文档内容
微专题 11 反比例函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 反比例函数的图象与性质(6年4考)
k
表达式 y＝ (k为常数，k≠0)
x
k的符号 k ① 0 k ② 0
图象(草图)
所在象限 第③ 象限(x，y同号) 第④ 象限(x，y异号)
在每一个象限内，y随x的增大 在每一个象限内，y随x的增大
增减性
而⑤ 而⑥
对称性 关于原点成中心对称；关于直线y＝x，y＝－x成轴对称
2. 反比例函数表达式的确定(6年3考)
k
(1)设所求反比例函数解析式为y＝ (k≠0)；
x
(2)找出图象上的一点P(a，b)；
待定系
k
数法 (3)将点P的坐标代入y＝ 中，得k＝⑦ ；
x
ab
(4)确定反比例函数解析式y＝
x
第 1 页 共 8 页利用k
k的几
k
的几何 过反比例函数y＝ (k≠0)图象上任一点P(x，y)作x轴，y
何意义 x
意义
轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，则所得的矩形
PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝⑧
.
利用k
基本 S ＝ ⑨ S ＝⑩ S ＝2｜k｜
△AOP △ABP △APP'
的几何
图形
意义
S ＝ ⑪ S ＝⑫
△ABC ▱ABCD
练考点
3
1. 关于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是( )
x
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D 图象经过点(a，a＋2)，则a＝1
k
2. 已知反比例函数y＝ (k≠0)，请回答下列问题：
x
(1)若点(2，4)在该反比例函数的图象上，则该函数解析式为 ；
第 2 页 共 8 页第2题图
k
(2)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝ (x＜0)图象上的一点，
x
分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若四边形PAOB的面积为6，则
k的值为 .
高频考点
考点1 反比例函数的图象与性质(6年5考)
k
例1 已知反比例函数y＝ (k≠0).
x
(1)若点A(1，－3)关于x轴的对称点A'在该函数图象上，则k的值为 ；
(2)核心设问 若点(－2，3)，(1，n)在该反比例函数的图象上，则n的值为
；[2022广东9题考查]
(3)若点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上且在第三象限内，则a
b(填“＞”“＜”“＝”)；
k
(4)核心设问 若k＝4，点(x ，4)，(x ，－1)，(x ，2)都在反比例函数y＝ 的图象
1 2 3 x
上，则x ，x ，x 的大小关系是 ；(用“＜”连接)[2021广东21(1)题考
1 2 3
查]
k
(5)若A(x ，y )，B(x ，y )是反比例函数y＝ (k＞0)图象上两点，且x ＜x ，y ＜
1 1 2 2 x 1 2 1
y ，则点A位于第 象限，点B位于第 象限；
2
k
(6)已知反比例函数y＝ 与直线y＝mx相交于C，D两点，点D的坐标为(1，
x
6)，则C点坐标为 .
变式1 (2024佛山一模)已知点A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函数y＝
k
(k＞0)的图象上，下列结论正确的是( )
x
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a
a
变式2 已知反比例函数y＝ (a为常数，且a≠0)和一次函数y＝x＋2b－1(b为
x
常数)，若a＝2b，则它们在同一直角坐标系中的图象可能是( )
第 3 页 共 8 页考点2 反比例函数的几何意义(6年3考)
k
例2 已知点A是反比例函数y＝ (k＞0)的图象上一点.
x
(1)如图①，若OA＝AB，且△AOB的面积为4，则k的值为 ；
(2)如图②，若四边形OABC是平行四边形，且点B，C的坐标分别为(－3，3)，
(－4，0)，则k的值为 ；
5
(3)核心设问 如图③，若矩形ABCD的面积为3，点B在反比例函数y＝ 的图象
x
k
上，点A在反比例函数y＝ (k＞0)的图象上且AB∥x轴，C，D在x轴上，则k＝
x
.[2020广东24(1)题考查]
例2题图
变式3 (2024佛山模拟)如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标
k
为(2，1)，点B与点D都在反比例函数y＝ (k＞0)的图象上，若矩形ABCD的面
x
积为8，则该反比例函数的解析式为 .
变式3题图
真题及变式
命题点 反比例函数的图象与性质(6年4考)
第 4 页 共 8 页4
1. (2022广东9题3分)点(1，y )，(2，y )，(3，y )，(4，y )在反比例函数y＝ 图
1 2 3 4 x
象上，则y ，y ，y ，y 中最小的是( )
1 2 3 4
A. y B. y C. y D. y
1 2 3 4
拓展训练
k
2. 在同一平面直角坐标系中，直线y＝k x(k ≠0)与双曲线y＝ 2(k ≠0)相交于A，
1 1 x 2
B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为( )
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
k
3. (2024北京)在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝ (k≠0)的图象经过点(3，y )
x 1
和(－3，y )，则y ＋y 的值是 .
2 1 2
第 5 页 共 8 页考点精讲
①＞ ②＜ ③一，三 ④二，四 ⑤减小 ⑥增大
1 1
⑦ab ⑧｜k｜ ⑨ ｜k｜ ⑩ ｜k｜ ⑪｜k｜ ⑫｜k｜
2 2
练考点
3
1. C 【解析】反比例函数y＝ ，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，
x
3
故A选项错误，B选项错误；反比例函数y＝ ，在每一个象限内，y随着x的增
x
3
大而减小，故C选项正确；反比例函数y＝ 图象经过点(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝
x
3，解得a＝1或a＝－3，故D选项错误.
8
2. (1)y＝ ；(2)－6
x
高频考点
例1 (1)3 【解析】∵点A(1，－3)和点A'关于x轴对称，∴A'(1，3)，∵A'在
k
反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝1×3＝3.
x
(2)－6 【解析】∵点(－2，3)在该反比例函数的图象上，∴k＝－2×3＝－6，
6
∴该反比例函数的解析式为y＝－ ，将(1，n)代入，得n＝－6.
x
(3)＜ 【解析】∵点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上，且在第三象
限内，y随x的增大而减小，－1＞－4，∴a＜b.
4
(4)x ＜x ＜x 【解析】∵k＝4，∴y＝ ，把点(x ，4)，(x ，－1)，(x ，2)分别
2 1 3 x 1 2 3
4
代入y＝ ，得x ＝1，x ＝－4，x ＝2，∴x ＜x ＜x .
x 1 2 3 2 1 3
(5)三，一；
k
(6)(－1，－6) 【解析】∵反比例函数y＝ 与直线y＝mx相交于C，D两点，
x
点C与D关于原点对称，∴C点的坐标为(－1，－6).
第 6 页 共 8 页k
变式1 B 【解析】∵反比例函数y＝ (k＞0)的图象分布在第一、三象限，∴
x
在每一象限内y随x的增大而减小，∵点A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例
k
函数y＝ (k＞0)的图象上，且－2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b.
x
a 2b
变式2 B 【解析】∵a＝2b，∴代入y＝ 可得y＝ ，与一次函数y＝x＋2b
x x
2b
－1联立，可得 ＝x＋2b－1，整理得(x－1)(x＋2b)＝0，∴方程有一个根为x＝
x
1，∴一次函数与反比例函数图象有一个交点的横坐标为1.∵一次函数y＝x＋2b
－1的一次项系数为1＞0，∴一次函数图象过一、三象限，故选B.
例2 (1)4 【解析】如解图①，过点A作AC⊥x轴于点C.∵OA＝AB，∴OC＝
1 ｜k｜
BC，∴S ＝ S ＝2.∴ ＝2.∵k＞0，∴k＝4.
△OAC 2 △AOB 2
例2题解图①
(2)3 【解析】如解图②，设AB与y轴交于点E，∵四边形OABC是平行四边
形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵点B，C的坐标分别为(－3，3)，(－4，0)，∴AB
＝OC＝4，AE＝1，OE＝3，∴｜k｜＝2S ＝3.∵k＞0，∴k＝3.
△AEO
例2题解图②
(3)2 【解析】如解图③，延长BA交y轴于点H，∵四边形ABCD为矩形，∴S
5
＝S －S ＝｜k｜，∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，∴S
矩形AHOD 矩形HBCO 矩形ABCD x
＝5，∵S ＝3，∴S ＝5－3＝2，∴｜k｜＝2，由图象可知k
矩形HBCO 矩形ABCD 矩形AHOD
＞0，∴k＝2.
第 7 页 共 8 页例2题解图③
6
变式3 y＝ 【解析】∵点A(2，1)，四边形ABCD为矩形，∴点B的纵坐标
x
k k
为1，点D的横坐标为2，∴B(k，1)，D(2， )，∴AB＝k－2，AD＝ －1，∴(k
2 2
k 6
－2)( －1)＝8，解得k＝6或k＝－2，∵k＞0，∴反比例函数的解析式为y＝ .
2 x
真题及变式
4
1. D 【解析】∵点(1，y )，(2，y )，(3，y )，(4，y )在反比例函数y＝ 的图象
1 2 3 4 x
4
上，且反比例函数y＝ 的图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴y ＞y ＞y
x 1 2 3
＞y ，∴最小的是y .
4 4
2. A 【解析】由题意得，点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(－1，－
2).
k k
3. 0 【解析】∵函数y＝ (k≠0)的图象经过点(3，y )和(－3，y )，∴y ＝ ，y
x 1 2 1 3 2
k
＝－ ，∴y ＋y ＝0.
3 1 2
第 8 页 共 8 页
