专题 06 二次函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一：二次函数的相关概念
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识模块五 二次函数的应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）
考点一：二次函数的图象与性质
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
考点三：二次函数含参问题
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
考点五：二次函数最值
考点六：二次函数与一元二次方程关系
考点七：二次函数与不等式关系
考点八：二次函数的实际应用
考点九：二次函数综合
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）
易错点一：忽略题目中的隐含条件
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
易错点三：考虑不全,导致出错
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错知识模块一：二次函数的相关概念
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是
二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.
知识点二：二次函数解析式的确定
1.二次函数常见表达式
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
1 2注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方
ax²+bx+c=0的解
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式
(1)顶点在原点,可设为y=ax²
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;
(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;
(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.
知识模块二：二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线
的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
注意：
图象特征
二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法
找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值
找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y
y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x
O
O O O h<0,k<0 O
图
象
y
y y
y y h<0,k>0
x x
x
O
O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
Ob
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b
(− ，
2a
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
4ac−b2
)
4a
b 4ac−b2
a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=− 时 y 有最小值 ；
2a 4a
最
值
b 4ac−b2
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=− 时 时y有最大值 .
2a 4a
b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而增
a>0 2a 2a
增 大.
减
性 b b
在对称轴x=− 的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=− 的右边y随x的增大而减
a<0 2a 2a
小.
知识点二：二次函数的图象变换
1.二次函数的平移变换
总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-
m);
(3) (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或
y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
知识点三：二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.知识模块三 二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
线的开口方
向
a<0 开口向下
a、b共同决 b=0 对称轴是y轴
定抛物线对
称轴的位置
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛 c=0 抛物线经过原点
物线与y轴
交点的位
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
置．
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac 确 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与x
b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
数
b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0.
知识模块四 二次函数与方程、不等式
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情
况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为 图象 观察方法 解集
例ax2＋bx＋c>0 函数y=ax²+bx+c的 x<x 或x>x
1 2
的解集情况 图象位于x轴上方时
对应的自变量的取值
范围
ax2＋bx＋c<0 函数y=ax²+bx+c的 x<x<x
1 2
的解集情况 图象位于x轴下方时
对应的自变量的取值
范围
知识模块五 二次函数的应用
知识点一：用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶
点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
知识点二：方法技巧总结
1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求
出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值
2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题
3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值
4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线
或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进
行计算．
5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该
点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
考点一：二次函数的图象与性质
【典例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点
式为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当 时，y随x的值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点
， ，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例5】（2024·贵州遵义·二模）已知函数 的图象与二次函数 的图象交于点
， ， ．若点 在 轴下方且 时，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例6】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点
在 轴上．若 两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：判断二次函数图象a，b，c之间的关系
【典例1】（2024·山东青岛·三模）二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；
② ；③m为任意实数，则 ；④ ；⑤若 ，且 ，
则 ．其中正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【典例2】（2024·湖北武汉·二模）函数 、 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直
角坐标系中，函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．【典例3】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数 ，二次函数 ，反比例函数
在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的
对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端
点），则下列结论正确的有多少个（ ）
① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例5】（2024·山东青岛·中考真题）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，则过点 和点 的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例6】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程 有两实根 ， ，且
，则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例7】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函
数图象经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式
可因式分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点三：二次函数含参问题
【典例1】（2024·四川内江·二模）若二次函数 的图象与 轴有公共点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【典例2】（2024·山东菏泽·一模）若二次函数 经过原点，则 的值为
（ ）
A． B．4 C． 或4 D．无法确定
【典例3】（2024·广东广州·一模）二次函数 的图象开口向 ．
【典例4】（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数 中，
(1)若它的图象过点 ，则t的值为多少？
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
(3)如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
【典例5】（2024·云南·二模）我们约定：若关于 的二次函数 与 同时
满足 ， ，则称函数 与函数 互为“美美与共”函数．根据
该约定，解答下列问题．
(1)若关于 的二次函数 与 互为“美美与共”函数，求 ， ， 的值 ．(2)对于任意非零实数 ， ，点 与点 始终在关于x的函数 的图象上运动，
函数 与 互为“美美与共”函数．
①求函数 的图象的对称轴．
②函数 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由．
考点四：二次函数解析式的确定及图象变化
【典例1】（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点
，则 ．
【典例3】（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图
象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数 （a是常数），下列结论：①将这个
函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当 时，这个函数的图像在函数
图像的上方；③若 ，则当 时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后
关于 轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当 时，代数式 的最小值为3
③对于任意实数 ，不等式 一定成立
④P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且 ．当 时，一定有
1 1 2 2
【典例6】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，
两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
【典例7】（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并
说明理由；
(3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于
点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ．【典例8】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数 的图象的顶点在二次函数为 的图象上，同时二
次函数 的图象的顶点在二次函数 的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数 与二次函数 互为“顶点相容函数”，则 _______．
(2)如图，已知二次函数 的图象的顶点为 ，点 是 轴正半轴上的一个动点，将二次函
数 的图象绕点 旋转 得到一个新的二次函数 的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
且 的图象的顶点为 ．
①求二次函数 的解析式；
②点 为 轴上一点，是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．【典例9】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，
将抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，
交抛物线 于点Q．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
(3)如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线
和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【典例10】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、 三点，其中 ，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线
段 上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为 ，则 _________；
②求t的取值范围：
③求 的最大值．【典例11】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴
交于点A，点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．考点五：二次函数最值
【典例1】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数
的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【典例2】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形 中， ，点E为 边上一动点（不与点
B，C 重合），连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接 交 于点G
(1)如图1，当点E为 的中点时，求 的值；
(2)如图2，若 ，求 的长；
(3)连接 ，求 的最小值.【典例3】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，抛物线与 轴交于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线
于点 ， ，设 面积为 ， 面积为 ，求 的值；
(3)如图 ，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ，
，过抛物线顶点 作直线 轴，点 是直线 上一动点．求 的最小值．【典例4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与
轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．【典例5】（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为 的等边三角形纸片 叠放在一起，使点
E、B分别在边 上（端点除外），边 相交于点G，边 相交于点H．
(1)如图1，当E是边 的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若 ，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当 ， 时， 与 有怎样的数量关系？试说明理由．
【典例6】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了 的内接等腰三角形 ， ．并在 边上任取一点 （不与点 ， 重合），连
接 ，然后将 绕点 逆时针旋转得到 ．如图①
小明发现： 与 的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】连接 ，与 相交于点 ．如图②，小明又发现：当 确定时，线段 的长存在最大值．
请求出当 ． 时， 长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点 分线段 所成的比 与点 分线段DE所成的比 始终相
等．请予以证明．
【典例7】（2024·重庆铜梁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，
C，与y轴交于点A，其中 ．
(1)求a，b的值；
(2)如图1，连接AB，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点K，过点K作
轴，垂足为点E，求 的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 ，将该抛物线向右平移，使得
新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 上一点，连接 ，当
时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．考点六：二次函数与一元二次方程关系
【典例1】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标
是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于A、B两点， ，与y轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：①
；② ；③若 且 ，则 ；④直线 与抛物线
的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【典例3】（2024·宁夏·中考真题）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是
．
【典例4】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ，
，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【典例5】（2024·全国·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛．图1是绳甩到最高处时的示意图，
可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米．
素材2：如图2，身高为1.5米的小丽站在距点 的水平距离为1米的点 处，绳子甩到最高处时刚好通过
她的头顶点 ．(1)如图3，以点 为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否
顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由．
(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？
【典例6】（2024·云南昆明·一模）已知抛物线
(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当 时，抛物线与x轴交于点A，B，求AB的长．
【典例7】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与x轴
相交于点A、B，与y轴相交于点C．(1) ________；
(2)如图，已知点A的坐标是 ．
①当 ，且 时，y的最大值和最小值分别是s、t， ，求m的值；
②连接 ，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作 轴，垂足为
D．作 ，射线 交y轴于点Q，连接 ．若 ，求点P的横坐标．
【典例8】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 （a为常数）．(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线 ，该函数图象与x轴交于 两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为 的中点，过点M的直线l（直线l不过 两点）与二次
函数图象交于 两点，直线 与直线 相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若 ，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．考点七：二次函数与不等式关系
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于
， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当x>1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川眉山·二模）若抛物线 经过 和 两点，开口向上，且与 轴
有两个交点，则 的取值范围是 ．
【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数 （a是常数，且 ），
（1）若点 在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当 时，若 ，则函数值y的取值范围是 ．
【典例4】（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当 时，的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足
的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为 ．
考点八：二次函数的实际应用
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点
以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的
运动时间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四
个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【典例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅
销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价
为 (元 千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为
，已知该产品第10天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为(元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 离地面竖直
高度 为 ．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分
图象，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．内边缘抛物线
是由外边缘抛物线 向左平移得到，外边缘抛物线 的最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口
．
(1)求外边缘抛物线 的函数表达式；
(2)求内边缘抛物线 与 轴的正半轴交点 的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
【典例4】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图
1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，
同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的
水平距离 的几组关系数据如下：
2
水平距离 0 3 4 10 15 22 27
0
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【典例5】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈
抛物线型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．【典例6】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的
矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：
m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
考点九：二次函数综合
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数
的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直
线 的下方，连接 、 ．(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【典例2】（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
(3)如图2，连接 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记 、 、
的面积分别为 ．当 取得最大值时，求 的值．
【典例4】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【典例5】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交
直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【典例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．【典例7】（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点
（点 在点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．易错点一：忽略题目中的隐含条件
1.如果函数y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1是二次函数,那么k的值是 。
易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性
2.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(mA,n),B(0,y ),C(3−m,n),D(√2,y ),E(2,y ),
1 2 3
¿
则y ,y ,y 的大小关系是（）
1 2 3
A.y <y <y B.y <y <y C.y <y <y D.y <y <y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
易错点三：考虑不全,导致出错
3.已知二次函数y=ax2+4x+a−1的最小值为2,则a的值为（）
A.3 B.−1 C.4 D.4或−1
易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围
4.已知0≤x≤2,则函数y=x2+x+1（）
3 3
A.有最小值 ，但无最大值B.有最小值 ，有最大值7
4 4
C.有最小值1,有最大值7D.无最小值也无最大值
易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则2a−b 0(填“>”“<”或“=”)。
