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第 26 章 反比例函数（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、反比例函数的概念
1）反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成 的
形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数 （k是常数，k 0）中x，y的取值范围
¿
反比例函数 （k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范
围也是非零实数．
【例1】（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）下列关系式中， 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2023·四川成都·九年级校考期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．二、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四
象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【例2】（河北省沧州市2023-2024学年九年级月考数学试题）已知反比例函数的图象经过点 ，则
这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式】（2023·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
三、反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．注：
1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0
且y≠0．
3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大
而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
【例3】在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求反比例函数 表达式；
(2)已知反比例函数 图象的一支如图所示，补画这个函数图象的另一支；
(3)在平面直角坐标系中画出 的图象，利用图象求不等式 的解．
四、反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因
此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系
数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
【例4】（2022·内蒙古呼和浩特·九年级统考期末）己知 与 成正比例， 与 成反比例，
当 时， ；当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当 时，求y的值．
【变式】（2023·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 和 的
图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ．一次函数 的图象与反比例函数
的图象的另一个交点为 ，连接 ；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求 的面积
(3)直接写出 时， 的取值范围；
(4)在 轴上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在请求出 点坐标，若不存在，请说明理由．五、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO
2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则
S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC
3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
【例5】（2024·辽宁沈阳·九年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）如图，过
轴上任意点 作 轴的平行线，分别与反比例函数 ， 的图象交于 点和 点．
连接 、 ，则 的面积为 ．
【变式】（2023·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象
上有一点 ， 轴于点 ，点 在 轴上，则 的面积为 ．
六、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例
函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的
取值范围．
【例6】（2023·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)设直线 与 轴交于点 ，若 为 轴上的一动点，连接 ， ，当 的面积为 时，求
点 的坐标．
【变式】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1， ，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数 ，当 时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP ODA
△ △
核心素养提升
1. 数形结合思想
1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图， 的直径 ， 和 是它的两条切线， 与
相切于点E，并与 ， 分别相交于D，C两点．设 ， ．
(1)点O到直线 的距离为 ；
(2)求y与x的函数解析式．2. 建模思想
2．（2023·江苏常州·统考一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为
“相等点”．例如 ……都是“相等点”．
(1)函数 图象上的“相等点”坐标是__________；
(2)已知 的圆心在直线 上且半径为5，若该圆上有且仅有一个“相等点”，请求出圆心P的坐
标；
(3)若抛物线 上有且仅有一个“相等点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N
的左侧）．当 时，在抛物线上是否存在点Q，使得 ，如果存在，请求出点Q坐标
（用含a或c的代数式表示）：如果不存在，请说明理由．
3. 方程思想
3．（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开
关，当导体两端电压 （单位： ）一定时，通过导体的电流 （单位： ）与导体的电阻 （单位：
）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当 时， ．
(1)求电流 关于电阻 的函数关系式；
(2)当 时，求电阻 的值．中考热点聚焦
热点1.反比例函数的图形与性质
1．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 相交于点 ， ．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线 向下平移至 处，其中点 ，点 在 轴上．连接 ， ，求 的面积；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
2．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方
形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M，
轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．热点2.反比例函数与一次函数的综合应用
3．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y= (x<0)的图象交于点
A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
4．（2022·重庆·统考中考真题）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与
的图象交于 ， 两点，(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．
热点3.反比例函数K的几何意义
5．（2020·四川巴中·统考二模）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于 ， 两
点，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接 ．(1)求 和 的值；
(2)根据图象直接写出 的解集；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
6．（2023·湖南永州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 的顶点 是函数 的图象与函
数 在第二象限的图象的交点， ， 两点在坐标轴上，且矩形 的面积为 ．(1)求这两个函数的表达式；
(2)求这两个函数图象的交点 ， 的坐标；
7．（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）如图1，点 ， 在反比例函数 的图象上，过点
作 轴于点 ，过 作 轴于点 ．
探究发现（1）①若 ，则 的面积为________， 的面积为________；
②若 ，则 的面积为________， 的面积为________．
猜想验证
（2）①如图1， 与 的位置关系为________；
②如图2，题中的其他条件不变，只改变点 ， 的位置，请判断 与 的位置关系，并说明理由．
图1 图2
推广应用
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，点 的坐标为 ，反比例函数
的图象分别与 ， 交于点 ， ， 为线段 上的动点，反比例函数 的图
象经过点 交 于点 ，连接 ．将 沿 所在直线翻折得到 ，当点 恰好落在直线
上时，求 的值．
热点4.用反比例函数解决实际问题8．（2023·广西来宾·九年级校考期中）某动物园根据杠杆原理 上演了一幕现代版“曹冲称
象”，具体做法如下：
如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）
和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为 ，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为
．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为 ，装有大象的
铁笼及其挂钩的总重量为 ．
(1)求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量 ；
(2)若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么 是关于 的什么函数？直接
写出函数解析式；
(3)当 时，求弹簧秤的显示读数 ；当弹簧秤的显示读数 ，求 ．
9．（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）已知一艘轮船上装有120吨货物，轮船到达目的地后开始卸
货．设平均卸货速度为 （单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 （单位：小时）．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)若要求不超过6小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
(3)按6小时卸完船上的这批货物，卸货2小时后，根据实际情况，要求剩下的货物要在2小时内卸完，在剩下的时间内每小时要多卸多少吨货物？
10．（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，
记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 300 600 1000 1500
受力面积 1 0.5 0.2
(1)根据表中数据，求桌面所受压强 （Pa）关于受力面积 （m）的函数表达式及 的值；
(2)将另一长，宽，高分别为 ， ， ，且与原长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置
于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，这种摆放方式是否安全？请判断并说明
理由．
