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高 2024 级高一下第一次月考数学试题
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
2
解：化简可得z=
1−i
2(1+i)
= =1+i，
(1−i)(1+i)
的共轭复数− ，
∴z
z=1−i
故选：B．
2.【答案】C
【解答】
解：当 n=1 时， ⃗a=(1,2) ，⃗
b=(−1,−2)
，
此时−2−(−2)=0，故⃗a//⃗b，故充分性成立，
当⃗a//⃗b时，满足n(2n−4)+2=0，解得n=1，
故此时必要性成立，
故“n=1”是“⃗a//⃗b”的充要条件 ．
故选C．
3.【答案】A
【解答】
解：由点 ， ， ，得 ⃗ ， ⃗ ，
A(1,0) B(0,2) C(3,2) AB=(−1,2) AC=(2,2)
所以⃗AB在⃗AC方向上的投影向量为
⃗ ⃗ ⃗
AB⋅AC AC −2+4 (2,2) 1
⋅ = · = (2,2)
⃗ ⃗ √22+22 √22+22 4
|AC| |AC|
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1 11 1
=( , )．
2 2
故选A．
4.【答案】D
5.【答案】C
【解答】
解：由题意得sin2A+sin2C=sinCsin A+1−cos2B，
即sin2A+sin2C=sinCsin A+sin2B，由正弦定理得a2+c2=ac+b2，
a2+c2−b2 ac 1
即a2+c2−b2=ac，则cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π
又因为B∈(0,π)，所以B= ，
3
| ⃗ ⃗ |
AB AC
又 + =√3，
| ⃗ | | ⃗ |
AB AC
2
| A ⃗ B A ⃗ C | ( A ⃗ B ) 2 A ⃗ B A ⃗ C ( A ⃗ C ) 2 ⟨ ⃗ ⃗ ⟩
所以 + =3= +2 ⋅ + =2+2cos AB,AC ，
| ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | | ⃗ |
AB AC AB AB AC AC
故cos ⟨ A ⃗ B,A ⃗ C ⟩ = 1 ，因为 ⟨ ⃗ ⃗ ⟩ ，所以A= π ．
2
AB,AC ∈(0,π)
3
所以三角形▵ABC为等边三角形．
故选：C．
6.【答案】B
【解答】
解：∵A，B，C∈(0,π)，
∴A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，
可得cos(A−B)∈(−1,1]，cos(B−C)∈(−1,1]，cos(C−A)∈(−1,1]，
若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，
则cos(A−B)=1，cos(B−C)=1，cos(C−A)=1，
可得A−B=0，B−C=0，C−A=0，
所以A=B=C，
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2 1所以△ABC是等边三角形．
建立如图所示的平面直角坐标系，
∵AB=2，
∴B(2,0)，C(1,√3)．
由题意设P(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π)，
⃗ ⃗
则PB=(2−cosθ,−sinθ) ，PC=(1−cosθ,√3−sinθ) ，
⃗ ⃗ π
∴PB⋅PC=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ− )．
6
π
因为cos( −θ)∈[−1,1]，
6
π
所以3−2√3cos(θ− )∈[3−2√3,3+2√3]．
6
故选：B．
7.【答案】D
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
【解析】解：设 AD=2AM ，则AD=λAB+(1−λ)AC，
易知B，C，D三点共线，
2 √2
又 A ⃗ B⋅A ⃗ C=|A ⃗ B||A ⃗ C|cosA=bccosA=2 ，则cosA=
bc
=
2
，
又A为△ABC的内角，则A=45°，
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3 11 1
则S = |AB||AC|sinA= bcsin45°=1，
△ABC 2 2
1 1
又M为AD的中点，则S = ，则S +S = ，
△MBC 2 △ABM △ACM 2
所以
1 1 1 1 S S √S S
+ =2(S +S )( + )=2(2+ △MAB + △MAC )≥2(2+2 △MAB ⋅ △MAC )=8
S S △ABM △ACM S S S S S S
△MAB △MAC △MAB △MAC △MAC △MAB △MAC MAB
当且仅当S =S 时，等号成立，
△MAB △MAC
1 1
所以 + 的最小值是8．
S S
△MAB △MAC
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得∠A+∠C=180°，则cosA=−cosC，
因为AB=2，BC=6，AD=CD=4
AB2+AD2−BD2 20−BD2
在△ABD中，cosA= = ，
2AB⋅AD 16
BC2+CD2−BD2 52−BD2
在△BCD中，cosC= = ，
2BC⋅CD 48
20−BD2 BD2−52
所以 = ，可得BD2=28，
16 48
1
故cosC= ，
2
∠B+∠D=180°，cos∠B=−cos∠D，
AB2+BC2−AC2 40−AC2
△ABC中，cosB= = ，
2AB⋅BC 24
AD2+DC2−AC2 32−AC2
△ACD中，cosD= = ，
2AD⋅DC 32
40−AC2 AC2−32 256
所以 = ，得AC2= ，
24 32 7
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4 11
得cos∠ABC= ，
7
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
M，N分别是AD和BC的中点， MN=MA+AB+BN ，①
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
MN=MD+DC+CN ，②，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
又因为 MA+MD=0 ， BN+CN=0 ，
①+②可得 2M ⃗ N=A ⃗ B+D ⃗ C ，
⃗ 1 ⃗ ⃗
即MN= (AB+DC)，AB=2，BC=6，AD=CD=4
2
⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
所以MN⋅BC= (AB+DC)⋅BC= (AB⋅BC+DC⋅BC)，
2 2
1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
= [|AB|⋅|BC|cos(π−∠ABC)+|DC|⋅|BC|cos∠ACD]
2
1 1 1
= [2×6×(− )+4×6× ]
2 7 2
1 12 36
= ×(− +12)= ．
2 7 7
故选：A．
首先根据圆的几何性质，结合余弦定理，求cosC和cos∠ABC，再利用向量转化，结合数量积公式，即
可求解．
本题考查余弦定理及向量的运算性质的应用，属于中档题．
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5 19.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】5
【解答】
解：由复数3−5i,1−i,−2+ai在复平面内对应的点分别为(3,−5),(1,−1),(−2,a)，
又三点是共线的，
−1−(−5) a−(−5)
所以 = ，
1−3 −2−3
解得a=5．
故答案为：5．
13.【答案】30
14.【答案】√13
【解答】
解：因为⃗ ⃗ ⃗为单位向量，
a,b,c
则|⃗a|=|⃗b|=|⃗c|=1，
所以⃗a2=⃗b2=⃗c2=1，
由 ⃗ ⃗ ，
|2a−b|=√7
得 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
(2a−b) 2=4a2−4a⋅b+b2=7
⃗ ⃗ 1
有a⋅b=− ，
2
所以 ⃗ ⃗ √ ⃗ ⃗ √ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
|3a−b|= (3a−b) 2= 9a2−6a⋅b+b2=√13
则 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) ⃗ ⃗| ，
|3a−c|+|b−c|⩾3a−c− b−c |=|3a−b =√13
当且仅当 ⃗ ⃗与⃗ ⃗方向相反时“
=
”成立，
3a−c b−c
所以 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ．
(|3a−c|+|b−c|) =√13
min
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6 1故答案为：√13．
15.【答案】
解： 由已知 ，
(1) z +z =1+ai+2−3i=3+(a−3)i
1 2
∵z +z 是实数，
1 2
∴a−3=0，即a=3，
．
∴z ⋅z =(1+3i)(2−3i)=2−3i+6i−9i2=11+3i
1 2
z 1+ai (1+ai)(2+3i) (2−3a)+(2a+3)i，
(2)∵ 1= = =
z 2−3i (2−3i)(2+3i) 13
2
由于z
1
是纯虚数，
∴
{2−3a=0，解得
a=
2，
z 2a+3≠0 3
2
2
则z =1+ i．
1 3
√ (2) 2 √13．
∴|z |= 1+ =
1 3 3
16.【答案】解:(1)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
3
则AC=√32+42=5，所以cos∠C= ，
5
由AD=4DC，则AD=4，DC=1，
在▵BCD中，由余弦定理得
BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠C
3 32
=9+1−2×3×1× = ，
5 5
4√10
所以BD= ．
5
3 4 4√10
(2)由(1)可知cos∠C= ，则sin∠C= ，BD= ，BC=3，
5 5 5
BD BC
在▵BCD中，由正弦定理得 = ，
sin∠C sin∠BDC
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7 14√10
5 3 3√10
即 = ，解得sin∠BDC= ．
4 sin∠BDC 10
5
17.【答案】解： 由向量的线性运算法则，可得 ⃗ ⃗ ⃗ ，
(1) AM=AB+BM ①
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
AM=AD+DC+CM ②
因为 为线段 中点，则 ⃗ ⃗ ，
M AB
CM=−BM
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3 ⃗ ⃗
联立①②得：2AM=AB+AD+DC= AB+AD，
2
⃗ 3 ⃗ 1 ⃗
整理得：AM= AB+ AD．
4 2
由 与 交于点 ，得 ⃗ ⃗ (3 ⃗ 1 ⃗ ) 3t ⃗ t ⃗ ，
(2) AM BD N AN=t AM=t AB+ AD = AB+ AD
4 2 4 2
3t t 4
由共起点的三向量终点共线的充要条件知， + =1，解得：t= ．
4 2 5
⃗ 4 ⃗ AN
所以AN= AM，即 =4．
5 NM
sin2A−sinAsinB
18.【答案】解：(1)因为 =1,cos2B=1−sin2B,cos2C=1−sin2C，
cos2B−cos2C
所以sin2A−sinAsinB=sin2C−sin2B，
由正弦定理得a2−ab=c2−b2，
a2+b2−c2 1
则cosC= = ，
2ab 2
π
因为C∈(0,π)，所以C= ；
3
(2)因为c=√3，a+b=√6，c2=a2+b2−ab=(a+b) 2−3ab，
即(√3) 2=(√6) 2−3ab，解得ab=1，
设边AB上的角平分线CD长为x，
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8 11 1 C π π
则S = absinC= (a+b)xsin ，即absin =(a+b)xsin ，
△ABC 2 2 2 3 6
√3 √6 √2 √2
即 = x，解得x= ，即边AB上的角平分线CD长为 ；
2 2 2 2
(3)延长AF交BC于M，延长BF交AC于E，
π π
设∠BCF=θ，θ∈(0, )，所以∠ACF= −θ，
3 3
在Rt△CMF中MF=CFsinθ=6sinθ，
π π π
在△CEB中∠ECB= ，∠BEC= ，所以∠EBC= ，
3 2 6
MF
BF= =12sinθ π
在Rt△BMF中 π ，同理可得AF=2EF=12sin( −θ)，
sin 3
6
π π π
6√3−12sin( −θ) √3−2(sin cosθ−cos sinθ)
所以√3CF−AF 3 3 3
= =
BF 12sinθ 2sinθ
√3−√3cosθ+sinθ
=
2sinθ
θ
2√3sin2
√3(1−cosθ) 1 2 1 √3 θ 1
= + = + = tan + ，
2sinθ 2 θ θ 2 2 2 2
4sin cos
2 2
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9 1π θ π θ √3 √3 θ 1 1
因为θ∈(0, )，所以 ∈(0, )，所以tan ∈(0, )，所以 tan + ∈( ,1)，
3 2 6 2 3 2 2 2 2
√3CF−AF 1
即 的取值范围为( ,1)．
BF 2
19.解：（1）因为 → 与 → → 同向，设 → → → ，
AG AB+AC AG=λ(AB+AC)(λ＞0)
→ → → → → →
λ(AB+AC)⋅AB λAB2+λAB⋅AC
则cos∠GAB= = ，
→ → → →
|AG||AB| |AG||AB|
→ → → → → →
λ(AB+AC)⋅AC λAC2+λAB⋅AC
cos∠GAC= = ，
→ → → →
|AG||AC| |AG||AC|
又因为∠GAB，∠GAC [0， ]，且 → → ，
|AB|=|AC|
∈ π
所以cos∠GAB＝cos∠GAC，所以∠GAB＝∠GAC，
→ →
AG⋅AB √3 → √3
由 = |AG|，得cos∠GAB= ，
→ 2 2
|AB|
π
又因为∠GAB [0， ]，所以∠GAB= ，
6
∈ π
π
所以∠BAC=∠GAB+∠GAC= ；
3
π
（2）由（1）知，
|A
→
B|=|A
→
C|
，∠BAC=
3
所以 → → ，
|AB|=|BC|
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10 1因为A（﹣1，0），B(2，√3)，C（x，y），y＞0，
所以 → → ， → ，
AB=(3，√3)，AC=(x+1，y) BC=(x−2，y−√3)
则 { (x+1) 2+ y2=12 ，解得{x=−1 或{ x=2 （舍），
(x−2) 2+(y−√3) 2=12 y=2√3 y=−√3
所以C的坐标为（﹣1，2√3）；
→ 1 → →
（3）设BC的中点为D，则AD= (AB+AC)，
2
→ 1 → → → 2 →
又因为AG= (AB+AC)，所以AG= AD，即G为△ABC的重心，
3 3
又因为△ABC是正三角形，点G是△ABC的中心，
2π
所以∠AGB＝∠BGC=∠CGA= ，
|G
→
A|=|G
→
B|=|G
→
C|=2
，
G
→
A+G
→
B+G
→
C=0
，
3
→ → π
由对称性，不妨设 与 的夹角为θ，θ∈[0， ]，如图所示，
GC GP
3
→ → → → → → → → → → → → 2π → →
PA⋅PB=(GA−GP)⋅(GB−GP)=GA⋅GB−(GA+GB)⋅GP+GP2=2×2×cos +GC⋅GP+1=−1+2cosθ
3
由图可知， → 与 → ， → 与 → 的夹角分别为 2π +θ， 2π −θ，
GB GP GA GP
3 3
2π 2π
所以 → → ， → → 的值分别为﹣1+2cos( +θ)，−1+2cos( −θ)，
PB⋅PC PC⋅PA
3 3
π 2π 2π
当θ∈[0， ]时，cosθ≥cos( −θ)≥cos( +θ)，
3 3 3
2
所以min{ → → → → → → }=−1+2cos( π+θ)，其取值范围是[﹣3，﹣2]，
PA⋅PB，PB⋅PC，PC⋅PA
3
所以min{ → → → → → → }的取值范围是[﹣3，﹣2]．
PA⋅PB，PB⋅PC，PC⋅PA
第 页，共 页
11 1第 页，共 页
12 1
