文档内容
专题 09 二次函数 的图像和性质（4 个
知识点 6 种题型 2 个易错点 2 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：二次函数 的图象和性质（重难点）
知识点2：二次函数 的图象和性质（重难点）
知识点3：二次函数 的图象和性质（重难点）
知识点4：二次函数的平移
【方法二】 实例探索法
题型1：直接利用 获取图象信息
题型2：已知顶点坐标求抛物线的解析式
题型3：抛物线平移规律的应用
题型4：抛物线增减性的应用
题型5：利用二次函数的图象和性质解决实际问题
题型6：二次函数中的新定义问题
【方法三】 差异对比法
易错点1：利用二次函数的顶点式确定抛物线的顶点、对称轴时，易弄错符号
易错点2：平移函数图像时，易出现平移方向错误
【方法四】 仿真实战法
考法1：抛物线的平移
考法2：二次函数的图象及特征【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：二次函数 的图象和性质（重点）
【例1】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
1 1 1
y x2 y x2 3 y x2 3
2 2 2
， ， ．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
1
y x2 c
2
（2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案与解析】
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
1 1 1 1 1
y x2 … 4 2 0 2 4 …
2 2 2 2 2
1
y x2
2
描点、连线，可得抛物线 ．
1 1 1
y x2 y x2 3 y x2 3
2 2 2
将 的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到 与 的图象（如图所
示）．
1 1 1
y x2 y x2 3 y x2 3
2 2 2
抛物线 ， 与 开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次
是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
1
y x2 c
2 x0
（2）抛物线 的开口向上，对称轴是y轴（或直线 ），顶点坐标为（0，c）．
1
y x2
2
【总结升华】先用描点法画出 的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．
向上平移 向下平移
规律总结：
y ax2 k k个单位 y ax2 k个单位 y ax2 k(k 0)
．
知识点2：二次函数 的图象和性质（重难点）【例2】已知函数 ， 和 ．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图
象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解： 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）解： 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单
位；
（4）解： 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，
当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，
当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
知识点3：二次函数 的图象和性质（重难点）1
y x2
y a(xh)2 k 2
【例3】已知 是由抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得
到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
1
y x2
y a(xh)2 k 2
(2)在同一坐标系中，画出 与 的图象；
y a(xh)2 k
(3)观察 的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减
小，并求出函数的最值；
y a(xh)2 k
(4)观察 的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?1
y x2
2
【答案与解析】(1)∵ 抛物线 向上平移2个单位长度，
1
y (x1)2 2
2
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是 ，
1
a
2 k 2
∴ ， ， ．
1 1
y (x1)2 2 y x2
2 2
(2)函数 与 的图象如图所示．
1
y (x1)2 2
2 x1
(3)观察 的图象知，当 时，y随x的增大而增大；
x1
当 时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
1
y x2
2
【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线 平移后的抛物线的解析式，再对比
y a(xh)2 k
得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
知识点4：二次函数的平移
1.平移步骤：
yaxh2k h，k
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
yax2 h，k
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律：
h k
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上
加下减”．
要点诠释：
y ax2 bxc y m y ax2 bxc
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
y ax2 bxcm y ax2 bxcm
（或 ）
y ax2 bxc m y ax2 bxc
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
y a(xm)2 b(xm)c y a(xm)2 b(xm)c
（或 ）
y a(xh)2 k
【例4】把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
1
y (x1)2 1
2
的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
y a(xh)2 k
（2）指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
1
a ,h 1,k 5
2
【答案】（1） .（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
【方法二】实例探索法
题型1：直接利用 获取图象信息1．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【详解】解：由 可知：
，
开口向上，
A选项错误；
根据 的顶点坐标为 可知：
的顶点坐标为 ，
B选项错误；
图像开口向上，顶点坐标为 ，
在顶点坐标处由最小值 ，
C选项错误；
图像开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，y随x的增大而增大，
D选项正确.
2．若点 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
离直线 的距离最远， 在直线 上，
．
3.二次函数 的图像的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．A．直线 D．直线
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线对称轴为直线x＝3．
题型2：已知顶点坐标求抛物线的解析式
4．（2022秋·广东潮州·九年级校联考期中）已知二次函数的图象经过点 ，且顶点坐标为 ，
求这个函数的解析式．
【答案】
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的顶点式为 ，
∵二次函数的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
5．求下列抛物线的解析式：
1
y x2 3
2
（1）与抛物线 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．
【答案与解析】
1 1
y x2 3
2 2
（1）由于待求抛物线 形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ，
1
y x2 5
k 5 2
又顶点坐标是（0，-5），故常数项 ，所以所求抛物线为 ．
y ax2 1
（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为 ，
1
a
9a12 3
又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得 ．
1
y x2 1
3
∴ 所求抛物线为 ．
|a| a k
【总结升华】抛物线形状相同则 相同，再由开口方向可确定 的符号，由顶点坐标可确定 的值，从
而
y ax2 k
确定抛物线的解析式 ．
6. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系
中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．
【答案与解析】
（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），
∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，
∴0=a•（-4）2+6，
16a+6=0，16a=-6，3
a
8
．
3
y x2 6
8
故抛物线的函数关系式为 .
（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．
3
y x2 6
8
将y=4.5代入 ，得x=±2．
∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
4.52 62 7.5m
从而|PB|=
所以照明灯与点B的距离为7.5m．
【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实
际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离
地面
高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.
7.已知二次函数 的顶点坐标为 ，且过点 ．
（1）求这个二次函数的解析式；（2）点 在这个函数图像上吗？
（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？
【答案】（1） ；（2）不在；（3）向右平移1个单位．
【解析】（1）把 、 代入 得 ， ，
∴解析式为 ．
（2）把 代入 得 ，∴点 不在函数图像上．
（3）把 代入平移后的解析式为 ，得 ，
∴平移后的解析式为 ，∴函数向右平移1个单位，能使它经过点 ．
【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，会判断点与函数的位置关系，注意平移的口诀“左加右减，
上加下减”．
题型3：抛物线平移规律的应用
8.将抛物线 沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B， 顶点为 C．如果
是等腰直角三角形，求顶点C的坐标．
【答案】 ．
【解析】设抛物线向下平移 个单位，平移后的抛物线为 ，
则 ， ， ，
设对称轴与 轴交于点 ，可得 ， ，
∵抛物线顶点为 ，由抛物线对称性可知 ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ， （舍），
∴顶点 的坐标为 ．【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，
根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．
1
y x2
y a(xh)2 k 2
9.已知 是由抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度
得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
1
y x2
y a(xh)2 k 2
(2)在同一坐标系中，画出 与 的图象；
y a(xh)2 k
(3)观察 的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减
小，并求出函数的最值；
y a(xh)2 k
(4)观察 的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
1
y x2
2
【答案与解析】 (1)∵ 抛物线 向上平移2个单位长度，
1
y (x1)2 2
2
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是 ，
1
a
2 k 2
∴ ， ， ．
1 1
y (x1)2 2 y x2
2 2
(2)函数 与 的图象如图所示．
1
y (x1)2 2
2 x1
(3)观察 的图象知，当 时，y随x的增大而增大；x1
当 时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
1
y x2
2
【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线 平移后的抛物线的解析式，再对比
y a(xh)2 k
得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
y a(xh)2 k
10.把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
1
y (x1)2 1
2
的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
y a(xh)2 k
（2）指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
1
a ,h 1,k 5
2
【答案】（1） .（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
题型4：抛物线增减性的应用
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）当 时，两个函数 和 的
函数值都随着 的增大而减小，则 的最大值是___________．
【答案】3
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 开口向上，对称轴为直线 ，当 时函数值都随着 的增大而减小，
∵ ，
∴抛物线 开口向上，对称轴为直线 ，当 时函数值都随着 的增大而减小，
∴当 时 ， 都随着 的增大而减小，∴ ，
12.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
【答案与解析】
解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；
故答案为（1，﹣8），直线x=1；
（2）当x＞1时，y随x增大而增大．
13.已知：二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3，
∴y=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为：直线x=2，
∴顶点（2，﹣1）；
（2）令y=0，
则，x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x =1，x =3，
1 2
∴与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当1＜x＜3时，y＜0．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质
并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
14.根据下列条件求a的取值范围：
(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
1
y x2
2
(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线 的形状相同；
y axa2a
(4)函数 的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】
(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．
2
a
3
(2)由题意得，3a-2＜0，解得 ．
1 5 3
|a2| a a
2 1 2 2 2
(3)由题意得， ，解得 ， ．
a2 a2
a0
(4)由题意得， ，解得a ＝-2，a ＝1，但a＞0，∴ a＝1．
1 2
【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，
并结合草图去确定二次项系数的取值范围．
15.二次函数y =a（x﹣2）2的图象与直线y 交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
1 2
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y ＜y ，y =y ，y ＞y 时，自变量x的取值范围．
1 2 1 2 1 2
【答案与解析】
解：（1）把A（0，﹣1）代入y =a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣ ，
1
∴二次函数解析式为y =﹣ （x﹣2）2=﹣ a2+a﹣1；
1
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得： ，
解得：k= ，b=﹣1，则直线AB解析式为y= x﹣1；
（2）根据图象得：当y ＜y 时，x的范围为x＜0或x＞2；y =y 时，x=0或x=2，y ＞y 时，0＜x＜2．
1 2 1 2 1 2
【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值
范围．
y 3(x1)2
16. 如图所示，抛物线 1 的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于
另一点B．
y kxb
(1)求直线AC的解析式 2 ；
(2)求△ABC的面积；
y y
(3)当自变量x满足什么条件时，有 1 2?
【答案与解析】
y 3(x1)2 y 3
(1)由 1 知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得 ，
A(0, 3) b 3 k 3
∴ ．由待定系数法可求出 ， ，
y 3x 3
∴ 2 ．
y 3(x1)2 B(2, 3)
(2)∵ 抛物线 1 的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知 ．
1
S 2 3 3
△ABC 2
∴ ．
y y
x0 x1
(3)根据图象知 或 时，有 1 2．
【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两
个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线
的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的
错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．
题型5：利用二次函数的图象和性质解决实际问题
17.小张准备进行如下实验操作：把一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成
一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm2则这两个正方形的边长是多少？
（2）小张认为，这两个正方形的面积之和不可能等于11cm2你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）这两个正方形的边长分别是2cm、3cm；（2）两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．
（2）设两个正方形的面积和为ycm2，可得二次函数y=x2+（5-x）2=2（x ）2+ ，利用二次函数的最值
的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．
【详解】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x）cm，
依题意列方程得x2+（5-x）2=13，
整理得：x2-5x+6=0，
（x-2）（x-3）=0，
解方程得x =2，x =3，
1 2
因此这两个正方形的边长分别是2cm、3cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．理由：
设两个正方形的面积和为ycm2，则
y=x2+（5-x）2=2（x ）2+ ，
∵a=2＞0，
∴当x= 时，y的最小值=12.5＞11，
∴两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和=13．
读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
18．（2021秋·黑龙江大兴安岭地·九年级校考期中）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，
按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种
纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
【答案】(1)
(2)当售价定为 元时，每天的利润为140元
(3)当售价为 元时，利润最大为 ．
【详解】（1）解：设售价单价提高 元，则
；
（2）解：由题可知售价为 元，
即 ，
解得 ， ，
故售价为： 或 ，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为 元时，每天的利润为140元；
（3）解： ，
当 时， 最大值为 ，
故售价为 ，
当售价为 元时，利润最大为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润 （售价 进价） 售出件数是解答此题的关键．
题型6：二次函数中的新定义问题
19．（2022秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）将平面直角坐标系 中的一些点
分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点 ，称 与
中的最大值为点 和点 的“联络量”，记作 ．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，
定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点 的横、纵坐标都是整数．(1)①点 中，与点 的“联络量”是2的有 ；
②点 在平面上运动，已知将点 分在同一类时“代表量”是5，则动点 所在区域的面积为 ；
(2)对于平面上的任意一点 ，将点 分为两类，试说明：无论如何分类，“类筹”总不小于2；
(3)已知二次函数 上的任一点 均满足将点 分为两类的最小“类筹”大于4，
直接写出 的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)见解析
(3) 或
【详解】（1）解：①∵
,
∴与点 的“联络量”是2的有 ，
故答案为：A，C；
②如图，∵将点 分在同一类时“代表量”是5，即 ， 最大为5，
∴
根据图象可知， 所在区域为矩形形 ，面积为 ；（2）∵
∴将 分为两类，“类筹”为3
∴对于平面上的任意一点 ，
∴无论如何分类，将点 分为两类，“类筹”总不小于2；
（3）如图，当抛物线经过 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
结合图象可知 ；
当抛物线经过 点时， ，
此时 ，
解得 或 （舍去），∴ 符合题意，
综上所述， 或 ．
20．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点
叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点 是一次函数 图像的“1阶方点”．
(1)在① ，② ，③ 三点中，是反比例函数 图像的“2阶方点”的有________
（填序号）；
(2)如图，已知抛物线 交y轴于点C，一次函数 的图像交抛物线第二象限于点
P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．
①求 的面积的最大值；
②若一次函数 图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若抛物线 的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
【答案】(1)①②(2)①4；② 或
(3)
【详解】（1）① 到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵ ，
∴ 是反比例函数 图像的“2阶方点”；
② 到两坐标轴的距离分别是2， ，
∵ ，
∴ 是反比例函数 图像的“2阶方点”；
③ 到两坐标轴的距离分别是 ， ，
∵ ，
∴ 不是反比例函数 图像的“2阶方点”；
故答案为：①②；
（2）∵一次函数 ，
∴一次函数 过定点 ，
当 时， ，
∴ 在抛物线上，
∴ ．
①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”，
∴当Q的纵坐标为－1时， 面积最大．∴ 面积最大为 ；
②∵一次函数 图像的“1阶方点”有且只有一个，
∴在以O为中心，边长为2的正方形 中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方
点”有且只有一个，
当一次函数过 时，
，
解得 ．
当一次函数过 时，
，
解得 ．
综上： 或 ．
（3）在以O为中心，边长为2m的正方形 中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数
图象的“m阶方点”一定存在，
如图，当 时， ，
当抛物线经过点B时，
，
解得 ；
当抛物线经过点D时，
，
解得 （舍）或 ；∴ ．
【方法三】差异对比法
易错点1：利用二次函数的顶点式确定抛物线的顶点、对称轴时，易弄错符号
21.抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下、对称轴为直线x = 、顶点坐标为（2，9）
B．开口向下、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（2，9）
C．开口向上、对称轴为直线x = 、顶点坐标为（ ， ）
D．开口向上、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（ ， ）
【答案】B．
【解析】抛物线 （ ）的对称轴是直线 ；抛物线的顶点坐标是 ．抛物线
的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下．
【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的性质是做题的关键．
易错点2：平移函数图像时，易出现平移方向错误
22.抛物线 是由抛物线 向上平移3个单位，再向 左平移2个单位得到的，
则b =________，c = ________．
【答案】 ， ．
【解析】 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到的抛物线为
，∴ ， ．
【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法．
【方法四】 仿真实战法
考法1：抛物线的平移
23．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向
下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
24．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
考法2：二次函数的图象及特征
25．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2），
∴顶点在第二象限．
故选：B．
26．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，
﹣3），
抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
27．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，若x +x
1 1 2 2 1 2
＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴ ，∴ ，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
28．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣ ；
综上所述：a的值为4或﹣ ，
故选：D．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·河南信阳·九年级校联考期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标是解题
的关键．
2．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知某二次函数，当 时， 随 的增大而减小 当
时， 随 的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴．
【详解】解： 当 时， 随 的增大而减小 当 时， 随 的增大而增大，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
抛物线 满足条件．
【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关．
3．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）关于抛物线 的特征，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，逐项分析判
断即可求解．
【详解】解：关于抛物线 的特征，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴A，B，C选项正确，
当 时， 随 的增大而减小，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）抛物线 上有三点，分别是 ； ；那这三点中纵坐标的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出二次函数 的图象的对称轴，然后判断出 、 、 在抛
物线上的位置，再求解．
【详解】解：∵二次函数 中 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，
到直线 的距离为3，
到直线 的距离为1，
到直线 的距离为2，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是找到A点的对称点，掌握二次函数
的图象性质．
5．（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）已知二次函数 ，那么该二次函数图象的对
称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可进行解答．
【详解】解：二次函数 图象的对称轴是直线 ，
故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 的对称轴为 ，顶点
坐标为 ．
6．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）对于 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与 轴有两个交点
【答案】C
【分析】根据二次函数 的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵ ，∴此函数的图象开口向上，故选项A说法错误，不符合题意；
B、函数 的对称轴是直线 ，故选项B说法错误，不符合题意；
C、函数 的顶点坐标是 ，故选项C说法正确，符合题意；
D、∵ ，∴函数 的图象与x轴无交点，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数 的图象与性质是解答的关键．
7．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）若点 是二次函数
图象上的三点，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 ，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴ 关于对称轴的对称点为 ，
且 时， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
8．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）关于二次函数 ．下列说法错误的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧
C． 时， 的值随 值的增大而增大 D．当 时，函数有最小值为5
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、当 时， ，即图像与 轴的交点坐标为 ，则此项正确，不
符合题意；
B、二次函数 的对称轴为直线 ，则图像的对称轴在 轴的右侧，此项正确，不符合题
意；
C、∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大，
则此项错误，符合题意；
D、∵二次函数 的对称轴为直线 ，抛物线的开口向上，
∴当 时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
9．（2022春·九年级课时练习）抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y )，(0，y )， ( ，y )三点，则 大小关系
1 2 3
是( )A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出( ，y ) 直线x=1的对称点，然后根据二次
3
函数的增减性可以判断y ，y ，y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2 3
【详解】解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；( ，y )关于直线x=1的对称点是( ，y )，
3 3
∵-2< <0<1
∴y ＞y ＞y ，
1 3 2
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转
移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
10．（2022春·九年级课时练习）如图，在正方形 中， ，点P从点A出发沿路径
向终点C运动，连接 ，作 的垂直平分线 与正方形 的边交于M，N两点，设点P的运动路
程为x， 的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，
∴NE=DC=AD，
则PD= ，
又∵MN垂直平分PD，
∴PF= ，
∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，
∴∠MNE=∠PDA，
在 MNE和 PDA中，
△ △
∴△APD≌△EMN，
∴PD=MN= ，
∴y= ,（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，
过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，
则PD= ,
∴PF
用（1）的方法得
MN ,
y= ，
故
故选择A．
【点睛】本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．
二、填空题
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数 ，当 时，y随x的增大而 ．（填“增
大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】根据 ，得函数图象开口向上，当 时，y随x的增大而减小，即可得．
【详解】解：∵ ，对称轴为直线 ，
∴函数图象开口向上，当 时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．12．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）二次函数 的图象上有两点 ，
，则 与 的大小关系是 (用“ ”或“ ”)．
【答案】
【分析】直接求出 与 的值，然后比较大小即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
把 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数值的大小，解题的关键是根据函数关系式求出二次函数的值．
13．（2022年广东省湛江市岭南师范学院附属中学、湛江市东方实验学校中考二模数学试题）抛物线
的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线 的顶点坐标为 直接写出即可．
【详解】抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查抛物线的顶点求解方法，掌握抛物线的顶点求解方法是解题的关键．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）函数 最小值是 ．
【答案】2
【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是（4，2），即可确定函数的最小值．
【详解】解： ，
∴此函数的顶点坐标为 ，∴又 ，
∴函数图象开口向下，
∴当 时，y取得最小值，最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键．
15．（2019秋·北京西城·九年级北京市第十三中学分校校考期中）设二次函数y、y 的图象的顶点分别为
1 2
、 ，当 ， ，则称y 是y 的“倍顶二次函数”. 请写出一个跟抛物线
2 1
开口方向相反的“倍顶二次函数”： .
【答案】答案不唯一
【分析】先确定 的顶点坐标，然后在确定y 的的顶点坐标，最后根据顶点坐标写解析式即
2
可.
【详解】解：∵ 的顶点坐标为（1,5）
∴p=-1，q=10即y 的顶点坐标为（-1,10）
2
可写倍顶二次函数解析式为： ， 等，答案不唯一.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答的关键是理解倍顶二次函数的概念.
16．（2022秋·山东泰安·九年级校考期中）如图，抛物线 与 交于点
，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论：①无论 取何值， 的值
2
总是正数；② ；③当 时， ；④ ．其中正确结论是 ．【答案】①④
【分析】根据与y = （x-3）2+1的图象在x轴上方即可得出y 的取值范围；把A（1，3）代入抛物线
2 2
y =a（x+2）2-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y -y 的值；根据两函数的解析式直接得出AB
1 2 1
与AC的关系即可．
【详解】解：①∵抛物线y = （x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
2
∴无论x取何值，y 的值总是正数，故本结论正确；
2
②把A（1，3）代入，抛物线y =a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本结论错误；
1
③由两函数图象可知，抛物线y =a（x+2）2-3解析式为y = （x+2）2-3，当x=0时，y = （0+2）2-3=- ，
1 1 1
y = （0-3）2+1= ，故y -y = + = ，故本结论错误；
2 2 1
④∵物线y =a（x+2）2-3与y = （x-3）2+1交于点A（1，3），
1 2
∴y 的对称轴为x=-2，y 的对称轴为x=3，
1 2
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
17．（2022春·九年级课时练习）已知二次函数 ，当 时有最小值10，则m的值为
．
【答案】 或7/7或-1
【分析】对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可．
【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值，
所以 ，解得 ， （舍）；
当 时，二次函数在x=m时取得最小值，
∴所以 ，该方程无解；
当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值，
所以 ，解得 ， （舍）；
故答案为： 或7．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用．
18．（2021·安徽黄山·统考二模）平面坐标系中有线段 ，已知 、 ，若抛物线
与线段 有交点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由 可得抛物线随 值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点 ， 所对应的 的值
即可．
【详解】解：由 可得抛物线的对称轴直线为 ，顶点坐标为( ，0)，
当对称轴在点 左侧时， ，
把 代入 得 ，
解得 或 (舍去)，
当对称轴在点 右侧时， ，
把 代入 得 ，解得 或 (舍去)，
∴当 时，抛物线 与线段 有交点，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随 值的变化左右移动是解题的关键．
三、解答题
19．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图是二次函数 的图象的一部分，根据
图象回答下列问题：
（1） 的解是 ；
（2）确定 的值；
（3）设抛物线的顶点是P，与 轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）12
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求
得B点坐标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
【详解】（1）由图象可知A点坐标为（−4，0），
∵ ，
∴抛物线对称轴方程为x＝−1，∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为（2，0），
∴y= 的解为 ，
故答案为： ，
（2）解：由图象，知A（－4，0），
∴ ，
解得
（3）由 ，知P（－1，4），
时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在y
＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
20．（2022·广东深圳·统考一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：
遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销
售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利
润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30
元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，由题意可得： ，
解得： ，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题
的关键．
21．（2020秋·北京延庆·九年级期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【分析】（1）设顶点式 ，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式．
（2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为
∵ 图像经过（-2，5）
∴ 5=
∴
（2）解：令y=0，即 =0
解得：x=3或x=-1故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数
解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质．
22．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知抛物线 （a，h，是常数，a≠0），与y轴交
于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若 ，点C的坐标为 ，求h的值；
(2)若 ，当 时，对应函数值y的最小值是 ，求此时抛物线的解析式；
(3)直线 经过点M，且与抛物线交于另一点D．当 轴时，求抛物线的解析式．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）把 ，点 代入函数 ，即可求出h的值；
（2）把 代入函数得 ，根据当 时，对应函数值y的最小值是 ，则分三种情
况讨论：①若 在对称轴的左边，则y随x的增大而减小，此时 ，且 ， ，代入函数即
可求出h的值；②若 在对称轴的右边，则y随x的增大而增大，此时 ，且 ， ，代入
函数即可求出h的值；③若对称轴在 内，则抛物线在顶点处取得最小值，为 ，不合题意，舍
去．综上所述可得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线解析式可得顶点坐标为 ，又直线 经过点M，从而可 ，抛物线解
析式为： ，抛物线与y轴交点C的坐标为 ，根据 轴，且点D在抛物线上可得点D的坐标为 ．又直线 经过点D，从而求得 ，因此抛物线解析式为
．
【详解】（1）解：把 ，点 代入函数 ，得
，
解得： ．
（2）解：∵ ，
∴抛物线为 ，抛物线开口向上，对称轴为 ．
∵当 时，对应函数值y的最小值是 ，
∴分三种情况讨论：
①若对称轴 ，则 在对称轴的左边，y随x的增大而减小．
∴ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴抛物线的解析式为： ．
②若对称轴 ，则 在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
∴ ， ，
∴
解得： （舍去）或
∴抛物线的解析式为： ．
③若 ，则为抛物线在顶点处取得最小值，即当 时，函数最小值为 ，不合题意，舍去．
综上所述，抛物线的解析式为： 或 ．（3）解：∵抛物线 的顶点为 ，直线 经过点M，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ．
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 轴，
∴点D的纵坐标为为 ，
把 代入抛物线 中，得
，
解得 或 ，
∴点D的坐标为 ．
∵直线 经过点D，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
23．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）设二次函数 ， 的图像的顶点坐标分别为 ， ．
若 ， ，且开口方向相同，则称 是 的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数 的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于 的二次函数 和二次函数 ．若函数 恰是 的“反倍顶二次函数”，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
二次函数 的顶点坐标为 ，
二次函数 的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为 ，
这个“反倍顶二次函数”的解析式为 ；
（2） ，顶点坐标为 ，
，顶点坐标为 ，
函数 恰好是 的“反倍顶二次函数”，
，
解得 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，
属于中考常考题型．
24．（2021秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，二次函数 的图象与x轴相交于
A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段 上一点（不与点O，C重合），以
为边向上作正方形 ，连接 ，设点D的横坐标为m．（1）当 时， ______，
当 时， _______，
当 时， ________；
（2）根据（1）中的结果，猜想 的大小，并证明你的猜想；
（3）当 时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四
边形时，请直接写出m与n满足的关系式．
【答案】（1） ；8； ；（2） ．证明见解析；（3）当以A，B，E，P为顶点的四边形为平
行四边形时，m与n满足的关系式有 和 ．
【分析】（1）令 ，解得 ，求出点A的坐标为 ，令 ，求出点B的
坐标为 ，再表示出D,E的坐标，再根据k,m的值代入求出坐标，再利用割补法即可求解面积；
（2）把k,m当做常数，利用割补法即可求出 ；
（3）根据 ，求出 ，再根据平行四边形的性质分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）令 ，解得 ，
∴点A的坐标为 ．
令 ，则 ，
∴点B的坐标为 ．
∵点D的横坐标为m，
∴点E的坐标为 ，点D的坐标为 ．
当 时， ，
；
当 时， ，
；
当 时， ，
．
故答案为 ；8； ．
（2） ．证明：由（1）知 ，
．
（3）设点P的坐标为 ．
∵ ，∴ ．
当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
①当 为对角线时，令对角线的交点为M，如图（1）所示．
∵四边形 为平行四边形，
∴点M平分 ，点M平分 ．∵ ，
∴ ，
即 ．
②当 为对边，且点P在点E的左侧时，延长 ，过点P作 延长线于点N，如图（2）所
示．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，即 ．
③当 为对边，且点P在点E的右侧时，延长 ，过点P作 于点N，如图（3）所示．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ．
∵ ．
∴ ，
即 ．
综上可知：当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有
和 ．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行四边形的性质．
25．（2020秋·江西南昌·九年级校考期中）已知抛物线 ，（n为正整数，且
）的顶点坐标为 ，与x轴的交点为 和 ， ，当 时，第
1条抛物线 与x轴的交点为 和 ，其他依此类推．
（1）求 的值及抛物线 的解析式．
（2）抛物线 的顶点 坐标为__________；依此类推，第n条抛物线 的顶点 坐标为__________；所
有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是__________；（3）探究：
①是否存在抛物线 ，使得 ，为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，
请说明理由．
②若直线 与抛物线 分别交于 则线段 与 的长有何数
量关系？并说明理由．
【答案】（1） y =-（x-2）2+4；（2）（3，9）；（n，n2）；y=x2；（3）①存在，理由见解
2
析；②相等，都等于2m．
【分析】（1）A （2，0），则C =2，则C =2+2=4，将点A、A 的坐标代入抛物线表达式得：
1 1 2 1
，解得： ，则点A （4，0），将点A、A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：
2 2
a =2，b =4，即可求解；
2 2
（2）同理可得：a =3，b =9，故点B 的坐标为（3，9），以此推出：点Bn（n，n2），故所有抛物线的顶
3 3 3
点坐标满足的函数关系式是：y=x2，即可求解；
（3）①△AA B 为等腰直角三角形，则AA 2=2AB 2，即（2n）2=2（n2+n4），即可求解；
n n n n
②y =-（m-n+1）2+（n-1）2，y =-（m-n）2+n2，C C =y -y ，即可求解．
Cn-1 Cn n-1 n Cn Cn-1
【详解】解：（1）A （2，0），则C =2，则C =2+2=4，
1 1 2
将点A、A 的坐标代入抛物线表达式得：
1
，
解得： ，
则点A （4，0），将点A、A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a =2，b =4；
2 2 2 2
故y =-（x-a ）2+b =-（x-2）2+4；
2 2 2
（2）同理可得：a =3，b =9，故点 的坐标为（3，9），
3 3
以此推出：点 （n，n2），故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，
故答案为：（3，9）；（n，n2）；y=x2；
（3）①存在，理由：
点A（0，0），点A （2n，0）、点B （n，n2），
n n
△AA B 为等腰直角三角形，则AA 2=2AB 2，
n n n n
即（2n）2=2（n2+n4），解得：n=1（不合题意的值已舍去），
抛物线的表达式为：y=-（x-1）2+1；
②y =-（m-n+1）2+（n-1）2，
Cn-1
y =-（m-n）2+n2，
Cn
C C =y -y =-（m-n）2+n2+（m-n+1）2-（n-1）2=2m．
n-1 n Cn Cn-1
∴ = =2m．
