文档内容
专题 20 反比例函数的图象和性质（3 个知识点 6 种题型 2 个易错点 3
个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.反比例函数图象的画法
知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）
知识点3.反比例函数 的几何意义（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.判断点是否在反比例函数的图象上
题型2.反比例函数的图象与性质的应用
题型3.反比例函数 的几何意义问题
题型4.利用反比例函数图象的对称性解题
题型5.反比例函数与一次函数的综合
题型6.反比例函数与特殊平行四边形的综合
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视反比例函数解析式中K的符号
易错点2.运用反比例函数的性质比较大小时出错
【方法四】 仿真实战法
考法1.反比例函数的图象
考法2.反比例函数的增减性
考法3.反比例函数与一次函数的综合
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 会用“描点”画法出反比例函数的图象。
2. 能根据反比例函数 的图象和解析式探索并理解 时图象的变化情况。
3. 了解反比例函数 中比例系数 的几何意义，会利用反比例函数的图象和性质解决实际物
体。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.反比例函数图象的画法
图像的画法：描点法
① 列表（应以 o为中心，沿 o的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）【例1】（2023·湖南怀化·九年级统考期中）已知反比例函数 的图象与正比例函数
的图象交于点 ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内， 画出
这两个函数的图象．
知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）
反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、
四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线
的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例2】（2023·山东东营·九年级校联考期中）反比例函数 （k是常数，且 ）与二次函数
在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3.反比例函数 的几何意义（难点）
反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义，即过双曲线 y=k/x（k≠0）上任意一点 P，
作 x 轴、y 轴垂线。设交点分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积（阴影面积）为 |k| . (由
y=k/x 变形可得：k=xy. 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。)
【例3】（2023·湖南永州·九年级统考期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取
，过点 分别作x轴的垂线，
与反比例函数 的图象相交于点 ，得直角三角形 ， ，
， ， ，…， ，并设其面积分别为 ，…， ，则 的
值为（ ）A． B． C． D．
【方法二】实例探索法
题型1.判断点是否在反比例函数的图象上
1．（2023·安徽安庆·九年级统考期中）下列各点中，在双曲线 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
题型2.反比例函数的图象与性质的应用
2．（2023·江苏盐城·校联考二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料
的两边 长分别是 2 米与 3 米，若把这个矩形布料按照如图 1 的方式扩大到面积为原来的2 倍，设原矩
形布料 的一边加长 a 米，另一边长加长b 米，可得 a 与b 之间的函数关系式 ．某校“数学
兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数 ，现对这个函数的图像和性质进行了探
究，研究过程如下：(1)如图 2 ，在平面直角坐标系 中，请用描点法画出 的图像，并完成如下问题：
①函数 的图像可由函数 图像向左平移_______个单位，再向下平移_____个单位得到，其
对称中心坐标为____________；
②根据该函数图像指出，当x 在什么范围内变化时， ．
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方
案．
题型3.反比例函数 的几何意义问题
3.（2023·江苏南通·九年级统考期中）如图，点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，且轴，连接 与反比例函数 的图象交于点C，连接 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．3
题型4.利用反比例函数图象的对称性解题
4．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，正比例函数 （ ）与反比例函数 的
图象交于点 和点 ．求点 的坐标．
题型5.反比例函数与一次函数的综合5．（2023·广东佛山·九年级校考期中）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型6.反比例函数与特殊平行四边形的综合
6．（2023·广西南宁·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 在第一象限内，边 与
x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4， 2， 反比例函数 的图象经过A，B两点．若菱形
的面积为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【方法三】差异对比法
易错点1.忽视反比例函数解析式中K的符号
1．（2023·广西桂林·九年级校考期中）如图，已知反比例函数 和 的图象分别为， ，A是 上一点，过点A作 轴，垂足为B， 与 交于点 ．若 的面积为2，则k
的值为 ．
易错点2.运用反比例函数的性质比较大小时出错
2．（2023·山东威海·九年级统考期中）反比例函数 ， ， 在同一坐标系中的图象如图所
示，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【方法四】 仿真实战法
考法1.反比例函数的图象
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的
图象可能是（ ）
A． B．C． D．
考法2.反比例函数的增减性
2．（2022·广东·统考中考真题）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ，
， 中最小的是（ ）
A． B． C． D．
考法3.反比例函数与一次函数的综合
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 交于点 和点
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）对于反比例函数 ，下列结论：①图像分布在第二、四象限；
② 随 的增大而减小；③图像经过点 ；④若点 ， 都在图像上，且 ，则，其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）若点 在反比例函数 的图像上，则代数式 的值为
（ ）
A． B．0 C．2 D．
3．（2023·重庆·九年级字水中学校考期中）已知二次函数 的阁象如图所示，则反比
例函数 与一次数 在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）如图，直线 与双曲线 交于
两点，则当 时， 的取值范围是（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D．
5．（2023·安徽合肥·九年级阶段练习）二次函数 的图象如图，则函数 与函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建福州·九年级校考期中）点 、 、 都在反比例函数 的图象
上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）对于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的反比例函数
B．图象经过点
C． 时，y随x的增大而增大
D． 时，y随x的增大而减小8．（2023·山东威海·九年级统考期中）若点 ， 都在反比例函数 的图像上，则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广东佛山·九年级佛山市惠景中学校考期中）函数 与 在同一坐标系内的图
象可以是( )
A． B． C． D．
10．（2023·河北保定·九年级保定十三中校考期中）在平面直角坐标系中，分别过点 ， 作
轴的垂线 和 ，探究直线 ，直线 与双曲线 的关系．
甲：两直线中总有一条与双曲线相交．
乙：当 时，两直线与双曲线的交点在 轴两侧．
丙：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3．
则正确的是（ ）
A．甲、乙的说法正确 B．甲、丙的说法正确
C．乙、丙的说法正确 D．三人的说法都正确
二、填空题
11．（2023·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点 作 轴
的垂线交函数 的图象于点B，连接 ，则 的面积是 ．
12．（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （k为常数，且）的图象经过 的顶点B， 交y轴于点E， 轴，F为 边上一点，且
，连接 ．
（1）若点B的坐标为 ，则k的值为 ．
（2）设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值为 ．
13．（2023·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）直线 与双曲线 ， 相交
于点 ， ，作 轴于点 ，作 轴于点 ，四边形 的面积为5，则 的值为
．
14．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作
轴，垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若
的面积是6，则 ．
15．（2023·山东泰安·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，过点A作
轴，垂足为点M，连接 ，若 ，则k的值是 ．16．（2023·山西太原·九年级太原市实验中学校考期中）反比例函数 的图象上有两点 ，
，且 ，则 （填“>”或“=”或“<”）．
17．（2023·江苏南通·九年级统考期中）如图， 是反比例函数 的图象上一点， 轴于点 ，若
的面积为 ，则 的值为 ．
18．（2023·广东深圳·九年级校考期中）如图，点A，B是函数 图象上两点，过点A作
轴，垂足为点C， 交 于点D．若 的面积为3，点D为 的中点，则k的值为 ．三、解答题
19．（2023·河北沧州·九年级校联考期中）如图1，一次函数 的图像与反比例函数 的图
像交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 ， 的值．
(2)如图2，直线 过点 ，与反比例函数图像交于点 ，与 轴交于点 ， ．
①连接 ， ，求 的面积．
②利用图像信息，直接写出不等式 的解集．
20．（2023·安徽合肥·九年级阶段练习）如图，直线 与坐标轴交于点A、B，与双曲线 交
于C、D两点，并且 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围；
21．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于 ．
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
(2)若点 是第一象限内反比例函数图象上一点．过点 作 轴的平行线 交一次函数图象于点 ，作直线
交 轴于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)定义：若矩形的周长是面积的 倍 ，则称该矩形为“ 倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为
18，面积为 ，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点 是第一象限内反比例函数图象上一点．
过 作 轴于点 ，作 轴于点 ．若矩形 是“ 倍积矩形”， 最小可以取多少？
当 取最小值时，求出 点的坐标．22．（2023·广东佛山·九年级校考期中）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，
它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”
(1)完成下列空格：
当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为 ，
由题意得方程： ，化简得： ．
， ______， _____．
满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到：
，（以下同小明的做法）
(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
(3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为： ，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从
而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的
部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空
格）①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________．
②满足条件的矩形B的两边长为________和________．
23．（2023·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）已知反比例函数 的图象与一次函数
的图象交于点 和点 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ．连接 ， ．
(1)求一次函数 的表达式；
(2)观察图象，直接写出使得 成立的自变量x的取值范围；
(3)求 的面积．24．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y
轴交于点A，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过A作
轴交反比例函数的图象于点C，连接 ．
(1)求反比例函数表达式；
(2)求 面积．
25．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
A，B两点，且B点的纵坐标是 ，求：(1)反比例函数的解析式：
(2) 面积．
26．（2023·广东湛江·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中， 的边 垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过 的中点C，交 于点D．若点D的坐标为 ，且 ．
(1)求反比例函数 的解析式；
(2)求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)设点E是线段 上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交
于点F，求 面积的最大值．
