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专题 03 反比例函数及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
k
1．已知反比例函数y= 的图象分别位于第一、三象限，则k的值可以是（ ）
x
A．0 B．2 C．−1 D．−3
1
2．已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图象上，且x <00 C．y y
1 2 1 2 1 2 1 2
k
3．对于反比例函数y= ，当自变量x的值从3增加到6时，函数值减少了1，则函数的解析式为
x
（ ）
6 3 2 1
A．y= B．y= C．y= D．y=
x x x 2x
k
4．如图，点A为反比例函数y= (x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB
x
的面积为4，则k的值为（ ）
A．4 B．−4 C．8 D．−8
5．得天独厚的自然条件和生态资源，已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品．在2023梵
净山国际地理标志研讨会议召开之际，某区举行地理标志产品知识竞赛，如图使用S 、
矩形ABCO
S 、S 、S 分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，已
矩形DEFO 矩形GHIO 矩形JKLO
知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率，x表示该社区参赛居民人数，占B和点K在同一条反比例函数
图象上，则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6
6．若a，b是方程组¿的解，A(a,y )，B(b,y )，C(2,y )都在反比例函数y= 上，则y ，y ，
1 2 3 x 1 2
y 的大小关系是（ ）
3
A．y 0)的图象是（ ）
x
A． B．C． D．
kb
8．已知反比例函数y＝ 的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( )
x
A． B． C． D．
k
9．如图，反比例函数y= (x<0)与一次函数y=x+4(x<0)的图象交于A、B两点的横坐标分别为
x
k
－3、－1，则关于x的不等式 0，则k的值为 ．
k
18．已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （k≠0）图象的一个交点坐标为（-1，3），则
x
另一个交点坐标是 .
19．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … −2 −1 1 2 …
y … a b m n …
若a>b，则n m．（填“>”“ <”或“＝”）
4
20．如图，直线y=−2x+b（b为常数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在函数y= (x>0)
x
的图象上，过点P分别作x，y轴的垂线交直线AB于点C，D，则AD·BC的值为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数
2 6
y=− (x<0)的图象于点B，交函数y= (x>0)的图象于点C，过点C作y轴的平行线交BO的延长
x x
线于点D，则四边形AODC的面积等于 ．k
22．已知反比例函数 y= (k≠0)，如果 x₁”或
x
“<” ）
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC，BD的交点与坐标原点O重合，AB与x
k
轴交于点E，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点D．若点C（3，﹣6），E（﹣6，0），
x
则k的值为 ．
24．对于实数a，b，如果满足a+b=ab，那么称a，b互为和等积数，点(a,b)为和等积点．如：由
4 4，可知4的和等积数为4，点( 4)为和等积点．已知直线 与双曲线 k
4+ =4× 4, y=4x−3 y=
3 3 3 3 x
有一个交点是和等积点，则k的值为 ．
k
25．如图，已知反比例函数y = 的图象与一次函数y =x+b的图象交于点A（1，4），点B（-4，
1 x 2
n）．若y >y ，则x的取值范围是 ．
1 2三、解答题
k
26．已知函数y= (x<0)与y=ax+b的图象交于点A(−1,n)和点B(−2,1)．
x
(1)求k，a，b的值；
k
(2)若直线x=m与y= (x<0)的图象交于点P，与y=−x+1的图象交于点Q，当PQ>√2AQ时，
x
直接写出m的取值范围．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象
经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为(−4,n)，且AD=3．
k
(1)求反比例函数y= 的解析式；
x
(2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)设点E是线段CD上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的
图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
k
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y= 相交于A(3,m)，B两点，BC⊥x轴．
x
垂足为C．k
(1)求双曲线y= 的解析式，并直接写出点B的坐标．
x
(2)求△ABC的面积．
29．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行时速度不超过
100千米/小时），根据经验，v，t的一组对应值如下表；
v（千米/小
75 80 85 90 95
时）
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出
其表达式；
(2)汽车上午8:00从甲地出发，能否在上午10:30之前到达乙地？请说明理由．
k
30．如图1，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y= （k＞0）的图象上．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当m=3时，求直线AM的解析式，并求出△AOM的面积；
（3）如图2，当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断
直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．
1
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x−5和y=2x的图象相交于点A，反比例函
2
k
数y= 的图象经过点A．
x（1）求反比例函数的解析式；
1
（2）将直线y=− x−5，沿y轴正方向向上平移m(m>0)个单位长度得到的新直线l与反比例函数
2
k
y= (x<0)的图象只有一个公共点，求新直线l的函数表达式．
x
6
32．如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，
x
3）．点B为x轴正半轴上一点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的
图象于点D．
(1)求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
(2)若BD＝6，求△ACD的面积．
m n
33．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= (x＞0，0＜m＜n)的图象上，
x x
对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．k
34．已知函数y=kx+b，y= ，k、b为整数且|kb|=1．
x
(1)讨论b，k的取值；
(2)分别画出两种函数的所有图像(不需列表)；
k
(3)求y=kx+b与y= 的交点个数．
x
m
35．如图，一次函数y=kx+b(k≤0)与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象
x
与y轴相交于点C，已知点B(2,2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB，若△BOC的面积为3，求点A的坐标．【能力提升】
4
36．如图，已知反比例函数y= (x>0)的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(m,4)，B两点，
x
一次函数与x轴交于点C，若AB=BC．
(1)求一次函数的解析式．
(2)将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a(a>0)个单位长度得到新图象，求这个新图象与函
4
数y= (x>0)的图象只有一个交点M时，求a的值及交点M的坐标．
x
k
37．如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A(1,a)，
x
B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
k
(2)直接写出一次函数y=−x+4的值大于反比例函数y= 的值自变量x的范围；
x
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求点P的坐标．
38．如图，点A为直线y=3x上位于第一象限的一个动点，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右
k
平移2个单位长度到点C，以AB，BC为边构造矩形ABCD，经过点A的反比例函数y= (x>0)的
x
图像交CD于点M．(1)若B(1,0)，求点M的坐标；
(2)连接AM，当AM⊥OA时，求点A的坐标．
39．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称
为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个
最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l ，线段AB的长度称为点A与直线l 之间的距离，当l ∥l 时，线段AB的长
1 2 2 1
度也是l 与l 之间的距离．
1 2
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作
DE∥BC交AC于点E．若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是 ；
k
（2）如图3，已知直线l ：y=−x+4与双曲线C ：y= (x>0)交于A(1,m)与B两点，点A与点
3 1 x
B之间的距离是 ，点O与双曲线C 之间的距离是 ；
1
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走
向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双
曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示
的直角坐标系，此时高速路所在直线l 的函数表达式为y=−x，小区外延所在双曲线C 的函数表达
4 2
2400
式为y= (x>0)，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
xk
40．如图，一次函数y=ax+1的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y= (x>0)
x
的图像交于P，G两点，过点P作PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A坐标为(−2,0)．
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)观察图像，直接写出不等式ax+1≥ 的解集；
x
(3)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于点H，当△QCH∼△BAO时，求点Q的坐标．
