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期末重难点真题特训之易错必刷题型（人教版九上）（65题13个考点）
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、反比例函数
1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：① ，② ，③ ，④ ，
⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ．其中 是 的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例的三种形式分别为： ， ， ．
①中 的次数是 ，是一次函数，不是反比例函数；
②，③是反比例函数；
④中分母是 ，故不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中没有 ，故不是反比例函数；
⑦分母是 ，故不是反比例函数；
⑧中 的次数是 ，是一次函数，不是反比例函数．
故有三个是反比例函数．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 在双曲线 上，动点P在y轴正
半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为(
)A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先把 代入反比例函数 求出 的值，分别过 、 两点作 轴的垂线 ， ，
由旋转的性质证明 ，再设 ，即可得出 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的
积即相等，列方程求 的值，确定 点坐标．
【详解】解：分别过 、 两点作 轴， 轴，垂足为 、 ，
是双曲线 上一点，
，
反比例函数的解析式为 ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，，
，
， ，
设 ，
,
,
，
点 在双曲线上，
，解得 或 ，
或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例
函数图象的性质是解答此题的关键．
3．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足 ，当 时，y的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】由 可得出 ，结合 的取值范围，即可求出 的取值范围．
【详解】解： ，
，
．
又 ，
．
故答案为： ．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记 是解
题的关键．
4．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴
的平行线 ．已知点A坐标为 ，结合函数图象可知，当 时， 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围．
【详解】 时，对应函数图象在直线l左侧，两部分， 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．
5．（2022上·江西南昌·九年级南昌二中校考期末）已知函数 ，其中 与 成正比例， 与
成反比例，且当 时， ；当 时， ．求 关于 的函数解析式．
【答案】
【分析】首先设 ， ，进而可得 ，再把当 时， ；当 时，
代入可得 ，解方程可得 、 的值，进而可得函数解析式．
【详解】解：∵ 与 成正比例， 与 成反比例，∴设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析
式的形式．
易错必刷题二、反比例函数的图象与性质
1．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、
两点，其中 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数和一次函数图象都是关于原点对称，
由 可求点B坐标，根据图象可求解．【详解】解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、B两点，其中 ，
∴点B坐标为
∴由图可知，当 或 ，正比例函数 图象在反比例函数 的图象的上方，
即不等式 的解集为 或 ，
故选：D．
2．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知 ， ．以线段 为
边，在第一象限内作正方形 ，点C落在函数 的图象上，将正方形 沿x轴负方向
平移a个单位长度，使点D恰好落在函数 的图象上的点 处，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和 点的坐
标，即可确定出a的值．
【详解】解：如图，过点C作 轴，交x轴于点E，过A作 轴，过点D作 于点F，， ，
， ，
四边形 为正方形，
， ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
把C坐标代入反比例函数解析式得： ，
反比例函数解析式为 ，
同理可证
，
，
把 代入反比例函数解析式，解得： ，即 ，
则将正方形 沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数 的图象上的点 处，
，
故选：C．
【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的
性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键．
3．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，已知点A，B在双曲线 上， 轴于点C，轴于点D， 与 交于点P，P是 的中点，若 的面积为6，则 ．
【答案】24
【分析】主要考查了反比例函数 中 的几何意义，由 的面积为6，知 ．根据反比例
函数 中 的几何意义，知本题 ，由反比例函数的性质，结合已知条件 是 的中
点，得出 ， ， ，是解决问题的关键．
【详解】解：∵点 、 都在双曲线 上，
∴设 ， 则 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，即： ，
∴ 点的纵坐标是 点纵坐标的2倍，则 ，
又∵点 、 都在双曲线 上，
则 ，
∴ 点的横坐标是 点横坐标的2倍，
∴ ，
∴ ．
故答案为：24．
4．（2023上·吉林白山·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线交于 两点，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据A点坐标得到反比例函数解析式，再由解析
式得到点B的坐标，由A、B两点坐标和图象位置可写出不等式的解集．
【详解】解：∵ 在双曲线 图象上，
，
，
反比例函数解析式为： ，
∵ ）在双曲线 图象上，
，
．
不等式 的解集为直线 的图象在双曲线 的图象上方时，x的取值范围，
由图象可知：不等式的解集为： 或 ．
故答案为： 或 ．
5．（2021上·河北石家庄·九年级校考期中）如图,点 和点 是反比例函数 图像上的两点,
点 在反比例函数 的图像上,分别过点 作 轴的垂线,垂足分别为点 , ,连接
交 轴于点 ．(1) ______;
(2)设点 的横坐标为 ,点 的纵坐标为 ,求证: ;
(3)连接 ,当 时,求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将 代入 中得 的值;
（2）利用全等三角形的判定及性质即可得到本题答案;
（3）利用勾股定理列出线段相等等式,求出 的值,继而得到本题答案．
【详解】（1）解:∵ 是反比例函数 图像上的点,
∴将 代入 中得: ,
故答案为: ．
（2）解:∵点 的横坐标为 , ,
∴点 ,
∵ 轴, 轴, ,
∴点 ,在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,即 ,
∴ ;
（3）解:如图,连接 , ,
∵由（2）知 ,当 时, ,
∵点 ,点 ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,解得： （舍）, ,
∴ ,
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查反比例函数图像和性质,全等三角形的判定与性质及直角三角形斜边的中线性质，熟练掌
握相关知识是解题关键．易错必刷题三、实际问题与反比例函数
1．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、
丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x
的情况，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论．
【详解】解：根据题意得： 的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的 的值最大，即优秀人数最多，即优秀人数最少，
故选：C．
2．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电
阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点
．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． 与 的函数关系式是C．当 时， 的取值范围是
D．当 时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的
性质逐项分析即可得到结论．由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，
∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴I与R的函数关系式是 ，故选项B不符合题意；
当 时， ，当 时， ，
∵反比例函数 I随R的增大而减小，
当 时， ，当 时， ，故选项A，D不符合题意；
∵ 时， ，当 时， ，
∴当 时，I的取值范围是 ，故C符合题意．
故选：C．
3．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内
每立方米空气中的含药量 与时间 之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段， 与 成
正比例，燃烧完后 与 成反比例．现测得药物 燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量 ，当
每立方米空气中含药量低于 时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过 后教室内的空
气才能达到安全要求．【答案】
【分析】设药物燃烧后 与 之间的解析式为 ，把点 代入即可，把 代入反比例函数解析
式，求出相应的 ，此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利
用待定系数法求出它们的关系式．
【详解】解：设药物燃烧后 与 之间的解析式为 ，
把点 代入 得 ，
解得： ，
∴ 关于 的函数关系式为： ，
当 时，由 得： ，
所以 分钟后教室内的空气才能达到安全要求，
故答案为： ．
4．（2023上·河北石家庄·九年级统考阶段练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和
2，每个台阶凸出的角的顶点记作 （ 为 的整数）.函数 的图象为曲线 .
（1）若 过点 ，则它必定还过另一点 ，则 ；
（2）若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 的整数值有 个.
【答案】 5 7
【分析】本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数的应用．
（1）将点 的坐标代入解析式可求k的值，将点 代入，可求解；
（3）由曲线L使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得 与 在曲线L的两侧，即可求解．
【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴ ，
∵L过点 ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ，
当 时， ，
∴ 在反比例函数图象上，
∴ ，
故答案为：5；
（2）若曲线L过点 ， 时， ，
若曲线L过点 ， 时， ，
若曲线L过点 ， 时， ，
若曲线L过点 时， ，
∵曲线L使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴ ，
∴整数 共7个，
故答案为：7．
5．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）某蔬菜生产基地在冬天气温较低时，用装有恒温系统的大
棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函
数关系，其中线段 ， 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．请根据
图中信息解答下列问题：(1)当 时，求 与 的关系式；
(2)解释线段 的实际意义；
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是：
，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【答案】(1) ；
(2)线段 表示恒温系统设定恒温为 ；
(3) 小时．
【分析】（ ）利用待定系数法求函数解析式即可；
（ ）根据函数图象结合题意回答即可；
（ ）把 代入 和 中，即可求得结论．
本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据
图象求出一次函数、反比例函数解析式．
【详解】（1）当 时为双曲线的一部分，设 与 的关系式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 与 的关系式为 ；
（2）线段 表示恒温系统设定恒温为 ；
（3）设 段的解析式为 ，由图象可知过点 ， ，∴ ，
解得： ，
∴ 段的解析式为 ，
∴当 时，代入 得 ；
代入 得 ，
∴最适合生长的时间有 （小时）．
易错必刷题四、图形的相似
1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形 对折，折痕为 ，如果矩形 和矩
形 相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形 的长 ，宽 ，根据相
似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形 的长 ，宽 ，
则 ，
矩形 与矩形 相似，
，即 ，即 ．
．
故选：A．
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考阶段练习）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者
和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取
中点E，以E为圆心，线段 为半径作圆，其与底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸
为矩形 ，称其为黄金矩形．若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握 ，计算即可．
【详解】解：设 ，
四边形 是正方形，
，
矩形 是黄金矩形，
，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
，故选：D．
3．（2023上·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图， ，直线 ， 交于点 ，且分别与直线 ，
， 交于点 、 、 和点 、 、 ，已知 ， ， ， ，则 的长度是
．
【答案】 / /
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∴ 的长度是 ．
故答案为： ．
4．（2023上·广西北海·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，以点B为圆心，
适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧交于点 ，射线 交 于点 ，则线段 的长度是 ．【答案】 /
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得 ，再利用角平分线的定义可
得 ，从而可得 ，进而可得 ，然后利用三角形的外角性质可
得 ，从而可得 ，进而可得 ，最后利用黄金分割的定义进行计算，
即可解答．
【详解】解： ， ，
，
由题意得： 平分 ，
，
，
，
是 的一个外角，
，
，
，
，
顶角是 的等腰三角形是黄金三角形，
是黄金三角形，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图 复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握
等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023上·湖北孝感·九年级校考阶段练习）如图所示，在正方形 中， ， 分别为 ， 的
中点， 和 相交于点 ，连接 ， ．
(1)如图1，试猜想 与 的关系为________；
(2)求证： ；
(3)设 ， ，试猜想 与 之间的函数关系，并根据你的猜想求出这个函数的关系式（不
要求写自变量的取值范围）．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得出结论；
（2）令 中点为M，连接 ，交 于点N，和（1）同理可得： ，即可推出 ，
根据平行线分线段成比例，即可得出 ，则点N为 中点，根据“三线合一”即可求证；
（3）过点C作 的垂线，交 延长线于点G，通过证明 ，得出 ，
根据勾股定理可得： ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ， ．
（2）解：令 中点为M，连接 ，交 于点N，
和（1）同理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点N为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：过点C作 的垂线，交 延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∵ ， 分别为 ， 的中点， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ， ，
∴ ，整理得： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题．
易错必刷题五、相似三角形的判定
1．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）如图，在正方形 中， 为 中点， ，连接
，那么下列结论中： 与 相似； 与 相似； 与
相似： 与 相似； ；其中错误的有（ ）个．A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似
三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为 ，则 ，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为直角三角形， ，故 正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ 和 不相似，故 错误；
④正确；
∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，
故选：B．
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）如图，在 中，点P为 上一点，连接 ．再添加一个
条件使 与 相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．
利用相似三角形的判定可求解．
【详解】A．当 ，可得 ，故该选项不符合题意；
B．当 ，可得 ，故该选项不符合题意；
C．当 ，可得 ，故该选项不符合题意；
D．当 ，无法证明 ，故该选项符合题意．
故选：D．
3．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）如图，在正方形 中，E是边 的中点，要依据“两边成
比例且夹角相等”判定 ，还需添加的一个条件是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性质。
由于 与 都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相
等，则当 时能得到 ，即可得到 ．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 与 都是直角三角形，∴当 时能得到 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
故答案为：
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图所示，能判定 的有 ．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角 ，①②可根据有两组角对应相
等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，
④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似，
熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得： ，
，
，
①∵ ，
∴ ，
∴ ，
故①能判定 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②能判定 ；
③∵ ，∴ ，
即两组对应边的比相等且相应的夹角相等，
∴ ，
故③能判定 ；
④ ，
对应边成比例但无法得到其夹角相等，
故④不能判定 ；
故答案为：①②③．
5．（2023上·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）已知E是边长为7的正方形 对角线 上一点，
过点E的直线 平行于 ，交 于M，交 于N， 于E，交 于F，当 时
(1)求证： ．
(2)求证： ．
(3)求 的长．
(4)求 的值
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)
(4)
【分析】（1）利用正方形的性质得 得内错角相等，即可证相似；
（2）根据正方形的性质对角线平分一组对角可得 ，然后求出 是等腰直角三角
形，再求出 ， 然后求出 ，然后根据同角的余角相等求出
，再利用“角边角”证明 和 全等， , 即可证明相似；
（3）根据全等三角形对应边相等可得 ，然后求出 ，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（4）利用前面的结论即可得解．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
,
,
,
．
（2）证明： 是正方形 的对角线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
,
,
,
,
．（3）
证明： ，
，
，
在 中， ；
（4）解： ,
.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，
相似三角形的判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键．
易错必刷题六、相似三角形的性质
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，点
是 的重心，则 等于( )
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了重心的定义，中位线的性质，勾股定理；延长 交 于点 ，在 的延长线上取
一点 ，使 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，先证四边形 为平行四边形，再证
为 的中位线，从而得 ，进而得 ，然后在 中由勾股定理求出
，再根据直角三角形斜边中线的性质求出 即可得到 的长．
【详解】解：延长 交 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使 ，连接 ， ，延长交 于点 ，
点 为 的重心，
， 为 的中线，
， ，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
即 ，
，
为 的中位线，
点 为 的中点，
，
，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得：
为 斜边 上的中线，
∴
故选：C．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的边 与x轴的正半轴重合， 轴，对角线 ， 交于点M．已知 ， 的面积为6．
若反比例函数 的图像恰好经过点M，则k的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点M作 轴于点N，则 ，根据 ，
得到 ， ，结合 ，得 ，
根据 ，得 ，得 ，结合 的面积为6．得到 ，根据k的几何
意义，得到 ，结合k是正数，计算即可．
【详解】过点M作 轴于点N，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为6．
∴ ，
∴ ，
∵ k是正数，
∴ ，
故选B．
3．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图所示，在 中， ， ， 是 的中点，
过 点的直线交 于点 ，若以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形相似，则
的长为 ．
【答案】 为
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；
根据点 在 上，以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形相似可知
或 ，分别利用相似三角形的性质列式求出 即可．
【详解】解：∵ ， ， 是 的中点，∴ ，
∵点 在 上，以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形相似，
∴有 或 ，
当 时，
可得 ，即 ，
∴ ，
当 时，
可得 ，即 ，
∴ ，
综上， 的长为 为 ，
故答案为： 为 ．
4．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是由20个边长为1的正方形组成的 的网格．
的三个顶点都在正方形的顶点上，若 的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且 ，
记 ，则k的所有可能值为 ．
【答案】1或
【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，根据题意，进行分情况分析是解
题关键．
【详解】解：如图所示：当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：1或 ．
5．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）如图，在 中，点D，E分别在边 上， 与 相
交于点O，且 ， ．(1)求证：① ；② ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①利用相似三角形的判定与性质解答即可；
②利用①的结论，三角形的外角和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）过点A作 于点F，交 于点G，连接 ，利用等腰三角形的三线合一的性质和垂直平分
线的性质得到 ；再利用等腰三角形的性质和平行线的判定定理得到 ；利用相似三角形的
判定与性质得出比例式分别得到 与 的长，则 ．
【详解】（1）①证明： ，
∴ ，
，
，
；
②证明： ，
．
，
由①知： ，
，
；
（2）解：过点A作 于点F，交 于点G，如图，，
，
即 为 的垂直平分线，
，
，
由（1）②知： ，
，
，
，
∴ ．
，
∴ ，
∴ ，
．
∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，
，
∴ ．
，
，
∴ ，
∴ ，．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，比例的性
质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
易错必刷题七、相似三角形应用举例
1．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕
底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若 ， ，
水面 离桌面的高度为 ，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线 ，垂足
为点M，交 于点N；过点B作桌面的垂线 ，垂足为点P；根据题意易得 ，通过证
明 ，求出 ，再根据勾股定理求出 ，最后根据 ，
即可求解．
【详解】解：过点C作桌面的垂线 ，垂足为点M，交 于点N；过点B作桌面的垂线 ，垂足为点
P，
∵水面 离桌面的高度为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
即此时点C离桌面的高度为 ．
故选：C．
2．（2023上·宁夏中卫·九年级校考阶段练习）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面
的距离为1.6米，且满足 ，若盲区 的长度是6米，则车宽 的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】解∶如图，过点P作 于点Q，交 于点M，
设 米，
∵ ，
∴ 米，
根据题意得：四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 米，
即车宽 的长度为 米．
故选：B．
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发
出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，
桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图， 米、
（米）、 米、 ，可得 ，即 ，然后将相关数据代
入即可解答．
【详解】解：构造几何模型如图：
依题意知： 米， （米）， 米，
∵ ,
∴∴ ，即 ，解得： ，
故：灯泡距离桌面3米．
故答案为：3．
4．（2023上·河北廊坊·九年级校联考阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，
然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇
的眼睛离地面的高度 ，淇淇与镜子的水平距离 ，镜子与旗杆的水平距离 ．
（1） 与 是否似？ （填“是”或“否”）；
（2）旗杆高度 为 ．
【答案】 是 8
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性
质.
（1）根据镜面反射性质，可求出 ，再利用垂直证 ；
（2）根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图所示，作 ，
由图可知， ， ，
.
根据镜面的反射性质，
∴ ，
∴ ，
，，
故答案为：是；
（2） ，
.
， ， ，
.
.
故答案为：8.
5．（2022上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）咸阳统一广场的秦始皇雕塑，面对渭河，威
风凛凛、气势恢宏！小军及其小组成员想利用所学知识测量该雕塑（如图1）的高度，测量方法如下：如
图2，在阳光下，小军在直线 上的点C处平放一平面镜，镜子不动，他来回走动，走到点D时，恰好
在镜子中看到雕塑顶端A的像，这时，测得小军眼睛与地面的高度 为 米， 米；然后，在阳
光下，小军从D点沿 方向走了 米到达F处，此时该雕塑的影子顶端与小军的影子顶端恰好在点H
重合，测得小军的身高 为 米，影长 为 米．已知 ， ， ，请你根
据题中提供的相关信息，求该雕塑 的高度．（平面镜大小忽略不计）
【答案】该雕塑 的高度是14米
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键；
首先得出 ，则 ，进而得出 ，则 ，即可得出答案；
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
答：该雕塑 的高度是14米．
易错必刷题八、位似
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为 ，
， ， 轴，现以坐标原点O为位似中心，作 的位似图形 ，点A与点 对
应，点C的对应点 纵坐标为 ，则下列点的坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，求得位似比为 ，再结合位似图形即可求解．
【详解】解：∵作 的位似图形 ，点 的对应点 纵坐标为 ，
∴位似比为 ，
由题意得点 的坐标为 ，
∵点A的坐标为 ，
∴点A的对应点 的坐标为 ，即 ，
点 的对应点 的坐标为 ，即 ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，四边形 与四边形 是位似图形，点O是位似中心．
若 ，四边形 的周长是25，则四边形 的周长是（ ）
A．4 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到 ，四边形 与四边
形 相似，再利用比例的性质得 ，然后根据相似多边形的性质求解．
【详解】解： 四边形 与四边形 是位似图形，点 是位似中心，，四边形 与四边形 相似，
，
，
，
四边形 的周长：四边形 的周长 ，
四边形 的周长 ．
故选：B．
3．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如
图所示的平面直角坐标系中，格点 、 成位似关系，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】主要考查位似图形的性质．
根据题意确定直线 的解析式为： ，由位似图形的性质得出 所在直线与 所在直线x轴的交
点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得： ，
设直线 的解析式为： ，将点代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当 时， ，∴位似中心的坐标为 ，
故答案为： ．
4．（2023上·四川成都·九年级四川师范大学实验外国语学校校考期中）如图， 中， ， 两个顶点
在 轴的上方，点 的坐标是 ，以点 为位似中心，在 轴的下方作 的位似图形 ，并
把 的边长放大到原来的2倍．设点 的对应点 的横坐标是2，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形是相似形和相似三角形
的性质是解题的关键．过B和 向x轴引垂线，构造相似比为 的相似三角形，那么利用相似比和所给
的横坐标即可求得点B的横坐标．
【详解】如图，过点B， 分别作 轴于D， 轴于E，
∴ ．
∵ 的位似图形是 ，
∴点B， C， 在一条直线上，
∴ ，
∴ ，
，又 ，
．
又∵点 的横坐标是2，点C的坐标是 ，
∴ ，
，
，
∴点B的横坐标为： ．
故答案为 ．
5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个 ，使它与 位似，且相似比为 ；
(2)请写出点A的对应点 的坐标__________；
(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 或【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质，
（1）根据位似比，结合位置要求画图形即可．
（2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为 或 ，计算即可．
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，似比为 ， ，
故位似点的坐标为 ，画图如下：
，
则 即为所求．
（2）解：根据(1)得 ，
故答案为： ．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵ ，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴ 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴ 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，故坐标为 ；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴ 向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴ 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且 ，
故坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
易错必刷题九、锐角三角函数
1．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）在 中， 是 的中线，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的定义、正切的定义，由含
角的直角三角形的性质及勾股定理可得 ， ，由中线的定义可得 ，最
后根据正切的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： 在 中， ，
，
，，
是 的中线，
，
，
故选：B．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在 中，弦 的长为 ，点 在 延长线上，且
， ，则 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点；延长 ，交 于点 ，连接 ，
先根据圆周角定理可得 ，再解直角三角形可得 ，得出半径为 ；过点 作 于
点 ，先解直角三角形可得 ，从而可得 ，再利用勾股定理可得 ，然后根据正切的定
义即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交 于点 ，连接 ，
由圆周角定理得： ，弦 的长为8，且 ，
，
解得 ，
的半径为 ．
过点 作 于点 ，
的半径为5，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
， ，
则 的正切值为 ．
故选：B．
3．（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）在 中， ， ，点D是
边上一点， ， ，则 ．【答案】6或
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作 于E，
根据 ，可得出 ，设 ，则 ，在 中，由勾
股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出 ，然后证 和 相似，最后利用相似三
角形的性质可求出 的长．
【详解】解：过点D作 于E，如图所示：
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，
由勾股定理得： ，
，
，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ，
解得： ，或 ，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
，
当 时， ，
同理： ，即 ，
．
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
4．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在四边形 中，
， ，连接 ，当 是以 为腰的等腰三
角形时，则 的值为 ．
【答案】 或 / 或
【分析】分 和 两种情况进行解答；①当 时，如图1：过点B作 于H，过
点C作 ，在 上截取 ，连接 ，先证 可得
，进而证 和 全等，即 ，然后在 中，利用勾
股定理求出 即可；②当 时，如图2：过点D作 于N，过点C作 ，在 上
截取 ，连接 ，先证 可得 ，进而证 可得，则 ，然后在 中利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：∵ 是以 为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当 时，如图1：过点B作 于H，过点C作 ，在 上截取 ，连
接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ,
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理得： ；即
②当 时，如图2：过点D作 于N，过点C作 ，在 上截取 ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
综上所述： 的长为 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，
正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．
5．（2023上·安徽亳州·九年级校联考期末）如图， 是正方形 的对角线， 平分 交
于 ，点 在 上，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点G，F．(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由 ， 平分 ， ，得再结合正方形的性质可证 ，
得 ，再证 ，得 ，进而即可证明结论；
（2）设正方形 的边长为 ，则 ， ，得 ，结合正方形的性质
可证 ，得 ，再由等腰三角形的性质得 ，
进而即可求解；
（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得 ，设正方形 的边长为 ，由（2）
得 ，得 ，则 ，在 中，可知 ，
进而即可求解．
【详解】（1）证明： ， 平分 ，
，，
正方形 ，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
∴ ，
；
（2）解：设正方形 的边长为 ，则 ，
，
，
正方形 ，
，则 ， ，
，
，
， 平分 ，
，
；
（3）解： ，
，
，
，，
，
，
设正方形 的边长为 ，由（2）得 ，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性
质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问
题的关键．
易错必刷题十、解直角三角形
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在 中， ， ，
为线段 延长线一点， 为线段 上一点，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，设
，则 可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，解直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，三角
形内外角关系，过点F作 ，证明 ，结合内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解：过点F作 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图， 是 的直径，点 、点 是 上任意
两点，连接 ，若点 是弧 的中点， ， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，三角函数，勾股定理，根据 ， 及勾股定理求出 ， ，
根据等积法求出 ，结合垂径定理得到 ，结合三角形面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：∵点 是弧 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图， ， 是 的切线，切点分别是点A和B，
是 的直径．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知
识点是解题的关键．
连接 ，由 是圆的直径，得到 ，由 ， 是 的切线，得到 ，推出 是
等边三角形，得到 ， ，因此 ，求出 的长，即可得到
的长．
【详解】解：连接 ，
是圆的直径，
，
， 是 的切线，切点分别是点 和 ，
， ，
，
∴ 是等边三角形，
， ，
，
，，
．
故答案为： ．
4．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点 是正方形 内一点，已知
，连接 ．
（1） ；
（2）若 ，则 的面积为 ．
【答案】 3 9
【分析】（1）求出 ．证明 ．即可得到 ．
（2）过点 作 于点 ．证明 ．则 ．设 ，进一步解得
，则 ．即可求出 的面积．
【详解】（1）在 中， ，由 ，设 ，
．
∵四边形 是正方形，
∴ ，又 ，
．
．
故答案为：3
（2）如图，过点 作 于点 ．
，
．
．
在 中，由 ，可设 ，
由勾股定理，得 ．
四边形 是正方形，
．
，即 ，解得 （负值舍去），则 ．
．
故答案为：9
【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，数形结
合是解题的关键．
5．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图1，在四边形 中， ，点 是
上一点且 ．图1 图2 图3
(1)求证： ；
(2)已知 ．
（ⅰ）如图2，若点 是 的中点，求 的值；
（ⅱ）如图3，延长 与 交于点 ，若 ，其他条件不变，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ） ；（ii）
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：勾股定理、解直角三角形：
（1）根据角的等量代换，得 ，可证 ，即可作答．
（2）（ⅰ）由相似三角形的性质，得 ，结合中点，进行边的等量代换，得
，即可作答．（ii）先由条件，得 ，设设 ，则
，结合相似三角形的性质，列式代入数值计算，再设
，则 ，根据勾股定理，列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明： ，
．
．
．
，
即 ．
（2）（ⅰ）解：由（1）知 ，
．又 点 是 的中点，
．
．
．
（ii）解： ，
．
设 ，则 ．
由（1）知 ，
．
．
．
又 ，
．
．
在 中．设 ，则 ，
．
．
易错必刷题十一、解直角三角形的应用
1．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）一艘货轮从小岛 正南方向的点 处向西航行 到达点 处，
然后沿北偏西 方向航行 到达点 处，此时观测到小岛 在北偏东 方向，则小岛 与出发点
之间的距离为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握相
关性质，熟悉锐角三角函数定义是解答本题的关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，得到四边形 是矩形， ，
，由直角三角形的性质得到 ，再根据锐角三角函数定义得到 ，
由此得到答案．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
由题意得：
，
，
，
，，
，
，
．
故选： ．
2．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以 海里 时的速度由西向
东航行在 处看见小岛 在船北偏东 的方向上． 后，渔船行驶到 处，此时小岛 在船北偏东
的方向上．己知以小岛 为中心， 海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东
航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面 个数据，错误的是
（ ）
A． 海里
B．
C． 海里
D．过点 向 的延长线引垂线，垂足为 ，求得 ，小明得出结论有触礁危险
【答案】D
【分析】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，先根据题意可得 ， ，
海里，根据等腰三角形的性质和 角所对直角边是斜边的一半逐项判断即可，掌握方位角的角度知识，
直角三角形 角所对直角边是斜边的一半和勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得： ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （海里），则选项 正确，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ （海里）
在 中，由勾股定理得： ，
∴没有有触礁危险，故 选项判断错误，符合题意，
故选： ．
3．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已
知小亮站着测量，眼睛与地面的距离 是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与
地面的距离 是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同
一直线上）．则旗杆EF的高度为 ．（结果保留整数参考数据： ， ）
【答案】 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作 于点M，过点C作 于点N．设米，分别表示出 的长度，然后在 中，求出 ，可得 ，从而可得结论．
【详解】解：过点A作 于点M，过点C作 于点N．设 米，
在 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
在 中，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 （米）；
∴ （米）．
所以，旗杆的高度约为9.8米．
故答案为： 米
4．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，
其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可
靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西
方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东 方向．则 的度数为 ；B、C两地的距离是 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，
， ，从而可得 ，然后利用平角定义可得 ，从而利用
三角形内角和定理进行计算，求出 的度数；先在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，
然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ， ， ，
，
，
，
，
的度数为 ；
在 中， 千米， ，（千米），
在 中， ，
（千米），
， 两地的距离为 千米．
故答案为： ，
5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其
侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（ ）、悬托架（ ）、伞面（ ）和感应器组成．支架公
垂直于地面 ，伞沿的支点 在 上滑动．悬托架支点 在 上．感应器根据太阳光线的角度自动调
整伞面与悬托架之间的角度（即 的大小）使得伞面 与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮
阳效果．已知 米， 米，且 ．
(1)某天下午15点时太阳光线与地面的夹角 ，此时伞沿支点 离地面多高？（结果精确到 米）
(2)如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点 ，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．
若当天 点时太阳光线与地面的夹角 ，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数
据： ， ）【答案】(1) 米
(2)不会，见解析
【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用问题，根据题意得到 ，结合三角函数求
解即可得到答案；
（2）本题考查解直角三角形的应用问题，过 作 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
过 作 交 于点 ，根据三角函数直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
，
，
，
，
∵ ，
，
答： 此时伞沿支点 离地面 米；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
过 作 交 于点 ，在 中， ， ，
，
， ， ，
，
∵ ，
，
在 中， ， ，
，
过 作 交 于点 ，
在 中， ， ，
，
，
过 作 交 于点 ，
在 中， ， ，
，
答：小明的头不会被太阳光照射到．
易错必刷题十二、投影
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）某一时刻，与地面垂直的长 的木杆在地面上的影长为 ．同一时刻，树 的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为 的斜坡上，如图所示．已知落在地面上
的影长 为 ．落在斜坡上的影长 为 ．根据以上条件，可求出树高 为（ ）．（结果精确到
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光
下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点
F，易得 ，根据长 的木杆在地面上的影长为 ，得出 ，则
，求出 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
故选：D．2．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有
3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹
竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线
段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三角
形即可求出结果．
【详解】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，
，
，
米，米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
3．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测
金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为 ．先
在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 长为 （直线 过
底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 ；
（2）小山包的高为 ．（ 取 ）
【答案】
【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为 的长进行求解．
根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到 ，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最
后推论出高．
【详解】连接 ，过 作 于 ，
由题意可知，
∴
∵圆锥底面周长为 ．
∴ ，解得 ，
∵ ,∴
∴小山包的高为 ．
故答案为： ， ．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，
测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一
级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2
米，则树高度为 米．
【答案】
【分析】求出台阶同等高度的大树的影子的长度，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出树的高度
一部分，再加上台阶的高度计算即可得出答案．
【详解】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，如图所示：
则其中 为树高， 为树影在第一级台阶上的影长， 为树影在地上部分的长， 的长为台阶高，
并且由光沿直线传播的性质可知 即为树影在地上的全长，延长 交 于 ，则 ，
∴ ，
∴ ，又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即树高为 米，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似
比，列出方程，通过解方程求解，加上 的长即可，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长.
5．（2023上·江西九江·九年级统考阶段练习）课本再现
（1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示．
①确定该路灯灯泡所在的位置；
②画出图中表示婷婷影长的线段．
数学思考
（2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 ， 两点的正中间，晚上，
婷婷由点 处径直走到点 处，她在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是
（ ）
A． B． C． D．
解决问题
（3）婷婷在点 处测得自己的影长 ，沿 方向到达点 处再测得自己的影长 ，如果
婷婷的身高为1.6m， ，求路灯杆 的高度．【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）C；（3）
【分析】本题考查的是中心投影的作图与性质，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的画图与相似三
角形的性质是解本题的关键；
（1）①根据中心投影的性质作图； ②根据中心投影的性质作图．
（2）根据中心投影的性质得到小明在路灯下行走时影长的变化即可解答．
（3）由 ，可得 ，可得 ，同理可得 ，则
，联立①②得： ；
【详解】解：（1）如图： ①点A即为路灯灯泡的位置；
② 即为婷婷的影长．
（2）小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
∴C选项满足题意，
故选：C．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①②得： ．
易错必刷题十三、三视图
1．（2023上·福建厦门·七年级厦门双十中学校考阶段练习）将20个棱长为 的小正方体摆放成如图的
形状，则这个图形的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的
面积为 即可得到答案．
【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有10个，从下面看露在外面的小正方体的面一共有
10个，从左面看，露在外面的小正方体的面一共有10个，从右面看，露在外面的小正方体的面一共有10
个，从正面看，露在外面的小正方体的面一共有10个，从后面看，露在外面的小正方体的面一共有10个，
∴该几何体露在外面的面一共有60个，
∵小立方体的棱长为 ，
∴这个几何体的表面积为 ，
故选：B．
2．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）某社区的志愿者收到一批防疫物资，这批防疫
物资用同样的正方体箱子包装，摆放的位置从上面和正面看到的都是如图所示，这批防疫物资最多有（
）箱．A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据简单组合体的三视图的意义在主视图和俯视图上相应标出摆放的小立方体的个数即可求解．
【详解】解：最多的分布如下：
所以 (个)；
故选：D.
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，能根据三视图判断相应位置的数目是解题的关键．
3．（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为
．
【答案】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．先判断这个几何体的形状，
再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体为底面是斜边高为 的等腰直角三角形，高为 的三棱柱，
所以底面是斜边长为 ，直角边是 ，
所以其表面积为 ，
故答案为： ．4．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该
几何体的体积 ．
【答案】60
【分析】本题考查几何体的三视图，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．根据三视图，得出这
个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，
几何体的体积是60．
故答案为：60．
5．（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体，小立方块棱长均
为1．
(1)请在方格中分别画出从上面、左面看到该几何体的形状图；
(2)用小立方块搭一几何体，使得从上面、左面看到该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则这样的几
何体最少要______个小立方块，最多要______个小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)5；7
【分析】考查了作图 三视图以及其应用，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由左视图得到其
余层数里最多的立方块个数．
（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往
右2列正方形的个数依次为2，1；依此画出图形即可；
（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最多个数相加即可．
解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状．
【详解】（1）解：图如下：
（2）搭这样的一个几何体最少需要 个小立方块，搭这样的一个几何体最多需要 个小立方块．
故答案为：5；7．
