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期末重难点真题特训之易错必刷题型（人教版九上）（65题13个考点）
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、反比例函数
1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：① ，② ，③ ，④ ，
⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ．其中 是 的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 在双曲线 上，动点P在y轴正
半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为(
)
A． B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足 ，当 时，y的取值范围
是 ．
4．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴
的平行线 ．已知点A坐标为 ，结合函数图象可知，当 时， 的取值范围是 ．5．（2022上·江西南昌·九年级南昌二中校考期末）已知函数 ，其中 与 成正比例， 与
成反比例，且当 时， ；当 时， ．求 关于 的函数解析式．
易错必刷题二、反比例函数的图象与性质
1．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、
两点，其中 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知 ， ．以线段 为
边，在第一象限内作正方形 ，点C落在函数 的图象上，将正方形 沿x轴负方向
平移a个单位长度，使点D恰好落在函数 的图象上的点 处，则a的值为（ ）A．1 B． C．2 D．
3．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，已知点A，B在双曲线 上， 轴于点C，
轴于点D， 与 交于点P，P是 的中点，若 的面积为6，则 ．
4．（2023上·吉林白山·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线
交于 两点，则关于x的不等式 的解集为 ．
5．（2021上·河北石家庄·九年级校考期中）如图,点 和点 是反比例函数 图像上的两点,
点 在反比例函数 的图像上,分别过点 作 轴的垂线,垂足分别为点 , ,连接交 轴于点 ．
(1) ______;
(2)设点 的横坐标为 ,点 的纵坐标为 ,求证: ;
(3)连接 ,当 时,求点 的坐标．
易错必刷题三、实际问题与反比例函数
1．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、
丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x
的情况，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电
阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点
．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A．当 时，
B． 与 的函数关系式是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时，
3．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内
每立方米空气中的含药量 与时间 之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段， 与 成
正比例，燃烧完后 与 成反比例．现测得药物 燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量 ，当
每立方米空气中含药量低于 时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过 后教室内的空
气才能达到安全要求．
4．（2023上·河北石家庄·九年级统考阶段练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和
2，每个台阶凸出的角的顶点记作 （ 为 的整数）.函数 的图象为曲线 .
（1）若 过点 ，则它必定还过另一点 ，则 ；（2）若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 的整数值有 个.
5．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）某蔬菜生产基地在冬天气温较低时，用装有恒温系统的大
棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函
数关系，其中线段 ， 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．请根据
图中信息解答下列问题：
(1)当 时，求 与 的关系式；
(2)解释线段 的实际意义；
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是：
，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
易错必刷题四、图形的相似
1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形 对折，折痕为 ，如果矩形 和矩
形 相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考阶段练习）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 的底边 取
中点E，以E为圆心，线段 为半径作圆，其与底边 的延长线交于点F，这样就把正方形 延伸
为矩形 ，称其为黄金矩形．若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2023上·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图， ，直线 ， 交于点 ，且分别与直线 ，
， 交于点 、 、 和点 、 、 ，已知 ， ， ， ，则 的长度是
．
4．（2023上·广西北海·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，以点B为圆心，
适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧交于点 ，射线 交 于点 ，则线段 的长度是 ．
5．（2023上·湖北孝感·九年级校考阶段练习）如图所示，在正方形 中， ， 分别为 ， 的
中点， 和 相交于点 ，连接 ， ．(1)如图1，试猜想 与 的关系为________；
(2)求证： ；
(3)设 ， ，试猜想 与 之间的函数关系，并根据你的猜想求出这个函数的关系式（不
要求写自变量的取值范围）．
易错必刷题五、相似三角形的判定
1．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）如图，在正方形 中， 为 中点， ，连接
，那么下列结论中： 与 相似； 与 相似； 与
相似： 与 相似； ；其中错误的有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）如图，在 中，点P为 上一点，连接 ．再添加一个
条件使 与 相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）
A． B．C． D．
3．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）如图，在正方形 中，E是边 的中点，要依据“两边成
比例且夹角相等”判定 ，还需添加的一个条件是 ．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图所示，能判定 的有 ．
① ；② ；③ ；④ ．
5．（2023上·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）已知E是边长为7的正方形 对角线 上一点，
过点E的直线 平行于 ，交 于M，交 于N， 于E，交 于F，当 时
(1)求证： ．
(2)求证： ．
(3)求 的长．
(4)求 的值
易错必刷题六、相似三角形的性质
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，点
是 的重心，则 等于( )A． B． C． D．4
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的边 与x轴的正
半轴重合， 轴，对角线 ， 交于点M．已知 ， 的面积为6．
若反比例函数 的图像恰好经过点M，则k的值为（ ）
A． B． C． D．6
3．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图所示，在 中， ， ， 是 的中点，
过 点的直线交 于点 ，若以 、 、 为顶点的三角形和以 、 、 为顶点的三角形相似，则
的长为 ．
4．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是由20个边长为1的正方形组成的 的网格．
的三个顶点都在正方形的顶点上，若 的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且 ，
记 ，则k的所有可能值为 ．5．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）如图，在 中，点D，E分别在边 上， 与 相
交于点O，且 ， ．
(1)求证：① ；② ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
易错必刷题七、相似三角形应用举例
1．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕
底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若 ， ，
水面 离桌面的高度为 ，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·宁夏中卫·九年级校考阶段练习）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面
的距离为1.6米，且满足 ，若盲区 的长度是6米，则车宽 的长度为（ ）米．A． B． C． D．2
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发
出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，
桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米 ．
4．（2023上·河北廊坊·九年级校联考阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，
然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇
的眼睛离地面的高度 ，淇淇与镜子的水平距离 ，镜子与旗杆的水平距离 ．
（1） 与 是否似？ （填“是”或“否”）；
（2）旗杆高度 为 ．
5．（2022上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）咸阳统一广场的秦始皇雕塑，面对渭河，威
风凛凛、气势恢宏！小军及其小组成员想利用所学知识测量该雕塑（如图1）的高度，测量方法如下：如
图2，在阳光下，小军在直线 上的点C处平放一平面镜，镜子不动，他来回走动，走到点D时，恰好
在镜子中看到雕塑顶端A的像，这时，测得小军眼睛与地面的高度 为 米， 米；然后，在阳
光下，小军从D点沿 方向走了 米到达F处，此时该雕塑的影子顶端与小军的影子顶端恰好在点H
重合，测得小军的身高 为 米，影长 为 米．已知 ， ， ，请你根
据题中提供的相关信息，求该雕塑 的高度．（平面镜大小忽略不计）易错必刷题八、位似
1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为 ，
， ， 轴，现以坐标原点O为位似中心，作 的位似图形 ，点A与点 对
应，点C的对应点 纵坐标为 ，则下列点的坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，四边形 与四边形 是位似图形，点O是位似中心．
若 ，四边形 的周长是25，则四边形 的周长是（ ）
A．4 B．10 C． D．3．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如
图所示的平面直角坐标系中，格点 、 成位似关系，则位似中心的坐标为 ．
4．（2023上·四川成都·九年级四川师范大学实验外国语学校校考期中）如图， 中， ， 两个顶点
在 轴的上方，点 的坐标是 ，以点 为位似中心，在 轴的下方作 的位似图形 ，并
把 的边长放大到原来的2倍．设点 的对应点 的横坐标是2，则点 的横坐标是 ．
5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个 ，使它与 位似，且相似比为 ；
(2)请写出点A的对应点 的坐标__________；(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
易错必刷题九、锐角三角函数
1．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）在 中， 是 的中线，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在 中，弦 的长为 ，点 在 延长线上，且
， ，则 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）在 中， ， ，点D是
边上一点， ， ，则 ．
4．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在四边形 中，
， ，连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，则 的值为 ．
5．（2023上·安徽亳州·九年级校联考期末）如图， 是正方形 的对角线， 平分 交
于 ，点 在 上，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点G，F．
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
易错必刷题十、解直角三角形
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在 中， ， ，
为线段 延长线一点， 为线段 上一点，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，设
，则 可表示为（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图， 是 的直径，点 、点 是 上任意
两点，连接 ，若点 是弧 的中点， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图， ， 是 的切线，切点分别是点A和B，
是 的直径．若 ， ，则 的长为 ．
4．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点 是正方形 内一点，已知
，连接 ．
（1） ；
（2）若 ，则 的面积为 ．
5．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图1，在四边形 中， ，点 是
上一点且 ．图1 图2 图3
(1)求证： ；
(2)已知 ．
（ⅰ）如图2，若点 是 的中点，求 的值；
（ⅱ）如图3，延长 与 交于点 ，若 ，其他条件不变，求 的值．
易错必刷题十一、解直角三角形的应用
1．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）一艘货轮从小岛 正南方向的点 处向西航行 到达点 处，
然后沿北偏西 方向航行 到达点 处，此时观测到小岛 在北偏东 方向，则小岛 与出发点
之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以 海里 时的速度由西向
东航行在 处看见小岛 在船北偏东 的方向上． 后，渔船行驶到 处，此时小岛 在船北偏东
的方向上．己知以小岛 为中心， 海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东
航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面 个数据，错误的是
（ ）A． 海里
B．
C． 海里
D．过点 向 的延长线引垂线，垂足为 ，求得 ，小明得出结论有触礁危险
3．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已
知小亮站着测量，眼睛与地面的距离 是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与
地面的距离 是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同
一直线上）．则旗杆EF的高度为 ．（结果保留整数参考数据： ， ）
4．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，
其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可
靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西
方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地
的北偏东 方向．则 的度数为 ；B、C两地的距离是 ．（结果保留根号）5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其
侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（ ）、悬托架（ ）、伞面（ ）和感应器组成．支架公
垂直于地面 ，伞沿的支点 在 上滑动．悬托架支点 在 上．感应器根据太阳光线的角度自动调
整伞面与悬托架之间的角度（即 的大小）使得伞面 与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮
阳效果．已知 米， 米，且 ．
(1)某天下午15点时太阳光线与地面的夹角 ，此时伞沿支点 离地面多高？（结果精确到 米）
(2)如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点 ，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．
若当天 点时太阳光线与地面的夹角 ，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数
据： ， ）易错必刷题十二、投影
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）某一时刻，与地面垂直的长 的木杆在地面上的影长为 ．
同一时刻，树 的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为 的斜坡上，如图所示．已知落在地面上
的影长 为 ．落在斜坡上的影长 为 ．根据以上条件，可求出树高 为（ ）．（结果精确到
）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有
3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹
竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线
段 的长度为（ ）A． B． C． D．
3．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测
金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为 ．先
在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 长为 （直线 过
底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 ；
（2）小山包的高为 ．（ 取 ）
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，
测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一
级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2
米，则树高度为 米．
5．（2023上·江西九江·九年级统考阶段练习）课本再现
（1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示．
①确定该路灯灯泡所在的位置；
②画出图中表示婷婷影长的线段．
数学思考（2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 ， 两点的正中间，晚上，
婷婷由点 处径直走到点 处，她在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是
（ ）
A． B． C． D．
解决问题
（3）婷婷在点 处测得自己的影长 ，沿 方向到达点 处再测得自己的影长 ，如果
婷婷的身高为1.6m， ，求路灯杆 的高度．
易错必刷题十三、三视图
1．（2023上·福建厦门·七年级厦门双十中学校考阶段练习）将20个棱长为 的小正方体摆放成如图的
形状，则这个图形的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）某社区的志愿者收到一批防疫物资，这批防疫
物资用同样的正方体箱子包装，摆放的位置从上面和正面看到的都是如图所示，这批防疫物资最多有（）箱．
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为
．
4．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该
几何体的体积 ．
5．（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体，小立方块棱长均
为1．
(1)请在方格中分别画出从上面、左面看到该几何体的形状图；(2)用小立方块搭一几何体，使得从上面、左面看到该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则这样的几
何体最少要______个小立方块，最多要______个小立方块．
