文档内容
第二十四章 圆
专题20 圆中最值问题专训（九大题型）
【题型目录】
题型一 圆中的线段最值问题
题型二 圆中的线段之和最值问题
题型三 圆中的线段平方和最值问题
题型四 圆中的面积最值问题
题型五 圆中的周长最值问题
题型六 圆中的旋转最值问题
题型七 圆中的翻折最值问题
题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）
题型九 圆中的最值综合问题
【经典题型一 圆中的线段最值问题】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，现以 为边在 的下方作
正方形 并连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ，点C在y轴正半轴上，
点D在x轴正半轴上，且 ，以 为直径在第一象限作半圆，交线段 于E、F，则线段 的最大
值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）四边形 是边长为4的正方形，点E在 边上，连接 ，F为
中点，连接 ，点G在 上且 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东·八年级校考开学考试）如图，直线 ： 交y轴于A，交x轴于B，x轴上一
点 ，D为y轴上一动点，把线段 绕B点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，则当
长度最小时，线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．
5．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标
轴交于 ， 两点， 于点 ， 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）在 中， 为 的中点， 为
的中点， 为线段 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 为直线
上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是 内
一动点， 为 的外接圆， 交直线 于点 ，交边 于点 ，若 ，则 的最小值
为 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 中， ，则 的最大值为
．9．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边长
为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是
．
10．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
， ， ， ，连接 ，取 的中点F，将三角
板 绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线 的距离的最大值是 ．
【经典题型三 圆中的线段平方和最值问题】
1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形 中， ，以边 为直径作半圆 ， 是半圆 上
的动点， 于点 ， 于点 ，设 ， ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形 中， ，以边 为直径作半圆O，E是半圆
O上的动点， 于点F， 于点P，设 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在 中，若 为 边的中点，则必有：
成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知 ，
，点 在以半径为 的 上运动，则 的最大值为( )
A． B． C． D．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，点 ， ， 均在坐标轴上， ，过 ， ， 作
， 是 上任意一点，连结 ， ，则 的最大值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作
⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则 的最大值是 ．
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M
（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
7．（2022·九年级单元测试）如图，点 、 、 均在坐标轴上， ，过 、 、 作
， 是 上任意一点，连结 ， ，则 的最大值是 ．8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是以 为圆心，1
为半径的 上的一个动点，已知 ， ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形 中，以 为直径作半圆，圆心为
， 是半圆上一动点，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．
(1)如图1，若直线 与圆 相切，求线段 的长；
(2)求 的最小值；
(3)如图2，若 ，求 的最小值．【经典题型四 圆中的面积最值问题】
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两
点， 是以 为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接 、 ．则 面积的最大值是（ ）
A．21 B．33 C． D．42
2．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，若点
在对角线 上运动，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．点 在 上，
且 ．
给出以下四个结论： ① ， ② ，③线段 的最小值是 ，④ 面积的
最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
3．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图， 中， ，
在 的同侧作正 ，正 和正 ，则四边形 面积最大值是（ ）A．1 B．2 C． D．
4．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，半径为4的 与x轴交
于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点 ，点Q是 上一动点，连接 ，点
M为 的中点，连接 ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
5．（2023春·四川攀枝花·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
在边 上，并且 ，点 为边 上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，则
面积的最小值是 ．
6．（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）如图，已知等腰 中， ，
点D、E分别为 边上任意点，以 为直径作圆正好经过点C，与 交于点F，则 面积最大值为 ．
7．（2023·江苏徐州·统考二模）在 中，若 ， ，则 面积的最大值为
．
8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，已知直线 与坐标轴分别交于 、
两点， 是以 为圆心， 为半径的圆上一动点，连结 、 ，则 面积的最大值是
．
9．（2023春·陕西·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心O到弦 的
距离为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最
小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取
得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图
③， 为基地的大致规划示意图，其中 ， 平分 交 于点 ，点 为 上一
点，学校计划将四边形 部分修建为农业实践基地，并沿 铺设一条人行走道， 部分修建为
兴趣活动基地．根据规划要求， 米， ．且农业实践基地部分（四边形 ）的
面积应尽可能小，问四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
10．（2023春·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示， 是等边三角形，点D和点E分别在边 和
上（D，E均不在所在线段的端点上），且 ，点M，P，N分别是线段 上的中点，
连接 ．
(1)请说明 ．并求出 的大小；
(2)把 绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ，判断 的形状并说明理由；
(3)把 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 的最大面积．
【经典题型五 圆中的周长最值问题】
1．（2023秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，等腰 内接于圆 ，直径
， 是圆上一动点，连接 ，且 交 于点 ．下列结论： 平分 ；
； 当 时，四边形 的周长最大； 当 ，四边形 的面积
为 ，正确的有（ ）A． B． C． D．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知正方形 的边长为3，点E是 边上一动点，连接 ，
将 绕点E顺时针旋转 到 ，连接 ，则当 之和取最小值时， 的周长为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，
∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列
四个结论：①OD＝OE；②S ODE＝S BDE；③S ODBE＝ ；④△BDE周长最小值是9．其中正
四边形
△ △
确个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是边长为1的等边 的中心，将AB、BC、CA分别绕点
A、点B、点C顺时针旋转 ，得到 、 、 ，连接 、 、 、 、 ．
当 的周长取得最大值时，此时旋转角 的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）如图，已知正方形 的边长为a，点 是 边上一动
点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时，
的周长为 ．（用含a的代数式表示）
6．（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）等边 的边长为 ，点 是三边垂直
平分线的交点， ， 的两边 ， 与 ， 分别相交于 ， ， 绕 点顺
时针旋转时，下列四个结论：① ；② ；③ 周长最小值是 ；④ 面
积最大值是 ．其中正确的是 ．7．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形 中， ，半径
．点 位于 的 处、且靠近点 的位置，点 、 分别在线段 、 上， ． 为
的中点．连接 、 ．在 滑动过程中（ 长度始终保持不变），当 取最小值时，阴影部分的周
长为 ．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示， 是以A为公共端点的两条线段，且满足
， ，作线段 的垂直平分线l交 于点D．点P为直线l上一动点，连接 ，
以 为边构造等边 ，连接 ．当 的周长最小时， ，则 周长的最小值为
．（用含有a、b的式子表示）
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角
形叫做“互余三角形”．如图1，在 和 中，若 ，且 ，则和 是“互余三角形”
(1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图2，等腰直角 ，其中 ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），
则图中△______和△______是互余三角形，并求证： ．
(3)如图3， 的半径为5，四边形 是 的内接四边形，且 和 是“互余三角形”
①求 的值；
②若 °，求 和 的周长之差．
10．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知 为 的外接圆， ，点
D是劣弧 上一点（不与点A，B重合），连接 ．
(1)如图1，若 是直径，将 绕点C逆时针旋转得到 ．若 ，求四边形 的面积；
(2)如图2，若 ，半径为3，设线段 的长为x，四边形 的面积为S．①用含有x的代数式表示S；
②若点M，N分别在线段 上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．
的周长有最小值p，随着点D的运动，p的值会发生变化．则所有p值中的最大值是 ．
【经典题型六 圆中的旋转最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，
点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，等边 边长为6，点 是中线 上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．当在点 运动过程中， 取得最小值时，
的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形 ，三角形 均为边长为4的等边三角形，点 是、 的中点，直线 、 相交于点 ，三角形 绕点 旋转时，线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， ，O为
AC的中点，M为BC边上一动点，将 绕点A逆时针旋转角 得到 ，点M的对
应点为 ，连接 ，在旋转过程中，线段 的长度的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知在矩形 中， ， ，O为矩形的中心，
在等腰 中， ， ．则 边上的高为 ；将 绕点A按顺时
针方向旋转一周，连接 ，取 中点M，连接 ，则 的最大值为 ．
6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点
是边 上的一动点，将 绕点 按逆时针方向旋转一周得到 ，点 是边 的中点，则在旋转过程中 长度的最大值为 ．
7．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边长
为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是
．
8．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
， ， ， ，连接 ，取 的中点F，将三角
板 绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线 的距离的最大值是 ．
9．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在 中， ， ，点 是边 上的一动点．
是边 上的动点．连接 并延长至点 ，交 于 ，连接 ．且 ， ．(1)如图1，若 ， ，求 的长．
(2)如图2，若点 是 的中点，求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，将 绕点 顺时针旋转，旋转中的三角形记作△ ，取 的中点
为 ，连接 ．当 最大时，直接写出 的值．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在 中， ，
，点D为 边上一点，连接 ，过点B作 交 的延长线于点E．
(1)如图1，若 ， ，求 的面积；
(2)如图2，延长 到点F使 ，分别连接 交 于点G．求证： ．
(3)如图3，若 ，点M是直线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点D顺时针方向旋转
得到线段 ，点P是 边上一点， ，Q是线段 上的一个动点，连结 ， ．当
的值最小时，请直接写出 的度数．【经典题型七 圆中的翻折最值问题】
1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
， 是 边的中点， 是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到△ ，连
接 ，设 的长为 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，点D是边 的中
点，点E是边 上的任意一点（点E不与点B重合），沿 翻折 使点B落在点F处，连接 ，
则线段 长的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，E是边 的中点，F是边 上一动点，连
接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 的长最小时， 的长为（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形 为矩形， ， ，点P为
边 上一点，以 为折痕将 翻折，点A的对应点为点 ，连接 交 于点M，点Q为线段
上一点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形 中， ，M是 边上的一点，且
，N是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ，则 长
度的最小值是 ．
6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 是
的中点，点 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值
是 ．【经典题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为
半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中， ， ， 是第一象限内一
动点， ，连接 、 ，则 的最小值是 ．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为
圆 上一动点，过点 作 、 分别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围
为 ．4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ，
，点 在 上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最
小值为 ．
5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一
个动点，则 的最大值为 ．
6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．
连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是 ．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为
2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
① ，
② ，③ ，
④ 的最小值．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形
CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
【经典题型九 圆中最值综合问题】
1．（2023·广东珠海·统考二模）边长为2的等边三角形 中， 于H，E为线段 上一动点，
连接 ． 于点F，分别交 于点D，G．①当E为 中点时， ；②
；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④ 的最小值 ．正确结论是
（ ）A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④
2．（2021秋·重庆九龙坡·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC
的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q
作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，
连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；② DEF的周长为8；③ ；④线段AH的最小值为2
﹣2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形 中， ， ．动点E在 边上，以点E
为圆心，以 为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在 上，当 与弧相切于点G时，则 的值是 ；
（2）如图②，若 连结 ， ，分别取 、 的中点P、Q，连接 ，M为 的中点，则
CM的最小值为 ．4．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的 中， 是直径， 是弧 的中
点， 绕点 旋转与 的两边分别交于 （点 与点 均不重合），与
分别交于 两点．
(1)连接 ，求证： ．
(2)连接 ，试探究；在 绕点 旋转的过程中， 是否为定值？若是，求出 的
大小；若不是，请说明理由．
(3)连接 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出其
最小值；若不存在，请说明理由．
