文档内容
专题 20 反比例函数的图象和性质（3 个知识点 6 种题型 2 个易错点 3
个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.反比例函数图象的画法
知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）
知识点3.反比例函数 的几何意义（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.判断点是否在反比例函数的图象上
题型2.反比例函数的图象与性质的应用
题型3.反比例函数 的几何意义问题
题型4.利用反比例函数图象的对称性解题
题型5.反比例函数与一次函数的综合
题型6.反比例函数与特殊平行四边形的综合
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视反比例函数解析式中K的符号
易错点2.运用反比例函数的性质比较大小时出错
【方法四】 仿真实战法
考法1.反比例函数的图象
考法2.反比例函数的增减性
考法3.反比例函数与一次函数的综合
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 会用“描点”画法出反比例函数的图象。
2. 能根据反比例函数 的图象和解析式探索并理解 时图象的变化情况。
3. 了解反比例函数 中比例系数 的几何意义，会利用反比例函数的图象和性质解决实际物
体。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.反比例函数图象的画法
图像的画法：描点法
① 列表（应以 o为中心，沿 o的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）【例1】（2023·湖南怀化·九年级统考期中）已知反比例函数 的图象与正比例函数
的图象交于点 ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内， 画出
这两个函数的图象．
【答案】 ，图象见解析
【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法和函数图象的作法，解题的关键是知道反比例函数图象上的
一点坐标求出反比例函数的解析式．
【详解】解：把 代入 得到： ，
∴交点为 ，
把 代入 得： ，
∴ ，
函数图象如图：知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）
反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、
四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线
的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例2】（2023·山东东营·九年级校联考期中）反比例函数 （k是常数，且 ）与二次函数
在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的
性质和二次函数的性质解答．
根据反比例函数的性质和二次函数的性质，可以分别判断出它们的 的正负情况和二次函数顶点所在的位
置，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：选项A中，反比例函数 中的 ，二次函数 中的 ，而顶点坐标为
应该在 轴的正半轴，故该选项错误，不符合题意；
选项B中，反比例函数 中的 ，二次函数 中的 ，故该选项错误，不符合题意；
选项C中，反比例函数 中的 ，二次函数 中的 ，顶点坐标为 应该在 轴的
正半轴，故该选项正确，符合题意；
选项D中，反比例函数 中的 ，二次函数 中的 ，而顶点坐标为 应该在 轴
的正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
知识点3.反比例函数 的几何意义（难点）
反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义，即过双曲线 y=k/x（k≠0）上任意一点 P，
作 x 轴、y 轴垂线。设交点分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积（阴影面积）为 |k| . (由
y=k/x 变形可得：k=xy. 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。)
【例3】（2023·湖南永州·九年级统考期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取
，过点 分别作x轴的垂线，
与反比例函数 的图象相交于点 ，得直角三角形 ， ，， ， ，…， ，并设其面积分别为 ，…， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面
积为 ．根据反比例函数 中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面
积S是个定值， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得， ， ， ，
以此类推， ，
∴ ．
故选：C．
【方法二】实例探索法题型1.判断点是否在反比例函数的图象上
1．（2023·安徽安庆·九年级统考期中）下列各点中，在双曲线 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，
应等于比例系数是解答本题的关键．
将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数 的，就在双曲线 的图象上．
【详解】解： 反比例函数 中，比例系数 ，
将选项中点的纵横坐标相乘：
A选项 ，符合题意；
B选项 ，不符合题意；
C选项 ，不符合题意；
D选项 ，不符合题意，
故选A．
题型2.反比例函数的图象与性质的应用
2．（2023·江苏盐城·校联考二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料
的两边 长分别是 2 米与 3 米，若把这个矩形布料按照如图 1 的方式扩大到面积为原来的2 倍，设原矩
形布料 的一边加长 a 米，另一边长加长b 米，可得 a 与b 之间的函数关系式 ．某校“数学
兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数 ，现对这个函数的图像和性质进行了探
究，研究过程如下：(1)如图 2 ，在平面直角坐标系 中，请用描点法画出 的图像，并完成如下问题：
①函数 的图像可由函数 图像向左平移_______个单位，再向下平移_____个单位得到，其
对称中心坐标为____________；
②根据该函数图像指出，当x 在什么范围内变化时， ．
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方
案．
【答案】(1)作图见解析，①3，2， ；②
(2)把矩形的一边扩大到 ，另一边扩大到 ，这块布料周长最小．
【分析】（1）用描点法画出图象即可；
①根据函数图象的平移规律即可解答；
②先求出 时，x的取值，然后结合函数图像即可解答；
（2）写出周长的表达式，并将其中的b用a表示，再利用 ，并当 时，
取最小值，从而求出a和b的值．【详解】（1）解：画出 的图象如图所示；
①函数 的图像可由函数 图像向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心
坐标为 ，
故答案为：3，2， ；
②当 时，有 ，即 ，
由图象可得，当 时， ；
（2）解：面积扩大两倍后的这块布料周长为 ，
如果 ， ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
当 时，即当 ， 时，周长取最小值，
∴把矩形的一边扩大到 ，另一边扩大到 ，这块布料周长最小．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，运用描点法画反比例函数图象，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
题型3.反比例函数 的几何意义问题
3.（2023·江苏南通·九年级统考期中）如图，点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，且
轴，连接 与反比例函数 的图象交于点C，连接 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】设 ，则 ，再利用待定系数法求得直线 的解析式，与函数 联立成方程组，
解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可．表示出A、B、C的坐标是解题的关键
【详解】解：设 ，则 ，
∴直线 为 ，由 ，解得 ，
∴ ，
∴
故选：A．
题型4.利用反比例函数图象的对称性解题
4．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，正比例函数 （ ）与反比例函数 的
图象交于点 和点 ．求点 的坐标．
【答案】
【分析】把 代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点 和点 关于原点对称可得点 的
坐标．
【详解】解：把点 代入 得： ，∴ ，
∵正比例函数 （ ）与反比例函数 的图象交于点 和点 ，
∴点 和点 关于原点对称，
∴ ．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正
比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键．
题型5.反比例函数与一次函数的综合
5．（2023·广东佛山·九年级校考期中）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，分别根据 和 讨论直线和双曲线在坐
标系中的位置即可得．
【详解】解：当 时，双曲线经过第一、三象限，直线经过第一、二、四象限，故A、C不符合题意；
当 时，双曲线经过第二、四象限，直线经过第一、三、四象限，故B不符合题意，D符合题意；
故选：D．
题型6.反比例函数与特殊平行四边形的综合
6．（2023·广西南宁·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 在第一象限内，边 与
x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4， 2， 反比例函数 的图象经过A，B两点．若菱形的面积为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，过点A作x轴的垂线，交 的延
长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得 ， 的长，根据菱形的
面积为 ，求得 的长，在 中，即可得出k的值．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，交 的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数 的图象，且纵坐标分别为4， 2，
，则 ，
，
∵菱形 的面积为 ，
，即 ，
，在 中， ，
，
．
故选：C．
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视反比例函数解析式中K的符号
1．（2023·广西桂林·九年级校考期中）如图，已知反比例函数 和 的图象分别为
， ，A是 上一点，过点A作 轴，垂足为B， 与 交于点 ．若 的面积为2，则k
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，根据反比例函数 值的几何意义及其基本模型计算即可．
【详解】∵反比例函数 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
反比例函数图象位于第二象限，
，
，故答案为： ．
易错点2.运用反比例函数的性质比较大小时出错
2．（2023·山东威海·九年级统考期中）反比例函数 ， ， 在同一坐标系中的图象如图所
示，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质． 时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大； 时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先
根据函数图象所在的象限判断出 的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【详解】解：由图知， 的图象在第三象限， ， 的图象在第四象限，
∴ ，
又当 时，有 ，
∴ ．
故选：C．
【方法四】 仿真实战法
考法1.反比例函数的图象
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的
图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当 时，可排除B；当 时，排除C、D．
【详解】解：当 时，反比例函数 过一三象限，一次函数 与y轴正半轴有交点，过一二
三象限，故A正确，排除B；
当 时，反比例函数 过二四象限，一次函数 与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除
C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
考法2.反比例函数的增减性
2．（2022·广东·统考中考真题）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ，
， 中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考法3.反比例函数与一次函数的综合
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 交于点 和点
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线 与双曲线 交于点 和点 ，
∴当 时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式 的解集是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结
合的思想是解此题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题1．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）对于反比例函数 ，下列结论：①图像分布在第二、四象限；
② 随 的增大而减小；③图像经过点 ；④若点 ， 都在图像上，且 ，则
，其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握各项性质．根据反比例函数性质直接逐个判
断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵ ，
∴图像分布在第一，三象限，在每个象限，y随x增大而减小，故①②④不正确；
当 时， ，故③正确．
故选C．
2．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）若点 在反比例函数 的图像上，则代数式 的值为
（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据在反比例函数图像上可以得出点的横纵坐标之
积为定值是解答本题的关键．
【详解】∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，即： ，
故选：C．
3．（2023·重庆·九年级字水中学校考期中）已知二次函数 的阁象如图所示，则反比
例函数 与一次数 在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出各系
数符号，再根据一次函数和反比例函数的性质判断即可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与 轴的交点可得 ，根据抛物线开口向下可得 ，由对称轴在 轴
右边可得 、 异号，故 ，
则反比例函数 的图象在第二、四象限，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选：A．
4．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）如图，直线 与双曲线 交于
两点，则当 时， 的取值范围是（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，当 时，x的取值范围就是当 的图象
落在 图象的下方时对应的x的取值范围．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
【详解】根据图象可得当 时， 的取值范围是： 或 ．
故选C．
5．（2023·安徽合肥·九年级阶段练习）二次函数 的图象如图，则函数 与函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关
键．
直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
【详解】解：∵抛物线开口向下，，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a.b同号，
，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
，
，
则函数 的图象分布在第二、四象限，
函数 的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
6．（2023·福建福州·九年级校考期中）点 、 、 都在反比例函数 的图象
上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，图像上的点满足函数解析式．分别把 、 、
各点的坐标代入到 中，求出 、 、 的值，再比较大小即可．
【详解】解： 点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
， ， ，
，
，
故选：C．
7．（2023·全国·九年级专题练习）对于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的反比例函数B．图象经过点
C． 时，y随x的增大而增大
D． 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、根据函数的定义可知对于函数 ，是一个y关于x的反比例函数，正确；
B、由当 时， ，所以图象过点 ，故正确；
C、∵ ，
∴根据反比例函数的性质在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而增大，正确；
D、 时，图象在第二象限y随x的增大而增大，错误．
故选：D．
8．（2023·山东威海·九年级统考期中）若点 ， 都在反比例函数 的图像上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的坐标特征．解题的关键是
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把 代入解析式即可求得 的值．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ 在反比例函数 的图像上，
∴ ．
故选：B．9．（2023·广东佛山·九年级佛山市惠景中学校考期中）函数 与 在同一坐标系内的图
象可以是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据一次函数和反比例函数的图象和性质，
即可求解．
【详解】解：A、当 时， 的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本
选项错误，不符合题意；
B、当 时， 的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本选项错误，不
符合题意；
C、当 时， 的图象经过第一、二、四象限，反比函数位于第二、四象限，故本选项正确，不
符合题意；
D、当 时， 的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本选项正确，符
合题意；
故选：D．
10．（2023·河北保定·九年级保定十三中校考期中）在平面直角坐标系中，分别过点 ， 作
轴的垂线 和 ，探究直线 ，直线 与双曲线 的关系．
甲：两直线中总有一条与双曲线相交．
乙：当 时，两直线与双曲线的交点在 轴两侧．
丙：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3．则正确的是（ ）
A．甲、乙的说法正确 B．甲、丙的说法正确
C．乙、丙的说法正确 D．三人的说法都正确
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键．
由 与 不同时为0，即可判断甲的说法；当 时， ，两直线与双曲线的交点在 轴右侧，
即可判断乙的说法；由 与 之间一一对应结合两交点横坐标之差为3即可判断丙的说法，从而得到答案．
【详解】解： 与 不同时为0，
两直线中总有一条与双曲线相交，故甲说法正确；
当 时， ，两直线与双曲线的交点在 轴右侧，故乙说法错误；
，且 与 之间一一对应，
当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3，故丙说法正确；
综上所述，甲、丙的说法正确，
故选：B．
二、填空题
11．（2023·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点 作 轴
的垂线交函数 的图象于点B，连接 ，则 的面积是 ．
【答案】5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答
的关键．
【详解】解：如图，∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
又∵点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
12．（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （k为常数，且
）的图象经过 的顶点B， 交y轴于点E， 轴，F为 边上一点，且
，连接 ．
（1）若点B的坐标为 ，则k的值为 ．
（2）设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值为 ．
【答案】 18
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，用面积法求比．（1）把点 代入 ，即可求出k的值；
（2）设 ，根据平行四边形的性质得出 ， ，则 ，
，即可得出 ．
【详解】解：（1）把点 代入 得： ，
故答案为：18；
②∵ ，
∴可设 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
设 到 距离 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
13．（2023·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）直线 与双曲线 ， 相交
于点 ， ，作 轴于点 ，作 轴于点 ，四边形 的面积为5，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数关系式中k的几何意义，先根据k的几何意义可知 ，再根
据取值范围得出答案．
【详解】根据题意可知 ，
则 ．
∵ ，∴ ．
故答案为： ．
14．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作
轴，垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若
的面积是6，则 ．
【答案】
【分析】连结 、 ， 轴，由 得到 ．由 得到
，则 ，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：如图，连结 、 ，
∵ 轴，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵图象位于第一象限，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数
形结合的思想是解答问题的关键．
15．（2023·山东泰安·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，过点A作
轴，垂足为点M，连接 ，若 ，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方
形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何
意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
．
由题意可知A、B关于点O对称，所以O为线段 的中点，故 ，从而求出结果．
【详解】解：因为直线 与双曲线 交于A、B两点，所以A，B两点关于坐标原点成中心对称，
即 ，所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ，解得 ．
又反比例函数图象位于第二、四象限，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
16．（2023·山西太原·九年级太原市实验中学校考期中）反比例函数 的图象上有两点 ，
，且 ，则 （填“>”或“=”或“<”）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的增减性的知识点．根据反比例函数
，以及 ，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象上有两点 ， ，且 ，
∴ 随 的增大而减少，
∴
故答案为： ．
17．（2023·江苏南通·九年级统考期中）如图， 是反比例函数 的图象上一点， 轴于点 ，若
的面积为 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向
坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是 .根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到
，计算出来即可．
【详解】根据题意可知： ，
∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ，
∴ ．
故答案为： ．
18．（2023·广东深圳·九年级校考期中）如图，点A，B是函数 图象上两点，过点A作
轴，垂足为点C， 交 于点D．若 的面积为3，点D为 的中点，则k的值为 ．
【答案】
【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用 的面积建立方程求出 ，即可
得出结论．
【详解】解：设点 ，
，
D为 的中点，，
轴，
的面积为3，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
三、解答题
19．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图1，一次函数 的图像与反比例函数 的图
像交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 ， 的值．
(2)如图2，直线 过点 ，与反比例函数图像交于点 ，与 轴交于点 ， ．
①连接 ， ，求 的面积．
②利用图像信息，直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2)① ，② ．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，中点坐标公式，数形结合是本题
的解题关键．
（1）将点 的坐标代入 求得 ，再把点 坐标代入 求出 ；
（2）①设 ， ，利用中点坐标公式求出 ， ， 的坐标，进而求得 的面积；
②根据图象信息可知： ．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
∴ ，
将 代入 ，
∴ ．
（2）解：①∵ ， ，设 ， ，
由中点公式知： ， ，
∴解得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
②根据图象信息可知： ．
20．（2023·安徽合肥·九年级阶段练习）如图，直线 与坐标轴交于点A、B，与双曲线 交
于C、D两点，并且 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围；
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）先求得点 的坐标，再根据 ，且 四点共线，得到点 是线段 的中点，
从而求出点 的坐标为 ，再将点 的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；
（2）联立 ，求出点 的坐标，再由图象即可得到答案．
【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，且 四点共线，
∴点 是线段 的中点，
设点 的坐标为 ，则 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
将点 的坐标 代入反比例函数解析式得： ，
解得： ，
∴反比例函数解析式为： ；
（2）解：联立 ，
解得： 或 ，
∴ ，
观察图象可得：当 时， 的取值范围为 或 ．
21．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于 ．
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；(2)若点 是第一象限内反比例函数图象上一点．过点 作 轴的平行线 交一次函数图象于点 ，作直线
交 轴于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)定义：若矩形的周长是面积的 倍 ，则称该矩形为“ 倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为
18，面积为 ，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点 是第一象限内反比例函数图象上一点．
过 作 轴于点 ，作 轴于点 ．若矩形 是“ 倍积矩形”， 最小可以取多少？
当 取最小值时，求出 点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ；反比例函数解析式为
(2) 或
(3) ，
【分析】（1）先求出一次函数解析式，再求出反比例函数解析式即可；
（2）分两种情况：当点P在点A的下方时，如图，过点A作 轴于点H，交 于点G，则 ，
根据 ，可得 的长，继而求得点P坐标；当点P在点A的上方时，同理可求解；
（3）设点D的坐标为 ，则 ，根据矩形 是“ 倍积矩形”，可得
，则当 ，时， n的值最小，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；当 时， ，解得： ，
∴点 ，
把点 代入 得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：当点P在点A的下方时，如图，过点A作 轴于点H，交 于点G，则 ，
根据题意得： 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点P的纵坐标为 或 ，
把 代入 得： ，
∴点P的坐标为 ；
当点P在点A的上方时，
同理：点P的纵坐标为 ，
把 代入 得： ，∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ；
（3）解：如图，
设点D的坐标为 ，则 ，
∴矩形 的周长为 ，面积为12，
∵矩形 是“ 倍积矩形”，
∴ ，
∴ ，
当 ，即 （负值舍去）时，n取得最小值，最小值为 ，
此时点D的坐标为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质以及新定义，一元二次方程的应用．熟练掌握反比例
函数的性质是解答本题的关键．
22．（2023·广东佛山·九年级校考期中）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，
它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”
(1)完成下列空格：当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为 ，
由题意得方程： ，化简得： ．
， ______， _____．
满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到：
，（以下同小明的做法）
(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
(3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为： ，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从
而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的
部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空
格）
①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________．
②满足条件的矩形B的两边长为________和________．【答案】(1)2；
(2)不存在矩形B
(3)①8；18；② ，
【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可；
（3）①由图可知，一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ，组成方程组，消去y求出
方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出 ， ，即可．
②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：2； ．
（2）解：设B矩形的一边长为x，则另一边为
，
，
，
不存在矩形B．
（3）解：①设直线的关系式为 ，把 ， 代入得：，
解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
设反比例函数解析式为 ，把 代入得： ，解得： ，
∴反比例函数解析式为 ，
根据一次函数解析式可得： ，根据反比例函数解析式可得： ，
∴图形B的两边之和为 ，面积为4，
∴图形A的周长为： ，面积为 ；
故答案为：8；18．
②把 代入 得： ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴满足条件的矩形B的两边长为 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，
是解题关键．
23．（2023·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）已知反比例函数 的图象与一次函数
的图象交于点 和点 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ．连接 ， ．(1)求一次函数 的表达式；
(2)观察图象，直接写出使得 成立的自变量x的取值范围；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．
（1）先把点 坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点 坐标代入反比例函数解析式
求出点 的坐标，然后把 、 坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）先求得点 的坐标，利用 进行求解即可．
【详解】（1）解：把点 代入反比例函数 中得： ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由函数图象可知，当 或 时， ；
（3）解：令 ，则 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
24．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y
轴交于点A，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过A作
轴交反比例函数的图象于点C，连接 ．
(1)求反比例函数表达式；
(2)求 面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数的解
析式是解题的关键.
(1)先由一次函数 的图象过点 ，且点 的横坐标为 ，将 代入 ，求出 的值，得到
点 的坐标，再将 点坐标代入 ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
(2)先由一次函数 的图象与 轴交于点 ，求出点 的坐标为 ，再将 2代入 ，求出
的值，那么 过 作 于 ，则 ，然后根据 将数值
代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象过点 ，且点 的横坐标为1，
，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
轴，
∴点 的纵坐标与点 的纵坐标相同是 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，∴当 时， ，解得 ，
，
过 作 于 ，如图，则 ，
．
25．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
A，B两点，且B点的纵坐标是 ，求：
(1)反比例函数的解析式：
(2) 面积．【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数解析式的求法，以及一次函数的应用．
（1）先根据一次函数 求出点B的坐标，再代入 ，求出k的值即可；
（2）联立方程组，点A的坐标，设直线 与y轴交于点C，并求出点C的坐标，再由三角形面积公式求
解即可．
【详解】（1）在一次函数 中，令 ，可得 ，解得 ，
∴ ，
把 代入反比例函数 ，可得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）联立方程组 ，解得，
∴ ，
设直线 解析式为 ，则
解得
∴
∴令直线 与 轴交于点C，当 时， ，
∴
．
26．（2023·广东湛江·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中， 的边 垂直于x轴，垂足为点
B，反比例函数的图象经过 的中点C，交 于点D．若点D的坐标为 ，且 ．
(1)求反比例函数 的解析式；
(2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)设点E是线段 上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交
于点F，求 面积的最大值．【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)直线 的解析式为
(3)最大值为
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式：
（1）先确定点A的坐标，进而求得点C的坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由 ，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m函数关系式，即可得出结论；
建立 与m的函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵点C是 的中点，
∴ ，
∵点C，D在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：由（1）知，反比例函数解析式为 ，
∴ ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：如图，由（2）知，直线 的解析式为 ，
设点 ，
由（2）知， ， ，
∴ ，
∵ 轴交反比例函数的图像 于F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 最大，最大值为 ．
