文档内容
专题 03 反比例函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量的取值范围是非零
的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y= ，y= ，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
在一个支上（每一个象限 在一个支上（每一个象限
增减性
内）， 随 的增大而减小。 内）， 随 的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成
1
的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为2 |k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交
点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k
＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐
标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
模块三 考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
1 1 x
A．xy=−2 B．y= C．y= D．y=
x2 2x+1 3
【答案】A
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解题的关键．
k
形如y= (k≠0)且k为常数，称为反比例函数，根据反比例函数解析式的定义即可解答本题．
x−2
【详解】解：A、xy=−2可变形为y= ，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故A选项符合
x
题意；
1
B、y= ，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故B选项不符合题意；
x2
1
C、y= ，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故C选项不符合题意；
2x+1
x
D、y= ，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故D选项不符合题意；
3
故选：A．
【变式1】若y=2xa−2为关于x的反比例函数，则a的值是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】根据反比例函数的定义求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
k
【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如y= (k≠0)的函数，叫反比例函数．
x
根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案．
【详解】解： y=2xa−2为关于x的反比例函数，
a−2=−1，∵
∴解得a=1，
故选C．
【变式2】若f
(x)=(n2+2n)xn2+n−1是反比例函数，则n的值为
．
【答案】−1
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的
关键．根据反比例函数的定义可得n2+n−1=−1且n2+2n≠0，求解即可．
【详解】解：∵函数f
(x)=(n2+2n)xn2+n−1是反比例函数，
∴n2+n−1=−1且n2+2n≠0，
解得n=−1，
故答案为：−1．
【变式3】已知函数y=(m2+2m−3)x|m|−2是反比例函数，则m=
【答案】−1
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．直接利用反比例
函数的定义得出m的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案．
【详解】解：∵y=(m2+2m−3)x|m|−2
则|m|−2=−1，m2+2m−3≠0
解得：m=−1
∴m=−1．
故答案为：−1．
考点2：反比例函数图像
1
典例2：小光根据学习函数的经验，探究函数y= 的图象与性质．
x−1
(1)刻画图象
①列表：下表是x，y的几组对应值，其中a= ，b= ；
1 2 3 5 4 3
x … −4 −2 −1 0 2 3 4 …
2 3 4 4 3 2
1 1 1 1 1
… − − − −1 −2 a −4 4 3 2 1 b …
x−1 5 3 2 3
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当x>1时，y随x的增大而 ；
1
②函数y= 的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标）
x−1
(3)类比探究1 1
①小光发现，函数y= 的图象可以由反比例函数y= 的图象经过平移得到．请结合图象说明平
x−1 x
移过程；
4 4
②函数y= 的图象经平移可以得到函数y= 的图象，请说明平移过程．
x−3 x+2
1
【答案】(1)①−3， ③见详解
2
(2)①增大，②(1,0)
(3)①向右平移1个单位;②向右平移5个单位
【知识点】求反比例函数值、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性、图形的平移
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
2 1
（1）①直接把x= 和x=3分别代入y= ，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答．
3 x−1
（2）运用数形结合思想即可作答①②．
（3）运用类比法得出平移规律，即可作答．
2 1
【详解】（1）解：①把x= 代入y= ，
3 x−1
1
a= =−3
得 2
−1
3
1
把x=3代入y= ，
x−1
1 1
得b= = ；
3−1 2
1
故答案为：−3，
2
②描点：如图所示；
③如图所示：（2）解：①当x>1时，y随x的增大而减小；
1
②函数y= 的图象的对称中心是(1,0)，
x−1
故答案为：增大，(1,0)；
1 1
（3）解：①结合图象，得出函数y= 的图象可以由反比例函数y= 的图象经过向右平移1个单
x−1 x
位得到的；
1 1
②由反比例函数的分母特征得出函数y= 是由y= 向右平移m个单位长度得到的，
x−m x
4 4
∵y= 与y= 的分母差值为2−(−3)=5，
x−3 x+2
4 4
∴函数y= 的图象经平移可以得到函数y= 的图象向右平移5个单位得到的
x−3 x+2
【变式1】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．
(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．
3
【答案】(1)y= (t>0)
t
(2)t≥1.2
【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析
式【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置
确定自变量的取值范围即可．
（2）先求出y=2.5时对应的t的值，再根据反比例函数图像特征写出y≤2.5时，自变量x的相应的
取值范围．
k
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为y= (k≠0)，
t
k
将(1,3)代入y= (k≠0)，得k=3，
t
3
∴该曲线所表示的函数的解析式y= (t>0)；
t
3 3
（2）把y=2.5代入y= 得，t= =1.2，
t 2.5
由图像得，当y≤2.5时，t≥1.2．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围．
【变式2】在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：
6
(1)画出函数y= 的图象；
x
6
①由分式有意义可知，函数y= 中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩
x
余的空．
x −6 −4 −3 −2 −1.5 −1 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）．
3
(2)画出函数y= x的图象；
2
3 6
(3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数y= x的值大于函数y= 的值，直接写出x的取值
2 x范围．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)−22．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断（画）反比例函数图象、根据反比例函数的定
义求参数、画一次函数图象
【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答．
（2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答．
（3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点(−2，−3)，(2，3)，运用数形结合思想得x的取值
范围为−22．
6
【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数y= 中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下
x
表，请你填剩余的空．
x −6 −4 −3 −2 −1.5 −1 1 1.5 2 3 4 6
y −1 −1.5 −2 −3 −4 −6 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象，如图所示：
3
（2）解：关于函数y= x，先列表：
2
x −4 −2 −1 1 2 4
3 3
y −6 −3 − 3 6
2 2
如图所示：3 6
（3）解：由（2）得出，两个函数交于点(−2，−3)，(2，3)，当函数y= x的值大于函数y=
2 x
的值，则x的取值范围为−22．
3+a
【变式3】已知反比例函数y= ，且当x=3时，y=−2．
x
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【答案】(1)a=−9
(2)见解析
【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法：
（1）将x=3，y=−2代入解析式求解．
（2）根据函数解析式及表格作图．
3+a 3+a
【详解】（1）解：把x=3，y=−2代入y= 得，−2= ，
x 3解得a=−9；
6
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为y=− ，
x
∴当x=−6，−3，−2，2，3，6时，y=1，2，3，−3，−2，−1，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
考点3：反比例函数的增减性
k
典例3：已知反比例函数y= (k≠0)，当x>0时，y随x的增大而减小，关于x的一元二次方程
x
x2+kx−k=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．与k的值有关，无法确定
【答案】B
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知反比例函数的增减性求参数
k
【分析】本题主要考查了反比例的增减性，一元二次方程根的判别式，对于反比例函数y= (k≠0)，
x
当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，
则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若
Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．据此可得k>0，再求出Δ即可得到答案．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)，当x>0时，y随x的增大而减小，
x
∴k>0，∴Δ=k2−4⋅1⋅(−k)=k2+4k>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
4
【变式1】对于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．y随x的增大而减小 B．图象经过点(−2,−2)
C．图象与坐标轴无交点 D．图象分布在第一、三象限
【答案】A
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各
个选项中的说法即可解题．
4
【详解】解：对于反比例函数y= ，
x
A、y随x的增大而减小，错误，应注意其x≠0，增减性应给定自变量范围，符合题意；
B、图象经过点(−2,−2)，正确，不符合题意；
C、图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意；
D、图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；
故选：A．
【变式2】当x>0时，反比例函数y=mx2m2+3m−6随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在
第 象限．
【答案】 1 一、三
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、判断反比例函数图象所在象限、求反比例函数解析式、
因式分解法解一元二次方程
【分析】此题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程、反比例函数的图象和性质等知识．
5
根据定义得到2m2+3m−6=−1，解得m =− ，m =1，再根据当x>0时，反比例函数
1 2 2
y=mx2m2+3m−6随x的减小而增大得到m=1，图象分别在第一、三象限．
【详解】解：根据题意，得2m2+3m−6=−1，
∴2m2+3m−5=0
5
解得m =− ，m =1
1 2 2∵当x>0时，反比例函数y=mx2m2+3m−6随x的减小而增大，
∴m>0，
∴m=1
1
∴y= ，
x
此时图象分别在第一、三象限．
故答案为：1，一、三
k−1
【变式3】已知反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范
x
围是 ．
【答案】k>1
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函
数的增减性可得k−1>0，由此即可得．
k−1
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，
x
∴k−1>0，
解得k>1，
故答案为：k>1．
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
( 4 ) ( 1 ) a2+1
典例4：若点 − ,y ,(−2,y ), − ,y 均在反比例函数y= 的图象上，则下列结论中正
3 1 2 3 3 x
确的是（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
a2+1
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数y= 的图象所在的
x
象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵a2+1>0，
a2+1
∴反比例函数y= 的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
x
4 1
∴点(− ,y )，(−2,y )，(− ,y )均在第三象限，
3 1 2 3 31 4
∵− >− >−2，
3 3
∴y >y >y ．
2 1 3
故选：B．
【变式1】已知x=1是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根，点P(−1,m)、Q(2,n)均在反
k−3
比例函数y= 的图象上，则关于m、n的大小关系描述正确的是（ ）
x
A．m>n>0 B．m>0>n
C．n>m>0 D．n>0>m
【答案】D
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出k的值，进而根据
反比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根，
∴1−6+k=0
解得：k=5
5−3 2
∴反比例数解析式为y= =
x x
2
∵点P(−1,m)、Q(2,n)均在反比例函数y= 的图象上，
x
∴−m=2n=2
∴m=−2，n=1
∴n>0>m，
故选：D．
5
【变式2】已知点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )都在反比例函数y=− 的图象上，若
1 1 2 2 3 3 x
x <0”连接）
1 2 3 1 2 3
【答案】y >y >y
1 3 2
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查的是比较反比例函数值的大小，解题的关键是掌握反比例函数的性质．先判断出
函数图象所在的象限，再根据x <0y >y ．
1 2 3 1 3 2
故答案为：y >y >y ．
1 3 2
k k
【变式3】已知反比例函数y = 与y =− (k>0)，当1≤x≤3时，y 的最小值为a，y 的最小值为
1 x 2 x 1 2
2a−5，则k的值是 ．
【答案】3
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．根据反比例函数
k
在1≤x≤3上的增减性，可得 =a，−k=2a−5，即可求得a，k的值．
3
k
【详解】对于反比例函数y = ，当1≤x≤3时，y 的最小值为a，
1 x 1
k
∴当x=3时，y = =a，
1 3
即k=3a，
k
对于反比例函数y =− (k>0)，当1≤x≤3时，y 的最小值为2a−5，
2 x 2
∴当x=1时，y =−k=2a−5，
2
∴−3a=2a−5，
解得a=1，
∴k=3a=3．
故答案为：3．
考点5：反比例函数k的几何意义
3 n
典例5：如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四个分支上，则实数
x x
n的值为（ ）1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【答案】A
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3
如图所示，点B在y= 上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
x
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，点
3
B在y= 上，
x
∵OB=OA，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD．
∴△AOC≌△OBD．
3 |n|
∴S =S = = ．
△AOC △OBD 2 2
∵A点在第二象限，
∴n=−3．
故选：A．
k
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A、B是函数y= (x>0)图象上两点，坐标分别是(a,6)、
x
(6,a)．若△AOB的面积为16，则k值为（ ）A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定
求面积
【分析】此题考查了反比例函数图象和性质，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握反比例函数
的有关性质是解题的关键．
过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥x轴，反向延长AC、BD交于点E，利用割补法表示出
△AOB的面积，即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥x轴，反向延长AC、BD交于点E，如下图：
则四边形ODEC为矩形，
点A、B的横坐标分别为a，6，
则A(a,6)、B(6,a)，C(0,6)、D(6,0)、E(6,6) ，
1 1 1
S =S −S −S −S =36− ×6×a− ×6×a− ×(6−a) 2=16，
△AOB 矩形ODEC △AOC △OBD △ABE 2 2 2
解得a=2或a=−2（不合题意，舍去），
∴点A的坐标为(2,6)，
∴k=2×6=12．
故选：C．
2
【变式2】如图，点A是y= (x>0)图像上任一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，过点A作x
xk
轴的平行线交y= (x>0)的图像于点B，连接OB交AC于点D，若点D是AC的中点，则k的值为
x
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接OA，过点B作BE⊥OC于点E，根据反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定
和性质，解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：连接OA，过点B作BE⊥OC于点E，
2
∵点A是y= (x>0)图像上任一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
x
1
∴S = ×2=1，
△AOC 2
∵点D是AC的中点，
1 1
∴S = S = ，
△DOC 2 △AOC 2
∵点D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵AB∥OC，
∴∠BAD=∠OCD,∠ABD=∠COD，
∴△ADB≌△CDO(AAS)，
∴OD=DB，
∵BE⊥OC，
∴BE∥DC，
OD OC
∴ = =1，△COD∽△EOB，
DB CE
∴
CD
=
1
，
S
△COD=
(DC) 2
=
1
，
BE 2 S BE 4
△EOB
∴S =4S =2，
△EOB △CODk
∵点B是反比例函数y= (x>0)图象上一点，
x
∴|k|=2S =4，
△BOE
∵k>0，
∴k=4，
故选：B．
．
k
【变式3】如图，点A，B都是双曲线y= (k≠0,x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知
x
AB=2BC，△AOC的面积为12，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性
质综合
k
【分析】本题考查了反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义，相似三角形的判定与性质，过点A作
x
AB AD BD 2
AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥AE于点D，证明△ABD∽△ACE，则 = = = ，设
AC AE CE 3
( k ) 2 (k )
A ,3b ，则AD= AE=2b，DE=3b−2b=b，点B ,b ，然后通过三角形面积即可求解，
3b 3 b
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥AE于点D，∵AB=2BC，
AB 2
∴ = ，
AC 3
∵BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
AB AD BD 2
∴ = = = ，
AC AE CE 3
( k ) 2
设A ,3b ，则AD= AE=2b，DE=3b−2b=b，
3b 3
(k )
∴点B ,b ，
b
k k 2k
∴BD= − = ，
b 3b 3b
3 3 2k k
∴CE= BD= × = ，
2 2 3b b
k k 4k
∴OC=OE+CE= + = ，
3b b 3b
1 1 4k
∴S = ×OC×AE= × ×3b=2k=12，
△AOC 2 2 3b
∴k=6，
故选：D．
2
【变式4】如图，过反比例函数y= (x>0)图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数
x
k
y= (x>0)于点B．连接OA、OB．若S =3，则k的值为 ．
x △AOB【答案】−4
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
1
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，令AB交x轴于C，由题意可S = ×|2|=1，求
△AOC 2
出S =2，即可得解．
△COB
【详解】解：如图：令AB交x轴于C，
2
∵点A在反比例函数y= (x>0)上，且AB∥y轴，
x
1
∴S = ×|2|=1，
△AOC 2
∵S =3，
△AOB
∴S =S −S =2，
△COB △AOB △AOC
1
∴ |k|=2，
2
∵k<0，
∴k=−4，
故答案为：−4．
5 k
【变式5】如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= (k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B
x x
向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是7，则k的值为 ．【答案】12
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k
的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，
5
由于点A在双曲线y= 上，所以S =5，同理可得S =k，由
x 矩形AEOD 矩形OCBE
S =S −S 即可得出k的值．
矩形ABCD 矩形OCBE 矩形AEOD
k
【详解】解：∵双曲线y= (k≠0)在第一象限，
x
∴k>0，
延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴
∴AE⊥y轴，
∴四边形AEOD是矩形，
5
∵点在双曲线y= 上，
x
∴S =5，
矩形AEOD
同理S =k，
矩形OCBE
∵S =S −S =k−5=7，
矩形ABCD 矩形OCBE 矩形AEOD
∴k=12．
故答案为：12．1
【变式6】如图，在反比例函数y= 的图象上有P ,P ,P ,⋯,P 等点，它们的横坐标依次为
x 1 2 2 2025
1，2，3，…，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依
次为S ,S ,S ,…,S ,S ，则S +S +S +…+S +S = ．
1 2 3 2023 2024 1 2 3 2023 2024
2024
【答案】
2025
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
将面积为S ，S ，⋯，S 的矩形向左平移到面积为S 的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即
2 3 2024 1
可．
【详解】解：∵P ，P ，P ，⋯，P 的横坐标依次为1，2，3，⋯ 2025，
1 2 3 2025
∴阴影矩形的一边长都为1，
记P D⊥y轴于点D，P C⊥x轴于点C，P A⊥y轴于点A，且交P C于点B，如图所示：
1 1 2025 1
将面积为S ，S ，⋯，S 的矩形向左平移到面积为S 的矩形的下方，则
2 3 2024 1
S +S +S +⋯+S =S ，
1 2 3 2024 矩形ABP D
1
1 1 1
把x=2025代入y= 得：y= ，即OA= ，
x 2025 20251
∴S =OA⋅OC= ，
矩形OABC 2025
根据反比例函数中k的几何意义，可得：S =1，
矩形OCP D
1
1 2024
∴S =S −S =1− = ，
矩形ABP 1 D 矩形OCP 1 D 矩形OABC 2025 2025
2024
即S +S +S +…+S +S =
1 2 3 2023 2024 2025
2024
故答案为： ．
2025
18 2
【变式7】如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y= (x>0)，y= (x<0)的图象分别交于A，
x x
OA
B两点，作AH⊥y轴于H，连接BH交x轴于点C，现给出以下结论：①S =9；② =3；③
△AOH OB
OC 1 3
= ；④S = ．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
AH 3 △BOC 4
【答案】①②④
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，相似三角形的判定与性质，由反比例函数的k的几
何意义即可判断①；由相似三角形的判定与性质即可判断②③④，从而得解．
1
【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：S = ×18=9，故①正确，符合题意；
△AOH 2
如图，作BM⊥y轴于M，
，则∠BMO=∠AHO=90°，
∵∠BOM=∠AOH，
∴△BOM∽△AOH，
1
∵S = ×2=1，
△BOM 2
∴S :S =9，
△AOH △BOM
(OA) 2
∴ =9，
OB
OA
∴ =3，故②正确，符合题意；
OB
∵AH⊥y，
∴CO∥AH，
OC OB 1
∴ = = ，故③错误，不符合题意；
AH AB 4
OA
∵S =9， =3，
△AOH OB
∴S =3，
△BOH
∴S =3+9=12，
△ABH
OB 1
∵ = ，CO∥AH，
AB 4
∴△BOC∽△BAH
(1) 2 3
∴S = ×S = ，故④正确，符合题意；
△BOC 4 △ABH 4
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
考点6：求反比例函数解析式
典例6：已知y与x成反比例，且当x=3时，y=4．
(1)求函数的关系式；
3
(2)当x= 时，y的值是多少？
2
12
【答案】(1)y=
x
(2)8
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式；k
（1）设解析式y= ，然后把一组对应值代入求出k即可；
x
（2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值．
k
【详解】（1）解：设解析式为：y= ，
x
把x=3，y=4代入得k=3×4=12，
12
所以函数解析式为y= ；
x
12
3 y= =8
（2）当x= 时， 3 ．
2
2
m−8
【变式1】已知点(−1,6)在反比例函数y= 的图象上．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点(x ,−6)，(x ,−1)，(x ,3)都在反比例函数的图象上，比较x ，x ，x 的大小，并说明理由．
1 2 3 1 2 3
6
【答案】(1)y=−
x
(2)x >x >x ，理由见解析
2 1 3
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反
比例函数增减性是解题的关键．
m−8
（1） 把(−1，6)代入y= ，运用待定系数法计算即可求解；
x
（2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大，由此即可求解．
m−8 m−8
【详解】（1）解：把(−1，6)代入y= ，得6= ，
x −1
解得m=2，
6
∴反比例函数的表达式为y=− ．
x
（2）解：∵−6<0，
∴函数图象位于第二、四象限，
∵点(x ，−6)，(x ，−1)，(x ，3)都在反比例函数的图象上，3>0>−1>−6，
1 2 3
∴x >x >0>x ，
2 1 3
∴x >x >x ．
2 1 3
【变式2】已知y−2与x+3成反比例，当x=3时，y=4．(1)求y与x的函数解析式；
(2)当y=−2时，求x的值．
12
【答案】(1)y= +2
x+3
(2)x=−6
【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量
【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式．
（1）根据y−2与x+3成反比例关系，且当x=3时，y=4求出k的值，进而可得出反比例函数的解
析式；
（2）把y=−2代入求出x的值即可
【详解】（1）解：∵y−2与x+3成反比例关系，
k
∴y−2= ，
x+3
k
∵当x=3时，y=4，即4−2= ，
3+3
解得k=12，
12
∴y与x的关系式为y= +2；
x+3
12
（2）解：∵由（1）知y与x的关系式为y= +2，
x+3
12
∴当y=−2时，−2= +2，
x+3
解得：x=−6．
k
【变式3】反比例函数y= （x<0部分）与一次函数y=−2x+2的图象交于点A(−1,m)．
x
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点
C．当OD=1时，求线段BC的长．
4
【答案】(1)y=−
x
9
(2)
2
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是
熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式．k
（1）先把A(−1,m)代入y=−2x+2，求出m的值，然后再将点A代入y= 求出反比例函数解析
x
式即可；
(1 )
（2）先根据题意求出B(−4,1)，C ,1 ，然后再求出BC的值即可．
2
k
【详解】（1）解：∵反比例函数y= (x<0)与一次函数y=−2x+2的图象交于点A(−1,m)，
x
∴(−2)×(−1)+2=4，
∴m=4，
即A(−1,4)，
4
∴反比例函数为y=− ；
x
（2）解：根据题意得：BC∥x轴，
∴BC⊥y轴于点D，
∵OD=1，
∴B、C的纵坐标为1，
4 1
把y=1代入y=− ，得x=−4，把y=1代入y=−2x+2，得x= ，
x 2
(1 )
∴B(−4,1)，C ,1 ，
2
1 9
∴BC= +4= ．
2 2
考点7：反比例函数与一次函数
m
典例7：如图，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = (m≠0)的图象交于A、B两点，
1 2 x
若已知A(−2,n)，B(6,−1)．(1)分别求一次函数与反比例函数的关系式；
(2)点P(0,a)为y轴负半轴上一点，若△APB的面积为16，求a的值；
m
(3)观察图象，直接写出不等式kx+b> 的解集．
x
1 6
【答案】(1)y=− x+2，y=−
2 x
(2)−2
(3)x<−2或0 ，
x
m
∴kx+b> 的解为：x<−2或00)的图象交于A(1,6)，B(6,a)两
1 2 x
点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点Q，若△POQ面积为
2
2，求点P的坐标；
(3)根据图象，直接写出满足y −y >0时x的取值范围．
1 2
6
【答案】(1)y =−x+7，y =
1 2 x
(2)P(2,5)或P(5,2)(3)10的取值范围为：10)的图象交于点A(m,3)和B(3,1)．
x
(1)求一次函数及反比例的表达式和m值
k
(2)请根据图象，直接写出不等式 ≥−x+b的解集；
x
(3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，当S的值
最小时，求出点P的坐标及S的最小值．
3
【答案】(1)y=−x+4；y= ；m=1；
x
(2)00)得k，将
x
A(m,3)代入一次函数解析式得m；
k
（2）由图象可得，一次函数y=−x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,3)和B(3,1)，
x
根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解；
（3）由点P是线段AB上一点，可设P(x,−x+4)，且1≤x≤3，可得
1 1
S= OD⋅PD= ⋅x(−x+4)，根据二次函数的性质即可求出答案．
2 2
【详解】（1）解：∵一次函数y=−x+b图象过点B(3,1)，
∴1=−3+b，
解得b=4，∴一次函数解析式是y=−x+4，
k
把B(3,1)代入y= (x>0)得到
x
k
1= ，
3
解得k=3，
3
∴反比例函数解析为y= ；
x
∵A(m,3)在一次函数的图象上，
∴−m+4=3，
∴m=1；
k
（2）由图象可得，一次函数y=−x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,3)和B(3,1)，
x
k
则 ≥−x+b得解集为：0∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
OC OD
若△COD∽△AOB，则 = ．
OA OB
∵CO=AO，
∴OD=OB=3，
∴D(0,−3)．
OD OC
若△COD∽△BOA，则 = ．
OA OB
∵OA=√22+62=√40=2√10，
∴OC=OA=2√10．
∵OB=3，
2√10×2√10 40
∴OD= = ，
3 3
( 40)
∴D 0,− ．
3
( 40)
综上所述：点D的坐标为(0,−3)， 0,− ．
3
m
【变式6】如图，已知反比例函数y= 与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,4)，B(a,−1)两点，
x
直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D．
(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若P(t,0)(t≠2)是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)8； ；3
2
t2+6t−16 −t2−6t+16
(2)当t>2时，d= ；当02时，d=PM−PN= t+3− = ；
2 t 2t8 (1 ) −t2+6t+16
当00)与双曲线y= 交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第一
x象限的双曲线上有一点P(a,2)，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q．
(1)直接写出k的值及点B的坐标；
(2)求线段PQ的长；
(3)如果在直线y=kx上有一点M，且满足△BPM的面积等于12，求点M的坐标．
【答案】(1)k=2,B(−2,−4)
(2)3
(3)点M的坐标(2,4)或(−6,−12)
【知识点】一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求一次函数与正比例函数解析式，三角形面积；
（1）先求得A点坐标，再代入直线解析式可求得k的值，根据对称性可求得B点坐标；
（2）由反比例函数解析式可求得P点坐标，由直线解析式可求得Q点坐标，可求得PQ的长；
（3）可设M坐标为(m,2m)，分点M在线段BQ的延长线上和线段QB的延长线上两种情况，分别
表示出△BPM的面积，可求得m的值，可求得M的坐标．
8
【详解】（1）解：∵A在双曲线y= 上，且A的纵坐标为4，
x
∴A坐标为(2,4)，
代入直线y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为(−2,−4)．
8
（2）∵点P(a,2)在双曲线上，代入y= ，得
x
8
2= ，解得：a=4
a
∴ P(4,2)
∵ PQ∥x轴，且点Q在直线AB上，
∴可设点Q的坐标为(t,2)．代入y=2x，得
2=2t ,解得：t=1∴点Q的坐标为(1,2)．
∴PQ=3．
（3）∵点M在y=2x上，设点M的坐标为(m，2m)．
1 1
S = PQ×|y −y |= ×3×6=9
△BPQ 2 P B 2
1
①当点M在BQ的延长线上时，S =S +S ，12=9+ ×3×(2m−2)
△BPM △BPQ △MPQ 2
解得：m=2
点M的坐标为(2,4)．
1
②当点M在QB的延长线上时，S =S −S ，12= ×3×(2−2m)−9
△BPM △MPQ △BPQ 2
解得：m=−6
点M的坐标为(−6,−12)．
综上所述：点M的坐标为(2,4)，(−6,−12)．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：
阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即F ×L =F ×L ），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示
A 1 B 2
的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端L =0.4m，在杠
1 2
杆左端悬挂重力为80N的物体A．
x/N 10 20 30 40 50 …
8
y/cm … 8 a 2 b …
3
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为____________；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．
2
设重物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数解析式是________________．②完成表格：a=______________；b=________________．
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存
在点C，使得S =46，请直接写出所有满足条件的点C的坐标．
△ABC
【答案】(1)200N
80 8
(2)①y= ；②a=4，b= ；③见解析
x 5
( 8)
(3)(16,5)或 50,
5
【知识点】实际问题与反比例函数、坐标与图形综合、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．
（1）根据题意，直接根据F ×L =F ×L 求解即可；
A 1 B 2
（2）①由公式F ×L =F ×L 可得y关于x的函数解析式；②将x=20和x=50代入①中解析式中
A 1 B 2
求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象；
( 80) 800
（3）由题意，设C x, ，利用坐标与图形性质得S =S +S −S =a+ −20，
x △ABC △OBC △OAC △OAB a
800
进而由a+ −20=46解方程求解即可．
a
【详解】（1）解：∵F ×L =F ×L ，L =1m，L =0.4m，F =80N，
A 1 B 2 1 2 A
1×80
∴F = =200(N)，
B 0.4
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200N；
80
（2）解：①由F ×L =F ×L 得80×1=xy，则y= ，
A 1 B 2 x
80
∴y关于x的函数解析式为y= ；
x
80
②当x=20时，a= =4；
20
80 8
当x=50时，b= = ；
50 5
③列表：
4
x/N 10 20 30 50 …
08 8
y/cm … 8 4 2 …
3 5
描点，连线，可得该函数的图象：
（3）解：如图，
( 80)
由题意，设C x, ，
x
∵点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，
1 1 80 1 800
∴S =S +S −S = ×2×a+ ×20× − ×2×20 =a+ −20,
△ABC △OBC △OAC △OAB 2 2 a 2 a
800
由a+ −20=46得a2−66a+800=0，
a
解得a =16，a =50，
1 2
经检验，a=16和a=50是所列方程的解，
80 80 80 80 8
当a=16时， = =5，当a=50时， = = ，
a 16 a 50 5
( 8)
∴点C的坐标为(16,5)或 50, ．
5
【变式1】在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长80cm且质地均匀的木杆，用细
绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处30cm挂一个重4N的物体，为了保持木
杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离L(cm)，看弹簧测力计的示数F(N)的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表
所示．
第1组 第2组 第3组 第4组
L/cm a 30 32 37.5
F/N 4.8 4 b 3.2
(1)在已学过的函数中选择合适的模型，求F(N)与L(cm)的函数表达式；
(2)补充表中数据：a=______，b=______；
(3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹
簧测力计示数就______
A．变大 B．变小 C．不变
(4)若弹簧测力计的最大量程是5N，求L的取值范围．
120
【答案】(1)F=
L
(2)a=25，b=3.75
(3)A
(4)24≤L≤40
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形
的性质是解题的关键．
（1）由表格中第2组和第4组的数据可得FL=120，从而可得结论；
（2）根据（1）中关系式可得结论；
（3）根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大；
（4）根据弹簧秤的最大量程是5牛，即可得到结论．
【详解】（1）解：表格数据知FL=30×4=120．
120
F与L的函数关系式为：F= ；
L
120
（2）解：在F= 中，
L120
当F=4.8时，4.8= ，所以，L=25；
L
120
当L=32时，F= =3.75,
32
故答案为：25；3.75；
（3）解：根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大；
故选：A；
120
（4）解：当F=5N时，由F= 得L=24．
5
由题意可知，24≤L≤40，
∴根据反比例函数的图象与性质可得，L的取值范围为24≤L≤40．
【变式2】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平
均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶
速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．
(1)求v与t的函数表达式；
(2)已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于
80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围．
24
【答案】(1)v=
t
(2)0.2≤t≤0.3
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）分别将v=120，v=80代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定AB段的时间范围．
k
【详解】（1）解：由题意可设v= ，
t
将(0.3,80)代入得，k=0.3×80=24，
24
∴v= ；
t24
答：v与t的函数表达式为v= ；
t
24
（2）解：当v=120时，t= =0.2，
120
24
当v=80时，t= =0.3，
80
∴小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为0.2≤t≤0.3．
【变式3】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意
力指数y上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数
为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数．10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．
(1)当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
(2)当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在
哪个时间段讲完这道题？
【答案】(1)y=5x+30
800
(2)y=
x
(3)在第4至第16分钟讲完这道题
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，
从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应
的函数值．
（1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；
（2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；
（3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】（1）解：当0≤x≤10时，设y=kx+b，
将(0, 30)、(2, 40)两点代入得：¿，
解得：k=5，b=30，
∴y关于x的函数关系式是y=5x+30；m
（2）解：当10≤x≤40时，设y= ，
x
将(10, 80)代入得：m=800，
800
∴y关于x的函数关系式是y= ；
x
（3）解：当0≤x≤10时，y=5x+30≥50，解得：x≥4，
800
当10≤x≤40时，y= ≥50；
x
解得：x≤16，
∴老师本节课应该在第4至第16分钟讲完这道题．
【变式4】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻
器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，
L
U
电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
R/Ω… 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a=______，b=______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= （x≥0），结合表格信息，探究函数y= （
x+2 x+2
x≥0）的图象与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= （x≥0）的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， <− x+6的解集为______．
x+2 2
【答案】(1)2；1.5
(2)①见解析；②逐渐减小(3)030,
3 6
∴要求能够实现．
具体方案答案不唯一，合理即可．
20 110
例1：探究思考，归纳性质环节不早于 分钟开始，不早于 分钟结束．
3 3
15 75
例2：探究思考，归纳性质环节不晚于 分钟开始，不晚于 分钟结束．
2 2考点9：反比例函数与几何综合
k
典例9：如图1，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(2√3,1)，射线AB与反比例函数的图象交
x
于另一点B(1,a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴于点D．
(1)填空：
①k的值为__________．
②tan∠DAC=_________；直线AC的函数解析式为__________．
(2)如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线l⊥x轴，与AC交于点N，
连接CM．求△CMN面积的最大值．
√3 √3
【答案】(1)①2√3；② ；y= x−1
3 3
9√3
(2)
8
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形
的相关计算
【分析】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函
数的最大值，锐角三角函数，坐标与图形等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最
大值的求法是关键．
（1）①由点A在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式；
②由反比例函数解析式先求出点B的坐标，过B作BE⊥AD于E，可得到AE、BE间的长度关系，
从而得到∠BAE的度数，再根据∠BAC的度数求出∠DAC，从而得到tan∠DAC的值，根据
tan∠DAC的值及线段的和差关系，求得点C的坐标，从而确定一次函数AC的解析式；
（2）设M的横坐标为m，可知道M、N点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于m的二次函数，
利用二次函数的性质，得到△MNC的最大面积．
k
【详解】（1）①解：∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(2√3,1)，
xk
∴ =1，
2√3
∴k=2√3．
故答案为：2√3．
2√3
②解：∵k=2√3，所以反比例函数解析式为y= ，
x
2√3
∵点B(1,a)在反比例函数y= 的图象上，
x
2√3
∴a= =2√3，
1
∴B(1,2√3)，
过B作BE⊥AD于E，
则AE=BE=2√3−1．
∴∠ABE=∠BAE=45°，
又∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=30°，
√3
∴tan∠DAC=tan30°= ，
3
√3 √3
∴DC= AD= ×2√3=2，
3 3
∴OC=2−1=1，
∴C(0,−1)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
√3
∴直线AC的解析式为y= x−1．
3
√3 √3
故答案为： ；y= x−1．
3 3( 2√3)
（2）解：设M m, (00)与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，
x
OC=4，连接OD、OE、DE.记△OAD、△OCE的面积分别为S 、S ．
1 2
(1)①点B坐标为______；
②S ______S （填“>”、“<”、“=”）；
1 2
(2)当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；(3)当S +S =2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．
1 2
【答案】(1)①(4,2)；②=
(2)k=4，E点坐标为：(4,1)
15
(3)△ODE是直角三角形，△ODE的面积为
4
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理逆定理的应用以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐
标，求出BD、BE的长是解题的关键．
（1）①根据矩形的性质得BC=OA=2,故可得点B的坐标；②由三角形面积公式可得结论；
k
（2）由点D为AB中点可得点D的坐标，代入y= (k>0)求出k=4，即可得反比例函数解析式为
x
4
y= ，求出当x=4时y=1即可得出点E的坐标；
x
1 3
（3）由S +S =2且S =S 可求出AD=1,EC= ，得BD=3,BE= ，分别求出DO2=5，
1 2 1 2 2 2
45 65
DE2= ，OE2= ，再根据勾股定理逆定理判断△ODE是直角三角形，求出DE的长，再根据
4 4
面积公式可得结论．
【详解】（1）解：①∵四边形OABC是矩形，OA=2，OC=4，
∴BC=OA=2，
则点B坐标为(4,2)，
k
②∵反比例函数y= (k>0)与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
x
1 1
∴△OAD、△OCE的面积分别为S = AD⋅AO，S = ⋅CO⋅EC，xy=k，得出，
1 2 2 2
1 1 1 1
S = AD⋅AO= k，S = ⋅CO⋅EC= k，
1 2 2 2 2 2
∴S =S ；
1 2
故答案为：①(4,2)；②=；
（2）解：当点D为AB中点时，AD=2，
∴D的坐标是(2,2)，
k
把D(2,2)代入y= 得：k=2×2=4，
x
4
∴y= ．
x
∵点B坐标为(4,2)，∴E点横坐标为：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E点坐标为：(4,1)；
（3）解：当S +S =2时，∵S =S ，
1 2 1 2
∴S =S =1，
1 2
1 1
∵S = AD⋅AO= AD×2=1，
1 2 2
∴AD=1，
1 1
∵S = ⋅CO⋅EC= ×4×EC=1，
2 2 2
1
∴EC= ，
2
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4−1=3，
1 3
BE=2− = ，
2 2
9 45 1 65
∴DO2=AO2+AD2=4+1=5，DE2=DB2+BE2=9+ = ，OE2=CO2+CE2=16+ = ，
4 4 4 4
∴DO2+DE2=OE2，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO2=5，
∴DO=√5，
45
∵DE2=
，
4
3√5
∴DE= ，
2
1 1 3√5 15
∴△ODE的面积为： ×DO×DE= ×√5× = ．
2 2 2 4
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴
1 k
上，点B的坐标为(4,2)，直线y=− x+3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y= (x>0)的
2 x
图象经过点M，N．(1)求反比例函数的表达式及点M、N的坐标；
k 1
(2)观察图象，当x>0时，写出关于x的不等式 + x−3>0的解集；
x 2
(3)若点P在第一象限内的反比例函数图象上，且△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P
的坐标．
4
【答案】(1)y= ，M(2,2)，N(4,1)
x
(2)04
(2 )
(3)P ,6
3
【知识点】反比例函数与几何综合、矩形性质理解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三
角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据点B的坐标，矩形的性质可求点M的纵坐标，点N的横坐标，把点M的纵坐标、点N的
横坐标代入直线解析式可求点M的横坐标、点N的纵坐标，把点M的坐标代入反比例函数解析式即
可求出k，即可求解；
（2）结合函数图象求解即可；
（3）根据割补法求出四边形BMON面积，然后根据“△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍”
可求点P的纵坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵B(4,2)，四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
1 1
将y=2代入y=− x+3得：2=− x+3，
2 2
解得x=2，
∴M(2,2)，
k k
把M的坐标代入y= 得：2=
x 2
解得k=4，
4
∴反比例函数的表达式是y= ．
x1
将x=4代入y=− x+3得：y=1，
2
∴N(4,1)．
4 1
（2）解：当x>0时， + x−3>0的解集为04．
x 2
（3）解：由题意可得：S =S −S −S
四边形BMON 矩形OABC △AOM △CON
1 1
=4×2− ×2×2− ×4×1=4，
2 2
∵△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍，
∴S =3×4=12，
△OCP
1
即 ×4 y =12，解得y =6，
2 P P
(2 )
∴P ,6 ．
3
k
【变式3】已知反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点P，点P的纵
x
坐标为6，PA⊥x轴，垂足为点A，点M为双曲线上点P右侧的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
PB 3
(2)如图，过点M作MB⊥AP于点B，若 = ，求点M的坐标；
BM 2
(3)在（2）的条件下，点N是射线OP上一点，若△PMN的面积为3，求点N的坐标．
12
【答案】(1)y=
x
(2)(4,3)
(8 ) (4 )
(3) ,8 或 ,4
3 3
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数表
达式．
（1）首先求出点P的坐标为(2,6)，然后利用待定系数法求解即可；
PB 3 12
（2）首先由 = ，设PB=3n，则BM=2n，然后得到M(2+2n,6−3n)，然后代入y= 求
BM 2 x
解即可；
（3）法一：如图所示，过N点作NQ∥y轴交MP的延长线于Q点，首先求出PM的表达式为
3 ( 3 )
y=− x+9，设N点坐标(t,3t)，则Q点坐标为 t,− t+9 ，然后根据△PMN的面积为3，求出
2 2
4
t= ，进而求解即可；
3
法二：如图所示，过点N作PM的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点D，首先推出
1
△PMD的面积为3，得到 ×MD×(y −y )=3，求出D(2,3)，然后求出PM的表达式为
2 P M
3 3
y=− x+9，ND表达式为y=− x+6，然后联立求解即可．
2 2
【详解】（1）解：当y=6时，3x=6，
解得：x=2，
∴点P的坐标为(2,6)．
k k
将P(2,6)代入y= 得6= ，解得k=12，
x 2
12
∴反比例函数表达式为y= ；
x
PB 3
（2）∵ =
BM 2
∴设PB=3n，则BM=2n，
∴M(2+2n,6−3n)，
12
将M(2+2n,6−3n)代入y= 得：
x
(2+2n)(6−3n)=12，
解得：n =0（舍），n =1，
1 2
∴M(4,3)；
（3）法一：如图所示，过N点作NQ∥y轴交MP的延长线于Q点，设PM的表达式为y=ax+b，
代入P(2,6)、M(4,3)得
¿，解得：¿，
3
∴PM的表达式为y=− x+9；
2
( 3 )
设N点坐标(t,3t)，则Q点坐标 t,− t+9 ，
2
3 9
∴QN=− t+9−3t=− t+9，
2 2
∵△PMN的面积为3，
1
∴ ×NQ×(x −x )=3，
2 M P
1 ( 9 )
∴ × − t+9 ×2=3，
2 2
4
解得：t= ；
3
4
将t= 代入y=3x得：y=4，
3
(4 )
所以N点坐标为： ,4 ；
3
(8 )
由中点坐标公式可得另外一个N点坐标为 ,8 ；
3
法二：如图所示，过点N作PM的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点D，∵△PMN △PMD
与 同底等高，
∴△PMD的面积为3，
1
∴ ×MD×(y −y )=3，
2 P M
1
∴ ×MD×(6−3)=3，
2
∴MD=2，
∵M(4,3)，
∴D(2,3)，
设PM的表达式为y=ax+b，
代入P(2,6)、M(4,3)得¿，
解得¿，
3
∴PM的表达式为y=− x+9，
2
3
设ND表达式为y=− x+b，
2
3
将D(2,3)代入y=− x+b得：b=6，
2
3
∴ND表达式为y=− x+6，
2
联立得¿，解得¿，
(4 )
∴N点坐标为： ,4 ；
3
(8 )
由中点坐标公式可得另外一个N点坐标为 ,8 ．
3
【变式4】如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，边AB在x轴上，
k
∠BAD=60°，B(−1,0)，点C在反比例函数y= (k≠0)的图象上．
x(1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F，求
点F到x轴的距离．
2√3
【答案】(1)C(1，2√3)，D(−3，2√3)，E(−2,√3)，y=
x
√51−3√3
(2)
2
【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、求反比例函数解析式、反比例函
数与几何综合
【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性
质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）先证明△ADB是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标
确定反比例函数解析式即可；
（2）求出平移后E，B，C的对应点E′，B′，C′的坐标，求出直线B′C′的解析式，再构建方程组
求出点F的坐标即可解答．
【详解】（1）解：如图：过点D作DH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，DE=EB，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴.AH=BH=2,DH=√3AH=2√3，
∵B(−1，0)，
∴OB=1，
∴OH=OB+BH=3，
∴D(−3，2√3)，C(1，2√3)，
∵DE=EB，
∴E(−2,√3)，
k
∵点C在反比例函数y= (k≠0)的图象上，
x
∴k=1×2√3=2√3，
2√3
∴反比例函数的解析式为y= ．
x
2√3
（2）解：对于反比例函数y= ，
x
当y=√3时，x=2，
∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点E′(2,√3)，
∴菱形向右平移了4个单位，
∴B，C的对应点B′(3，0)，C′(5，2√3)，
设直线B′C′的解析式为y=mx+n，
¿，解得：¿，
∴直线B′C′的解析式为y=√3x−3√3，
3+√17 3−√17
由¿，解得：x= 或 ，
2 2
∵x>0，
3+√17
∴x=
2
2√3 2√3 √51−3√3
y= = =
∴ x 3+√17 2 ，
2
∵x>0，(3+√17 √51−3√3)
∴点F的坐标为 , ，
2 2
√51−3√3
∴点F到x轴的距离为 ．
2
【变式5】如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，AD=6，点P从点B出发，沿射线BC方向一直运
动．连接AP、PD，过点D作△APD的高DE，设AP的长为x，DE的长为y．请解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________；
(3)若y =−x+5(x≥1)，在图2中画出该图象，并直接写出当y>y 时x的取值范围________．
1 1
6
【答案】(1)y= (x≥1)
x
(2)见解析
(3)1≤x<2或x>3
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．
1 1
（1）由矩形的性质可得AP≥AB，S = AD⋅AB= ×6×1=3，即x≥1，再由
△ADP 2 2
1 1
S = AP⋅DE= xy即可得解；
△ADP 2 2
（2）画出函数图象，由函数图象即可得解；
（3）画出函数图象，由函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥BC，BC∥AD，
1 1
∴AP≥AB，S = AD⋅AB= ×6×1=3，
△ADP 2 2
∴x≥1，∵设AP的长为x，DE的长为y．
1 1
∴S = AP⋅DE= xy=3，
△ADP 2 2
6
∴y= (x≥1)；
x
（2）解：当x=1时，y=6，
当x=2时，y=3，
当x=3时，y=2，
当x=4时，y=1.5，
当x=5时，y=1.2，
当x=6时，x=6，
画出函数图象如下：
由图象可得：该函数y随着x的增大而增大；
（3）解：联立¿，解得：¿或¿，
6
∴y= 与y =−x+5(x≥1)的公共交点为(2,3)和(3,2)，
x 1
画出函数图象如图：
由图象可得：当y>y 时x的取值范围1≤x<2或x>3．
1
