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专题 12 多边形与平行四边形
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：多边形
知识模块二：平行四边形
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）
考点一： 多边形内角和问题
考点二： 多边形外角和问题
考点三： 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
考点四： 利用平行四边形的性质求解
考点五： 利用平行四边形的性质证明
考点六： 证明四边形是平行四边形
考点七：利用平行四边形的性质与判定求解或证明
考点八： 平行四边形性质和判定的应用
考点九： 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
考点十： 补全图形利用中位线定理求解
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（2大重难点）
重难点一： 平行四边形与函数综合
重难点二： 与平行四边形有关的新定义问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点）
易错点1：未掌握求多边形边数的方法
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知识模块一：多边形
知识点一：多边形的相关概念
多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的相关概念：
多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
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多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
【补充】
1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了
(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有 条对角线.
正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
【补充】1）正n边形有n条对称轴．
2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，
对称中心是多边形的中心.
知识点二：多边形的内角和定理与外角和定理
多边形内角和定理：n边形的内角和为 .
多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
易错易混
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线
n(n−3)
计算了两次，因此n边形共有 条对角线.
2
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点
O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点
A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
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知识模块二：平行四边形
知识点一：平行四边形的性质
性质 符号语言 图示
∵四边形ABCD是平行四边形
边 平行四边形两组对边平行且相等
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
∵四边形ABCD是平行四边形
角 平行四边形对角相等
∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC A D
∵四边形ABCD是平行四边形
对角线 平行四边形的对角线互相平分
O
B C
∴OA=OC= AC,BO=DO= BD
知识点二：平行四边形的判定
判定 符号语言（同上图）
定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
边
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.
知识点三：平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：1）两条平行线间的距离处处相等.
2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
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考点一： 多边形内角和问题
1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正
方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
2．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于
点G，则∠BGC的度数为 ．
3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若
∠EFG=20°，则∠ABI= ．
考点二： 多边形外角和问题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080°的
正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
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A．36° B．40° C．45° D．60°
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，
若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
考点三： 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
1．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，
则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
2．（2024·江苏盐城·二模）问题情境：
在综合实践课上，吴老师和鹿鸣学堂“数理时空”社团的同学们一起研究了对角相等的六边形，发现：如
图1，在六边形A A A A A A 中，若∠A =∠A ，∠A =∠A ，∠A =∠A ，则有A A ∥A A ，
1 2 3 4 5 6 1 4 2 5 3 6 1 2 4 5
A A ∥A A ，A A ∥A A ，请结合图1，证明：A A ∥A A ．
2 3 5 6 3 4 1 6 1 2 4 5
问题探究：
小铭和小红对图1的六边形A A A A A A 进行了特殊化，发现了以下两个结论：
1 2 3 4 5 6
结论1：如图2，若A A =A A ，则有：A A =A A ，A A =A A ．
3 4 1 6 1 2 4 5 2 3 5 6
结论2：如图3，若对角线A A 、A A 、A A 交于点O，则对角线A A 平分六边形A A A A A A
1 4 2 5 3 6 1 4 1 2 3 4 5 6
的面积，请证明小铭和小红发现的两个结论．
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3．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长
为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，
中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1）∠α= 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
考点四： 利用平行四边形的性质求解
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，以 ▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再
1
分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的
2
延长线于点H．
(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
2．（2024·海南·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别
1
以点M、N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若
2
∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）
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A．22 B．21 C．20 D．18
3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的
动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接
PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．
(2)随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理
由．
考点五： 利用平行四边形的性质证明
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交
BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，
连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
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(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=3√2，求四边形AECF的周长．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC
上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．
(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，
请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
考点六： 证明四边形是平行四边形
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．
将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好
也落在对角线AC上．连接GE，FH．
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求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
3．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相
应的字母）
(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
考点七： 利用平行四边形的性质与判定求解或证明
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分
线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
2．（2024·广西·中考真题）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的
中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)求证：AF与⊙O相切；
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3
(3)若tan∠BAC= ，BC=12，求⊙O的半径．
4
1
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC= BC，E是BC的
2
中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
考点八： 平行四边形性质和判定的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个
4
主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈ ，点
5
D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，
DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，
此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与
EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求MN的长．
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2．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交
AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，
劳动实践基地为 ▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形
EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，
即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，
并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、OF总长最小的同时，果蔬种植区
域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、OF总长的最小值，并计算同时满
足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地 ▱ABCD的面积．
3．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭
合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于
地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是
平行四边形．
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(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米
（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
考点九： 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
1
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= ，BC=2，
2
AD=1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ．
2．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：
∠PMN=∠PNM．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：
∠AEM=∠F．
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（3）用数学的语言表达．
如图，在△ABC中，ACa，则MN=__________．
(2)如图4，MN是四边形ABCD的中位线．若AD=3，BC=5，则MN的取值范围是__________；若
AD=a，BC=b，且b>a，则MN的取值范围是__________．
易错点1： 未掌握求多边形边数的方法
1．（2024·四川资阳·中考真题）一个正多边形的每个外角度数都等于60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2023·四川自贡·中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正
多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
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A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）已知正n边形的一个内角是135°，则边数n的值是
20
