2025年中考数学一轮复习学案：3.3反比例函数（学生版）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮复习学案（全国通用）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版） 第三章 函数 3.3 反比例函数 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 反比例函数的图象 数学中考中，有关反比例函数的部分属于中考必考 ☆☆ 与性质 内容，每年考查1~2道题,分值为3~12分，通常以 选择题、填空题、解答题的形式考查。对于这部分 考点2 反比例函数解析式 内容的复习需要学生熟练掌握考点分布的5个考点 的确定（含 k 的几何意 ☆☆☆ 知识内容，掌握每个考点解题要领，形成解题规 义） 律，这样在中考时才能快速高效解决问题。比如考 点3：若在选择题出现，一般3分，在解答题里出现 考点3 一次函数与反比例 ☆☆☆ 则 8—12 分，考查知识综合性强，要用到数形思 函数的综合问题 想，所以要加强该类型题训练。 考点4 反比例函数与几何 ☆☆☆ 图形结合 考点5 反比例函数的实际 ☆☆ 应用 ☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。 夯实基础考点1. 反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数定义 y=kx−1 一般的，形如______(是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： 或 xy=k 。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y 轴永不相交 ． 2. 反比例函数的图象及其性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成_______的，它的位置和性质受k的符 号的影响. y＝ (k为常数， k>0 k<0 k≠0) 图 象 所在象限 一.三(x，y同号) 二.四(x，y异号) 在每个象限内，y 在每个象限内，y 性 质 随x的增大而减小 随x的增大而增大 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1. 求反比例函数的解析式方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把反比例函数图像上已知一点的一对x，y的值代入_______，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出_______； （4）将所求得的待定系数k的______代回所设的函数解析式即可． 2. 反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为______. 如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 矩形PAOB 同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|. △OPA △OPB【易错点提示】已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则 k＜ 0. 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. 反比例函数与一次函数的综合问题基础分析 （1）涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交 点坐．针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所 对应的x的范围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范围为 或 ． （2）求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的_____来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个 交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的______的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数的综合问题命题思想分析 一次函数和反比例函数是全国各省市中考的热点内容，也是中考的必考内容.每年都有一些考生 因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 （1）一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数 和反比例函数的图象和性质必须理解熟记.（2）这个考点多数省市在解答大题里出现，难度属于中等偏上，分值8—10分左右。 （3）运用综合知识解题，所以希望毕业班学生结合下面常出现考题类型复习相关知识点，各个击破。 类型1.一次函数与反比例函数中由面积求点坐标 类型2.一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题 类型3.一次函数和反比例函数与不等式综合问题 类型4.一次函数和反比例函数中求三角形面积问题 类型5.一次函数和反比例函数中求证问题 类型6.一次函数和反比例函数中求线段长问题 类型7.利用反比例函数的图象和性质探究平移问题 考点4. 反比例函数与几何图形结合 解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用 含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知 数及待求字母系数的解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值. 这类型的题目主要包括： 类型1. 反比例函数与三角形的综合问题 类型2.反比例函数与平行四边形的综合问题 类型3.反比例函数与矩形的综合问题 类型4.反比例函数与菱形的综合问题 类型5.反比例函数与正方形形的综合问题 类型6.反比例函数与圆的综合问题 考点5. 反比例函数的实际应用 反比例函数在工程问题、运动问题、化学等领域都有广泛应用。在物理学中也有重要应用。 解答反比例函数实际应用问题基本步骤： （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【易错点提示】反比例函数的实际应用需要注意的地方 解决反比例函数的实际问题时，先确定______，再利用_________找出解决问题的方案，特别注 意______的取值范围。实际问题中的两个变量往往都只能取_____值；作实际问题中的函数图像时， 横、纵坐标的单位长度______相同。 考点1. 反比例函数的图象与性质 【例题1】（2024福建省）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为______． 【变式练1】（2023阜新一模）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反 比例函数图象也一定经过点（ ） A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 【变式练2】（2024陕西一模）已知反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．图象经过点（﹣3，2） B．图象分别位于第二、四象限内 C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．x≥﹣1时，y≥6 【变式练3】（2024内蒙古呼和浩特一模）点 、 在反比例函数 的图 象上，若 ，则 的取值范围是______．k y  【变式练4】（2024西藏一模）反比例函数 x 经过点(2,1)，则下列说法错误的是（ ） k 2 A． B．函数图象分布在第一、三象限 x0 y x x0 y x C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 【例题2】（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ，且 点A落在反比例函数 上，点B落在反比例函数 上，则 ________． 【变式练1】（2024福建一模）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解 析式是( ) 2 2 8 8 A．y= x B．y=﹣ x C．y= x D．y=﹣ x 【变式练2】（2024青岛一模）反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达 式为 ． 【变式练3】（2024深圳一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴 上，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连 接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）A． B． C．2 D．3 【变式练4】（2024大连一模）如图，直线AB与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象交于A，B 两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ． 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 【例题 3】（2024 山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点 ， ．则满足 的 的取值范围______． 【变式练1】（2024山东滨州一模）在同一平面直角坐标系中，函数 与 （k为常数且 ）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【变式练2】（2024湖南益阳一模）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将 点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上． （1）求点A的坐标； （2）确定该反比例函数的表达式． 考点4. 反比例函数与几何图形结合 【例题4】（2024江苏苏州）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ， 过点O作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ） A. B. C. D.【变式练1】（2024黑龙江齐齐哈尔一模）如图，点A是反比例函数 图象上一点，过 点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4， 则k=_______． D3,2 【变式练2】（2024山西一模）如图，平行四边形 OABC 的顶点A在 x 轴的正半轴上，点 k y  k 0,x0 在对角线OB上，反比例函数 x 的图像经过C、D两点．已知平行四边形OABC 15 的面积是 2 ，则点B的坐标为（ ）  8 9   10 24 16 4, ,3 5, ,         A． 3 B．2  C． 3  D． 5 5  考点5. 反比例函数的实际应用 【例题5】（2024河北省）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用 电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 【变式练1】（2024湖北宜昌一模）已知经过闭合电路的电流 （单位： ）与电路的电阻 （单位： ）是反比例函数关系．根据下表判断 和 的大小关系为（ ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A. B. C. D. 【变式练2】 （2024山西一模）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承 受的压强p的值为_________ Pa． 考点1. 反比例函数的图象与性质 1. （2024广西）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则 有（ ） A. B. C. D. 2.（2024广州） 如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的图象 上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：① ； ② 的面积等于四边形 的面积； ③ 的最小值是 ； ④ ． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 3. （2024贵州省）已知点 在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1. （2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为 常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 2. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为 和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为 __________． 3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为______．4. （2024江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例函数 的图像上， 轴于点C， ，将 沿 翻折，若点C的对应点 D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 5. （2024黑龙江绥化）如图，已知点 ， ， ，在平行四边形 中，它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ，且 ，则 ______． 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. （2024黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象 为（ ）A. B. C. D. 2. （2024山东枣庄）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了 自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数 与 部分自变量与函数值的对应关 系： 1 1 ________ _______ ________ 7 _ （1）求 、 的值，并补全表格； （2）结合表格，当 的图像在 的图像上方时，直接写出 的取值范围． 3. （2024湖北省）一次函数 经过点 ，交反比例函数 于点 ． （1）求 ； （2）点 在反比例函数 第一象限的图象上，若 ，直接写出 的横坐标 的取 值范围．4. （2024四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图 象交于 两点，点 的横坐标为1． （1）求 的值及点 的坐标． （2）点 是线段 上一点，点 在直线 上运动，当 时，求 的最小值． 5.（2024甘肃威武） 如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移3个单位长度，得 到一次函数 的图象，与反比例函数 的图象交于点 ．过点 作 x轴的平行线分别交 与 的图象于C，D两点． （1）求一次函数 和反比例函数 的表达式； （2）连接 ，求 的面积． 6. （2024江苏连云港）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点A、B，与 轴交于点C，点A的横坐标为2． （1）求 的值； （2）利用图像直接写出 时 的取值范围； （3）如图2，将直线 沿 轴向下平移4个单位，与函数 的图像交于点D，与 轴 交于点E，再将函数 的图像沿 平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影 部分的面积． 7.（2024甘肃临夏）如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，已知 点坐标为 ． （1）求 ， 的值； （2）将直线 向上平移 个单位长度，与双曲线 在第二象限的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求 的值．考点4. 反比例函数与几何图形结合 1. （2024四川宜宾）如图，等腰三角形 中， ，反比例函数 的图象经 过点A、B及 的中点M， 轴， 与y轴交于点N．则 的值为（ ） A. B. C. D. 2. （2024江西省）如图， 是等腰直角三角形， ，双曲线 经过点B，过点 作x轴的垂线交双曲线于点C，连接 ． （1）点B的坐标为______； （2）求 所在直线的解析式． 3. （2024江苏苏州） 如图， 中， ， ， ， ，反比例 函数 的图象与 交于点 ，与 交于点E．（1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数 图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重 合），过点P作 ，交y轴于点M，过点P作 轴，交 于点N，连接 ，求 面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 4. （2024山东烟台）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，将正 比例函数图象向下平移 个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x 轴，y轴交于点D，E，且满足 ．过点B作 轴，垂足为点F，G为x轴上一 点，直线 与 关于直线 成轴对称，连接 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及 的面积． 5. （2024江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在 上面，如图．请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 考点5. 反比例函数的实际应用 1. （2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． （2）当电阻R为 时，求此时的电流I． 考点1. 反比例函数的图象与性质 1．已知点A（﹣4，y），B（﹣2，y），C（3，y）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则 1 2 3 y，y，y的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y 3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1 3 y 2.若点A（1， y ）、B（2， y ）是双曲线 x上的点，则 y y （填“＞”，“＜”或 1 2 1 2 “=”）． k Aa1,y  Ba1,y  y  (k 0) y  y 3.若点 1 ， 2 在反比例函数 x 的图象上，且 1 2 ，则a的取值范 围是（ ）a1 1a1 a1 a1 a1 A． B． C． D． 或 考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） 1．如图，矩形OABC的面积是4，点B在反比例函数 的图象上．则此反比例函数的解析式为 ． 2. 如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为 3，则k＝_______． 3. 如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点， 以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ， 若 ，则 的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，正方形 的顶点A，B在y轴上，反比例函数 的图象经过点C和 的中点 E，若 ，则k的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) 2 2 8 8 A．y= x B．y=﹣ x C．y= x D．y=﹣ x 考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题 1. 一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A. B. C. D. 2 2. 如图，函数yx1与函数 y 2  x 的图象相交于点 M 1,m,N2,n ．若 y  y ，则x的取 1 2 值范围是（ ） x2 0 x1 x2 x 1 2 x0 0 x1 2 x0 x 1 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 4 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝ x （x＞0）的图象交于点A，将直线y ＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．（1）求k与m的值； （2） 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值． 5. 如图，反比例函数 的图像经过点 和点 ，点 在点 的下方， 平分 ，交 轴于点 ． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使 用2B铅笔作图） （3）线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 ，连接 ．求证： ． 考点4. 反比例函数与几何图形结合 1．如图是反比例函数y＝ 的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴 于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）A．1 B． C．2 D． 2．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（1，a）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）． （1）求k的值； （2）求AB所在直线的解析式． 考点5. 反比例函数的实际应用 1．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”， 即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和 0.5m F N m ，则动力 （单位： ）关于动力臂l（单位： ）的函数解析式正确的是（ ） 1200 600 500 0.5 F  F  F  F  A． l B． l C． l D． l 2. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 （单位： ）变化时，气体的密度 （单位： ）随之变化．已知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图像如图所示．（1）求密度 关于体积 的函数解析式； （2）当 时，求该气体的密度 ．