专题 05 反比例函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一： 反比例函数的图象与性质 知识模块二：反比例函数的解析式确定方法
知识模块三： 反比例系数k的几何意义 知识模块四 反比例函数与一次函数综合
知识模块五 反比例函数的实际应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（5大考点）
考点一：反比例函数的图象与性质 考点二：反比例函数解析式的确定
考点三：反比例函数与一次函数综合 考点四：反比例函数的实际应用
考点五：反比例函数与几何综合（含k的几何意义）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（3大易错点）
易错点1：利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上
易错点2：利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
易错点3：反比例函数k的几何意义
知识模块一： 反比例函数的图象与性质
知识点一：反比例函数的概念k
一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
x
反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
知识点二：反比例函数的图象与性质
表达式 k
y= （k为常数，k≠0）
x
图象
性
k>0 k<0
质
经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随 在图象所在的每一象限内，函数值y随自
自变量x的增大而减小 变量x的增大而增大
中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于
对称性 原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交
图象特征 点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线
y=±x，对称中心为原点．
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比
例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
知识模块二： 反比例函数解析式的确定方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
知识模块三：反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补
法进行求解.
一、一点一垂线
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
二、一点两垂线
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
结论：S =S S =S S ▱ =|k|
矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
y y
A
B A
O x x
B O
C C结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
k
如左图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 x 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|y|+ co•|y|= co(|y|+|y|)
2 A 2 B 2 A B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 y 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|x|+ co•|x|= co(|x|+|x|)
2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
方法一 方法二 方法三
方法一：S ＝S －S －S ．【分割】
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S ＝S ，则S ＝S ．
△OAM 四边形MEFB △AOB 直角梯形AEFB
方法三：S ＝S －S －S 【补形】
△AOB 四边形COFD △AOC △BOF.
1
方法四：S ＝S －S ＝ OD•（|y|-|y|）
△AOB △AOD △BOD 2 A B
1
方法五：S ＝S －S ＝ OC•（|x|-|x|）
△AOB △BOC △AOC 2 B A
六、两曲一平行
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝ |k1|- |k2|
阴影 阴影 2 2
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝|k1|-|k2|- S
阴影 阴影 直角梯形AFDE类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
结论：S ＝S ＝ (|k1|+|k2|) S ＝|k1|+|k2|
△AOB △ACB 2 阴影
知识模块四 反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>x 或x<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<x 或x<x．
A B A B
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
知识模块五 反比例函数的实际应用
知识点一：用反比例函数解决实际问题的步骤
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
知识点二：反比例函数实际应用常考题型解题方法
1.与实际情境结合的分段函数问题(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式
中的字母系数。
(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。
2.跨学科应用
考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给
的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题.
考点一：反比例函数的图象与性质
【典例1】（一次函数与反比例函数图象）（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数
与 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断一次函数的图象、判断（画）反比例函数图象
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即
可求解．
【详解】解：∵
当 时，一次函数经过第一、二、三象限，当 时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
【典例2】（二次函数与反比例函数图象）（2024·山东德州·中考真题）已知 ， 是某函数
图象上的两点，当 时， ．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知反比例函数的增减性求参数、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当 时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当 时， ，即 ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
A、对于函数 ，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于 ，当 时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
则当 ，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数 的图象开口向下，对称轴为 ，则当 ，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选：C
【典例3】（判断反比例图象所在象限）（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程
无实数根，则反比例函数 的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质.
先利用一元二次方程 无实数根得到 ，解得 ，则 ，根
据反比例的图象和性质即可判断反比例函数 的图象所在的象限.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象所在的象限分别位于第一、三象限，
故选：C
【典例4】（反比例函数性质）（2024·江苏南京·中考真题）已知点 ， ， 在下列某
一函数图像上．且 那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，
即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解：A.在 上时， ，故不符合题意；B.在 上时， ，故不符合题意；
C.在 上时， ，故不符合题意；
D.在 上时， ，故符合题意；
故选：D．
【典例5】（已知反比例函数图象，判断其解析式）（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，
函数 和 的图象大致如图所示，则函数 的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、已知函数经过的象限求参数范围、已知反比例函数的图象，
判断其解析式
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得 ， ，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，即 ，
∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴ ，即 ，∴函数 的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正半轴，对称轴为直线 ，
故选：D．
【典例6】（反比例函数的增减性）（2024·江苏徐州·中考真题）若点 、 、 都在反比
例函数 的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函
数 的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断
A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数 中， ，
∴反比例函数 的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵ 、 、 ，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【典例7】（由反比例函数图象的对称性求点的坐标）（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比
例函数 和 的图象上，若点 与点 关于y轴对称，则m的值为 ．
【答案】1
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关
键是明确题意，列出方程是解题的关键．设 ，根据点 与点 关于y轴对称，求出 ，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可
求解．
【详解】解：设 ，
点 与点 关于y轴对称，
点 ，
P、Q两点分别在反比例函数 和 的图象上，
解得： ，
故答案为∶1．
【典例8】（有关反比例函数新定义）（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标
是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” ，
其“倍值点”为 ．下列说法不正确的序号为 ．
①函数 是“倍值函数”；
②函数 的图象上的“倍值点”是 和 ；
③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 ；
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 时，n的最
小值为k，则k的值为 ．
【答案】①③④
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、比较反比例函数值或自变量的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①函数 中，令 ，则 ，无解，故函数 不是“倍值函数”，
故①说法错误；
②函数 中，令 ，则 ，
解得 或 ，
经检验 或 都是原方程的解，
故函数 的图象上的“倍值点”是 和 ，故②说法正确；
③在 中，
令 ，则 ，
整理得 ，
∵关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，
∴ 且 ，
解得 且 ，故③说法错误；
④在 中，
令 ，则 ，
整理得 ，
∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴ ，
整理得 ，
∴对称轴为 ，此时n的最小值为 ，
根据题意分类讨论，，解得 ；
，无解；
，解得 或 （舍去），
综上，k的值为0或 ，故④说法错误；
故答案为：①③④．
【典例9】（反比例函数图象变换）（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 的
图象可以由函数 的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
1 2 3 4 5
2 1
0 1 2 3
4 2 1
描点连线：在已画出函数 的图象的坐标系中画出函数 的图象．(2)【探究发现】
①将反比例函数 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数 的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数 的图象先___________，再___________得到函数 的图象．
②函数 图象的对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②
【知识点】从函数的图象获取信息、已知反比例函数的图象，判断其解析式、用描点法画函数图象
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数 的图象即可；
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：（2）①函数 的图象可以看作是由函数 的图象向左平移1个单位长度，
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
（3）①函数 的图象可以看作是由函数 的图象向右平移2个单位长度；
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
②根据平移的性质，函数 图象的对称中心的坐标为 ．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长
度）；
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，
数形结合是解题的关键．
考点二：反比例函数解析式的确定
【典例1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心，
轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则 的值为（ ）A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】求反比例函数解析式、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等
等，过点E作 轴于H，连接 ，可证明 是等边三角形，则 ， ，
进而得到 ，设 ，则 ，则 ， ，即可得到点
在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到 ，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作 轴于H，连接 ，
∵原点 为正六边形 的中心，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，
∴点 在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故选：A．
【典例2】（跨学科试题）（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比
例关系，即 （k为常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为
．
【答案】180
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入 求解即可．
【详解】解：把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
故答案为：180．
【典例3】（开方题型）（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当 时， 随
的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．【详解】解：根据题意有： ，
故答案为： （答案不唯一）
【典例4】（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于
两点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(2,1)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据 得出 ，设
，则 ，结合完全平方公式的变形与应用得出 ，
结合 ，则 ，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且
∴设 ，则
∵
∴
则
∵点 在第一象限
∴
把 代入得
∴
经检验： 都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
【典例5】（反比例函数与相似三角形结合）（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，
点 ， 是矩形 的顶点，点 分别为边 上的点，将矩形 沿直线
折叠，使点B的对应点 在边 的中点处，点C的对应点 在反比例函数 的图象上，则【答案】
【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】设 交 与点E，过点 作 轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可
求出 ， ， ， ， ， ，证明 ，
利用相似三角形的性质可求出 ， ，证明 ，利用相似三角形的
性质可求出 ， ，则可出求 的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设 交 与点E，过点 作 轴于点H．
四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
点 是 的中点，
．
在 中，
， ，
，
矩形 沿直线 折叠，
， ， ，
， ，，即 ，
解得 ，
，
，
，
，
．
，
．
又 ，
，
，即 ，
解得 ， ，
，
点 的坐标为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，
添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键．
【典例6】（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形
直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、两直线平行同位角相等、求角的正切值
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为 ，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为 ，则 ， ，根据平行线的性质得 ，进而根
据 求出m的值即可．
【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为(−3,2)，
设反比例函数表达式为 ，
将(−3,2)代入，得： ，解得 ，
因此反比例函数表达式为 ；
（2）解：如图，作 轴于点E， 轴于点D，由图可得 ， ，
设点C的坐标为 ，则 ， ，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即 ，
解得 或 ，
点C在第二象限，
， ，
点C坐标为 ．
【典例7】（2024·江西·中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，双曲线
经过点B，过点 作x轴的垂线交双曲线于点C，连接 ．(1)点B的坐标为______；
(2)求 所在直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例
函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作 轴，根据等腰直角三角形的性质得出 ，即可确定点B的坐标；
（2）根据点 确定反比例函数解析式，然后即可得出 ，再由待定系数法确定一次函数解析式
即可．
【详解】（1）解：过点B作 轴于D，如图所示：
∵ 是等腰直角三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）由（1）得 ，代入 ，
得 ，
∴ ，
∵过点 作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
【典例8】（2024·河南·中考真题）如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线
， 相交于点E，反比例函数 的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形 向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【答案】(1)(2)见解析
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键
是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出 ， ， 对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点A(3,2)，
∴ ，
∴ ，
∴这个反比例函数的表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴反比例函数 的图象经过 ，(2,3)， ，
画图如下：
（3）解：∵ 向左平移后，E在反比例函数的图象上，∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当 时， ，
解得 ，
∴平移距离为 ．
故答案为： ．
【典例9】（2024·贵州·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解
析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（1）把点 代入 可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较
大小．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴函数图象位于第一、三象限，
∵点 ， ， 都在反比例函数的图象上， ，
∴ ，∴ ．
【典例10】（2024·贵州贵阳·模拟预测）中考过后，我们会是双曲线两个分支上的两个点，随着时间的流
逝，我们渐行渐远吗？如图，还是点A在反比例函数 的图象上，点C是点A关于y轴的对称
点，已知 ， ．
(1)直接写出C点坐标
(2)求反比例函数的解析式；
(3)若点P在x轴上，且 ，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)反比例函数的解析式为
(3) 或
【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【分析】（1）设交y轴于点D，由点C是点A关于y轴的对称点， 可知 ，再由
可求出 的长，故可得出A、C点坐标．
（2）根据（1）中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
（3）设 ，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：设 交y轴于点D， ，
∵点C是点A关于y轴的对称点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）知，
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出
的长是解题的关键．考点三：反比例函数与一次函数综合
【典例1】（根据对称性求点的坐标）（2024·北京·模拟预测）直线 与双曲线 交于
两点（A在第二象限），则 的值为 ．
【答案】10
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出 与 与 的
关系，直线与双曲线交点的特征推出 与 与 的关系是解答本题的关键．
先根据点A(x ,y ),B(x ,y )是双曲线 上的点可得出 ，再根据直线
1 1 2 2
与双曲线 交于点A(x ,y ),B(x ,y )两点可得 ，再把此关系代入所求代数式进行
1 1 2 2
计算即可．
【详解】解：∵点A(x ,y ),B(x ,y )是双曲线 上的点，
1 1 2 2
，
∵直线 与双曲线 交于点A(x ,y ),B(x ,y )两点，
1 1 2 2
即 两点关于原点对称．
，
，
故答案为：10．
【典例2】（分割法求图形面积）（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
的图像与反比例函数 的图像相交于点 、B(2,1)．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接 ，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线 与 轴交于点 ，分割法求出 的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于点 、B(2,1)，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ， ，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：设直线 与 轴交于点 ，
∵ ，∴当 时， ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【典例3】（与锐角三角函数结合求点的坐标）（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数 （ 、
为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）的图象交于点 ， ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点 是 轴正半轴上的一点．且 ．求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数
的其他综合应用
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，设 ，先求得 得到
，即 ，得出等量关系解出 即可．
【详解】（1）解：将 代入 得
将 代入 得将 和 代入 得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为 和 ；
（2）如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
即
设 ，则 ，
解得 （舍去）或经检验， 是原分式方程的解，
．
【典例4】（与三角形面积几何求取值范围）（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数 （ ，
为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）的图象交于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积大于12，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函
数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后 的面积大于12，再建立不等式即可求
解．
【详解】（1）解：∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，把 ， 都代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）解：如图，
对于 ，当 ，解得 ，
∴C(−2,0)，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积大于12，
∴ ，即 ，
当 时，则 ,
解得： ，
当 时，则 ，
解得： ；
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积
等，求得交点坐标是解题的关键．
【典例5】（与三角函数、勾股定理、一元二次方程结合）（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面
直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形，
点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是 边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；
(3)如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点P为 的中点，过点 作 于点N．请直接写出P点坐标和 的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求反比例函数解析式、已知正弦值求边长、一次函数与反比
例函数的交点问题
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设A(a,0)，根据平行四边形的性质可得 ，利用中点坐标公式可得 ，再把点D
代入反比例函数解析式求得 ，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线 ： ，联立方程组得 ，设 、
，即 ，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得 ，再利用勾股定理求得 ，求得直线与x、y轴的交点 、 ，利用勾股定理求得 ，可得 ，
过点O作 ，由平行线定理可得 ，利用锐角三角函数求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点B的纵坐标为3．
∴ ，
把 代入 得， ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：设A(a,0)，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D是 边的中点，
∴ ，即 ，
∵点D在反比例函数 图象上，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵将直线 向上平移6个单位得到直线 ： ，
∵直线 与函数 图象交于 ， 两点，∴联立方程组得， ，
即 ，
设 、 ，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴点P的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴直线 与x、y轴交于点 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点O作 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交
点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系
数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【典例6】（求不等式解集与点的坐标）（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数 （
）的图象与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ，且一次函数与 轴， 轴分别交于
点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得 ，求点 的坐标．【答案】(1) ，
(2) 或
(3)点 坐标为
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）将点 坐标代入反比例函数解析式，求出 ，再将点 坐标代入反比例函数解析式，求出点 坐标，
最后将 ， 两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据 与 的面积关系，可求出点 的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将 代入 得，
∴ ，
反比例函数的解析式为 ，
将 代入 得， ，
点 的坐标为 ．
将点 和点 的坐标代入 得，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 ，
不等式 的解集为： 或 ．（3）解：将 代入 得， ，
点 的坐标为 ，
，
．
将 代入 得， ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ．
∵点 在第三象限，
∴ ，
将 代入 得， ，
点 坐标为 ．
【典例7】（反比例函数与全等综合）（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数 的图象与正
比例函数 的图象交于点 ，点 是线段 上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时，求点 的坐标；(3)如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)点 ．
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合
应用
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点 ，那么点 ，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
可得 ，则设点 ，得到点 ，
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
，
将 代入 得 ，解得 ，
反比例函数表达式为 ，
（2）解：如图，设点 ，那么点 ，由 可得 ，
所以 ，
解得 （舍），
;
（3）解：如图，过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点
，
，
点 绕点 顺时针旋转 ，
，
，
，
，
设点 ，点 ，
，
解得 ，
点 或 （舍），此时点 ．
【典例8】（求面积与不等式解集）（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象相交于 ， 两点，与 ， 轴分别相交于点 ， ．且 ．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点 为圆心，线段 的长为半径作弧与 轴正半轴相交于点 ，连接 ， ．求 的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
(2)
(3) 或
【知识点】已知两点坐标求两点距离、已知正切值求边长、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出 得到 ，再解直角三角形得到 ，则 ，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据 ，求
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴一次函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：联立
解得 或 ，
∴ ；设 ，
由题意得， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为 或
，
∴关于 的不等式 的解集为 或 ．
【典例9】（最值问题）（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反
比例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求 的面积；(3)若点P是y轴上一动点，连接 ．当 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为 ，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反
比例函数的其他综合应用
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数
的性质是关键．
（1）依据题意，由 在反比例函数 上，可得 的值，进而求出反比例函数，再将 代入求出
的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，由直线 为 ，可得 ，故
，再由 ，进而计算可以
得解；
（３）依据题意，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的最小值等于
的长，结合 )与 关于 轴对称，故 为 ，又 ，可得直线 为 ，
再令 ，则 ，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵ 在反比例函数 上，
∴ ．∴反比例函数表达式为 ．
又 在反比例函数 上，
∴ ．
∴ ．
设一次函数表达式为 ，
∴ ，
∴ ， ．
∴一次函数的表达式为 ．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为 ，
∴ ， ．
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点P，则
的最小值等于 的长．∵ 与 关于y轴对称，
∴ 为 ．
又 ，设 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 为 ．
令 ，则 ．
∴ ．
考点四：反比例函数的实际应用
【典例1】（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专
业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，
是一个矩形，若以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
分别是两个反比例函数图象的一部分，已知 ， ，上口宽 ，则整个冷
却塔高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求反比例函数值、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的
对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．
设 的解析式为 ，根据y轴垂直平分 ， ，得到 ，根据 ，得到
，得到 ， ，根据 和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到
，即得整个冷却塔高度为 ．
【详解】设 的解析式为 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵y轴垂直平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴点F的横坐标为8，
∴ ，
∴整个冷却塔高度为 ．
故选：A．
【典例2】（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流
和它们两端的电压 ，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理
学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出 ， ，利用不等式的性质得出 ，
， ，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由图象知： ， ，
∴ ， ，
∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻，
∴这四个用电器中电阻 最大的是丙，
故选：C．
【典例3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升 ，温度到
停止加热．然后水温开始下降，此时水温 与时间 成反比例函数关系，水温降至 时，
饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温 与时间 的关系如图所示．水温从 开始加热至
，然后下降至 这一过程中，水温不低于 的时间为 ．
【答案】12
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将 代入两个
函数求得两个时间相减即可确定答案．
【详解】解：设一次函数关系式为： ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
，
设反比例函数关系式为： ，
将 代入，得 ，，
中，
令 ，解得 ；
反比例函数 中，令 ，解得： ，
（min），
水温不低于 的时间为 min．
故答案为： ．
【典例4】（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速
度 是载重后总质量 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 时，它的最快移动
速度 ；当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 ．
【答案】4
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将 代入计算
即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】设反比例函数解析式为 ，
机器狗载重后总质量 时，它的最快移动速度 ，
，
反比例函数解析式为 ，
当 时， ，
当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 ．故答案为：4．
【典例5】（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，
为气敏可变电阻，定值电阻 ．检测时，可通过电压表显示的读数 换算为酒精气体浓度
，设 ，电压表显示的读数 与 之间的反比例函数图象如图2所示， 与酒
精气体浓度 的关系式为 ，当电压表示数为 时，酒精气体浓度为 ．
【答案】 /0.5
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出 与 之间的反比例函数为
，再根据 求出 ，代入 即可求出 ．
【详解】解：设电压表显示的读数 与 之间的反比例函数为 ，
∵反比例函数图象经过点 ，
∴ ，
∴ 与 之间的反比例函数为 ，
当 时， ,∵ ， ，
∴ ，
把 代入 得 ，
解得 ．
故答案为：
【典例6】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R
（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为 时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个反比例函数的解析式为 ；（2）解：在 中，当 时， ，
∴此时的电流I为 ．
【典例7】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 ，加热到
时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 （ ）与通电时间 （
）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为
，接通电源后，水温 （ ）与通电时间 （ ）之间的关系如图所示．
(1)当 时，求 与 之间的函数关系式（写出 的取值范围）；
(2)加热一次，求水温不低于 的时间．
【答案】(1)
(2)加热一次，水温不低于 的时间为
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出 的值，即可；
（2）先求出 时， 与 之间的函数表达式，再求出 时， 的值，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
将点 代入 ，得 ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ，
当 时， ，
，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．（2）解：当 时，设一次函数的表达式为 ，
将点 代入一次函数的表达式，得 ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ，
令 ，则 ；
在降温过程中，当水温为 时，有 ，则 ，
∵ ，
∴加热一次，水温不低于 的时间为 ．
【典例8】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流 与接入电路的滑动变阻器 之
间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压 保持不变，小灯泡的电阻为 ．改变接入电
路的滑动变阻器的电阻 ， 电流表的读数即电流 发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为
时，电流表的读数为 ．
(1)求电路中的电阻 关于接入电路的滑动变阻器的电阻 之间的函数关系，
(2)求电流 关于电路中的电阻 的函数关系；
(3)如果电流表的读数为 ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少 ？
【答案】(1)
(2)
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为 ．
【知识点】实际问题与反比例函数【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，即可求解；
（2）由欧姆定律可知， ，进而得出电源的电压为 ，即可求解；
（3）将 代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，
电路中的电阻 ；
（2）解：由欧姆定律可知， ，
由题意可知，小灯泡的电阻为 ，当接入电路的滑动变阻器的电阻为 时，电流表的读数为 ，
，解得： ，
即电源的电压为 ，
电流 关于电路中的电阻 的函数关系为 ；
（3）解： 电流表的读数为 ，
，
解得： ，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为 ．
考点五：反比例函数与几何综合（含k的几何意义）
【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线 经过A、B两点，连接 、
，过点B作 轴，垂足为D， 交 于点E，且E为 的中点，则 的面积是（ ）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作 ，垂足为F，设
，证明 ，有 ，根据E为 的中点，可得 ， ，进
而有 ， ，可得 ， ，则有 ，
问题随之得解．
【详解】如图，过点A作 ，垂足为F，
设 ， ，
∵ 轴， ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数
的图象与 边交于点D，与 边交于点F，与 交于点E， ，若四边形 的面积
为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性
质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E作 ，则 ，设 ，由 ，可得 ，再由
，列方程，即可得出k的值．
【详解】过点E作 ，则 ，
∴ ，
∴
设 ，
∵
∴ ，
∴
∴
即 ，解得：
故选D
【典例3】（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
①
的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
②为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④
值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数与几何综合、利用垂
径定理求值
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作
，垂足分别为M，N，连接 ，先证明四边形 是矩形，再利用勾股定理，
垂径定理求解即可判断②；先证明 ，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；
先由一元二次方程根与系数的关系得出 的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而
求解即可判断④．
【详解】∵二次函数 的图象经过 两点，
∴当 时， ，
∵m，n是关于x的元二次方程 的两个实数根，且 ，
∴ ，故①正确；如图，过点O作 ，垂足分别为M，N，连接 ，
∴M、N分别为 的中点， ，
∵弦 互相垂直，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，故②正确；
当点C在第一象限时，过点C作 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴ ；
当点C在第二象限时，同理可得
∴ ；
综上， 或 ，故③错误；
设矩形两边分别为m，n，
∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长值与面
积值相等，
∴ ，
∴ ，
解得 （负舍），
∴ ，
∵矩形对角线 ，故④正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全
等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟
练掌握知识点是解题的关键．
【典例4】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形 与 （其中边 ， 分别在 ，
轴的正半轴上）的公共顶点 在反比例函数 的图象上，直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
若这两个正方形的面积之和是 ，且 ．则 的值是（ ）A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上
点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设
，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，
再利用 求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【详解】解：设 ，
由题意得： ．
∵正方形 与 （其中边 分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数
的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
故选：C
【典例5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点 ， ， ，在平行四边形
中，它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点 ，作 轴的
垂线，垂足分别为 ，根据平行四边形的性质得出 ，证明 得出 ，，进而可得 ，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点 ，作 轴的垂线，垂足分别为 ，
∵四边形 是平行四边形，点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ 轴， 轴，
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
【典例6】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例
函数 的图像上， 轴于点C， ，将 沿 翻折，若点C的对应点D落在
该反比例函数的图像上，则k的值为 ．【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了反比例函数 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．
如图，过点 作 轴于点 ．根据 ， ，设 ，则 ，由对称可
知 ， ，即可得 ， ，解得 ，根
据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ．
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ， 轴，
设 ，则 ，
由对称可知 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，
∴ ，
解得： ，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴ ，故答案为： ．
【典例7】（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个
函数图象的“近轴点”．例如，点(0,1)是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【答案】 ③ 或
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数与几何综
合
【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二
次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；
② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；
③ ，取 时， ，得到(1,0)是 的“近轴点”；
（2） 图象恒过点 ，当直线过 时， ，得到 ；当直线过
时， ，得到 ．
【详解】（1）① 中，时， ，
不存在“近轴点”；
② ，
由对称性，当 时， ，
不存在“近轴点”；
③ ，
时， ，
∴(1,0)是 的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
（2） 中，
时， ，
∴图象恒过点 ，
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
∴m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
【典例8】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的
图像与反比例函数 的图像交于点A、B，与 轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求 的值；
(2)利用图像直接写出 时 的取值范围；
(3)如图2，将直线 沿 轴向下平移4个单位，与函数 的图像交于点D，与 轴交于点E，再将函数 的图像沿 平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)8
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数
的交点问题
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出 点坐标，再将 点代入一次函数的解析式中求出 的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为 的面积，进行求解即可．
【详解】（1） 点 在 的图像上，
当 时， ．
∴ ，
将点 代入 ，得 ．
（2）由（1）知： ，
联立 ，解得： 或 ，
∴ ；
由图像可得： 时 的取值范围为： 或 ．
（3）∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵将直线 沿 轴向下平移4个单位，
∴ ，直线 的解析式为： ，设直线 与 轴交于点H
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
如图，过点 作 ，垂足为 ，
∴ ．
又 ， ，
．
连接 ，
∵平移，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴阴影部分面积等于 的面积，即 ．
【典例9】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，
其横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______， ______
（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
【知识点】图形类规律探索、反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：
（1）先求出 ，进而得到 ，再求出 ，
，则 ，同理可得 ， ， ，再根据三角形面积计算公
式求出 的面积，然后找到规律求解即可；
（2）仿照（1）表示出 的面积，然后找到规律求解即可．
【详解】（1）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
同理可得 ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
……
以此类推可得， ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ，∴ ， ，
，
以此类推可得，
．
【典例10】（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线 上第一象限内的两个动点 ，以线段
BD为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数 的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数 的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形 沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为 时，
求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形 沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接 交BD于点P．
以点O为圆心， 长为半径作 ．若 ，当 与 的边有交点时，求k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【知识点】反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相
关计算
【分析】（1）设 ，则 ，用含 的代数式表示出 ，再代入 验证即可
得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出 ，再由折叠性质得出 ，如图，过点D作 轴，过
点B作 轴，证出 ，由比值关系可求出 ，最后由 即可得解；
（3）当 过点B时，如图所示，过点D作 轴交y轴于点H，求出k的值，当 过点A时，根
据A，C关于直线 对轴知， 必过点C，如图所示，连 ， ，过点D作 轴交y轴于点
H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
【详解】（1）设 ，则 ，
∵ 轴，
∴D点的纵坐标为 ，
∴将 代入 中得： 得，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴将 代入 中得出 ，
∴函数 的图象必经过点C；
（2）∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数 的图象经过点A，C，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵把矩形 沿 折叠，点C的对应点为E，
∴ ， ，
∴ ，
如图，过点D作 轴，过点B作 轴，∵ 轴，
∴H，A，D三点共线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
由图知， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵把矩形 沿 折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴四边形 为正方形， ，
∴ ， ， ，∵ 轴，
∴直线 为一，三象限的夹角平分线，
∴ ，
当 过点B时，如图所示，过点D作 轴交y轴于点H，
∵ 轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心， 长为半径作 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 过点A时，根 据A，C关于直线 对轴知， 必过点C，如图所示，连 ， ，过点D作
轴交y轴于点H，
∵ ,
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ,
∴当 与 的边有交点时，k的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，
矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助
线是解决此题的关键．
易错点1：利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个
前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随
x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
【典例1】（2024·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
【详解】解： ，
反比例函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限 随 的增大而减小，
点 ，都在反比例函数 的图象上， ，
．
∵ ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ，∴ .
故选：B．
【典例2】（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若
，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点
M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数图象上，则满足关系式 ，横纵坐标的积等于2，结合
1 1 2 2
即可得出答案．
【详解】解： 点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数 的图象上，
1 1 2 2
， ，
，
， ，
．
故选：A．
【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）已知点 在反比例函数 的图
象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数 的图
象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函
数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴函数 的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴
∴ ，
故选：C．
【典例4】（2024·贵州·模拟预测）已知点 在反比例函数 的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函
数增减性是解题的关键．
（1） 把 代入 ，运用待定系数法计算即可求解；
（2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限， 随 的增大而增大，由此即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
反比例函数的表达式为 ．
（2）解： ，函数图象位于第二、四象限，
点 ， ， 都在反比例函数的图象上， ，
，
．
【典例5】（2024·贵州黔东南·二模）如图，直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为常数）
相交于 两点．
(1)求 的值；
(2)在双曲线 上任取两点M(x ,y )和N(x ,y )，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断
1 1 2 2
过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)当 或 时， ；当 时， ，判断过程见详解
(3) 或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反
比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合，
（1）利用待定系数法求得 ，即可求得点 中a的值；
（2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大，
分情况讨论即可；（3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x．
【详解】（1）解：将点 的坐标 代入 ，得 ，
双曲线的解析式为 ．
将点 的坐标 代入 ，得 ．
则 ， ；
（2）解：对于 ，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增
大，
当 或 时， ；
当 时，根据图象可得 ．
综上所述，当 或 时， ；当 时， ．
（3）解：∵交于 两点，且 ，
∴ 或 ．
易错点2：利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占
有率超过 ，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商
推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商
手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y
与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题．
x/月 … 2 4 7 10 …
y/万元 … 7 2 …
(1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款；
(2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元；
(3)如果张先生打算每月付款 万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？【答案】(1) （ 的整数），首付款为6万元
(2)平均每月应付 万元
(3)他能在规定不计算利息的期限内结算
【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找
出等量关系，列出函数解析式．
（1）利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值；
（3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值．
【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系，
设y与x的函数表达式为 ，
当 ， ，代入表达式得 ，
，
与x的函数表达式为 （ 的整数），
经检验表中其他各组对应值均满足此表达式，
当 时， ，
（万元）．
首付款为6万元；
（2）当 时， （万元），
答：平均每月应付0.35万元；
（3）当 时， ，
解得 ，
，
答：他能在规定不计算利息的期限内结算．
【典例2】（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，
记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是： )：桌面所受压强
250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强 关于受力面积 的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为 ， ， ，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理
由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
【答案】(1) ； ；
(2)见解析．
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，
读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据题中数据，可知压强 关于受力面积 的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数
关系式即可得到答案；
（2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为 比较即可得到答
案．
【详解】（1）解： ，
压强 关于受力面积 的满足反比例函数关系，
设压强 关于受力面积 的函数表达式为 ，则 ，
压强 关于受力面积 的函数表达式为 ；
把 代入 ，得 ，解得 ；
（2）这种摆放方式不安全．
理由：由已知 ，
此时 ，
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
此时 ，则
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
此时 ，则
∴这种摆放方式是安全的．
【典例3】（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种
水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数关系，
其中线段 、 表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少 ；
(2)若大棚内的温度低于 时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为： ．
(2)这天内有 小时水果生长不受伤害．
【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键．（1）设线段 解析式为 ，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利
用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出 时 的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设线段 解析式为 ，
∵线段 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴线段 的解析式为：
当 时， ，
∴这个恒温系统设定的恒定温度为： ．
（2）解：根据解析（1）可知，线段 的解析式为：
当 时， ，
∴B坐标为 ，
∴点C的坐标为 ，
∴线段 的解析式为： ，
设双曲线 解析式为：
∵ ，
∴ ，
∴双曲线 的解析式为： ，
∵当 时， ，
∴ ，∵当 时， ，
∴ ，
∴气温不低于 的适宜温度是： ．
答：这天内有 小时水果生长不受伤害．
【典例4】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度
白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表
示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上
路．
(1)求部分双曲线 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上 喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上 能否驾车出行？
请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题
关键．
（1）由待定系数法可以求出 的函数表达式，从而得到 点坐标，进一步得到 点坐标，然后再利用待
定系数法可以得到部分双曲线 的函数表达式；（2）在部分双曲线 的函数表达式中令 ，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，
再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设 的函数表达式为 ，则：
，
，
的函数表达式为 ，
当 时， ，
可设部分双曲线 的函数表达式为 ，
由图象可知，当 时， ，
，
部分双曲线 的函数表达式为 ；
（2）解：在 中，令 ，
可得： ，
解之可得： ，
晚上 到第二天早上 的时间间隔为 ， ，
某人晚上 喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上 时体内的酒精含量高于20（毫克 百毫
升），
某人晚上 喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上 不能驾车出行．
【典例5】（2024·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ．反
比例函数 的图像分别与 ， 交于点 和点 ．(1)求反比例函数的表达式和点 的坐标；
(2)若一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ，当点 在反比例函数图像上 ，
之间的部分时（点 可与点 ， 重合），求出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数与一次函数
综合应用等知识，运用熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法解得反比例函数的表达式；结合题意可知 的横坐标为4，进而计算点 的坐标；
（2）分别计算当一次函数 的图像经过点 ， 时 的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
∵ 是等腰直角三角形， ，且 与反比例函数 的图像交于点 ，
∴ 的横坐标为4，
对于反比例函数 ，当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）把 代入 得， ，把 代入 得， ，
∴ 的取值范围是 ．
易错点3：反比例函数k的几何意义
【类型一：三角形面积与k的关系】
1 1 1
S = |k| S = |k| S = |k|
△ABC 2 △ABC 2 △BCD 2
1 S =|k| S =|k|
S = |k| △ABC △ABC
△DBC 2
S =2|k| S =2|k| S =S
△ABC △ABC △BDE △BFE
【类型二：四边形面积与k的关系】S =|k| S =|k| S =|k|
❑ ❑ ❑
S =2|k| S =2|k| S=|k −k |
△ABC △ABC 1 2
S=|k −k | S=|k −k | S=|k −k |
1 2 1 2 1 2
【类型三：重叠部分面积与k的关系】
S =S S =S S =S
△ABC 四BEDC △ABF 四EFCD 四BCHG 四HDEF
【类型四：反比例函数与图形中点与k的关系】
D为AB中点， 点E为平行四边形ADBC的对 点E为矩形ADBC的对角线的3 角线的交点 交点
S = |k|
△ABC 2
S =3|k| S =2|k|
▱ACBD 矩
3
S =S = |k|
△ACD △BCD 4
【类型五：反比例函数中的特殊线段的关系】
BC⊥x轴，BA⊥y轴
AC=BD DE∥BC
DF=EG,DE∥AC
【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正
方形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点
M， 轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求线段
长、根据正方形的性质求线段长
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得 ，由
轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点， 轴，可得 ，则，由于点Q在反比例函数 的图象上可得 ，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
宽为a，面积为6，从而可得 ，即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，
∴P点纵坐标为 ，
∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
设 、 交于点H，
∵ ，
∴四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运
用所学知识是解题的关键．
【典例2】（2024·四川达州·一模）如图，点 在反比例函数 的图象上， ， 分别
垂直于x轴、y轴，点D在位于 右侧的反比例函数的图象上， ， 分别垂直于x轴、 于E，F
两点，若四边形 为正方形，则这个正方形的面积等于（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知比例系数求
特殊图形的面积
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长
交 轴于 ，求解反比例函数为： ，证明 ，设正方形 的边长为 ，
可得 ，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．【详解】解：如图，延长 交 轴于 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数为： ，
∴ ，
∴ ，
设正方形 的边长为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴正方形 的面积为 ．
故选：C．
【典例3】（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线 平行于 轴，且分别与反比例函数 、 的
图象交于点 、 ，则 面积为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数 值的几何意义，令直线 交 轴于 ，根据反比例函数 值的几何意义
解答即可，熟练掌握反比例函数 值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：如图，令直线 交 轴于 ，
，
∵直线 平行于 轴，且分别与反比例函数 、 的图象交于点 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【典例4】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段 与反比例函数 相
交于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 恰好落在双曲线 上，则
的面积为（ ）A．3 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质．
过点A作 轴于点C，过带你B作 轴于点D，过点O作 于点E，推出 为反比例函
数 图象的对称轴，通过证明 ，得出 ， 的面积
，即可解答．
【详解】解：过点A作 轴于点C，过带你B作 轴于点D，过点O作 于点E，
由旋转可知 ，
∵ ，
∴点A和点B关于 对称， ，
∴ 为反比例函数 图象的对称轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ 的面积 ，
故选：D．【典例5】（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 的图象上，
过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连接 、 交 于点E，若 ，四边形
的面积为3，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，先根据反比例函数几何意义求出 ，再根据
得到 ，最后根据 求得 ，从
而得到k的值．
【详解】解：∵点 在反比例函数 图象上， 轴， 轴，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【典例6】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形 中， ，点 在 轴上，反
比例函数 经过点 ，与 交于点 ，连接 ．若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和
三角形面积，过 作 于 ，由 ，得到 ， ，设 ．则 ，
，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ， ．
设 ．则 ， ．
∵ ，
∴ ．
则 ．
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
∴ ．即 ．
故选C．
【典例7】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在
第一象限内的图象依次是 和 ，设点P在 上， 轴于点C， 交 于点A， 轴于点D，
交 于点B，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积【分析】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数 中 的几何意义，四边形 的面积为矩形
的面积减去三角形 与三角形 的面积，根据反比例函数 中 的几何意义，其面积为
．
【详解】解：根据题意可得四边形 的面积 ，
由反比例函数 中 的几何意义，可知其面积为 ．
故选：A．
【典例8】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，
过点O作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定
和性质，数形结合是解题的关键．过A作 轴于C，过B作 轴于D，证明 ，
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作 轴于C，过B作 轴于D，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （负值舍去），
故选：A．
【典例9】（2024·宁夏银川·一模）如图，A，B是双曲线 上的两点，过点A作 轴于点 ，交
于点 ，且 为 的中点，若 的面积为5，点B的坐标为 ，则 的值为
．
【答案】10
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．由三角形等底同高面积相等，
得出 ， ，再由几何意义求出k，即可求出m．
【详解】解：∵且D为 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由几何意义得， ，
∵ ，
∴ ，
∵点B 是双曲线 上的点，
∴ ，
即 ．
故答案为：10．
【典例10】（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的两边 、 分别在
x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 与 相交于点D，与 相交于点E，若 ，且
的面积是10，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题的关键是利用过
某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形
式．由矩形的性质可得出 ， ，设B点的坐标为 ，则 ，由反比例函数图像
上点的特点可得出 ，设E的坐标为 ，则 ，根据然后即可求出反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设B点的坐标为 ，
∵ ，
∴
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ ，
设E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【典例11】（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数 上一点 分别作横轴和纵轴的平
行线交函数 与点 、 ．则 的面积为 ．【答案】 /
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数 值的几何意义．延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接
，利用面积关系推出点 是 中点，点 是 的中点，利用 代入数
据计算即可．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，
点 在函数 图象上，点 在函数 ，
， ，
点 是 中点，
同理点 是 的中点，
，
．
故答案为： ．
【典例12】（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数 的图象上，连接 ， ，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为 、 ；若 ，则
．
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为 是解答此题的关键．利用 的几何意义求出
、 的面积，然后求出 的面积，利用相似三角形的性质得到 即可求解．
【详解】解：设 交 于点C，
∵分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为：√2
【典例13】（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取 ，过点 ， ，
分别作x轴的垂线与反比例函数 （ ）的图象相交于点 ， ， ，得 ， ，
，并设其面积分别为 ， ， ，以此类推，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解
是解答此题的关键．连接 ，根据反比例函数的几何性质，可得
，又 ，可得到 ， ，
，按此规律，可得 ．【详解】解：连接 ，如图所示，
， ， ， 是反比例函数 的图象上的点，
都垂直于x轴，
，根据反比例函数的几何性质可得，
，
，
， ， ，依此规律，可得 ．
故答案为： ．
【典例14】（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数 图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，
垂足分别为A、B，交反比例函数 的图像于C、D两点， 的面积是 ，则k的值是
．
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，理解面积与k的关系是解题的关键；设 ，可求 ， ，根据 的面积是 ，可得 ，结合 ，求出
符合题意的k即可．
【详解】解：设 ，
则 ，
作 轴，交反比例函数 的图像于C，
，
，
作 轴，交反比例函数 的图像于D，
，
的面积是 ，
，
，
，
，
，或
，
．
【典例15】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形 、矩形 在平面直角坐标系中的位置如图
所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为 的中点，反比例函数 （ ，k为常数， ）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
【答案】8
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式）、 求矩形在坐标系中的坐
标
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关
键；
根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值．
【详解】解： 反比例函数 的图象恰好经过点M、P，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为 ，点M的横坐标为b，则纵坐标为 ，
在矩形 和矩形 中， 轴， 轴，
M为 的中点，
点C的横坐标为b，则纵坐标为 ，
A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8，
， ， ， ，
阴影面积 ，
解得： ，
故答案为：8.
【典例16】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，A、B为反比例函数 的图象上两个点，过点A
作 轴于点C， 轴于点D，过点B作 轴于点E， 轴于点F， 与 交于点
P，连接 ，若点P为 的中点，则 的面积为 ．【答案】 /0.5
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数和几何结合问题，矩形的判定及性质等．根据题意
延长 交于点 ，则四边形 为矩形，继而利用面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵A、B为反比例函数 的图象上两个点，
∵ 轴， 轴， 轴， 轴，
∴四边形 和 均为矩形，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴延长 交于点 ，则四边形 为矩形，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【典例17】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数 的图象上，分别过点
A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段 交x轴于点E，连接 ．若 ，四边形 的面积为9，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设 ，结合点A，B在反比例函数
的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，得出
，结合四边形 的面积为9，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设 ，
∵点A，B在反比例函数 的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，
∴
∵四边形 的面积为9
∴
即
解得
故答案为：4
【典例18】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形 中，点 在对角线 上，且满足 ，
反比例函数 的图像经过点 、与 相交于点 ， 的面积为4，则 的值为 ．【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，作 轴于点E，证明
，得出 ，根据 ，得出 ，设点 ，则 ，点
， ，根据 ，求出结果即可．
【详解】解：作 轴于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，则 ，点 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故答案为： ．
【典例19】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数 的图象上有 ， 两点，
过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接 ，若 的面积为1，则k的值为
．
【答案】4
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数 值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．记
延长线交y轴于点 ，根据 、 点的横坐标可知 ，可得
，再根据反比例函数 值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：记 延长线交y轴于点 ，
反比例函数 的图象上有 ， 两点，过点A作y轴的平行
线，过点B作x轴的平行线，交于点C，
，
，
，
反比例函数在第一象限，，
故答案为： ．
【典例20】（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于
， 两点，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ， ．
(1)求反比例函数 的表达式．
(2)若 ，以 ， 为边作平行四边形 ，点 在第三象限内，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解、
一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得 ，图形结合分析，再根
据 ，由此即可求解；
（2）把点 代入反比例函数解析式可得a=2，则 ，根据点关于原点对称可得 ，再根据平
行四边形的性质可得 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，∴ ，
解得， ， ，
根据图形可得， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，点 到 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ；
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为 ，且点 在反比例函数图象上，
∴ ，即 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵正比例函数与反比例函数交于点 ，
∴点 关于原点对称，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二
次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键．
【典例21】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
项目主 反比例函数k的几何意义之三角形面积题
已知矩形 的两邻边 、 分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函 数的
项目情
境
图象经过点B， 的图象分别与 、 交于点D、E．
（1）如图（1），若顶点B的坐标是 ， ，则反比例函数 的解析式是______．
活动任
务一
驱动问
（2）在（1）的条件下，则 的面积是______；
题一
（3）如图（2），当 ， 时，则 的面积是______．
活动任
务二
驱动问 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到 的面积有何规律或特征吗？请你用
题二 含 ， 的代数式，表示 的面积（写出推理过程）．
【答案】（1） ；（2）4.5；（3） ；（4）
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析
式）、根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、
矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键．
（1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点 ，再把点 代入 ，即可求解；（2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入 求出横坐标，即可得出点
，从而可求得 ， ，然后利用
，即可求解；
（3）设 ，则 ， ，则 ， ，根据
求解即可；
（4）设 ，则 ， ，则 ， ，根据
求解即可．
【详解】解：（1）∵B的坐标是 ， ，四边形 是矩形，
∴ ，
∵E在 上，
∴ ，
∴ ；
（2）∵B的坐标是 ， ，D在 上，
∴D的纵坐标为4，
∵D在 上，
∴D的横坐标 ，
∴ ，∴ ， ，
∵B的坐标是 ，
∴ ，
∴
；
（3）∵ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（4）设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
即 ．
