文档内容
专题 12 反比例函数
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：反比例函数........................................................................................................................................2
考点二：反比例函数的图象与性质................................................................................................................2
考点三：k的几何意义及拓展.........................................................................................................................3
考点四：自变量取值范围................................................................................................................................6
考点五：求一次函数与反比例函数的交点坐标............................................................................................7
模块二：题型分类....................................................................................................................................................7
考点一：反比例函数的相关概念....................................................................................................................7
题型一：用反比例函数描述数量关系..................................................7
题型二：判断反比例函数............................................................7
题型三：根据反比例函数的定义求字母的值............................................9
考点二：反比例函数的图象与性质................................................................................................................9
题型一：判断反比例函数图象........................................................9
题型二：反比例函数点的坐标特征...................................................11
题型三：已知反比例函数图象，判断其解析式.........................................12
题型四：由反比例函数解析式判断其性质.............................................13
题型五：由反比例函数图象分布象限，求k值.........................................14
题型六：判断反比例函数经过象限...................................................14
题型七：已知反比例函数增减性，求参数的取值范围...................................15
题型八：已知反比例函数增减性，求k值.............................................15
题型九：由反比例函数的性质比较大小...............................................16
题型十：求反比例函数解析式.......................................................17
题型十一：与反比例函数有关的规律探究问题.........................................18
考点三：反比例系数k的几何意义...............................................................................................................21
题型一：一点一垂线...............................................................21
题型二：一点两垂线...............................................................23
题型三：两点一垂线...............................................................24
题型四：两点两垂线...............................................................25
题型五：两点和原点...............................................................26
题型六：两曲一平行...............................................................28
考点四：反比例函数与一次函数综合..........................................................................................................32
题型一：一次函数图象与反比例函数图象综合.........................................32
题型二：一次函数与反比例函数交点问题.............................................33
题型三：一次函数与反比例函数综合应用.............................................36
考点五：反比例函数的实际应用..................................................................................................................38
题型一：行程问题.................................................................38
题型二：工程问题.................................................................39
题型三：物理问题.................................................................40
题型四：分段问题.................................................................44
题型五：几何问题.................................................................45专题 12 反比例函数
模块一：基础知识
考点一：反比例函数
k
反比例函数的概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可
x
以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1 （k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
考点二：反比例函数的图象与性质
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线
的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心
图象特征
为原点．
表达 k
y= （k为常数，k≠0）
x
式
图象
性
k>0 k<0
质
经过 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
象限
增减 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
对称 ②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支
性 上;
③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一
支上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反 比 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
例 函
k
数 解 1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
析 式
的 确
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
定 方
法 3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点
的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
考点三： k 的几何意义及拓展一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形
1
面积为 |k|.
2
y y y y
x x x x
O O O O
y y y y
x x x x
O O O O
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
结论：S =S S =S S =|k|
△AOB △COD △AOE 四边形CEBD △AOC
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为|k|.
y
A
x
O B
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
y
y y
A
A E A
E D
C C
F F
G G
x x x
O B D O B D O C E B结论：S =S S =S S ▱ =|k|
矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，
y
y
A B A
x
O x
O
B
C
C
结论：S =2S =|k|
△ABC △ABO
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所
分的两个三角形面积之和．
k
如左图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
x
1 1 1
则S =S +S = co•|y|+ co•|y|= co(|y|+|y|)
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
x
1 1 1
则S =S +S = co•|x|+ co•|x|= co(|x|+|x|)
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于
2|k|y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点
y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
方法一 方法二 方法三
方法一：S ＝S －S －S ．【分割】
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S ＝S ，则S ＝S ．
△OAM 四边形MEFB △AOB 直角梯形AEFB
方法三：S ＝S －S －S 【补形】
△AOB 四边形COFD △AOC △BOF.
1
方法四：S ＝S －S ＝ OD•（|y|-|y|）
△AOB △AOD △BOD 2 A B
1
方法五：S ＝S －S ＝ OC•（|x|-|x|）
△AOB △BOC △AOC 2 B A
【拓展】
y
C A D
B
M
x
O E F
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S ＝m|k|．
四边形OADB
方法二：作AE⊥x轴于E，则S ＝S （类型一）．
△OAB 直角梯形AEFB
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝ |k1|- |k2|
阴影 阴影 2 2
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝|k1|-|k2|- S
阴影 阴影 直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
结论：S ＝S ＝ (|k1|+|k2|) S ＝|k1|+|k2|
△AOB △ACB 2 阴影
考点四：自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2
时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，
x>x x y2时，x的取值范围为 A或 B ；同理，当y10)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是
x x
（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
1
5.用绘图软件绘制直线l:y= x+1，直线与坐标轴的交点分别为A，B，其中B不在可视范围内．视窗
10
的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若使点B在可视范围之内，需要将图中
1 k
坐标系的单位长度至少变为原来的 （k为整数），则y= (x>0)的图象是（ ）
k xA． B． C． D．1
6.函数y＝ 的大致图象是（ ）
x+1
A． B． C． D．
题型三：根据反比例函数的定义求字母的值
1.已知函数 ．
（1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？
2.若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0
3.已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值是 ．
k
4.已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
x
2
5.已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，则m= ．
x
k−1
6.如果反比例函数y= 的图象经过点(−2,1)，则k的值是（ ）
x
A．1 B．−2 C．−1 D．3
考点二：反比例函数的图象与性质
题型一：判断反比例函数图象
a
y (a 0)
1.一次函数y axa与反比例函数 x 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2..当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（ ）A． B． C． D．
3.如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y
（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且
∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
2 2
5.参照学习函数y= 的过程与方法，探究函数y= (x≠2)的图象与性质．
x x−2
1 3 5 7
x … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 …
2 2 2 2
2 4 4 2 4 1 2 1
y= … −1 −2 ■ 4 2 1 …
x 3 5 3 7 2 5 3
2 1 2 4 2 1
y= … − − −1 m −2 −4 ■ 4 2 1 …
x−2 2 3 3 3 2(1)m=__________________．
2
(2)请画出函数y= (x≠2)的图象；
x−2
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
题型二：反比例函数点的坐标特征
2
1.下列各点在反比例函数y= 图象上的是（ ）
x
A．(−1,2) B．(2,−1) C．(1,3) D．(−1,−2)
7
2.互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线
1 1 2 2 x
垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
1 2
A．−1 B．1 C．−7 D．7
k
3.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，
x 1 1 2 2
则y + y 的值是 ．
1 2
k
4.下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）A．
x
( 1 ) (3 )
(1,6) B． − ,12 ， C．(−2,−3) D． ,4
2 2
4
5.如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，若A(2，m)，则点B的坐标为（ ）
xA．(2,2) B．(−2,−1) C．(−2,−2) D．(−1,−4)
m
6.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y= 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y ,y ，
x 1 2
则y + y 的值为 ．
1 2
7.如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别
4 k
在反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象上，则k的值为 ．
x x
2 6
8.如图，函数y＝ （x＞0）、y＝ （x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，
x x
在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
−2
9.已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y= 的图象的一个交点坐标为(1,m)，则另
x
一个交点的坐标为 ．
k
10.已知直线y=2x与双曲线y= 相交于A，B两点．若点A(2,m)，则点B的坐标是 ．
x
k+6
11.已知直线y=kx与双曲线y= 的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
x题型三：已知反比例函数图象，判断其解析式
1.如图所示，其函数解析式可能是（ ）
6 3
A． y=2x2 B．y= C．y=− D． y=3x
x x
k
2.反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．5 B．12 C．−5 D．−12
3.如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）
1 1 1 1
A．y= B．|y|= C．y=− D．|y|=−
|x| x |x| x
k
4.如图，点A，B在反比例函数y= （k>0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
x
OA⊥AB，则k的值为 ．
5.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同
号点”，其函数表达式可以是 ．
k
6.反比例函数y＝ 的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在
x
函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
题型四：由反比例函数解析式判断其性质
5
1.已知反比例函数y=− ，则下列描述正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、三象限吧 B．y随x的增大而增大
(3 5)
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 ，−
2 3
k
2.关于反比例函数y= (k≠0)的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ）
x
A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点
D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小题型五：由反比例函数图象分布象限，求k值
1.若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）
1
A．−1或1 B．小于 的任意实数 C．−1 D．不能确定
2
k
2.在平面直角坐标系中，反比例函数y= (k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．−2 B．1 C．3 D．5
3−2m
3.若反比例函数y= 的图象在二、四象限，则m的值可以是（ ）
x
A．−1 B．2 C．1 D．0
3−2a
4.若数a使关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝ 经过一，三象限，
x
则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
k k k
5.反比例函数y = 1，y = 2，y = 3在同一坐标系中的图象如图所示，则k ，k ，k 的大小关系为
1 x 2 x 3 x 1 2 3
（ ）
A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3
题型六：判断反比例函数经过象限
k
1.知点M(2,a)在反比例函数y= 的图象上，其中a，k为常数，且k>0﹐则点M一定在（ ）
x
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
k
2.如果反比例函数y= （k是常数，且k≠0）的图象经过点A(1,−2)，那么这个反比例函数的图象在第
x
象限．k
3.已知反比例函数y= （k≠0），当x y ，那么一次
1 1 2 2 x 1 2 1 2
函数y=kx+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
k−2
5.当k>2时，反比例函数y= 的图象位于（ ）
x
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
6
6.下列函数图象中，可能是反比例函数y= 的图象的是（ ）
x
A． B． C． D．
题型七：已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
3−m
1.在反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
x
A．m>−3 B．m<−3 C．m>3 D．m<3
1
2.已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数y= 的图象上，且y −3 C．a≤−3 D．a<−3
3m+1
4.在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )，y <0x ，则有（ ）
x 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
A．m≤− B．m>− C．m≥− D．m<−
3 3 3 3
k
5.若点(m−1,y )和(m+1,y )在y= (k>0)的图象上，若y >y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 x 1 2
A．m>1或m<−1 B．−10)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为a，函数y 的最小值为a−4，则k
1 x 2 x 1 2
＝ ．
k
3.已知反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值
x
和最小值之差为4，则k的值为 ．
k
4.已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
x
题型九：由反比例函数的性质比较大小
2025
1.已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2
确的是
A．y + y ＜0 B．y + y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
4
2.已知点(x , y )、(x , y )、(x , y )都在反比例函数y= 的图象上，若x <0|x |，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
k2+1
4.若点A(−2,y )、B(−1,y )、C(1,y )都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，则
1 2 3 x
y 、y 、y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
11
6.若点A(x ，y )、B(x ，y )、C(x ，y )是反比例函数y=− 图象上的点，且x |x |，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2k
8.已知反比例函数y= 的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点A(x ,y )、B(x ,y )，若
x 1 1 2 2
x y B．y 0，则y y >0 B．若x x <0，则y y <0
1 2 2 3 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x >0，则y y <0
1 3 2 3 1 3 2 3
题型十：求反比例函数解析式
k
1.已知A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，则k的值为 ．
x
k
2.在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2−kx+9是一个完全平
x
方式，则该反比例函数的解析式为 ．
k
3.若反比例函数y= 的图象过点(−2,a)、(2,b)，且a−b=−6，则k= ．
x
k
4.反比例函数y= 的图象上有一点P(a，b)，且a、b是方程t2−t−2=0的两根，则k= ．
x
k
5.反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，(a+1,1)、(b,6)三点，则b的值为 ．
x
k
6.如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴
x
于点B，AO=3BO，求反比例函数的解析式．题型十一：与反比例函数有关的规律探究问题
( √3) √3
1.如图，点B 1, 在直线l :y= x上，过点B 作A B ⊥l 交直线l:y=√3x于点A ，以A B 为边
1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1
k
在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 1；再过点C 作A B ⊥l ，分别交
1 1 1 1 1 1 x 1 2 2 1
直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
k
y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的k = ．（用含n的代数式表示）
x n
2.如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P 在反比例
1 1
k
函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，再
x 1 1 1 1 2 2
过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
2 1 2 2 1 2 3 3
（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
4
3.如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于
x
1
点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，
2 1 1 1 1 2 1
连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规律继续进行下去，则△AF B的面积为 ．
2 2 2 n
（用含正整数n的式子表示）4.如图，四边形OP AB ，APAB ，APAB ，……，A PAB 都是正方形，对角线OA ，AA，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 n-1 n n n 1 1 2
AA，……，A A 都在y轴上（n≥1的整数），点P（x，y），P（x，y），……，P（x，y）在反
2 3 n-1 n 1 1 1 2 2 2 n n n
k
比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B （-1,1）.
x 1
k
（1）求反比例函数y= 的解析式；
x
（2）求点P 和P 的坐标；
2 3
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出： PB O的面积为 ，点P 的坐标为______（用含
n n n
n的式子表示）. △
5.在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，
第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续
作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数
4
y= 的图象上的概率是 ．
x6.如图，等边三角形△OD E ，△E D E ，△E D E ，⋅⋅⋅的边OE ，E E ，E E ⋅⋅⋅，在x
1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3
4√3
轴上，顶点D ，D ，D ⋅⋅⋅，在反比例函数y= 的图象上．
1 2 3 x
（1）第1个等边三角形△OD E 的周长C = ______；第2个等边三角形△E D E 的周长C = ______；
1 1 1 1 2 2 2
第3个等边三角形△E D E 的周长C = ______；⋅⋅⋅；
2 3 3 3
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长C = ______；
n−1 n n n
（3）计算：C +C +C +⋅⋅⋅+C ．
1 2 3 10
7.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A ，过点A ，A ，A ，分别作x轴的垂线与反
1 1 2 2 3 1 2 3
2
比例函数y= (x>0)的图象相交于点P ，P ，P ，得△OP A ，△A P A ，△A P A ，并设其
x 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3
面积分别为S ，S ，S ，以此类推，则S 的值为（ ）
1 2 3 2024
1 1 1 1
A． B． C． D．
1012 2023 2024 20258.如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P
1
落在反比例函数y= 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
x
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
．（用含n的代数式表示）
考点三：反比例系数 k 的几何意义
题型一：一点一垂线
k
1.如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
△AOB的面积为4，则k的值为（ ）
A．−8 B．8 C．−4 D．4
k
2.如图，A是反比例函数y= 的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k
x
的值为（ ）
A．−4 B．1 C．2 D．44
3.若图中反比例函数的表达式均为y= ，则阴影部分面积为2的是（ ）
x
A． B． C． D．
1
4.如图，在y= 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、
x
OC，记△ABO、△CDO的面积S ，S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S >S B．S S >S D．无法确定
1 2 3 1 3 2 2 3 1
2 6
6.如图，函数y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，
x x
MN⊥x轴于点N，则 MON的面积可能是（ ）
△A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．k
7.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y= (x>0)的图象与线
x
段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若ΔOAB的面积为3，则k的值为 ．
9
8.如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，分别过点A，B作x轴的垂线．已知S =3，则阴影
x △EOF
部分面积为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．9
题型二：一点两垂线
1.如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，
k
点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为
x
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
2.如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有点P ,P ,P ，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些
x 1 2 3
点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S ,S ．若S =3，则S 的值为（ ）
1 2 2 1A．3 B．4 C．5 D．6
题型三：两点一垂线
k
1.如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点．过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若
x
S =2，则k的值是（ ）
△ABM
A．2 B．m−2 C．m D．4
4
2.如图，点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足
x
分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S ，△OBA面积记作S ，则（ ）
1 2
A．S :S =2:1 B．S :S =1:2 C．S :S =4:3 D．S :S =4:5
1 2 1 2 1 2 1 2
k
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于
x
点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM,，则ΔABM的面积是
（ ）
A．2 B．m−1 C．3 D．6k
4.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，
x
连结BC.若△ABC的面积为2.
（1）求k的值；
k
（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当 ≤2x时，x的取值范围
x
__________________；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理
由.题型四：两点两垂线
k
1.如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y= (k≠0)的图象上，若▱ABCD的面积
x
是20，则k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
m n
2.如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）
x x
n 9
于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为 ，则m，n的值不可
x 2
能是（ ）
1 10 1 5
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
9 9 4 4
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
m
3.如图，A，B是函数y= （m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的
x
面积记为S，则（ ）A．S=m B．S=2m C．m2m题型五：两点和原点
k
1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，
x
BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k的值是( )
A．12 B．10 C．8 D．24
k
2.如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y= (x<0)的图象交于C，D两点，连
x
接OC，OD． 若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−6
k
3.如图，点A，C为函数y= (x<0)图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为
x
3
B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为 时，
4
k的值为（ ）
A．−1 B．−2 C．−3 D．−44.下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点D、C，点A、B为线段CD的三等分点，
k
且A、B在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，若△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
x
A．2 B．4 C．6 D．8
k
6.如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数y= 的图象经
x
过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
k
7.如图，矩形OABC，双曲线y= (x>0)分别交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且
x
27
S = ，则k的值为（ ）
△BEF 89
A．2 B． C．3 D．6
4
题型六：两曲一平行
2 k
1.如图，过反比例函数y= (x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，
x x
连接OA，OB，若S =4，则k的值为（ ）
△OAB
A．8 B．6 C．−8 D．−6
6 k
2.如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数y= 的图象上，点C,D在x轴上．若四边
x x
形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（ ）
A．11 B．15 C．−11 D．−15
3
3.如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y= (x>0)的
x
k
图象上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=（ ）
xA．−4 B．−5 C．−6 D．−7k k
4.如图，设点P作反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y= 2 (x>0)的图
x x
k
象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为
x
（ ）
A．k +k B．k −k C．k k D．k −k
1 2 1 2 1 2 2 1
1 k
5.如图，点A是反比例函数y ＝ （x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y = （x
1 x 2 x
＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
k
6.如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数
1 x 1
k
y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k -k =（
2 x 2 1 2
）3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 23 6
7.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，
x x
则点D的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(2,3) C．(2,2) D．(3,2)
3 k
8.如图，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点B在反比例函数y= (x>0)的图象上，连接AB，
x x
AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面
积为（ ）
7 9 5
A．3 B． C． D．
2 2 2
5 3
9.如图，点B在反比例函数y=− (x<0)的图象上，点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，BC∥x轴，
x x
且A为x轴上任一点．则△ABC的面积为（ ）
A．3.5 B．4 C．5.5 D．66
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴交函
x
2
数y=− (x<0)的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左侧，且MN=PQ，连接QM、PN，这关
x
于四边形PQMN的面积的结论正确的是（ ）
A．8 B．12
C．24 D．四边形PQMN的面积无法确定
k
11.如图，点P是函数y= 1(k >0,x>0)的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点
x 1
k
A、B，交函数y= 2(k >0,x>0)的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k >k ，下列结论：
x 2 1 2
k −k (k −k ) 2
①CD//AB；②S = 1 2；③S = 1 2 ，其中正确的是（ ）
△OCD 2 △DCP 2k
1
A．①② B．①③ C．②③ D．①
1 3
12.如图，点C在反比例函数y = 的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y = 的图象于点A，CB∥x轴，交反
x x
3
比例函数y = 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ．
x4 k
13.如图，点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y= 于
x x
点B，已知AC=2BC．
（1）求直线OA的解析式；
k
（2）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（3）点D为反比例函数y= 上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
x
考点四：反比例函数与一次函数综合
题型一：一次函数图象与反比例函数图象综合
k 1
1.如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB= ，AB=2．
x 2
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．2．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
k
3.若k <00时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经
x
过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
c
5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内
x
的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
k−b
6.已知反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，且k=|b|，则一次函数
x
y=kx＋b的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
题型二：一次函数与反比例函数交点问题
1
1.若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ）
x
A．1 B．2 C．k D．k22.在平面直角坐标系中，函数y=
3
与y=x+1的图象交于点(m,n)，则代数式(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
的值为
x n m
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 36 6
3.如图，函数y=− (x<0)和y=kx−1(k≠0)的图象相交于点A(m，3)，则关于x的不等式1− >kx的
x x
解集为（ ）
A．x<−2 B．x>3 C．−2−2
( 1) m
4.如图，已知A −4, ,B(−1,2)是一次函数y =kx+b(k≠0)与反比例函数y = (m≠0,x<0)图象的
2 1 2 x
两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，若y >y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x<−4 B．−4−1 D．x<−1
k
5.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= (k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等
x
k
式ax+b> 的解集是（ ）
xA．x<−2或01 D．−12
m
6.如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为(2，3)，点
x
B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；
m
(2)结合图象，直接写出不等式
时x的取值范围．
x题型三：一次函数与反比例函数综合应用
1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1),△OA'B
k
与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象与A'B交于点C．若A'C=BC，则k
x
的值为（ ）
3√3 √3
A．2√3 B． C．√3 D．
2 2
2.如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数
k
y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
2
3.如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，
x
−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；2
(2)对于反比例函数y= ，当y<−1时，写出x的取值范围；
x
1
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP 2 ODA
△ △
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接
k
OB．反比例函数y= 1 (x>0)的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数
x
y=k x+b的图象经过E、F两点．
2
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
k
5.如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象
x
2
上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接AC、AE．
3
(1)求k、b的值；
(2)求△ACE的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．a
6.直线l ：y=−x＋4与y轴交于点C，反比例函数y= 的图象交于点A(m,3)、B．
1 x
(1)求a的值及B的坐标；
3
(2)在x轴上存在点D，使S = S ，求点D的坐标；
△ACD 2 △AOC
a
(3)如图2，将反比例函数y= 的图象沿直线l ：y=−x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若
x 1
直线l ：y=kx+4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．
2
考点五：反比例函数的实际应用
题型一：行程问题
1.某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接
客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式；
（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已
知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，
要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围．
2.五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了
离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均
每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不
能，至少还需加多少油？
题型二：工程问题1.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土
石方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若00)的图象与BC边交于点E．
x
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC=30°，
k
BC=4，双曲线y= 经过点A．
x
(1)求k；
3√3
(2)直线AC与双曲线y=− 在第四象限交于点D．求△ABD的面积．
xk
3.如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝ （k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半
x
轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
4.在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直
k
角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y= (k>0)的图象与边AC交
x
于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
