专题09二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图像和性质（4个知识点6种题型2个易错点2种考法）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3_2024版

专题 09 二次函数 的图像和性质（4 个 知识点 6 种题型 2 个易错点 2 种考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：二次函数 的图象和性质（重难点） 知识点2：二次函数 的图象和性质（重难点） 知识点3：二次函数 的图象和性质（重难点） 知识点4：二次函数的平移 【方法二】 实例探索法 题型1：直接利用 获取图象信息 题型2：已知顶点坐标求抛物线的解析式 题型3：抛物线平移规律的应用 题型4：抛物线增减性的应用 题型5：利用二次函数的图象和性质解决实际问题 题型6：二次函数中的新定义问题 【方法三】 差异对比法 易错点1：利用二次函数的顶点式确定抛物线的顶点、对称轴时，易弄错符号 易错点2：平移函数图像时，易出现平移方向错误 【方法四】 仿真实战法 考法1：抛物线的平移 考法2：二次函数的图象及特征【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：二次函数 的图象和性质（重点） 【例1】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： 1 1 1 y  x2 y  x2 3 y  x2 3 2 2 2 ， ， ．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1 y  x2 c 2 （2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标． 知识点2：二次函数 的图象和性质（重难点）【例2】已知函数 ， 和 ． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图 象； (4)分别说出各个函数的性质． 知识点3：二次函数 的图象和性质（重难点）1 y  x2 y a(xh)2 k 2 【例3】已知 是由抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得 到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； 1 y  x2 y a(xh)2 k 2 (2)在同一坐标系中，画出 与 的图象； y a(xh)2 k (3)观察 的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减 小，并求出函数的最值； y a(xh)2 k (4)观察 的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?知识点4：二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上 加下减”． 要点诠释： y  ax2 bxc y m y  ax2 bxc ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 y  ax2 bxcm y  ax2 bxcm （或 ） y  ax2 bxc m y  ax2 bxc ⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 y  a(xm)2 b(xm)c y  a(xm)2 b(xm)c （或 ） y a(xh)2 k 【例4】把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 1 y  (x1)2 1 2 的图象．（1）试确定a、h、k的值； y a(xh)2 k （2）指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【方法二】实例探索法 题型1：直接利用 获取图象信息 1．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是 D．当 时，y随x的增大而增大 2．若点 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 3.二次函数 的图像的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．A．直线 D．直线 题型2：已知顶点坐标求抛物线的解析式 4．（2022秋·广东潮州·九年级校联考期中）已知二次函数的图象经过点 ，且顶点坐标为 ， 求这个函数的解析式． 5．求下列抛物线的解析式： 1 y  x2 3 2 （1）与抛物线 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．6. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系 中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离． 7.已知二次函数 的顶点坐标为 ，且过点 ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 在这个函数图像上吗？ （3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？ 题型3：抛物线平移规律的应用 8.将抛物线 沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B， 顶点为 C．如果 是等腰直角三角形，求顶点C的坐标．1 y  x2 y a(xh)2 k 2 9.已知 是由抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 得到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； 1 y  x2 y a(xh)2 k 2 (2)在同一坐标系中，画出 与 的图象； y a(xh)2 k (3)观察 的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减 小，并求出函数的最值； y a(xh)2 k (4)观察 的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? y a(xh)2 k 10.把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 1 y  (x1)2 1 2 的图象． （1）试确定a、h、k的值； y a(xh)2 k （2）指出二次函数 的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 题型4：抛物线增减性的应用 11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）当 时，两个函数 和 的函数值都随着 的增大而减小，则 的最大值是___________． 12.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 13.已知：二次函数y=x2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y＜0． 14.根据下列条件求a的取值范围： (1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a-2)x2有最大值； 1 y  x2 2 (3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线 的形状相同； y axa2a (4)函数 的图象是开口向上的抛物线． 15.二次函数y =a（x﹣2）2的图象与直线y 交于A（0，﹣1），B（2，0）两点． 1 2 （1）确定二次函数与直线AB的解析式． （2）如图，分别确定当y ＜y ，y =y ，y ＞y 时，自变量x的取值范围． 1 2 1 2 1 2y  3(x1)2 16. 如图所示，抛物线 1 的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于 另一点B． y kxb (1)求直线AC的解析式 2 ； (2)求△ABC的面积； y  y (3)当自变量x满足什么条件时，有 1 2? 题型5：利用二次函数的图象和性质解决实际问题 17.小张准备进行如下实验操作：把一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成 一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm2则这两个正方形的边长是多少？（2）小张认为，这两个正方形的面积之和不可能等于11cm2你认为他的说法正确吗？请说明理由． 18．（2021秋·黑龙江大兴安岭地·九年级校考期中）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品， 按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种 纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大 利润是多少元． 题型6：二次函数中的新定义问题 19．（2022秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）将平面直角坐标系 中的一些点 分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点 ，称 与 中的最大值为点 和点 的“联络量”，记作 ．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点 的横、纵坐标都是整数． (1)①点 中，与点 的“联络量”是2的有 ； ②点 在平面上运动，已知将点 分在同一类时“代表量”是5，则动点 所在区域的面积为 ； (2)对于平面上的任意一点 ，将点 分为两类，试说明：无论如何分类，“类筹”总不小于2； (3)已知二次函数 上的任一点 均满足将点 分为两类的最小“类筹”大于4， 直接写出 的取值范围． 20．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点 叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点 是一次函数 图像的“1阶方点”．(1)在① ，② ，③ 三点中，是反比例函数 图像的“2阶方点”的有________ （填序号）； (2)如图，已知抛物线 交y轴于点C，一次函数 的图像交抛物线第二象限于点 P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求 的面积的最大值； ②若一次函数 图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线 的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围． 【方法三】差异对比法 易错点1：利用二次函数的顶点式确定抛物线的顶点、对称轴时，易弄错符号 21.抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下、对称轴为直线x = 、顶点坐标为（2，9） B．开口向下、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（2，9） C．开口向上、对称轴为直线x = 、顶点坐标为（ ， ）D．开口向上、对称轴为直线x = 2、顶点坐标为（ ， ） 易错点2：平移函数图像时，易出现平移方向错误 22.抛物线 是由抛物线 向上平移3个单位，再向 左平移2个单位得到的， 则b =________，c = ________． 【方法四】 仿真实战法 考法1：抛物线的平移 23．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向 下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4 24．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4 考法2：二次函数的图象及特征 25．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 27．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，若x +x 1 1 2 2 1 2 ＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 28．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的 值为（ ） A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023秋·河南信阳·九年级校联考期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）A． B． C． D． 2．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知某二次函数，当 时， 随 的增大而减小 当 时， 随 的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 3．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）关于抛物线 的特征，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而增大 4．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）抛物线 上有三点，分别是 ； ； 那这三点中纵坐标的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）已知二次函数 ，那么该二次函数图象的对 称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）对于 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与 轴有两个交点 7．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）若点 是二次函数 图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）关于二次函数 ．下列说法错误的是（ ）A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧 C． 时， 的值随 值的增大而增大 D．当 时，函数有最小值为5 9．（2022春·九年级课时练习）抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y )，(0，y )， ( ，y )三点，则 大小关系 1 2 3 是( ) A． B． C． D． 10．（2022春·九年级课时练习）如图，在正方形 中， ，点P从点A出发沿路径 向终点C运动，连接 ，作 的垂直平分线 与正方形 的边交于M，N两点，设点P的运动路 程为x， 的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数 ，当 时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 12．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）二次函数 的图象上有两点 ， ，则 与 的大小关系是 (用“ ”或“ ”)． 13．（2022年广东省湛江市岭南师范学院附属中学、湛江市东方实验学校中考二模数学试题）抛物线 的顶点坐标是 ． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）函数 最小值是 ． 15．（2019秋·北京西城·九年级北京市第十三中学分校校考期中）设二次函数y、y 的图象的顶点分别为 1 2 、 ，当 ， ，则称y 是y 的“倍顶二次函数”. 请写出一个跟抛物线 2 1 开口方向相反的“倍顶二次函数”： . 16．（2022秋·山东泰安·九年级校考期中）如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论：①无论 取何值， 的值 2 总是正数；② ；③当 时， ；④ ．其中正确结论是 ．17．（2022春·九年级课时练习）已知二次函数 ，当 时有最小值10，则m的值为 ． 18．（2021·安徽黄山·统考二模）平面坐标系中有线段 ，已知 、 ，若抛物线 与线段 有交点，则 的取值范围是 ． 三、解答题 19．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图是二次函数 的图象的一部分，根据 图象回答下列问题： （1） 的解是 ； （2）确定 的值； （3）设抛物线的顶点是P，与 轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积．20．（2022·广东深圳·统考一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现： 遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销 售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个． (1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利 润是多少元？ 21．（2020秋·北京延庆·九年级期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线与x轴的交点坐标． 22．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知抛物线 （a，h，是常数，a≠0），与y轴交 于点C，点M为抛物线顶点． (1)若 ，点C的坐标为 ，求h的值；(2)若 ，当 时，对应函数值y的最小值是 ，求此时抛物线的解析式； (3)直线 经过点M，且与抛物线交于另一点D．当 轴时，求抛物线的解析式． 23．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）设二次函数 ， 的图像的顶点坐标分别为 ， ． 若 ， ，且开口方向相同，则称 是 的“反倍顶二次函数”． (1)请写出二次函数 的“反倍顶二次函数”； (2)已知关于 的二次函数 和二次函数 ．若函数 恰是 的“反倍顶二次函数”， 求 的值． 24．（2021秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，二次函数 的图象与x轴相交于 A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段 上一点（不与点O，C重合），以 为边向上作正方形 ，连接 ，设点D的横坐标为m．（1）当 时， ______， 当 时， _______， 当 时， ________； （2）根据（1）中的结果，猜想 的大小，并证明你的猜想； （3）当 时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四 边形时，请直接写出m与n满足的关系式． 25．（2020秋·江西南昌·九年级校考期中）已知抛物线 ，（n为正整数，且 ）的顶点坐标为 ，与x轴的交点为 和 ， ，当 时，第 1条抛物线 与x轴的交点为 和 ，其他依此类推． （1）求 的值及抛物线 的解析式． （2）抛物线 的顶点 坐标为__________；依此类推，第n条抛物线 的顶点 坐标为__________；所 有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是__________； （3）探究：①是否存在抛物线 ，使得 ，为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在， 请说明理由．