专题01数与式（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮知识梳理

专题 01 数与式
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：实数的有关概念及计算
知识模块二：整式及因式分解
知识模块三：分式
知识模块四：二次根式
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点+1方法技巧）
考点一：实数的分类及正负数的意义
考点二：实数的相关概念及科学记数法
考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
考点四：二次根式及其运算
考点五：实数的运算及大小比较（高频）
考点六：代数式及求值
考点七：整式的相关概念及运算（含幂的运算）
考点八：整式的化简及求值（高频）
考点九：因式分解（高频）
考点十：分式
考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）
易错点2：整式的化简求值
易错点3：分式的有关概念
易错点4：分式的化简求值
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}知识模块一：实数的有关概念及计算
知识点一：实数的分类
1、按实数的定义分类： 2、按大小分类：
  正整数
  正整数




整数  0 
 正实数


正有理数 
 正分数
 有理数     负整数  
     正无理数
实数

分数


正分数
实数

0
    负分数   负整数

 无理数 

正无理数 

负实数   负有理数  负分数
   负无理数     负无理数
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}知识点二：实数的相关概念：正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数（熟记）
知识点 概念 补充与拓展
大于0的数叫做正 注意：负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
数.正数前面加上符 正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通
正负数 号“-”的数叫负数. 常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数
规定了原点、正方 大.
数轴 向、单位长度的直 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
线叫做数轴. 数轴中点公式：数轴上有两点 A、B 分别表示的数为 x，y，若C 是A、B
两点的中点，C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大数
-小数）.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于
只有符号不同的两 原点的两侧.
个数称为互为相反 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本
相反数 数. 身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.
在数轴上表示数 a 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
的点到原点的距离 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.
叫做 a 的绝对值， 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
绝对值 记为|a|． 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|数轴上表示 x 的点到原点的距离，|x-1|数轴上表
示x的点与表示1的点之间的距离，|x+2|数轴上表示x的点与表示-2的点
之间的距离.
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}0没有倒数.
1 除以一个不等于
若a、b互为倒数，则ab=1
零的实数所得的
倒数
商，叫做这个数的
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数．
倒数是本身的只有1和-1.
n 个相同的因数 a
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
相乘记作an，其中
乘方 a 为底数，n 为指
正数的任何次幂都是正数.
数，乘方的结果叫
规定：a0=1（a≠0）
做幂.
知识点三：实数的运算
1、科学记数法（掌握）与近似数：
知识点 概念 补充与拓展
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键.
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
等于原数的整数位数减1.
科学记数法的表示形式为
科学记数
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等
a×10n的形式，其中1≤|a|
法
于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面
＜10，n为整数．
的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108.
近似数与准确数的接近程
近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.
度通常用精确度来表示，
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数
近似数一般由四舍五入取
近似数 字都是这个数的有效数字.
得，四舍五入到哪一位，
就说这个近似数精确到哪
一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字.
一位.
2、平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质（理解）
知识点 概念 补充与拓展
算术 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a， 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为
平方根 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 0；负数没有算术平方根
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}记为 a，a叫做被开方数.
如果一个数的平方等于a，那么这个数 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
平方根 就叫做a的平方根或二次方根，即如果
0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
x2=a，那么x叫做a的平方根.
正数只有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数只有一
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那
立方根 个负的立方根．
么x叫做a的立方根或三次方根.
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
非负数有三种形式：
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即𝑎(cid:2870)≥0；
实数的 在实数范围内，正数和零统称为非负 ③任何非负数的算术平方根是非负数，即√𝑎≥0.
非负性 数. 非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3、实数的运算法则及大小比较（掌握）
（一）常见的实数运算（常出现在选择题）
运算 法则
乘方
an aaa a an n为偶数
  ， (a)n 
n个a an n为奇数
零次幂
a0 1(a0)
负整数指数幂 1 1
an  （a 0，n为正整数），特别地：a1  (a 0).
an a
ab, ab
去绝对值符号 
|ab|0 ,ab

ba, ab
-1的奇偶次幂
1 ，n为偶数
(1)n 
1， n为奇数
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}（二）实数的四则运算法则（穿插在各个题型中）
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为
相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数
的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整
数次幂都是0.
4、实数比较大小的6种基础方法：
数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b．
平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b；
②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b．
1 1
倒数比较法：若 > ，ab>0，则a<b．
a b
b
作商比较法：①任意实数a，b， =1a=b；
a
a a
②任意正实数a，b， >1a>b； <1a＜b；
b b
a a
③任意负实数a，b， >1a<b； <1a＜b.
b b
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}知识模块二：整式及因式分解
知识点一：代数式、代数式的值
1、代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或者
一个字母也是代数式．
2、代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;
第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念（常出现在选择题、填空题）
1、整式：单项式与多项式统称为整式．
2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数
．．．．．．
字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
．．． ．．．．．．．．．
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常
数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项式
．．．．．．．． ．．．．．．
的项数．
4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并
前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：整式的运算（贯穿整个代数部分）
1、整式的加减运算：
①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外
的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号.
2、幂的运算（多出选择题）：
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}正整数幂的运算性质：am an amn；(am)n amn；(ab)m am bm；am an amn(a≠0，m＞n)．其
 
中m、n都是正整数．
3、整式的乘除运算
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法， 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法
单项式乘单
作为积的一个因式; 则的综合应用.
项式
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
的一个因式.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式
单项式乘多 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； 乘以单项式.
项式 ②再把所得的积相加. 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的
项数与原多项式的项数相同.
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不
①先用一个多项式的每一项与另一个多项 重不漏；
多项式乘多
式的每一项相乘， ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都
项式
②再把所得的积相加． 应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项
式，在合并同类项之前，积的项数应等于原
多项式的项数之积．
①将单项式系数相除作为商的系数；
单项式除单 ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，
项式 作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
①先把这个多项式的每一项除以这个单项
多项式除单
式；
项式
②再把所得的商相加
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}知识点四：乘法公式（熟记）
1、平方差公式：(ab)(ab)a2 b2（注意公式逆应用）.
2、完全平方公式：(ab)2 a2 2abb2（注意公式逆应用）.
知识点五：因式分解（掌握）
1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
2、方法：（1）提公因式法：mambmcm(abc)；
（2）公式法：a2 2abb2 (ab)2；a2 b2 (ab)(ab)；
（3）十字相乘法：x2 (ab)xab (xa)(xb)．
3、分解因式的基本步骤：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；
（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止．
简记为一“提”、二“套”、三“检查．
知识模块三：分式
知识点一：分式的概念与性质
1、分式的概念
A
形如 的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．
B
2、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
A AM A AM
 ，  ．(其中M是不等于零的整式)
B BM B BM
知识点二：分式的运算法则（掌握）
a b ab a c ad bc a c ac
①加减法：   ，   ；②乘法：  ；

c c c b d bd b d bd
a c a d ad a n an
③除法：    ； ④乘方：  （n为正整数）．
  
b d b c bc b bn
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}知识模块四：二次根式
知识点一：二次根式的相关概念与性质
1、二次根式的概念：形如 a (a≥0) 的式子叫做二次根式．
2、最简二次根式和同类二次根式的概念
最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3、二次根式的主要性质
 2
（1） a 0(a 0)；（2） a  a (a  0)；
a (a 0)
（3） a2 |a|  ；
a (a 0)
（4）积的算术平方根的性质： ab  a b(a0，b0)；
a a
（5）商的算术平方根的性质：  (a  0，b  0).
b b
知识点二：二次根式的运算（掌握）
1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．
2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．
考点一：实数的分类及正负数的意义
5
【典例1】（2024•凉山州）下列各数中：5， ，3，0，25.8，2，负数有( )
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】（2024秋•吴中区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回
之旅，月球表面的白天平均温度是零上126C，记作126C，夜间平均温度是零下150C，应记作( )
A．150C B．150C C．276C D．276C
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}考点二：实数的相关概念及科学记数法
【典例1】（2024•雅安）2024的相反数是( )
1 1
A．2024 B．2024 C． D．
2024 2024
【典例2】（2024•成都）5的绝对值是( )
1 1
A．5 B．5 C． D．
5 5
【典例3】（2024•包头）若m，n互为倒数，且满足mmn3，则n的值为( )
1 1
A． B． C．2 D．4
4 2
【典例 4】（2023•鼓楼区校级三模）明朝地理学家徐霞客从小立志，朝碧海而暮苍梧，一生志在四方，踏
遍锦绣山河，编撰了60余万字的地理名著《徐霞客游记》，其中60万用科学记数法可表示为 ．
【典例5】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是( )
A．3 B．1 C．2 D．3
1
【典例 6】（2024•科右前旗模拟）点a在数轴上的位置如图所示，试比较a、 、|a|大小关系正确的是(
a
)
1 1 1 1
A．a |a| B． a|a| C．a|a| D．|a|a
a a a a
【典例7】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把
圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A的位置，则点A表示的数是 ；若起点A开始时是与1重合
的，则滚动2周后点A表示的数是 ．
【典例8】（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为4，2，
32，乙数轴上的三点D，E，F 所对应的数依次为0，x，12．
AB
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求 的值；
AC
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F 上下对齐，求x的值．
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
【典例1】（2024•资阳）若(a1)2|b2|0，则ab ．
【典例 2】．“平方根”节是数学爱好者的节日，一个世纪只会出现 9 次，这一天的月份和日期的数字相同，
且恰好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如 2016 年的 4 月 4 日，请你再写出一个本世纪的“平方
根”节， 年 月 日（题中示例除外）．
【典例3】（2024•成都）若m，n为实数，且(m4)2  n5 0，则(mn)2的值为 ．
【典例4】（2024春•西城区校级期中）【阅读材料】
善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：13 1，23 8，33 27，
43 64，53 125，63 216，73 343，83 512，93 729．
（1）小明是这样求出493039的立方根的．他先估计493039的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想
出这个立方根的个位上的数字为 ，又由703 493039803；猜想出 493039 的立方根的十位上的数字
为 ，从而得到493039的立方根；
【解决问题】
（2）请你根据（1）中小明的探究方法，完成如下填空：
①3 238328  ，②3 0.571787  ．
考点四：二次根式及其运算
【典例1】（2024•北京）若 x9 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
1
【典例2】（2024•淮安）计算： 8  ．
2
【典例3】（2023春•巨野县期末）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
1
计算：( 21)2  4 ．
2
1
解:原式22 214 第一步

2
32 22 2 第二步

3 第三步

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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意
的事项给其他同学提一条建议．
【典例4】（2024•广州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面
1 a2 b2 c2
积的“秦九韶公式”，即S  [a2b2 ( )2]．已知在ABC 中，a 5 ，b 6 ，c 7，则b边
4 2
上的高为( )
39 26 39 26
A． B． C． D．
3 2 6 4
1
【典例5】如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，设p (abc)，则有下列面积公式：
2
S  p(pa)(pb)(pc) （海伦公式）；
1 a2 b2 c2
S  [a2b2 ( )2]（秦九韶公式）．
4 2
如果一个三角形的三边的长依次为5，6，7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
考点五：实数的运算及大小比较
【典例1】（2024•吉林）若(3)□的运算结果为正数，则□内的数字可以为( )
A．2 B．1 C．0 D．1
【典例2】（2024•重庆）估计 12( 2 3)的值应在( )
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【典例 3】（2024•思明区二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸
入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为34ml，则该铁块棱长大小的范围是( )
A．2cm~3cm B．3cm~4cm C．4cm~5cm D．5cm~6cm
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}【典例 4】（2024•安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的
22 22
近似值为 ．比较大小： 10 （填“”或“” )．
7 7
【典例5】（2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2，1，1，2这五个数分别
填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以
是 .（写出一个符合题意的数即可）
【典例6】（2024•金水区校级二模）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉明白玉幻方．其
背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从 1 到 16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上 4
个数相加之和均为34)．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，
c，d有如图1的位置关系时，均有abcd 17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
【典例7】（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*nmn mn(m，n均为整数，且m0)．例：
2*323 232，则(2)*2 ．
【典例8】（2024•北京）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一
个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min)如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“ABCD”的先后顺序彩排，则节
目D的演员的候场时间为 min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序
彩排．
1
【典例9】（2024•济南）计算： 9(3.14)0 ( )1| 3|2cos30．
4
考点六：代数式及求值
【典例 1】（2024•岳麓区校级三模）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共
车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每 4 人乘一车，恰好剩余 1 辆车无人
坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，则总人数可
表示为( )
A．4(x1) B．4(x1) C．2x8 D．2(x1)8
考点七：整式的相关概念及运算（含幂的运算）
【典例1】（2024•湖南）下列计算正确的是( )
A．3a2 2a2 1 B．a3 a2 a(a0) C．a2a3 a6 D．(2a)3 6a3
【典例2】（2024•长春）单项式2a2b的次数是 ．
【典例3】（2024•薛城区二模）现有边长分别为a和b(ab)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C
类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为ab的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类
纸片．若要拼一个长为3ab、宽为a2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例4】（2024•上海）计算：(ab)(ba) ．
1
【典例5】（2024•重庆）计算：(3)0 ( )1  ．
2
【典例6】（2023秋•武汉期中）如果整式A与整式B的和为一个数值m，我们称A，B为数m的“伙伴整
式”，例如：x4和x6为数 2 的“伙伴整式”； 2ab4和2ab4为数 8 的“伙伴整式”．若关于x的整
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}式4x2 kx6与4x2 3xk1为数n的“伙伴整式”，则n的值为 ．
考点八：整式的化简及求值
【典例1】（2024•甘肃）先化简，再求值：[(2ab)2 (2ab)(2ab)]2b，其中a2，b1．
考点九：因式分解
【典例1】（2024•甘孜州）分解因式：a2 5a ．
【典例 2】（2024•开福区校级二模）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x1)，请你写出一个符
合条件的多项式： ．
【典例3】（2024•西藏）分解因式：x2 4x4 ．
【典例4】（2024•通辽）分解因式：3ax2 6axy3ay2  ．
【典例 5】（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2 n，其中m与n都是两位数，且m与n的
十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2 n的过程，称为“方减分解”．例
如：因为602252 23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602
分解成602252 23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数” A
进行“方减分解”，即Am2 n，将m 放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以 19 余数为 1，且
2mnk2(k为整数），则满足条件的正整数A为 ．
【典例6】（2024•鹿城区校级一模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代
数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从
特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等
式：
第1个等式：22 112 2；第2个等式：32 222 3；
第3个等式：42 332 4；第4个等式：52 442 5；
（1）请用此方法拆分20242．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理
说明这个结论是正确的．
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}考点十：分式
2 1 aab
【典例1】（2024•雅安）已知  1(ab0)．则 ( )
a b ab
1
A． B．1 C．2 D．3
2
x y 2xyy2
【典例2】（2024•绥化）化简： (x ) ．
x x
3(a2b)3b
【典例3】（2024•北京）已知ab10，求代数式 的值．
a2 2abb2
1 x2
【典例4】（2024•遂宁）先化简：(1 ) ，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代
x1 x2 2x1
入求值．
【典例5】（2024•惠农区模拟）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式，请写出单项式
M ，并将该例题的解答过程补充完整．
M 1
例：先化简，再求值：  ，其中a 2
a1 a2 a
a2 1
解：原式 
a(a1) a(a1)

考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）
观察法：通过观察数列或图形的变化规律，找出共同点或不同点，再将数列或图形的变化规律转化为代数，
通过代数运算得出结果.
【典例1】（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1
个数为 2，第二行有 2 个数为 4，6，第n行有n个数．探究其中规律，你认为第n行从左至右第 3
个数不可能是( )
A．36 B．96 C．226 D．426
【典例2】（2024•德州）观察下列等式：
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}1
S  11 ；
1 4
1 1 1
S  11  1  ；
2 4 4 9
1 1 1 1 1
S  11  1   1  ；
3 4 4 9 9 16

则S 的值为 ．
10
【典例3】（2024•盐城模拟）如图是三角形数阵7231，12252，则：若x，y相等，则用含x的
式子表示m，m ．
?
【典例 4】（2024•河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法
和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223，运算结果为3036．图
2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的
是( )
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a1025
【典例 5】（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的
分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6
个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数
是( )
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}A．20 B．22 C．24 D．26
【典例6】（2024•凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个
点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和
为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能” )为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用 420 盆同样规格的花，按照第一排 2 盆，
第二排4盆，第三排6盆，，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【典例7】（2024•盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成
点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行
上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，nk 3，d 0)，如图1所示．

小明设计了如下三种铲籽方案．
方案 1：图 2 是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长
为 ；
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
易错点 1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）
1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有
两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负
数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，
0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
【典例1】（2024•内江）16的平方根是( )
A．2 B．4 C．4 D．4
【典例2】（2024•常州）16的算术平方根是 ．
【典例3】（2024•大庆）3 8  ．
易错点 2：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘
方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的
应用.
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2、间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4、赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这
是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5、隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6、配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数
的性质来确定字母的值，从而求得结果．
7、平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的
符号．
8、设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
9、利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看
作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
10、利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一
个字母来表示另一个字母．
5
【典例1】（2024•长沙）先化简，再求值：2mm(m2)(m3)(m3)，其中m ．
2
【典例2】（2024•南充）先化简，再求值：(x2)2 (x3 3x)x，其中x2．
【典例3】（2024•常州）先化简，再求值：(x1)2 x(x1)，其中x 31．
【典例4】（2024•甘肃）先化简，再求值：[(2ab)2 (2ab)(2ab)]2b，其中a2，b1．
易错点 3：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
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{#{QQABIY6QogiIABJAAAhCUQHACAOQkgAAAQgOgBAEMAABiRFABAA=}#}分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
1
【典例1】（2024•青秀区校级三模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x1
x1
【典例2】（2024•济南）若分式 的值为0，则实数x的值为 ．
2x
易错点 4：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
2 a2 2a1
【典例1】（2024•深圳）先化简，再代入求值：(1 ) ，其中a 21．
a1 a1
1 2 x1
【典例2】（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式(  ) 的值，其中x2cos30tan45．
x1 x2 2x1 x1
3 x1
【典例3】（2024•淮安）先化简，再求值：(1 ) ，其中x3．
x2 x2 4x4
2 m2 4
【典例4】（2024•西藏）先化简，再求值：(1 ) ，请为m选择一个合适的数代入求值．
m2 m
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