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第二十二章 二次函数 易错必考63题（13个考点）专练
易错必考题一、根据二次函数的定义求参数
1．（2023·全国·九年级专题练习）若函数 是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． 或3 C．3 D．
2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点 是二次函数 图像上一点，则
的值为
3（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）已知函数 为二次函数，求m的值．
易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
5．（2023秋·四川南充·九年级校考期末）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数
的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐
标系中的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
易错必考题三、二次函数的图象与性质
8．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数 在 时有最小值
，则 （ ）
A． 或 B．4或 C． 或 D．4或
9．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知点 ， ， 均在抛物线
上，其中 ．若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）设 ，且函数 与 有相同
的最小值u；函数 与 有相同的最大值v；则 的值（ ）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 上两点 ，且 ，
则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 时，则 B．若 时，则C．若 时，则 D．若 时，则
12．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）已知抛物线 经
过 ， 两点，若 ， 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是
．
13．（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）关于抛物线 ，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是 ．
②当 时， 随 的增大而减小．
③当 时， ．
④若 是该抛物线上两个不同的点，则 ．
其中正确的说法有 ．（填序号）
14．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）若函数 （ ）图象过点 ， 且
抛物线的顶点位于第四象限，设 ，则P的取值范围为 ．
15、（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为 ，
，抛物线 （ 为常数， ）和线段 有公共点时， 的取值范围是
，
16．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 ．
(1)若 ，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．(3)若函数 ，点 都在函数 的图象上，且 ，求n的取值范围．（用含m的
代数式表示）
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线 经过 ， 两点．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 ，且 时， 的最大值为3．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，连接 ，当
时，求 的值．
易错必考题四、二次函数图象的平移问题
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位
长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
19．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左
侧），其顶点P在线段 上移动，点A，B的坐标分别为 ， ，点N的横坐标的最大值为4，则
点M的横坐标的最小值为（ ）A． B． C． D．
20．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）在平面直角坐标系 中，将抛物线 先绕原点O
旋转 ，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线解析式为 ．
21．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 ：
．
(1)写出 的对称轴和 的最小值；
(2)点 为透明片上一点， 的坐标为 ．平移透明片，平移后， 的对应点为 ，抛物线 的对应抛
物线为 ，其表达式恰为 ，求 移动的最短路程．
22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数 图像的对称轴为直线 ．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图像沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．23．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段
上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与x轴交于 ，B两点，下列判
断正确的是（ ）A． B．当 时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为 D．
25．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，根据二次函数 的图象得到如下结论：①
② ③ ④ ⑤当 时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数 ，使得
成立．上述结论，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤
26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，已知二次函数 的图象如图所示，
对于下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④若m为任意实数；则 ；⑤当时，y随x增大而先增大后减小．
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，
对称轴为直线 ．下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）
28．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结
论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
29．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线
．给出以下结论：
① ；
② ；
③若 ， 为函数图象上的两点，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有整数根，则对于 的每一个值，对应的 值有3个．
其中正确的有 ．(写出所有正确结论的序号)
易错必考题六、待定系数法求二次函数的解析式
30．（2023秋·全国·九年级专题练习）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，
符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
31．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）已知二次函数 图象经过点 、
点 点 ，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 ．
32．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左
侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．33．（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
(3)设点E是线段 上的动点，作 轴交抛物线于点D，求线段 长度的最大值．
易错必考题七、二次函数与一元二次方程
34．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知抛物线 （a，b，c是常数）开口向下，
过 ， 两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 时，则 ；
③若点 ， ，往抛物线上， ，且 ，则 ；
④当 时，关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的结论有（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①③④
35．（2023·重庆·九年级统考学业考试）从 这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数使得二次函数 的图象与 轴有交点，且使得关于 的分式方程 有整数
解，则所有满足条件的 的值之和是（ ）
A． B． C．0 D．2
36（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）已知二次函数 的图象如图所示，并且关于
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．其中正确的个数有 ．
37．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线
．
（1）若对称轴在直线 处，则 ；
（2）若顶点在y轴上，则 ；
（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ；
（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
38．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知二次函数 ，自变量 与函数 的部分对
应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 …
(1)二次函数图象的开口方向______， 的值为______；(2)点 、 在函数图象上， ______ （填 、 、 ）；
(3)当 时， 的取值范围是______；
(4)关于 的一元二次方程 的解为______．
易错必考题八、二次函数与不等式
39．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线 与直线 交于
两点．则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
40．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与直线 交于 两点，则关
于 的不等式 的解集为 ．41．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标中，抛物线 和直线
交于点 和点 ，则不等式 的解集为 ．
42．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，抛物线 与直线 相交于点 和
，抛物线还经过 ，
(1)求：抛物线和直线的解析式；
(2)若 ，则x的取值范围是______．
43．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数 图象的顶点坐标为 ，且经
过点(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，填空：
①当 时， 的取值范围是______；
②当 时， 的取值范围是______；
易错必考题九、二次函数y=ax2+bx+c的最值
44．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的
最大值为 ，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
45．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足
时，与其对应的函数值y的最大值为 ，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
46．（2023·广东广州·校考模拟预测）已知二次函数 在 时有最小值 ，
则 ．
47．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知线段 ，点P是 上一动点（不与A、B重
合），分别以 、 为边在 的同侧作正方形 和 ，且两正方形对角线的交点分别为M、
N，则 长度的最小值为 ．48．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交
于 、 两点，与 轴交于 ， 点在原点的左侧， 点的坐标为 ，点 是抛物线上一个动点，
且在直线 的上方．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 、 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点 ，使四边形 为
菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点 运动到什么位置时，使 的面积最大，求出点 的坐标和 的面积最大值．
易错必考题十、二次函数的销售问题
49．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎
盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每
千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量 （千
克）与每千克售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/千克） 40 50 60销售量 （千克） 120 100 80
设销售该商品每天的利润为 （元），则 的最大值为（ ）
A．1800 B．1600 C．1400 D．1200
50．（2023秋·全国·九年级专题练习）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销
售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售
价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
51．（2023秋·九年级课时练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10
元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量 （瓶）与每瓶销售价 （元）之间满足函数关系
式 ．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每
瓶进价）．
52．（2023春·九年级单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农
产品在某月，（按 天计）的第 天（ 为正整数）的销售价格 （元/千克）关于 的函数关系式为
，销售量y（千克）与 之间的关系如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系式为 ；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 ．（销售额=销售量×销售价格）
53．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）商社电器销售部门从厂家购进了 、 两种型号的空气净
化器．已知一台 型空气净化器的进价比一台 型空气净化器的进价多300元，用7500元购进 型空气净化器和用6000元购进 型空气净化器的台数相同．
(1)一台 型空气净化器和一台 型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中， 型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大 型空气净化
器的销量，商社电器决定对 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当每台 型空气净化器的售价为
1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，每台售价每降低50元，每天将多售出1台．请问当商社电器将
每台 型空气净化器的售价定为多少元时，每天销售 型空气净化器的利润最大，最大值为多少？
易错必考题十一、二次函数在实际生活中的应用
54．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前
往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数 确定，
其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
55．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面
（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度 与足球被踢出后
经过的时间 之间的关系的部分数据如下表：
0 1 2 3
0则该运动员踢出的足球在第 落地．
56．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1
表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最
高点E到 的距离为 ．
(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户
，点G、M在 上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/ ．已知 ，求每个B
型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本）
易错必考题十二、二次函数中的存在性问题
57．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当 的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
58．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点，点P是直线
下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边形 为菱
形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形 的最大面积．
59．（2023秋·全国·九年级专题练习）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线
所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线 与抛物线 组成一
个开口向下的“月牙线”，抛物线 与抛物线 与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴
的交点分别为点 ， ．(1)求出点M，N的坐标和抛物线 的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线 上的点，过点P作 轴于点E，交抛物线 于点Q，试证明： 的值为
定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，在x轴上是否存在点F，使得 是以
为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
60．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于
、 两点，交 轴于点 ．
(1)求点 、 、 的坐标；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，得到新抛物线 ，点 在坐标平面内，在新抛物线 的对称轴 上是否
存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．易错必考题十三、二次函数中的角度关系问题
61．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交
于点 ，点D是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线 上方时，作 轴于点F，交直线 于点E，当 时，求点D
的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，请直接写出
点Q的坐标．
62．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数 ， 与 时的
函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．(1)求二次函数的解析式．
(2)在第一象限的抛物线上求点P，使得 最大．
(3)点Q是抛物线上x轴上方一点，若 ，求Q点坐标．
63．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点
C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
(1)b＝ ，点B的坐标是 ；
(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对
称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．
