点，即可判
断④正确．【详解】解：由图可知 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ， ，
则 ，
∵抛物线 与 轴的交点 在 ， 之间，
∴ ，
则 ，故①错误；
设抛物线与 轴另一个交点 ，
∵对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
则 ，故②错误；
∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，故③正确；
根据抛物线 与 轴交于点 和 ，直线 过点 和(0,1)，如图，
方程 两根为 满足 ，故④正确；
故选：B．
【典例5】（2024·山东青岛·中考真题）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，则过点 和点 的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到 ，根
据对称轴计算公式得到 ，即 ，则 在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，
得到当 时， ，再由二次函数与x轴无交点，得到 ，则点
在第二象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴ ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当 时， ，
∵二次函数与x轴无交点，
∴ ，
∴点 在第二象限，∴经过点 和点 的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【典例6】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程 有两实根 ， ，且
，则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与 轴的交
点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，由 有两实根 ， ，可得 ，即可得 ，故可判
断①又抛物线 的对称轴是直线 ，进而抛物线 的顶点为
c)，再结合 ，可得 ，故可判断②；依据题意可得 ，又
，进而可得 ，从而可以判断③；由 ，故
，即对于函数 ，当 时的函数值小于当 时的函数值，再结
合 ，抛物线的对称轴是直线 ，从而根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由题意，∵ 有两实根 ，
．
∴ 得， ．
∴ ，故①正确．，
∴抛物线 的对称轴是直线 ．
∴抛物线 的顶点为 ．
又 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
∴顶点坐标为 ，故②正确．
∵ ，
∴ ．
又 ，
，
∴ ，故③错误．
，
，
∴对于函数 ，当 时的函数值小于当 时的函数值．
∵ ，抛物线的对称轴是直线 ，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴ ，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
【典例7】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式
可因式分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握
二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断 ， ， 的符号即可；②将点 代入
函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到
；④由 ， 得到 ， ，将 代入函数得 ，
从而推出当 时，该抛物线与直线 的图象无交点，即可判断．
【详解】解：由题图可知 ， ，
，故①正确；
当 时， ，即 ，故②正确；
二次函数与 轴的一个交点的横坐标为 ，对称轴为直线 ，
二次函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式 ，故③错误；当 时， 有最大值，即 ，
当 时，抛物线 与直线 的图象无交点，
即关于x的方程 无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
考点三：二次函数含参问题
【典例1】（2024·四川内江·二模）若二次函数 的图象与 轴有公共点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．
熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键．
由题意知， ，令 ，则 ，由二次函数 的图象与 轴有公共点，可得
，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
令 ，则 ，
∵二次函数 的图象与 轴有公共点，
∴ ，
解得， ，
∴ 的取值范围是 且 ，故选：D．
【典例2】（2024·山东菏泽·一模）若二次函数 经过原点，则 的值为
（ ）
A． B．4 C． 或4 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为
0，这是容易出错的地方．
由题意二次函数的解析式为： 知 ，则 ，再根据二次函数
的图象经过原点，把 代入二次函数，解出 的值．
【详解】解： 二次函数的解析式为： ，
∴ ，
，
二次函数 的图象经过原点，
，
或 ，
∵ ，
．
故选：B．
【典例3】（2024·广东广州·一模）二次函数 的图象开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．
【详解】∵ 为二次函数，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，∵ ，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
【典例4】（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数 中，
(1)若它的图象过点 ，则t的值为多少？
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
(3)如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分 ，当 时，函数值最小，以及 ，当
时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由 关于对称轴对称得 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线
与y轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点为 ，结合已知确定出 ；再分类讨论：A，B
都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将 代入 中，
得 ，
解得， ；
（2）抛物线对称轴为 ．
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 ．
，若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 （不合题意，舍去）
综上所述 ．
（3） 关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得 ．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得 ，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是
解题的关键．
【典例5】（2024·云南·二模）我们约定：若关于 的二次函数 与 同时满足 ， ，则称函数 与函数 互为“美美与共”函数．根据
该约定，解答下列问题．
(1)若关于 的二次函数 与 互为“美美与共”函数，求 ， ， 的值 ．
(2)对于任意非零实数 ， ，点 与点 始终在关于x的函数 的图象上运动，
函数 与 互为“美美与共”函数．
①求函数 的图象的对称轴．
②函数 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由．
【答案】(1) 的值为 ， 的值为 ， 的值为 ；
(2)①函数 的图像的对称轴为 ；②函数 的图像过两个定点 ， ，理由见解析；
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用；
（1）根据题意得到 即可解答；
（2）①求出 的对称轴，得到 ，表示出 的解析式即可求解；②
，令 求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知： ，
∴ ．
答： 的值为 ， 的值为 ， 的值为 ．
（2）解：①∵点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运动，
∴对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，∴对称轴为 ．
答：函数 的图像的对称轴为 ．
② ，
令 ，
解得 ，
∴函数 的图像过定点 ， ．
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
【典例1】（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规
律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物为
，
∴新抛物线的顶点坐标为 ，
故选∶D．
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点
，则 ．
【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到 ，再
整体代入变形后代数式即可．
【详解】解：抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，
把点 代入得到， ，
得到 ，
∴ ，
故答案为：2
【典例3】（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图
象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练
掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析
式，然后令 ，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式
为：
，
令 ，则 ，
或 ，
解得： 或 ，
，
故答案为：1．
【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数 （a是常数），下列结论：①将这个
函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当 时，这个函数的图像在函数
图像的上方；③若 ，则当 时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规
律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线 与直线 没有交点，且开口向上即
可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
【详解】解：将二次函数 是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到 ，
当 时， ，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当 时，则 ，
令 ，即 ，
，
抛物线 与直线 没有交点，
抛物线开口向上，
当 时，这个函数的图象在函数 图象的上方；
故②正确；
二次函数 是常数），
开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随自变量 增大而增大，
故③错误；
，
顶点为 ，
，
故④正确．故答案为：①②④．
【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后
关于 轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当 时，代数式 的最小值为3
③对于任意实数 ，不等式 一定成立
④P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且 ．当 时，一定有
1 1 2 2
【答案】①③④
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次
函数的性质是解本题的关键．
由二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于 轴对称．可得 ，可得①
符合题意；由 ，可得 ，结合 ，可得②不符合题意；由对称轴为
直线 ，结合 ，可得③符合题意；分三种情况分析④当 时，当 时，满足
，当 时，不满足 ，不符合题意，舍去，可得④符合题意；
【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
而二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于 轴对称．
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，
∴
，，
∵ ，
∴当 时， 取最小值 ，故②不符合题意；
∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
当 时，函数取最小值 ，
当 时，函数值为 ，
∴ ，
∴对于任意实数 ，不等式 一定成立，故③符合题意；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，满足 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，不满足 ，不符合题意，舍去，故④符合题意；
综上：符合题意的有①③④；
故答案为：①③④．
【典例6】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴 ，即可判断①，根据
(−1,1)， 两点之间的距离大于 ，即可判断②，根据抛物线经过(−1,1)得出 ，代入顶点纵坐
标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴 ，解不等式，即可求
解．
【详解】解：∵ （a，b，c是常数， ）经过(−1,1)， 两点，且 ．
∴对称轴为直线 ， ，
∵ ，
∴ ，故①错误，
∵
∴ ，即(−1,1)， 两点之间的距离大于
又∵
∴ 时，
∴若 ，则 ，故②正确；
③由①可得 ，∴ ，即 ，
当 时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线 （a，b，c是常数， ）经过(−1,1)，
∴
∴
∴
∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值为 ，而 ，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵ ，抛物线开口向下，点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上， ， ，总有 ，
1 1 2 2
又 ，
∴点A(x ,y )离 较远，
1 1
∴对称轴
解得： ，故④正确．
故答案为：②③④．
【典例7】（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并
说明理由；
(3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ．
【答案】(1)2，
(2) ，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌
握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点 代入二次函数的解析式即可得 的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；
（2）先求出 ，从而可得抛物线的对称轴 ，再求出 ，得出点 到对称轴的距
离大于 到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；
（3）先分别求出点 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴将点 代入 得： ，
解得 ，
则 化成顶点式为 ，
故答案为：2， ．
（2）解： ，理由如下：
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，二次函数 的对称轴为直线 ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
又∵抛物线的开口向上，
∴ ．
（3）证明：若 ，则 ，
将 向上平移4个单位得到新抛物线 ，
∵抛物线 与直线 交于点 ，
∴设点 的坐标为 ，
将 代入 得： ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
轴于点 ，
，
∴ ，，
∴ ．
【典例8】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数 的图象的顶点在二次函数为 的图象上，同时二
次函数 的图象的顶点在二次函数 的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数 与二次函数 互为“顶点相容函数”，则 _______．
(2)如图，已知二次函数 的图象的顶点为 ，点 是 轴正半轴上的一个动点，将二次函
数 的图象绕点 旋转 得到一个新的二次函数 的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
且 的图象的顶点为 ．
①求二次函数 的解析式；
②点 为 轴上一点，是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在，点 的坐标为 或
【分析】（ ）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为 ，再代入二次函数解析
式得到 即可解答；
（ ）①根据旋转的性质可知 ，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数 ，
∴该函数的图象的顶点坐标为 ，
∴将 代入 ，得 ，
解得 ．
∴二次函数的解析式为 ,
∴二次函数 的顶点为 ，
∴将 代入入 得 ，
∴ 符合要求，
故答案为： ；
（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
∴ 的图象的顶点 必在二次函数 的图象上，
∵ 的图象是二次函数为 的图象绕点 旋转 得到，
∴这两个函数图象的顶点 关于点 对称，
如图，分别过 作 轴， 轴，垂足分别为 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
解得 （舍去），
∴点 的坐标为 ，当点 是 的图象的顶点时，设 ，
把 代入 ，
解得 ，
∴二次函数 的解析式为为 ；
②设点 的坐标为 ，则 ，
；
当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，存在一点 ，使得 为直角三角形，点 的坐标 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容
函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键．【典例9】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，
将抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，
交抛物线 于点Q．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
(3)如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线
和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 是定值， ．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程
根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出 ，再根据平移规律即可求出抛物线 的表达式；（2）设点P的坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，联立 与
得到 ，解得 ，即可求出答案；
（3）由（1）可得， ，与 联立得到 ，求出点C的坐标为 ，
又由点M的坐标为 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，与
联立得到 ，则 ，得到 ，
即可得到 ，得到定值．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于两点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，把点A和点P的坐标代入得到，
则解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 与 得到
，
解得 ，
则
（3）解：由（1）可得， ，与 联立得到， ，
解得 ，
此时
∴点C的坐标为 ，
∵点M的横坐标为m，且在 上，
∴
即点M的坐标为
设直线 的解析式为 ，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，与 联立得到，
，
整理得到，
则 ，
即 ，
即 ，
即 为定值．
【典例10】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、 三点，其中 ，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线
段 上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为 ，则 _________；
②求t的取值范围：
③求 的最大值．
【答案】(1) ， ，
(2)①6；② 且 ；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点 的坐标；令 ，解方程，可得出点 ， 的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线 ，再根据点 ， 的坐标可得出 ， 关于对称
轴对称，由此可得出 的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，再由对称性可知，
，由点 在线段 上，且与端点不重合，可得 ，即 ，而当 时，过点 ， ，
三点的二次函数不存在，由此可得 且 ；
③ ，根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象的顶点为 ，
；
令 ，解得 或 ，
， ；
（2）解：①由题知，该函数过点 ， ， ，
函数的解析式为： ，
函数的对称轴为直线 ，
， ，
点 ， 关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为： ，将 ， ， 两点代入，得 ，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，
， 两点关于对称轴对称，点 ，
，
点 在线段 上，且与端点不重合，
，即 ，
时，过点 ， ， 三点的二次函数不存在，
且 ；
③ ， ，
．
，
且 ，
时， 有最大值，最大值为4．
【典例11】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴
交于点A，点 ．(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，点 在抛物线 上
(3)存在，点 的坐标为： 或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，
灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．
（1）将点D的坐标代入抛物线表达式 ，求得a的值即可；
（2）由题意得： ，当x=1时，
，即可判断点 是否在抛物线 上；
（3）分 为直角、 为直角、 为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入抛物线表达式 得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ．
（2）解：由题意得： ，
当 时， ，
故点 在抛物线 上．
（3）解：存在，理由如下：
①当 为直角时，如图1，过点 作 且 ，则 为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，即点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；②当 为直角时，如图2，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，
∴点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；
③当 为直角时，如图3，
设点E(x,y)，
同理可得： ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴点 ，
当 时， ，
即点 不在抛物线 上；
综上，点 的坐标为： 或 ．考点五：二次函数最值
【典例1】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数
的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把 代入 ，得：
；∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，
∴当 时， 有最大值，为 ．
【典例2】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形 中， ，点E为 边上一动点（不与点
B，C 重合），连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接 交 于点G
(1)如图1，当点E为 的中点时，求 的值；
(2)如图2，若 ，求 的长；
(3)连接 ，求 的最小值.
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次
函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键.
（1）过点F作 交 延长线于H，延长 ， 交于M，则四边形 是矩形，则
，由旋转的性质可得 ，证明 得到
，进而求出 ，证明 得到 ,则 ；
（2）过点F作 交 延长线于H，延长 交于M，设 ,则四边形 是矩
形，则 ，同理可得 ，则
,则 ，同理可得 ，即： 解方
程即可；
（3）如图：过点F作 交 延长线于H,交 延长线于G,则 ，则四边形
是矩形；再证明 可得 ，即 ；设 ，则
,由勾股定理可得 ，最后根据二次函数的性质即可解答.
【详解】（1）解：如图所示：过点F作 交 延长线于H，延长 ， 交于M，则四边形
是矩形，
∴ ，
由旋转的性质可得： ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
∴
（2）解：过点F作 交 延长线于H，延长 交于M，设 ，则四边形
是矩形，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ,
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，即： ，
∴ ，解得： 或 （舍去）
经检验： 是原方程的解，∴ ；
（3）解：如图：过点F作 交 延长线于H,交 延长线于G,则 ，则四边形
为矩形，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ，则 ,
∴ ，
∴当 时， 有最大值8，则 有最大值【典例3】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，抛物线与 轴交于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线
于点 ， ，设 面积为 ， 面积为 ，求 的值；
(3)如图 ，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ，
，过抛物线顶点 作直线 轴，点 是直线 上一动点．求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）设 ，直线 为 ，求出 ，直线 为 ，求出 ，联
立方程组得 ， ，再根据 ， 即可求
解；（ ）设直线 为 ，由 得 ，得 ，设 ，
，联立直线 与抛物 ，得 ，根据根与系数的关系
可得： ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则有
，过 点作 于F，则 ，则
， ，根据勾股定理得 ，即可求出
最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设 ，直线 为 ，据题意得，
，解得 ，
∴ ，
联立得 ，
解得 或 ，
∴ ，设 ，直线 为 ，据题意得，
，解得 ，
∴ ，
联立得 ，
解得 或 ，
∴ ，
，
，
∴ ；
（3）设直线 为 ，由 得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
联立直线 与抛物线 ，
得 ，
，根据根与系数的关系可得： ， ，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
由题意得直线 ，则 ，
∴ ，
过 点作 于F，则 ．
则 ， ，
在 中，
，
即当 时， ，此时 ，
故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【典例4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与
轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出直线
解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：①设 ，则 ，
∴
，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如图，过B作 于F，
则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ， （舍去），
∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
【典例5】（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为 的等边三角形纸片 叠放在一起，使点
E、B分别在边 上（端点除外），边 相交于点G，边 相交于点H．
(1)如图1，当E是边 的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若 ，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当 ， 时， 与 有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】(1)菱形
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）连接 ，由等边三角形的性质可得 ，则 四点共圆，
由三线合一定理得到 ，则 为过 的圆的直径，再由 ，得到
为过 的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明 ，推
出四边形 是平行四边形，进而可证明四边形 是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到 ， ，则由平行线的性质可推出
，进而可证明四边形 是平行四边形，再证明 是等边三角形，则可设，则 ， ，由勾股定理得到 ，
可得 ，则当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）过点B作 于M，过点E作 于N，连接 ，则 ，
， ，证明 ，进而可证明 ，得到 ，则
，即 ．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ 为过 的圆的直径，
又∵ ，
∴ 为过 的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）解：∵ 都是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点E作 ，
∴设 ，则 ， ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；（3）解： ，理由如下：
如图所示，过点B作 于M，过点E作 于N，连接 ，
∵ 都是边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∴由勾股定理可得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三
角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
【典例6】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了 的内接等腰三角形 ， ．并在 边上任取一点 （不与点 ， 重合），连
接 ，然后将 绕点 逆时针旋转得到 ．如图①
小明发现： 与 的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】连接 ，与 相交于点 ．如图②，小明又发现：当 确定时，线段 的长存在最大值．
请求出当 ． 时， 长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点 分线段 所成的比 与点 分线段DE所成的比 始终相
等．请予以证明．
【答案】操作发现： 与 相切；实践探究： ；问题解决：见解析
【分析】操作发现：连接 并延长交 于点M，连接 ，根据直径所对圆周角为直角得到
，根据旋转的性质得到 ，由圆周角定理推出 ，等量代换得到
，利用直角三角形的性质即可证明 ，即可得出结论；
实践探究：证明 ，得到 ，结合三角形外角的性质得到 ，
易证 ，得到 ，设 ，则 ，得到
，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点E作 交 于点N，由旋转的性质知： ，证明 ，推出
，由旋转的性质得： ，
得到 ，根据 ，易证 ，得到 ，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接 并延长交 于点M，连接 ，
是 直径，，
，
由旋转的性质得 ，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
实践探究：
解： 由旋转的性质得： ，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值为 ；
问题解决：
证明：过点E作 交 于点N，由旋转的性质知： ，
，
，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应
用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
【典例7】（2024·重庆铜梁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，
C，与y轴交于点A，其中 ．(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接AB，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点K，过点K作
轴，垂足为点E，求 的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 ，将该抛物线向右平移，使得
新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 上一点，连接 ，当
时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为4，此时
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，
掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键．
（1）将 代入 中得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为 ，得直线 的解析式为 ，设 ，
则 ，故 ，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）先求平移后的抛物线解析式为 ，再证明 为等腰直角三角形，由
得 ，过C作 ，交移动后的抛物线于M．当 时，，即 ．
【详解】（1）解：将 代入 中，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为4，此时 ；
（3）解：设抛物线向右平移n个单位，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
∵抛物线平移后经过原点，
∴ ，
解得 或n=−1（舍），
∴平移后的抛物线解析式为 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过C作 ，交移动后的抛物线于M，当 时， ，
∴ ．
考点六：二次函数与一元二次方程关系
【典例1】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标
是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增
减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项
D．
【详解】解∶ ∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于A、B两点， ，与y轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：①
；② ；③若 且 ，则 ；④直线 与抛物线
的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方
程的关系是解题的关键，
根据题意得到抛物线的解析式为 ，即可得到 ， ，代入即可判断①；根据
判断②；把 代入 ，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把
， 代入解方程求出m的值判断④．
【详解】解：设抛物线的解析式为： ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵点C的纵坐标在 ～ 之间，
∴ ，即 ，
∴ ，故②正确；∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③错误；
∵令 相等，则
∴ ，解得 （舍）， ，
∴ ，故④正确；
故选A．
【典例3】（2024·宁夏·中考真题）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴
交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与 轴有交点时 解题即可.
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴有交点，
，
解得 ，
的取值范围为 ，
故答案为： .
【典例4】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ，，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是
解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线 ，再令 ，得 ，解得x=−1或
，从而即可得解．
【详解】解：把点 ，点 代入抛物线 得，
，
解得 ，
∴抛物线 ，
令 ，得 ，
解得x=−1或 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【典例5】（2024·全国·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，
可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米．
素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点 的水平距离为1米的点 处，绳子甩到最高处时刚好通过
她的头顶点 ．(1)如图3，以点 为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否
顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由．
(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？
【答案】(1)
(2)能．理由见解析
(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学 米的地方，才能让绳子顺利从头上越过．
【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，求二次函数的极值，求自变量，
对于（1），根据待定系数法求出直线解析式即可；
对于（2），将关系式配成顶点式，再求出最大值，即可得出答案；
对于（3），将 代入关系式求出答案即可.
【详解】（1）由题意可知， ．
设函数的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得：
函数的解析式为 ；
（2）能．理由如下：由任务1知，该抛物线的解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.9米，
绳子能顺利从每位跳绳成员头顶越过；
（3）把 代入 得：
，解得： ，
身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学 米的地方，才能让绳子顺利从头上越过．
【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知抛物线
(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当 时，抛物线与x轴交于点A，B，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式．
（1）证明 ，即可求解；
（2）将 代入抛物线表达式，令 ，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解．
【详解】（1）证明：
，
故此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：当 时， ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，∴ ．
【典例7】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与x轴
相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1) ________；
(2)如图，已知点A的坐标是 ．
①当 ，且 时，y的最大值和最小值分别是s、t， ，求m的值；
②连接 ，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作 轴，垂足为
D．作 ，射线 交y轴于点Q，连接 ．若 ，求点P的横坐标．
【答案】(1)3
(2)① ；②1或 或
【分析】（1）当 时， ，即 ；
（2）①先求出解析式为 ，可知对称轴为直线： ，当 ，且 时，y随着x的增
大而减小，故当 ， ，当 时， ，由 得， ，解得
；②在 中，可求 ，由题意得， ， ，四边形
为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形 为平行四边形时，则 ，则，设 ，则 ，则 ，故 ，
则 ，将点 代入 ，得 ，解得 ，故
；当四边形 为等腰梯形时，则 ，过点P作 轴于点E，则 ，
由 ，得 ，则 ，设 ，则 ，故 ，解得 ，即
；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形 为平行四边形，则 ，设
，则 ，而 ，故 ，即 ，可得
，将点P代入 ，得 ，解得 或
（舍），因此 ，综上：点P的横坐标为1或 或 ．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ；
（2）解：①将点A代入
得， ，
解得： ，
∴解析式为： ，
而 ，
∴对称轴为直线： ，
当 ，且 时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当 ， ，当 时， ，
由 得， ，解得： 或 （舍）
∴ ；
②在 中， ，
由题意得， ， ，
∴四边形 为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形 为平行四边形时，则 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入 ，
得： ，解得： 或 （舍），
∴ ；
当四边形 为等腰梯形时，则 ，过点P作 轴于点E，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形 为平行四边形，则 ，∵
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将点P代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
而当 时， ，故舍，∴ ，
综上：点P的横坐标为1或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐
标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【典例8】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 （a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线 ，该函数图象与x轴交于 两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为 的中点，过点M的直线l（直线l不过 两点）与二次
函数图象交于 两点，直线 与直线 相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若 ，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；② 或
【分析】（1）令 ，则 ，根据根的判别式求得 ，得到不论a为何值，
方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证；
（2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线 ，最大值为4，判断，得到当 时，y取得最小值，最小值为 ，根据二次函
数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答；
（3）①根据对称轴为直线 ，求得 ，得到二次函数解析式为 ．令 ，求得
，令 ，求得 ，从而 ．设 ，采
用待定系数法求得直线 的解析式为 ．把点 代入，得到 ．同
理求得直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ．联立直线 ， ，求
得点 ．设点P所在的定直线的解析式为 ，代入点P的坐标可求得
，从而得证点P在定直线 上；
②根据 ，得到 ，化简得到 ，由①知 ，从而 ，
分两种情况分别讨论： 当 时或 ，根据①中的点P的横坐标可得 ，整理得
，结合 ，即可求出m，n的值，进而得到 ， 的值，从而得到直线l的解析式．
同理可求出当 时直线l的解析式，即可解答．
【详解】（1）证明：令 ，则 ，
∵ ，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得 ，
函数图象对称轴为直线 ，最大值为4．
，，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 ，
，解得 或 （舍去），
二次函数的解析式为 ．
（3）①证明：对称轴为直线 ，
∴
∴二次函数解析式为 ．
令 ，则 ，解得 或 ，
则 ，
令 ，则 ，则
∴ ．
设 ，由题意知 ，且均不为0，2．
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．（记为①式）
又 直线 过点 ，
，即 ．
同理设直线 的解析式为 ，
把 代入得
解得 ，
直线 的解析式为 ．（记为②式）
同理得直线 的解析式为 ．（记为③式）由②③式联立得 ，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为 ，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得 ，
由对应系数相等得 ，
∴点P所在直线解析式为 ，即点P在一条定直线上．
②解：直线l的解析式为 或
理由： ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
由①知 ，
∴ ，
∴当 时， ，整理得 ．
又 ，
∴
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为 ；
当 时， ，整理得 ．
又 ，
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为 ．
综上所述，当 时，直线l的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的
交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
考点七：二次函数与不等式关系
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当x>1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；
利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，判断⑤是否
正确．
【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入y=ax2+bx+c可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当x>1时， 随着 的增大而减小，③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与系
数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【典例2】（2024·四川眉山·二模）若抛物线 经过 和 两点，开口向上，且与 轴
有两个交点，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数
的解析式，根据抛物线的开口向上，与 轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线 经过 和 两点，∴ ，解得： ，
∴ ，
∵抛物线的开口向上，且与 轴有两个交点，
∴ ，解得： 或 ；
故答案为： 或 ．
【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数 （a是常数，且 ），
（1）若点 在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当 时，若 ，则函数值y的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的
关键．
（1）把 代入函数解析式计算即可；
（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可．
【详解】解：（1）∵点 在二次函数 的图象，
∴ ，
解得 ；
（2）当 时，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，y有最大值4，
又当 时， ，
当 时， ．∴当 时，函数值y的取值范围是 ．
【典例4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当 时，
的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足
的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出 的值即可判断 ；利用根的判
别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可判断 ；掌握
二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把 ， ， 代入 得，
，
解得 ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函数取最大值 ，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
即 ，
画函数 和 图象如下：
由 ，解得 ， ，∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
考点八：二次函数的实际应用
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点
以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的
运动时间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四
个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，作 于点 ，利用解直角三角形和
勾股定理，即可得到 ，即可判断①，当 时，证明 是等边三角形，即可判断②，当 时，
且 时， 最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出 和 进行比较，即可判断
④．【详解】解：由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，
作 于点 ，
是等边三角形，点 在边 上， ，
， ，
， ，
，
，
故①正确；
当 时， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
当 时，且 时， 最小，， ，
，
最小为 ，即 能取到 ，
故③错误；
动点 沿 匀速运动时，
， ，
， ， ，
；
当 时， ， ，
；
，
；
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂
函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
【典例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价
为 (元 千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为
，已知该产品第10天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为
(元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【答案】(1) ，
(2)
(3)在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据 ，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将 ， 代入 ，
∴
解得：
∴
故答案为： ， ．
（2）解：依题意，
当 时，当 时，
∴
（3）解：依题意，当 时，
当 时，
解得：
为正整数，
∴第 天至第 天，销售额超过 元
（天）
答：在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地面竖直
高度 为 ．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线
是由外边缘抛物线 向左平移得到，外边缘抛物线 的最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口
．
(1)求外边缘抛物线 的函数表达式；
(2)求内边缘抛物线 与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)点 的坐标为
(3) 的取值范围是
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思
想是解题的关键．
（1）根据题意可得 是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点 ，用顶点式即可求解函数解析式；
（2）根据 对称轴为直线 可得点 的对称点为 ，则 是由 向左平移 得到的，即可
求出点B的坐标；
（3）如图：当 时，可得点 的纵坐标为 ；令则 结合 可得 ；由当
时，则 随 的增大而减小，然后分 、 、 三种情况确定x的取值范围，进而确定
的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得 是外边缘抛物线的顶点，
设 ．
又 抛物线过点 ，
，
，
外边缘抛物线的函数表达式为 ．
（2）解： 的对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，
是由 向左平移 得到的，
．令 ，即 ，解得 或 （舍去），
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
（3）解： ，
点 的纵坐标为 ，
令 ，即 ，解得： ．
，
．
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，要使 ，则 ．
当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，
当 时，要使 ，则 ．
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为 ．
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
的最小值为2．
综上所述， 的取值范围是 ．
【典例4】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图
1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，
同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号
水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的
水平距离 的几组关系数据如下：2
水平距离 0 3 4 10 15 22 27
0
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式
(2)水火箭距离地面的竖直高度 米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式 ，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为 ，代入求
解即可；
由题意知 ，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式 ，
由表格得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ，
则抛物线的表达式 ，
（2）解：由题意知 ，则 ，
那么，水火箭距离地面的竖直高度 米．
【典例5】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈
抛物线型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，把 代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，由 ，把
代入求得 ， ，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，
设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ；（2）解：∵缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴把 代入得， ，
解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 的长为 ．
【典例6】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的
矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：
m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)
(3)当 时，实验田的面积S最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算 的取值范围是解题的关键．
（1）根据 ，求出 与 的函数解析式，根据矩形面积公式求出 与 的函数解析式；
（2）先求出 的取值范围，再将 代入函数中，求出 的值；
（3）将 与 的函数配成顶点式，求出 的最大值．
【详解】（1）解： ，，
，
；
（2） ，
，
，
，
当 时， ，
，
，
，
当 时，矩形实验田的面积 能达到 ；
（3） ，
当 时， 有最大值 ．
考点九：二次函数综合
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数
的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直
线 的下方，连接 、 ．
(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【答案】(1)(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，则 ，则
，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，
则 ，则 ，
∴ ，
当 时，最大值为8．
【典例2】（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为(0,3)，连接 、 、 ，根据轴对称的性质得出 ，
，得出当 最大时， 最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
最大，即当点P在点 时， 最大，求出最大值即可；
（3）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，设点M的坐标为：
，得出 ， ，证明 ，得出
，从而得出 ，分四种情况：当 时，当 时，当 时，
当 时，分别求出点M的坐标即可．【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．
（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
(1)求抛物线的表达式．(2)如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
(3)如图2，连接 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记 、 、
的面积分别为 ．当 取得最大值时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令 时， ，求出 ，进一步求出直线 的解析式为 ，设
，则 ，表示出 ， ，利用 ，可得 ，
可得 ；
（3）由 得到 ，进而得到 ，作 交y轴于N，作 轴交
于Q，求出直线 的解析式为 ，进而得到 ，求出 ，再证明 ，
设 ，则 ，得到 ，得到 ，即可得
到此时，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，求出 ，
，证明 ，得到 ，由即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为． ；
（2）解：∵当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∵ 轴于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ， （此时 ， 重合，不合题意舍去），∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
∴ ，
，
作 交y轴于N，作 轴交 于Q，
直线 的解析式为 ， ，
直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
∴ , ，
， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，，
设 ，则 ，
∴ ，
，
∴当 时， 有最大值 ，
此时 ， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和
性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【典例4】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．
(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线 的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于
，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为 ，解方程组得到直线 的表达式为 ，
则 ，求得 ，求得 于是得到，解方程得到 ，根据平移的性质得到 ，将 代
入 ，解方程即可；
（3）过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于点 ，设
且 ，求得抛物线 的顶点 ，得到
，推出 ，解方程得到当 时， ，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 抛物线 过点
得
解得
抛物线 的表达式为
顶点 ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为
由题意知
解得
直线 的表达式为
的面积为12
，
，
解得 （舍）
点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将 代入得
解得 ．
（3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于
点 ，设 且
抛物线 的顶点
，
易得
当 时，
点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小
最近距离即边 上的高，高为：面积的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，
等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个
交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交
直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则 ,
可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则 ，由两点间的
距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得 即可解答．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ,
∴ ，如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．
（3）解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵设 ，则 ,
∴ ，∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
【典例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；② 的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则
是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出 ，
在直线 上；②设 ， ，设 的解析式y=k(x−1)，联立抛物线解析式，可得
，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于 ，令 ，
解得：
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴
（3）①点 与点 重合，则 ，
∵点 为AB中点， ，
∴ ,
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；∴设 的解析式y=k(x−1)，
联立
消去 得，
∴
∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为
联立
解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，
∵直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，
∴ 的面积为 是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元
二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【典例7】（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点
（点 在点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．
【答案】(1)
(2)① ；②线段 的最小值为
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在 中，令 得出 ，在 中，令 得出 ，从而得出
，即 ，待定系数法求得直线 的解析式为 ，联立 ，
得出 ，作 轴于 ，则 ， ， ，求出
， ，由正切的定义得出 ，证明 ，得出，求出直线 的解析式为 ，联立 ，计算即可得解；
②设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，求出直线 的解析式为 ，
1 1 2 2
直线 的解析式为 ；联立 得： ，由韦达定理得出 ，
将M(x ,y )代入 ， 得 ，求出 ，同理可得 ，
1 1
联立 ，得出 ，推出点 在直线 上运动，求出 ，作点 关于直线 的对
称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ，则
，由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小
时为 ，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线对应的函数表达式为 ；
（2）解：①在 中，令 ， ，解得 ，即 ，
在 中，令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
如图，作 轴于 ，则 ， ， ，，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，∵点 在第三象限，
∴ ；
②∵过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．
∴设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，
1 1 2 2
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴直线 的解析式为 ；
联立 得： ，
∴ ，
将M(x ,y )代入 ， 得 ，
1 1
∴ ，
∴ ，
解得： ，
将N(x ,y )代入 ， 得 ，
2 2∴ ，
∴ ，
解得： ，
联立 ，
得出 ，
∴点 在直线 上运动，
在 中，令 ，则 ，即 ，
如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，
，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小时为 ，
∵ ，∴线段 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、
二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考
压轴题．
易错点一：忽略题目中的隐含条件
1.如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数,那么k的值是 。
正解: k2−3k+2=2， k2−3k=0，k（k−3）=0，k=0或k=3；
又k-3≠0，所以k≠3.所以k=0.故答案为 0.
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(mA,n),B(0,y ),C(3−m,n),D(√2,y ),E(2,y ),
1 2 3
¿
则y ,y ,y 的大小关系是（）
1 2 3
A.y <y <y B.y <y <y C.y <y <y D.y <y <y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
3
正解:因为函数图象经过A(m,n),C(3−m，n)，所以二次函数图象的对称轴为直线x= ，
2
在 点B(0，y )，D(√2,y ),E(2,y )与对称轴的距离中,B最 远，D最 近.因为|a|>0,所以y >y >y 故 选D
1 2 3 1 3 2
易错点三：考虑不全,导致出错
3.已知二次函数y=ax2+4x+a−1的最小值为2,则a的值为（）
A.3 B.−1 C.4 D.4或−1
正解:因为二次函数y=ax2+4x+a−1有最小值,所以a>0,所以a=4.故选 C.
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
4.已知0≤x≤2,则函数y=x2+x+1（）3 3
A.有最小值 ，但无最大值B.有最小值 ，有最大值7
4 4
C.有最小值1,有最大值7D.无最小值也无最大值
正解:因为当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，所以当x=0时，y最小值=1;当x=2时，y最大值=7.故选 C.
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则2a−b 0(填“>”“<”或“=”)。
b
正解:因为抛物线的对称轴在点(-1,0)的右边，所以− ＞−1
2a
因为 a<0,所以b>2a，所以 2a-b<0.故答案为<.
