文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 01 数与式
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：实数的有关概念及计算
知识模块二：整式及因式分解
知识模块三：分式
知识模块四：二次根式
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点+1方法技巧）
考点一：实数的分类及正负数的意义
考点二：实数的相关概念及科学记数法
考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
考点四：二次根式及其运算
考点五：实数的运算及大小比较（高频）
考点六：代数式及求值
考点七：整式的相关概念及运算（含幂的运算）
考点八：整式的化简及求值（高频）
考点九：因式分解（高频）
考点十：分式
考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）
易错点2：整式的化简求值
易错点3：分式的有关概念
易错点4：分式的化简求值
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
知识模块一：实数的有关概念及计算
知识点一：实数的分类
1、按实数的定义分类： 2、按大小分类：
知识点二： 实数的相关概
念：正负数、 数轴、相反数、
绝对值、倒 数（熟记）
知识点 概念 补充与拓展
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
大于0的数叫做正 注意：负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
数.正数前面加上符
正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，
号“-”的数叫负数.
通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
正负数
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的
规定了原点、正方 数大.
向、单位长度的直
数轴 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
线叫做数轴.
数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B
两点的中点，C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大
数-小数）.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于
原点的两侧.
只有符号不同的两
个数称为互为相反
数. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本
相反数 身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.
在数轴上表示数 a
正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
的点到原点的距离
叫做a的绝对值， 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.
记为|a|．
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
绝对值
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|数轴上表示x的点到原点的距离，|x-1|数轴上表
示x的点与表示1的点之间的距离，|x+2|数轴上表示x的点与表示-2的
点之间的距离.
0没有倒数.
1除以一个不等于 若a、b互为倒数，则ab=1
零的实数所得的
倒数
商，叫做这个数的
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数．
倒数是本身的只有1和-1.
n 个相同的因数 a
乘方 相乘记作an，其中 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
a 为底数，n 为指
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
正数的任何次幂都是正数.
数，乘方的结果叫
做幂.
规定：a0=1（a≠0）
知识点三：实数的运算
1、科学记数法（掌握）与近似数：
知识点 概念 补充与拓展
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键.
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
等于原数的整数位数减1.
科学记数法的表示形式为
科学记数
a×10n的形式，其中1≤|a| 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等
法
＜10，n为整数． 于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面
的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108.
近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.
近似数与准确数的接近程
度通常用精确度来表示，
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数
近似数一般由四舍五入取
近似数 字都是这个数的有效数字.
得，四舍五入到哪一位，
就说这个近似数精确到哪
一位. 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字.
2、平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质（理解）
知识点 概念 补充与拓展
如果一个正数 x 的平方等于 a，即
算术 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根
平方根 为0；负数没有算术平方根
平方根.记为 ，a叫做被开方数.
如果一个数的平方等于 a，那么这个 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
平方根 数就叫做a的平方根或二次方根，即
0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一
如果一个数的立方等于 a，即x3=a，
立方根 个负的立方根．
那么x叫做a的立方根或三次方根.
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
非负数有三种形式：
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
实数的 在实数范围内，正数和零统称为非负 ③任何非负数的算术平方根是非负数，即√a≥0.
非负性 数.
非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3、实数的运算法则及大小比较（掌握）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（一）常见的实数运算（常出现在选择题）
运算 法则
乘方
，
零次幂
负整数指数幂
（ ， 为正整数），特别地： .
去绝对值符号
-1的奇偶次幂
三角函数 30° 45° 60°
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
（二）实数的四则运算法则（穿插在各个题型中）
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为
相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数
的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正
整数次幂都是0.
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4、实数比较大小的6种基础方法：
数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b．
平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b；
②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b．
倒数比较法：若 > ，ab>0，则a<b．
作商比较法：①任意实数a，b， =1a=b；
②任意正实数a，b， >1a>b； <1a＜b；
③任意负实数a，b， >1a<b； <1a＜b.
知识模块二：整式及因式分解
知识点一：代数式、代数式的值
1、代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或
者一个字母也是代数式．
2、代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;
第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念（常出现在选择题、填空题）
1、整式：单项式与多项式统称为整式．
2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的
数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做
常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项
式的项数．
4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合
并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：整式的运算（贯穿整个代数部分）
1、整式的加减运算：
①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外
的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号.
2、幂的运算（多出选择题）：
正整数幂的运算性质： ； ； ； (a≠0，m＞n)．
其中m、n都是正整数．
3、整式的乘除运算
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法
单项式乘单
法，作为积的一个因式; 则的综合应用.
项式
③单独出现的字母，连同它的指数，作为 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
积的一个因式.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式
①先用单项式和多项式的每一项分别相 乘以单项式.
单项式乘多
乘；
项式
②再把所得的积相加. 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的
项数与原多项式的项数相同.
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到
不重不漏；
①先用一个多项式的每一项与另一个多项
多项式乘多
式的每一项相乘， ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项
项式
②再把所得的积相加． 都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多
项式，在合并同类项之前，积的项数应等
于原多项式的项数之积．
单项式除单
①将单项式系数相除作为商的系数；
项式
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②相同字母的因式，利用同底数幂的除
法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
①先把这个多项式的每一项除以这个单项
多项式除单 式；
项式
②再把所得的商相加
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
知识点四：乘法公式（熟记）
1、平方差公式： （注意公式逆应用）.
2、完全平方公式： （注意公式逆应用）.
知识点五：因式分解（掌握）
1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
2、方法：（1）提公因式法： ；
（2）公式法： ；
（3）十字相乘法： ．
3、分解因式的基本步骤：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；
（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止．
简记为一“提”、二“套”、三“检查．
知识模块三：分式
知识点一：分式的概念与性质
1、分式的概念
形如 的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．
2、分式的基本性质
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
， ．(其中M是不等于零的整式)
知识点二：分式的运算法则（掌握）
①加减法： ， ；②乘法： ；
③除法： ； ④乘方： （n为正整数）．
知识模块四：二次根式
知识点一：二次根式的相关概念与性质
1、二次根式的概念：形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式．
2、最简二次根式和同类二次根式的概念
最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3、二次根式的主要性质
2
（1） a 0(a 0)；（2） a a (a 0)；
（3） ；
（4）积的算术平方根的性质： ；
（5）商的算术平方根的性质： .
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
知识点二：二次根式的运算（掌握）
1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合
并．
2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．
考点一：实数的分类及正负数的意义
【典例1】（2024•凉山州）下列各数中：5， ， ，0， ， ，负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解： ，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有 ， ， ，共3个．
故选： ．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
【典例2】（2024秋•吴中区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回
之旅，月球表面的白天平均温度是零上 ，记作 ，夜间平均温度是零下 ，应记作
A． B． C． D．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上 ，记作 ，夜间平均温度是零下 ，应记作
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有
相反意义的量．
考点二：实数的相关概念及科学记数法
【典例1】（2024•雅安）2024的相反数是
A．2024 B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
【典例2】（2024•成都） 的绝对值是
A．5 B． C． D．
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
【典例3】（2024•包头）若 ， 互为倒数，且满足 ，则 的值为
A． B． C．2 D．4
【分析】根据倒数的定义可得 ，然后求出 的值，即可得出 的值．
【解答】解： 与 互为倒数，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
【典例4】（2023•鼓楼区校级三模）明朝地理学家徐霞客从小立志，朝碧海而暮苍梧，一生志在四方，踏
遍锦绣山河，编撰了60余万字的地理名著《徐霞客游记》，其中60万用科学记数法可表示为 ．
【分析】把一个大于10的数记成 的形式，其中 是整数数位只有一位的数， 是正整数，这种记数
法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【解答】解：60万 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
【典例5】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是
A． B．1 C．2 D．3
【分析】根据 ， ， ， ，而 ，可知1与原点距离最近．
【解答】解： ， ， ， ，
而 ，
与原点距离最近，
故选： ．
【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键．
【典例6】（2024•科右前旗模拟）点 在数轴上的位置如图所示，试比较 、 、 大小关系正确的是
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【分析】根据图示，可得： ，据此判定出 、 、 大小关系即可．
【解答】解： ，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了数轴，有理数大小比较，理清 的取值范围是解答本题的关键．
【典例7】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点 放在原点，并把
圆片沿数轴滚动1周，点 到达点 的位置，则点 表示的数是 ；若起点 开始时是与 重
合的，则滚动2周后点 表示的数是 ．
【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【解答】解： 圆的半径为1个单位长度，
此圆的周长 ，
当圆片向左滚动一周时，点 表示的数是 ；当圆片向右滚动一周时，点 表示的数是 ，
若起点 开始时是与 重合的，圆片向左滚动2周时，则 表示的数是 ；圆片向右滚动2周时，
表示的数是 ，
故答案为： 或 ； 或 ．
【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
【典例8】（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点 ， ， 所对应的数依次为 ，
2，32，乙数轴上的三点 ， ， 所对应的数依次为0， ，12．
（1）计算 ， ， 三点所对应的数的和，并求 的值；
（2）当点 与点 上下对齐时，点 ， 恰好分别与点 ， 上下对齐，求 的值．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）计算 即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出 、 的长，再计算比值
即可；
（2）先求出 、 的长，根据题意列出 ，然后计算即可．
【解答】解：（1） 点 ， ， 所对应的数依次为 ，2，32，
， ， 三点所对应的数的和为 ，
， ，
；
（2）由数轴得， ， ，
由题意得， ，
，
．
【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
【典例1】（2024•资阳）若 ，则 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解： ，
， ，
， ，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
【典例2】．“平方根”节是数学爱好者的节日，一个世纪只会出现 9次，这一天的月份和日期的数字相
同，且恰好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2016年的4月4日，请你再写出一个本世纪的
“平方根”节， 年 月 日（题中示例除外）．
【分析】读懂题意按照题目的方式找一组年月日符合题意的即可．
【解答】解：例如1981年9月9日，
故答案为：1981，9，9．
【点评】本题考查了新定义，做题关键是认真读懂题意．
【典例3】（2024•成都）若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到 与 的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解： ， 为实数，且 ，
， ，
解得 ， ，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【典例4】（2024春•西城区校级期中）【阅读材料】
善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法： ， ，
， ， ， ， ， ， ．
（1）小明是这样求出493039的立方根的．他先估计493039的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想
出这个立方根的个位上的数字为 ，又由 ；猜想出493039的立方根的十位上的数字
为 ，从而得到493039的立方根；
【解决问题】
（2）请你根据（1）中小明的探究方法，完成如下填空：
① ，② ．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据 ， ， ， ， ， ， ， ，
的个位数字所呈现的规律，得到493039立方根的个位数字是9，再根据 ，得到493039
立方根的十位数字是7，进而得出答案；
（2）①由238328的个位数字是8可知238328的立方根的个位数字是2，再由 ， ，
而 得到238328的立方根的十位数字是6即可；
②仿照①的方法求出 ，再由 求出答案即可．，
【解答】解：（1）由上面各式可得这个立方根的个位上的数字为9，又由 ；猜想出
493039的立方根的十位上的数字为7，从而得到493039的立方根是79，
故答案为：9，7；
（2）①由于238328的个位数字是8，由 ， ， ， ， ， ， ，
， 可知，
238328的立方根的个位数字是2，
， ，而 ，
的立方根的十位数字是6，
，
故答案为： ；
②由于 571787 的个位数字是 7，由 ， ， ， ， ， ， ，
， 可知，
238328的立方根的个位数字是3，
， ，而 ，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的立方根的十位数字是8，
，
，
故答案为：0.83．
【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义，掌握一个数立方根的个位数字所呈现的规律是正确解答的
关键》
考点四：二次根式及其运算
【典例1】（2024•北京）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【典例2】（2024•淮安）计算： ．
【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
【解答】解： ，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本
题的关键．
【典例3】（2023春•巨野县期末）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
计算： ．
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意
的事项给其他同学提一条建议．
【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简，
故答案为：一，没有将带分数化为假分数再化简，
任务二：原式
，
任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【典例4】（2024•广州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长 ， ， 求三角形
面积的“秦九韶公式”，即 ．已知在 中， ， ， ，
则 边上的高为
A． B． C． D．
【分析】根据题意把 ， ， 代入求得 的面积，再利用面积公式即可求解．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：由题意得， ， ， ，
，
边上的高为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键．
【典例5】如果一个三角形的三边的长分别为 ， ， ，设 ，则有下列面积公式：
（海伦公式）；
（秦九韶公式）．
如果一个三角形的三边的长依次为5，6，7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【分析】把 、 、 的值分别代入海伦公式和秦九韶公式，计算即可．
【解答】解： ．
；
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
．
【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质是解决本题的关键．
考点五：实数的运算及大小比较
【典例1】（2024•吉林）若 □的运算结果为正数，则□内的数字可以为
A．2 B．1 C．0 D．
【分析】将选项代入，得出运算结果即可．
【解答】解： ，故 选项错误；
，故 选项错误；
，故 选项错误；
，故 选项正确；
故选： ．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【典例2】（2024•重庆）估计 的值应在
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】先将式子化简，再根据 ，得出式子的值的范围．
【解答】解：
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，利用平方法估算无理数是解题的关键．
【典例3】（2024•思明区二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸
入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为 ，则该铁块棱长大小的范围是
A． B． C． D．
【分析】运用立方根知识进行估算求解．
【解答】解：由题意得，该铁块棱长是 ，
，
，
该铁块棱长大小的范围是 ，
故选： ．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
【典例4】（2024•安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的
近似值为 ．比较大小： （填“ ”或“ ” ．
【分析】先计算出： ， ，而 ，因此 ．
【解答】解： ， ，
， ，故答案为： ．
【点评】本题考查的是实数大小比较，熟练掌握其比较方法是解题的关键．
【典例5】（2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0， ， ，1，2这五个数
分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数
可以是 （写出一个符合题意的数即可）
【分析】根据题意，填写数字即可．
【解答】解：解法一：由题意，填写如下：
， ，满足题意，故答案为：0．
解法二：由题意，填写如下：
， ，满足题意，故答案为： ．
解法三：由题意，填写如下：
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，满足题意，故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【典例6】（2024•金水区校级二模）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉 明白玉幻方．
其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上
4个数相加之和均为 ．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数 ，
， ， 有如图1的位置关系时，均有 ．如图2，已知此幻方中的一些数，则 的值为
．
【分析】根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在实线的三阶区域内
有 右下角对应的是 ，在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，再根据每列和是34，即可求
解；
【解答】解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有 右下角对应的是 ，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是 ， ， ，15，
，
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
；
故答案为1．
【点评】本题考查代数式的加减法；能够通过三阶幻方的规律解决四阶幻方，合理的进行分割幻方是解题
的关键．
【典例7】（2024•甘肃）定义一种新运算 ，规定运算法则为： ， 均为整数，且 ．
例： ，则 ．
【分析】根据 ，可以求得所求式子的值．
【解答】解： ，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
【典例8】（2024•北京）联欢会有 ， ， ， 四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一
个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位： 如下：
节目
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的
节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“ ”的先后顺序彩排，
则节目 的演员的候场时间为 ；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先
后顺序彩排．
【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：
顺序排序．
【解答】解：根据题意，节目 的演员的候场时间为： ；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按： 顺序排序，
即 ，
故答案为：60； ．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键．
【典例9】（2024•济南）计算： ．
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运
算法则进行计算即可
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性
质是解题的关键．
考点六：代数式及求值
【典例1】（2024•岳麓区校级三模）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共
车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人
坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有 辆车，则总人数
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
可表示为
A． B． C． D．
【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为 ；若每2人共乘一车，最终剩余8个
人无车可乘，求总人数为 ；依此即可求解．
【解答】解： 有 辆车，
总人数为 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查列代数式，能够根据题意，列出代数式是求解的关键．
考点七：整式的相关概念及运算（含幂的运算）
【典例1】（2024•湖南）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进
行逐一判断即可．
【解答】解： 、 ，原计算错误，不符合题意；
、 ，正确，符合题意；
、 ，原计算错误，不符合题意；
、 ，原计算错误，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是
解题的关键．
【典例2】（2024•长春）单项式 的次数是 ．
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：单项式 的次数是：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了单项式的知识，掌握单项式的次数的确定方法是关键．
【典例3】（2024•薛城区二模）现有边长分别为 和 的 类和 类正方形纸片、长为 宽为 的
类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2张
类纸片．若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据 、 、 类卡片的形状
可得答案．
【解答】解：
，
若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为7张．
故选： ．
【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法
则是解题的关键．
【典例4】（2024•上海）计算： ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：
，
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为： ．
【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【典例5】（2024•重庆）计算： ．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算可得．
【解答】解：原式 ，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握 ， 为正整数）及
．
【典例6】（2023秋•武汉期中）如果整式 与整式 的和为一个数值 ，我们称 ， 为数 的“伙伴
整式”，例如： 和 为数2的“伙伴整式”； 和 为数8的“伙伴整式”．若关
于 的整式 与 为数 的“伙伴整式”，则 的值为 ．
【分析】根据“友好整式”的定义，整式 与 相加二次项和一次项系数为0，即
可算出 的值，即可算出 的值．
【解答】解：根据题意可得，
，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查代数式求值，读懂题目的所给的概念是解决本题的关键．
考点八：整式的化简及求值
【典例1】（2024•甘肃）先化简，再求值： ，其中 ， ．
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入 ，
，求出答案即可．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式 ．
【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值
是解题的关键．
考点九：因式分解
【典例1】（2024•甘孜州）分解因式： ．
【分析】由提公因式 ，可直接得出结论．
【解答】解： 公有因式为 ，
原式 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
【典例2】（2024•开福区校级二模）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 ，请你写出一个符
合条件的多项式： ．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有 的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解： ，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
符合条件的一个多项式是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
【典例3】（2024•西藏）分解因式： ．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解： ．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式： ．
【典例4】（2024•通辽）分解因式： ．
【分析】先提取公因式 ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然
后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【典例5】（2024•重庆）我们规定：若一个正整数 能写成 ，其中 与 都是两位数，且 与 的
十位数字相同，个位数字之和为8，则称 为“方减数”，并把 分解成 的过程，称为“方减分
解”．例如：因为 ，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减
数”，602分解成 的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
一个“方减数” 进行“方减分解”，即 ，将 放在 的左边组成一个新的四位数 ，若 除
以19余数为1，且 为整数），则满足条件的正整数 为 ．
【分析】设 ，则 ，根据最小的“方减数”可得 ， ，即
可求解；根据 除以19余数为1，且 为整数），得出 为整数， 是完全
平方数，在 ， ，逐个检验计算，即可求解．
【解答】解：①设 ，则 ，
由题意得： ，
，
要使“方减数”最小，需 ，
， ，
，
当 时， 最小为82；
②设 ，则 ，
，
除以19余数为1，
能被19整除，
为整数，
又 为整数），
是完全平方数，
， ，
最小为49，最大为256，即 ，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设 ， 为正整数，则 ，
（Ⅰ） 当 时， ，则 ， 是完全平方数，
又 ， ，此时无整数解，
（Ⅱ）当 时， ，则 ， 是完全平方数，
又 ， ，此时无整数解，
（Ⅲ）当 时， ，则 ， 是完全平方数，
若 ， ，则 ， ，
， ，
此时 ， ，
，
故答案为：82，4564．
【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数．
【典例6】（2024•鹿城区校级一模）“字母表示数”的系统化阐述是 16世纪提出的，被后人称为从“算
术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示
数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的
平方拆分的等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
（1）请用此方法拆分 ．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）并运用有关知识，推理
说明这个结论是正确的．
【分析】依据材料中的规律解答即可，利用式子的规律和已知解答．
【解答】解：（1）由题意可知：
，
，
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
；
．
答： ．
（2）根据题意，含有字母 的等式表示为： ．
左边 ，
右边 ，
左边 右边．
答： ．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识以及列代数式等．正确指出等式所反映的规律是解题
的关键．
考点十：分式
【典例1】（2024•雅安）已知 ．则
A． B．1 C．2 D．3
【分析】由已知条件可得 ，将其代入 中计算即可．
【解答】解： ，
，
，
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
故选： ．
【点评】本题考查分式的加减，分式的值，结合已知条件求得 是解题的关键．
【典例2】（2024•绥化）化简： ．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
【典例3】（2024•北京）已知 ，求代数式 的值．
【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．
【解答】解： ，
，
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
．
【典例4】（2024•遂宁）先化简： ，再从1，2，3中选择一个合适的数作为 的值代
入求值．
【分析】先化简分式，再将 代入求出结果．
【解答】解：
，
， ，
， ，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查了分式的化简，要注意分母不为0．
【典例5】（2024•惠农区模拟）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中 是单项式，请写出单项式
，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值： ，其中
解：原式
【分析】根据题意得出单项式 的值，再由分式混合运算的法则把原式进行化简，把 的值代入进行计算
即可．
【解答】解：由题意得，单项式 为 ，
原式
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及单项式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）
观察法：通过观察数列或图形的变化规律，找出共同点或不同点，再将数列或图形的变化规律转化为代
数，通过代数运算得出结果.
【典例1】（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有
1个数为2，第二行有2个数为4，6， 第 行有 个数 ．探究其中规律，你认为第 行从左至右第3
个数不可能是
A．36 B．96 C．226 D．426
【分析】根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每
行左起第3个数的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
， ， ， ， ， ，
所以第 行的最后一个数可表示为 ，
则从第三行起，左起的第3个数可表示为： 为大于等于2的整数）．
因为 ，
故 选项不符合题意．
因为 ，
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故 选项不符合题意．
因为 ， ，且 ，
故 选项符合题意．
因为 ，
故 选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，左起的第 3个数可表
示为： 为大于等于2的整数）是解题的关键．
【典例2】（2024•德州）观察下列等式：
；
；
；
则 的值为 ．
【分析】先求出 ， ， ， ，再根据其规律求出 即可．
【解答】解： ，
，
，
，
，
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查数字变化类规律计算，二次根式化简，能够探究出规律是解题的关键．
【典例3】（2024•盐城模拟）如图是三角形数阵 ， ，则：若 ， 相等，则用含
的式子表示 ， ．
【分析】根据前面两个三角形数阵中数字的位置与算式之间的关系得到三个字母 、 和 之间的关系式，
再根据 和 之间的大小关系把 换成 即可．
【解答】解： 前边两个三角形数阵中右下角的数字等于左下角数字的2倍再加上上面的数字，
第三个数阵中三个字母之间的关系为： ，
又 ， 相等，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，认真观察三角形数阵，发现其中的数字之间的关系是解决问题的
关键．
【典例4】（2024•河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘
法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示 ，运算结果为
3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推
断，正确的是
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为 和 ，则 ， ， ，
，即 ，可确定 ， 时，则 ， ， ，由题意可判断 、 选项，根据题
意可得运算结果可以表示为： ，故可判断 、 选项．
【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为 和 ，如图
则由题意得： ， ， ， ，
，即 ，
当 ， 时， 不是正整数，不符合题意，故舍去；
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 ， 时，则 ， ， ，如图
、“20”左边的数是 ，故本选项不符合题意；
、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
上面的数应为 ，如图
运算结果可以表示为： ，
选项符合题意，
当 时，计算的结果大于6000，
故 选项不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
【典例5】（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的
分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6
个氢原子，第3种如图③有8个氢原子， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数
是
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： ；
，
所以第 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 个，
当 时，
（个 ，
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故选： ．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．
【典例6】（2024•凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点， ，第 行有
个点 ，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前 行的点数之
和为 ．
（2）体验：三角点阵中前 行的点数之和 （填“能”或“不能” 为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，
第二排4盆，第三排6盆， ，第 排 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）依次求出前 为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为： ；
三角点阵中前3行的点数之和为： ；
三角点阵中前4行的点数之和为： ；
，
所以三角点阵中前 行的点数之和为： ．
当 时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当 时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120， ．
（2）不能．
令 得，
解得 ，
因为 为正整数，
所以三角点阵中前 行的点数之和不能为500．
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：不能．
（3）由题知，
前 排盆景的总数可表示为 ，
令 得，
解得 ， ．
因为 为正整数，
所以 ，
即一共能摆20排．
【点评】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前 行点数之和的变化规律是解题的
关键．
【典例7】（2024•盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成
点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有 个籽，每列有 个籽，
行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为 ， 均为正整数， ， ，如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长
为 ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】方案1：根据题意列出代数式即可求解；
方案2：根据题意列出代数式即可求解；
方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为 ，根据题意得一共有 列， 行，斜
着铲相当于有 条线段长，同时有 个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
【解答】解：方案1：根据题意每行有 个籽，行上相邻两籽的间距为 ，
每行铲的路径长为 ，
每列有 个籽，呈交错规律排列，
相当于有 行，
铲除全部籽的路径总长为 ，
故答案为： ； ； ；
方案2：根据题意每列有 个籽，列上相邻两籽的间距为 ，
每列铲的路径长为 ，
每行有 个籽，呈交错规律排列，
相当于有 列，
铲除全部籽的路径总长为 ，
故答案为： ；
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为 ，
根据题意得一共有 列， 行，
斜着铲相当于有 条线段长，同时有 个，
铲除全部轻的路径总长为： ；
解决问题
由上得： ，
方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
，
当 时，
，
，
方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【点评】题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）
1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有
两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负
数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正
数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
【典例1】（2024•内江）16的平方根是
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据平方根的定义即可求得答案．
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：16的平方根是 ，
故选： ．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【典例2】（2024•常州）16的算术平方根是 ．
【分析】一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根．记为
，据此即可求得答案．
【解答】解：16的算术平方根是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【典例3】（2024•大庆） ．
【分析】根据立方根的定义进行计算即可．
【解答】解： ，
的立方根是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
易错点2：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘
方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的
应用.
1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2、间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4、赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方
法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5、隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6、配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负
数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
7、平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果
的符号．
8、设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
9、利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又
可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
10、利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一
个字母来表示另一个字母．
【典例1】（2024•长沙）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把 的值代入化简后的式子进行计算，
即可解答．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查了整式的混合运算 化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【典例2】（2024•南充）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】首先化简 ；然后把 代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：当 时，
．
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】此题主要考查了整式的混合运算 化简求值问题，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整
式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
【典例3】（2024•常州）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】将原式利用完全平方公式，单项式乘多项式法则计算后再合并同类项，然后将已知数值代入化简
结果中计算即可．
【解答】解：原式
；
当 时，
原式 ．
【点评】本题考查整式的混合运算 化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例4】（2024•甘肃）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入 ，
，求出答案即可．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式 ．
【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值
是解题的关键．
易错点3：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【典例1】（2024•青秀区校级三模）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【分析】分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
【典例2】（2024•济南）若分式 的值为0，则实数 的值为 ．
【分析】根据分式的值为0得出 且 ，再求出 的值即可．
【解答】解： 分式 的值为0，
且 ，
解得： ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，注意：当分子 且分母 时，分式 的值为0．
易错点4：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【典例1】（2024•深圳）先化简，再代入求值： ，其中 ．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计
算，即可解答．
【解答】解：
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【典例2】（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【分析】依据题意，先化简分式，然后化简 后代入计算可以得解．
【解答】解：由题意，原式
．
又
，
原式 ．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【典例3】（2024•淮安）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先去括号，再约分，即可得答案．
【解答】解：
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
；
当 时，
原式 ．
【点评】本题考查分式的化简，掌握约分是关键．
【典例4】（2024•西藏）先化简，再求值： ，请为 选择一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的加法法则、乘法法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式
，
， ，
和0，
当 时，原式 （答案不唯一）．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
51
