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七下期末难点特训（一）选填压轴50道
1．已知关于x、y的二元一次方程组 其中 ，给出下列四个结论：①
当 时，方程组的解也是方程 的解；②当 时，x、y的值互为相反数；
③若 ，则 ；④ 是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①②④将a的值或方程组的解代入方程组，通过求解进行判断，③解方程组，用
含a的代数式表示x，y，根据x的取值范围求出a的取值范围，进而可得y的取值范围．
【详解】解：①当 时，方程组为 ，
解得： ，
∴ ，故正确；
②当 时，方程组为 ，
解得， ，即 、 的值互为相反数，故正确；
③ ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故正确；
④当 时，原方程组为 ，无解，故错误；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，方程（组）的解，熟练掌握其运算法则是解题的关键，一般采用直接代入的方法进行求解即可．
2．如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点
，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4次接着运动到
点 ，…，按这样的运动规律，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知： 、 、 、 ， ．由于 和
的纵坐标相同，所以结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以
为起点，以 为终点，4个点为一组循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，
横坐标增加1．从 到 共有2022个点，所以纵坐标的循环次数为
．即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同．所以 的纵坐标与
相同，横坐标为2022．即 的坐标为 ．
【详解】解：由图象得： 、 、 、 ，
图象上点的规律是：纵坐标的变化是以 为起点，以 为终点，4个点为一组
循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1
从 到 共有2022个点
纵坐标的循环次数为：
即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同
的纵坐标与 相同，横坐标为2022
即 的坐标为
故选C．
【点睛】本题要求学生能够仔细观察图象，找出点的横纵坐标的变化规律．数字规律题一
般都是几个点或者几个数字一循环．善于思考，关注细节，是解决此类题的关键．
3．如图，把一块三角板的 角顶点 放在直尺的一边 上，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，由题意知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是
解题的关键．
4．若不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集为 ，可得答案．
【详解】解：
由①得： ，不等式组 的解集为 ，
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，根据不等式组的解集求解参数的取值范围，
理解“同大取大”是解本题的关键．
5．若关于x的不等式组 的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集 ，再由不等式组的整数解共有三个，可得
，即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组的整数解共有三个，
∴ ，
解得： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题
的关键．
6．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，
6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4) B．( ， ) C．(﹣6，5) D．( ，4)
【答案】B
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可.
【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得： ，解得： ，
∴﹣2x=﹣ ，x+y= ，
∴点B的坐标为(﹣ ， ).
故选：B.
【点睛】此题考查几何图形类二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中线段的大小关
系列得方程组是解题的关键.
7．如图，在 中， ，点E、F分别在边BC、AC上， ，
， 的角平分线与 的角平分线交于点P，则 的度数为
（ ）
A．62° B．56° C．76° D．58°
【答案】B
【分析】根据题意可知∠PBC=∠C，设∠C=x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得
∠FEP的度数，根据∠PEC=∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠C，
设∠C=x，
则∠PBC=x，
∵∠FEC=28°，
∴∠AFE=x+28°，
∵∠AEF=2∠AFE，
∴∠AEF=2x+56°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP=x+28°，
∵∠PEC=∠P+∠PBC，
∴x+28°+28°=∠P+x，
∴∠P=56°，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练
掌握这些知识是解题的关键．
8．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】表示出不等式的解集，根据不等式有且只有四个非负整数解，确定出a的范围即
可．
【详解】解：不等式移项得：x＜a-1，
∵不等式有且只有四个非负整数解，即0，1，2，3，
∴3＜a-1≤4，
解得：4＜a≤5．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上， ， （a为常数，
且 ），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将 沿PF翻折得到 ，
连接AE，则AE最大时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CD AB，即CD EF，所以∠DPE=∠PEF，即
可求解．
【详解】解：∵CD AB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如
图，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CD AB，即CD EF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
10．已知关于x，y的二元一次方程 ，其取值如下表，则p的值为（ ）
6
A．4 B．6 C．15 D．21
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
∴p＝3m﹣4n+15＝6+15＝21，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题
属于基础题型．
11．如图， ，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得
，即可求出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵ ，
∴ ，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；①
在△ACM中，有
，
∴ ②，
由① ②，得 ，
∴ ，即 ；
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键
是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
12．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当
线段AC最短时，△ABC的面积是（ ）
A．30 B．15 C．10 D．【答案】B
【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C
点坐标为(2,-2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．
【详解】∵C点坐标(x,-2)，
∴C点在直线y=-2上，
∴B点坐标(-3,-2)，
∵B点在直线y=-2上，
根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，
∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，
∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，
∴C点坐标(2,-2)，
∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，
∵AC⊥BC，
∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出
C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．
13．如图，在 ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD
的面积记为S，S BEO＝S，S BOC＝S，S COD＝S，则S•S 与S•S 的大小关系为（
1△ 2 3 4 1 3 2 4
）
△ △ △
A．S•S＜S•S B．S•S＝S•S
1 3 2 4 1 3 2 4
C．S•S＞S•S D．不能确定
1 3 2 4
【答案】C
【分析】连接DE，再设S =S′ ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则
DEF 1
△
，则可证得：S′S=SS，即可得到：SS＞SS．
1 3 2 4 1 3 2 4
【详解】解：如图，连接DE，设S DEF＝S′ ，
1
△则 ，从而有S′S＝SS．
1 3 2 4
因为S＞S′，所以SS＞SS．
1 1 1 3 2 4
故选：C．
【点睛】此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性
质的应用．
14．下列命题：①平方根等于它本身的数有0和1；②点 一定在第三象限；③
不等式 无解．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】利用平方根的定义、点的坐标特点及不等式的解法分别判断后即可确定正确的选
项．
【详解】解：①平方根等于它本身的数有0，故原命题错误，不符合题意；
②点 一定在第三象限，正确，符合题意；
③不等式 有解，故错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根的定义、点的坐标特点及不
等式的解法．
15．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百
僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分
100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各
有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中① ；②；③3x+ （100-x）=100；④ y+3（100-y）=100正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】若大和尚有x人，小和尚有y人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可
判断.
【详解】设大和尚有x人，小和尚有y人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得 和3x+ （100-x）=100和 y+3（100-y）=100；
故②③④正确,共计3个
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解答此题的关键是，根据题
中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
16．规定 为不大于 的最大整数，如 ， ，若 且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义列出关于 的不等式组 ，再进一步求解即可.
【详解】解：
解不等式组 ，得： ，
解不等式组 ，得： ，
∴ 的取值范围为： .
故选：B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不
等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键.17．已知在 内有任意一点 经过平移后对应点为 ，又已知点
在经过此次平移后的对应点为 ，设 ，则不等式组
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 在经过此次平移后对应点 ，可得△ABC的平移规律为：
向左平移1个单位，向下平移5个单位，由此得到m的值，再解不等式组即可得到结论．
【详解】解：∵ 在经过此次平移后对应点 ，
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∵点 经过平移后对应点 ，
∴a-1=c，b-5=d，
∴a-c=1，b-d=5，
∴m=a+b-c-d=1+5=6，
∴不等式组 变形为
解得，不等式组的解集为
故选：B
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加
下减、右加左减是解题的关键．同时也考查了求不等式组的解集．
18．如图，直线 经过原点 ，点 在 轴上， 为线段 上一动点，若 ，
， ， ，则 长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出AE=2，BF=3，
OC=2，最后利用三角形的面积解决问题．【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵A（2，m），B（-3，n），C（0，-2），
∴AE=2，BF=3，OC=2；
由S ABC=S AOC+S BOC，得
AB△•CD= △×2×2+ ×△2×3
解得，AB×CD=10，
∵AB=10，
∴CD长度的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与
高线乘积的一半是解题的关键．
19．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A
盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口
优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A
盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、
迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
【答案】B
【分析】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价
值为z元，根据A盒的成本为145元，B盒的成本为200元，列出方程组
，解之即可．
【详解】解：设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱
的价值为z元，
依题意得： ，
②÷2得：x+2y+z=100③，
②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本为155元．
故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是
解题的关键．
20．若关于x的不等式组 有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集
即可．
【详解】解： ，
∵解不等式①得：x＜ ，
解不等式②得：x≥-5，
∴不等式组的解集是-5≤x＜ ，
∵关于x的不等式组 有两个整数解，
∴-4＜ ≤-3，
解得：-8＜a≤-6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组
是解此题的关键．
21．商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元．某顾客计划用200元购
买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有（ ）种购买方案．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，利用总价=单价×
数量，即可得出关于x，y的二元一次一次方程，结合x，y，（127-x-y）均为自然数，即可
得出共有2种购买方案．
【详解】解：设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，
依题意得：5x+8y+（127-x-y）=200，
∴x= ．
又∵x，y，（127-x-y）均为自然数，∴ 或 ，
∴共有2种购买方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
二、多选题
22．已知方程组 ，以下说法正确的是（ ）
A．无论实数 取何值， 不可能等于
B．当 时，方程组的解也是方程 的解
C．存在某一个 值，使得 ，
D．代数式 的最小值为7
【答案】ABD
【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解．
【详解】解：已知关于x、y的方程组 ，
解得： ，
A、当x=y时，即a2＋3=－2－2a2，
变形为：3a2 =－5无意义，
∴ 不可能等于 ，
故选项A正确；
B、当a= 1时，方程组的解为： ，
∴代入方程 左右两边得：
左边=2×4＋（－4）=4，
右边=4×12=4，
∵左边=右边，
∴当 时，方程组的解也是方程 的解，
故选项B正确；
C、当 ， 时，代入方程组中得： ，解得： 无意义，
∴不存在某一个 值，使得 ， ，
故选项C错误；
D、 ，
∵ ，
∴ 的最小值为7，
故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤
是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出 的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得： ，
不等式组的解集为 ，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24．如果关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 的立方
根为______．
【答案】
【分析】将不等式组移项整理并用字母 ， 表示出不等式组的解集为 ，
再根据不等式组的解集为 ，得到对应的等式关系，即关于 ， 的二元一次方程
组，利用加减消元法、代入消元法求出 ， 的值，最后将 ， 的值代入所要求的代数式
中求解立方根．【详解】 整理得 ，
解得 即 ．
不等式组 的解集为 ，
整理得 ，
解得 ， ．
，
的立方根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解的定义、解二元一次方程、立方根的计算问题．
注意求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．恰当利用字母 ，
的值表示不等式组的解集，根据已知解集得到对应的等量关系并进行求值是解本题的关
键．
25．在平面直角坐标系中， ， ， ， ， ， ，…，
按此规律排列，则点 的坐标是______．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 的坐标．
2022
【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ，…，
∴移动4次图象完成一个循环，且An（2n，0），An （2n，1），An （2n+1，1），
4 4 +1 4 +2
An （2n+1，0），
4 +3
∵2022÷4=505……2，
∴A 的坐标是（505×2+1，1），即A 的坐标是（1011，1）．
2022 2022
故答案为：（1011，1）
【点睛】本题考查了点的坐标规律，仔细观察图形，得到点的坐标变化规律是解题的关键．26．在平面直角坐标系中取任意两点 ， ，定义新运算“*”，得到新的点
C的坐标为 ，即 ，若点 在第一象限，点 在第四
象限，根据上述规则计算得到的点 的坐标在第______象限．
【答案】二
【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x＞0，y＞0，x＞0，y＜0，然后求出xy＜
1 1 2 2 1 2
0，xy＞0即可进行解答．
2 1
【详解】解：∵点A（x，y）在第一象限，点B（x，y）在第四象限，
1 1 2 2
∴x＞0，y＞0，x＞0，y＜0，
1 1 2 2
∴xy＜0，xy＞0，
1 2 2 1
∴点C的坐标（xy，xy）位于第二象限，
1 2 2 1
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内
点的坐标符号特征．
27．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含 角，一块含 角）
的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正
确的有______（直接写序号即可）．
① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
【答案】①②④
【分析】利用同角的余角相等可判断①，证明∠AHE+∠CAB=180°，可判断②，利用三角形
的外角的性质求解∠EHA=90°， 可得∠EAB=30°，从而可判断③，证明 ∠CGA=∠EAD，
可判断④，从而可得答案．
【详解】解：根据题意可知：∠CAB=∠EAD=90°，∠D=30°，∠E=60°，∠C=∠B=45°，
①∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
∴∠BAD=∠CAE，故①符合题意；
②∵∠BAE=30°，∠E=60°，
∴∠AHE=90°，∴∠AHE+∠CAB=180°，
∴ ，故②符合题意；
③∵∠BFD=∠C，∠B=∠C=45°，
∴∠BFD=∠B=45°，
∴∠EHA=90°，
∵∠E=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°，故③不符合题意；
④∵∠BAE=45°，
∴∠CAE=45°，
∵∠C=45°，
∴∠CGA=90°，
∴∠CGA=∠EAD，
∴ ，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练应用判定定理和性
质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角
互补；两直线平行，内错角相等．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结
论，切莫混淆．
28．三个连续的正整数的和小于111，这样的正整数有_______组，若符合要求的最大那组
数中最大的数为a，则 的平方根是______．
【答案】
【分析】设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），由题意：三个连续正整数的和小
于111，列出不等式，解得：x＜37，进而可得出答案．
【详解】解：设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），
由题意得：x﹣1+x+x+1＜111，
解得：x＜37，
∴x可以取2，3，4，…，36，共35个，
∴这样的正整数有35组；
其中最大的那组数为35，36，37，
∴a＝37，
∴a﹣1的平方根，即是36的平方根为±6，
故答案为：35，±6．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及平方根的概念，解题的关键是读懂题意，
列出不等式，求出符合条件的三个连续正整数．
29．在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到 ，第2次移动到 ，
第3次移动到 ，第4次移动到 …，则第2022次移动至点 的坐标是
__________．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次完成一个循环，再观察角码除以4余2的点： A（1，
2
1），A（3，1）， …， 从而可得出点A 的坐标．
6 2022
【详解】解：A（1，0），A（1，1），A（2，1），A（2，0），A（3，0），A（3，
1 2 3 4 5 6
1），…，
而2022÷4=505•••2，
观察角码除以4余2的点： A（1，1），A（3，1）， …，
2 6
所以A 的坐标为（ ，1），
2022
则A 的坐标是（1011，1）．
2022
故答案为：（1011，1）．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，
难度一般．
30．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为
，根据这个规律，第2022个整点的坐标为_____________．
【答案】（45，3）
【分析】观察图中点的坐标可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，故可得当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），当n
为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），然后按照规律求解即可．
【详解】解：观察图中点的坐标得：以最外边的长方形边长上点为准，点的总个数等于x
轴上右下角的点的横标的平方，
如：第12个点的坐标为（1，0），
第22个点的坐标为（1，22），
第32个点的坐标为（3，0），
第42个点的坐标为（1，42），
第52个点的坐标为（5，0），
第62个点的坐标为（1，62），
当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），
当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），
∵452=2025，45为奇数，
∴第2025个点的坐标为（45，0），
∴退3个点，得到第2022个点是（45，3）．
故答案为：（45，3）
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的个数与横坐标之间存在的平
方关系是解答此题的关键．
31．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的
和谐点，已知点A 的和谐点为点A，点A 的和谐点为点A，点A 的和谐点为点A，……
1 2 2 3 3 4
以此类推，当点A 的坐标为（1，3）时，点A 的坐标为 _____．
1 2022
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据和谐点的定义及点A 的坐标为（1，3），顺次求出几个和谐点的坐标，可发
1
现循环规律，据此可解．
【详解】解：观察，发现规律：A（1，3），A（2，−2），A（−3，−3），A（−4，
1 2 3 4
2），A（1，3），…，
5
根据上面规律可知，每4个点循环一次，
∵2022＝505×4＋2，
∴点A 的坐标为（2，−2）．
2022
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题主要考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个
循环是解题的关键．
32．若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，则 的取值范围是
__________．
【答案】2＜a≤3【分析】先用含a的代数式表示出不等式组的解集，再根据它恰有三个整数解，分析出它
的整数解，进而求得实数a的取值范围．
【详解】解： ，
解①得，x> ，
解②得，x0，
∴k=- 不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则yC=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k= ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点
C纵坐标是解题的关键．
35．若关于x的不等式组 仅有四个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】可先用a表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于a的不等组，可求得a的取值范围．
【详解】 ，
解不等式①可得 ，
解不等式②可得 ，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为1，2，3，4，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整
数解的应用．
36．已知关于x，y的方程组 的解都为非负数，a＋2b＝3，c＝3a－b，且
b>0，则c的取值范围是________．
【答案】
【分析】由二元一次方程组可得 ，则有 ，然后根据a＋2b＝3，c＝3a－b可
得 ，进而问题可求解．
【详解】解：解二元一次方程组 得： ，
∵方程组的解为非负数，
∴ ，解得： ，
由a＋2b＝3，c＝3a－b可得： ，
∵b>0，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为 ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握二元一
次方程组及一元一次不等式（组）的解法是解题的关键．
37．若x=3，y=b；x=a，y= 都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关
于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是______________．
【答案】x＜-5
【分析】根据x=3，y=b；x=a，y= 都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且
3a-2b=2c2+2c-10，求得 ，代入不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵x=3，y=b；x=a，y= 都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不
等式，求得 是解题的关键．
38．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，
则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
【答案】875
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即
可得出结论．
【详解】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a＝1＋2＋2＝5，a＝1＋3＋12＋2＝7，a＝1＋4＋22＋2＝11，a＝1＋5
1 2 3 4
＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a ＝302−30＋5＝875．
30
故答案是：875．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规
律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．
39．已知点 位于第二象限，并且 ， ， 均为整数，则满足条件的点
的个数有_________个．
【答案】110
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据解不等
式，即可得出答案．
【详解】解：由点 在第二象限，得 ， ，
又因为 ，
，
解得： ，
，
，
， 均为整数，
；
当 时， ，则取不到整数，有0种情况；
当 时， ，则 ，有2种情况；
当 时， ，则 ，有4种情况；
当 时， ，则 ，有6种情况；
当 时， ，则 ，有8种情况；
当 时， ，则 ，有10种情况；
当 时， ，则 ，有12种情况；
当 时， ，则 ，有14
种情况；当 时， ，则 ，
有16种情况；
当 时， ，则
，有18种情况；
当 时， ，则
，有20种
情况；
故共有： ，
则满足条件的点 的个数有110，
故答案为：110．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，解题的关键是熟练掌握不等式的
解法．
40．若关于 的不等式组 的最大整数解比最小整数解大3，则 的取值范围
是_________．
【答案】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于 的不等式
组，解之即可．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 得： ，
不等式组最大整数解比最小整数解大3，
最小整数为 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出每一个不等式
解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
41．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y） （其中a、b均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1） b，已知T（1，－1）＝
－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，则实数P
的取值范围是_____．【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不
等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，
解得 ，
，解得 ，
∵关于m的不等式组 恰好有3个整数解，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求
出a、b的值是解此题的关键．
42．平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
其中 ， 满足方程组 ，已知点 在直线 的下方，且点 不在第三象限，
则 的取值范围为________．
【答案】【分析】求出直线 的解析式 ，再根据 求出点 的坐标为
，然后过 作 轴，交直线 于点 ，确定 ，再分两
步：点 在直线 的下方；点 不在第三象限，分别确定 的取值范围，然后确定公共
部分即可。
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
过 作 轴，交直线 于点 ，
当 时， ，
∴ ，
∵点 在直线 的下方，
∴ ，
解得： ，
若点 在第三象限，则 ，解得： ，
∴当 时，点 不在第三象限，
综上所述， 。
故答案为： ．【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，点所在象限的坐标特征，熟练掌握一次函数的
图像及性质，数形结合是解题的关键．
43．如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为
________cm2．
【答案】75
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定
出x与y的值，即可求出阴影部分面积．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据图形得： ，
②﹣①得：3y＝6，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x+2＝11，
解得：x＝9，
则图中阴影部分面积为17×（11+2×2）﹣10×2×9＝255﹣180＝75（cm2）．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，弄清题意是解本题的关键．
44．如图，AB∥CD， 的平分线 和 的平分线 的反向延长交于点E，且
，则 _________度．【答案】28
【分析】延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，设 ，利用
平行线的性质及外角的性质可得 ①，利用角平分线的定义和三角形的
内角和定理可得 ②，再由①②整理得出 ③，结合已
知条件即可求解．
【详解】
延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，
设 ，
，
AB CD，
，
，即 ①，
的平分线 和 的平分线 的反向延长交于点E，
，
，
在 和 中， ，
，即 ②，
联立①②，可整理得 ③，
④，
联立③④，可整理得 ，
，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角
和定理，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．45．已知关于x的不等式组 的整数解只有四个，则实数a的取值范围是
_______．
【答案】
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
【详解】解： ，
解①得：x a，
解②得：x＜6.5 ．
≥
∴不等式组的解集为
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：3，4，5，6．
则实数a的取值范围是： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较
大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
46．已知关于 ， 的方程组 其中 ，给出下列结论：① 是方
程组的解；②若 ，则 ；③若 ．则 的最小值为 ；④若
，则 ；其中正确的有______．（填写正确答案的序号）
【答案】①③④
【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可
判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，
可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④．
【详解】解：解方程组得 ，
①当 时，则 ，解得t=0，符合题意，故正确；
②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误；
③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3，
∴M随t的增大而增大，
∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确；
④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0，
∴0≤t≤1，∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得
到方程组的解是解此题的关键．
47．如图，已知点 的坐标是 ，线段 从原点出发后，在第一象限内按如下有规律
的方式前行： ， ； ， ； ， ；
…；则点 的坐标是______．
【答案】（3034，1013）
【分析】先得出A（1，2），A（3，1），A（4，3），A（6，2），A（7，4），A
1 2 3 4 5 6
（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即
可求解．
【详解】解：A（1，2），A（3，1），A（4，3），A（6，2），A（7，4），A（9，
1 2 3 4 5 6
3），…，
可得：
A 横坐标为： ×3−2=1，纵坐标为： +1=2；
1
A 横坐标为： ×3−2=4，纵坐标为： +1=3；
3
A 横坐标为： ×3−2=7，纵坐标为： +1=4，…；
5
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A 横坐标为： ×3−2=3034，纵坐标为： +1=1013…；
2023
∴A 的坐标为：（3034，1013），
2023
故答案为：（3034，1013）．
【点睛】本题考查了点的坐标，理解A的纵坐标与下标之间的关系是关键．
48．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D
的落点分别是 ， ， 交BC于G，再将四边形 沿FG折叠，点 ， 的落点分别是 ， ， 交EF于H．下列四个结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】设∠GEF=x，由折叠的性质分别求出各个角的度数，即可求解．
【详解】解：设∠GEF=x，
由折叠可知，∠GEF=∠DEF=x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=x，
∴∠GEF=∠GFE，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=180°-x，
由折叠可知，∠EFC=∠EFC'=180°-x，
∴∠GFC'180°-2x，
由折叠可知，∠GFC'=∠GFC''=180°-2x，
∴∠EFC''=180°-3x，
∵∠AEG-∠FEG=180°-2x-x=180°-3x，
∴∠AEG-∠FEG=∠EFC''，故②错误，③正确；
∵FC'∥ED'，
∴∠FGD'=180°-（180°-2x）=2x，
∵由折叠可知，∠D''GF=∠D'GF=2x，
∴∠EHG=∠D''GF+∠EFG=3x，
∴∠EHG=3∠EFB，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
49．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数 和 比较大小，有
如下规律：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；这个规律，
反过来也成立．
问题解决：已知 ， ，若 ，且 ，
试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
【答案】≥【分析】先求出x，y的取值范围，再判断 与0的关系即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
故答案为：≥．
【点睛】本题考查不等式的性质及整式的加减，解题的关键是确定x，y的取值范围．
50．已知关于 的不等式组 ，下列四个结论：
①若它的解集是 ，则 ；
②当 ，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则 的取值范围是 ；
④若它无解，则 ．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④．
【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含 的式子表示，根据整数解的个数
就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 的不等式组，从而求出 的范围．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
① 它的解集是 ，
，
解得 ，故结论正确；② ，
，
故不等式组无解，故结论不正确；
③ 它的整数解仅有3个，
，
解得 ．
则 的取值范围是 ，故结论正确；
④ 它无解，
，
解得 ，故结论正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一
个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
