文档内容
专题 06 二次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一：二次函数的相关概念
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识模块五 二次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）
考点一：二次函数的图象与性质
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
考点三：二次函数含参问题
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
考点五：二次函数最值
考点六：二次函数与一元二次方程关系
考点七：二次函数与不等式关系
考点八：二次函数的实际应用
考点九：二次函数综合
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）
易错点一：忽略题目中的隐含条件
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
易错点三：考虑不全,导致出错
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错知识模块一：二次函数的相关概念
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是
二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.
知识点二：二次函数解析式的确定
1.二次函数常见表达式
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
1 2注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方
ax²+bx+c=0的解
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式
(1)顶点在原点,可设为y=ax²
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;
(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;
(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线
的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
注意：
图象特征
二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法
找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值
找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y
y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x
O
O O O h<0,k<0 O
图
象
y
y y
y y h<0,k>0
x x
x
O
O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
Ob
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b
(− ，
2a
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
4ac−b2
)
4a
b 4ac−b2
a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=− 时 y 有最小值 ；
2a 4a
最
值
b 4ac−b2
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=− 时 时y有最大值 .
2a 4a
b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而增
a>0 2a 2a
增 大.
减
性 b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而减
a<0 2a 2a
小.
知识点二：二次函数的图象变换
1.二次函数的平移变换
总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或
y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
知识点三：二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0.
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情
况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为 图象 观察方法 解集
例ax2＋bx＋c>0 函数y=ax²+bx+c的 xx
1 2
的解集情况 图象位于x轴上方时
对应的自变量的取值
范围
ax2＋bx＋c<0 函数y=ax²+bx+c的 x1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川眉山·二模）若抛物线 经过 和 两点，开口向上，且与 轴
有两个交点，则 的取值范围是 ．
【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数 （a是常数，且 ），
（1）若点 在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当 时，若 ，则函数值y的取值范围是 ．
【典例4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当 时，的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足
的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为 ．
考点八：二次函数的实际应用
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点
以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的
运动时间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四
个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【典例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅
销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价
为 (元 千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为
，已知该产品第10天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为(元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地面竖直
高度 为 ．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线
是由外边缘抛物线 向左平移得到，外边缘抛物线 的最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口
．
(1)求外边缘抛物线 的函数表达式；
(2)求内边缘抛物线 与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
【典例4】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图
1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，
同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的
水平距离 的几组关系数据如下：
2
水平距离 0 3 4 10 15 22 27
0
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【典例5】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈
抛物线型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．【典例6】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的
矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：
m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
考点九：二次函数综合
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数
的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直
线 的下方，连接 、 ．(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【典例2】（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
(3)如图2，连接 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记 、 、
的面积分别为 ．当 取得最大值时，求 的值．
【典例4】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交
直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【典例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．【典例7】（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点
（点 在点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．易错点一：忽略题目中的隐含条件
1.如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数,那么k的值是 。
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(mA,n),B(0,y ),C(3−m,n),D(√2,y ),E(2,y ),
1 2 3
¿
则y ,y ,y 的大小关系是（）
1 2 3
A.y ”“<”或“=”)。
