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期中检测02
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
A选项利用二次根式的化简判断即可；B利用合并同类项的运算判断即可；C利用积的乘方判断即
可；D 利用同底数幂的除法判断即可；
【详解】
A、 ，不符合二次根式的化简，故该选项错误；
B、 ，不符合合并同类项的运算，故该选项错误；
C、 ，故该选项正确；
D、 ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键；
2．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质，得 ；根据二次根式的性质，得 ，从而得到自变量 的取值范
围．
【详解】
结合题意，得：
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式、二次根式的性质，从而完成求解．
3．如图为实数a，b在数轴上的位置，则 ( )
A．-a B．b C．0 D．a-b
【答案】C
【分析】
由数轴可得a、b和a-b的正负，再由二次根式性质去根号、合并同类项即可．
【详解】
根据实数a、b在数轴上的位置得知：
-1＜a＜0＜b＜1，
∴a-b＜0，
则原式=b-a-（b-a）=b-a-b+a=0．
故选：C．
【点睛】
考查了数轴及二次根式的化简，解题关键是由数轴得出a、b和a-b的正负情况．
4．如图，已知 中， ，将它的锐角 翻折，使得点 落在边
的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点 为边 的中点，可求CD= ，
设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理 解方程即可．
【详解】
解：∵将它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于
点 ，
∴△AEF≌△DEF，
∴AE=DE，
∵点 为边 的中点，
∴CD= ，
设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，
即 ，
解得 ．
故选择：C．
【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股
定理构造方程．
5．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．514 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【分析】
设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得 ，代入得到 ，计算求
出答案即可．
【详解】
如图，设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得
，
∴ ，
∴字母A所代表的正方形的面积 ，
故选：D．
．
【点睛】
此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关
键．
6．如图，四边形 中， ， 平分 ， ， ， ，
则四边形 的面积为（ ）A．50 B．56 C．60 D．72
【答案】A
【分析】
据勾股定理求出DC，根据角平分线的性质得出DE=DC=5，根据勾股定理求出BE，求出AE，再根
据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
过 作 ，交 的延长线于 ，则 ，
， 平分 ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
四边形 的面积，
故选： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE=DC是解题的关键．
7．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角
三角形三边的线段是（）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF
【答案】B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理
分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度.
8．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，
AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】
解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴ ，
∴CD= ；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
9．如图，在 中， ，点P为 上任意一点，连结
，以 为邻边作平行四边形 ，连结 ，则 的最小值为（ ）A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最
小值=2OP′．
【详解】
解：设 与 交于点 ，作 于 ．如图所示：
在 中， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
当 与 重合时， 的值最小，则 的值最小，
的最小值 ．
故选： ．【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性
质是解题的关键．
10．如图，矩形 的两条对角线的一个交角为 ，两条对角线的长度之和为24cm，则这个
矩形的一条短边的长为（ ）
A．6cm B．12cm
C．24cm D．48cm
【答案】A
【分析】
根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形
OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=24，
∴AC=BD=12cm，
∴OA=OB=6cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=6cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB
和求出OA的长．
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为（
）
A．65 B．120 C．130 D．240
【答案】B
【分析】
根据勾股定理可以求得菱形另一条对角线的长度，再由菱形的面积计算公式可得答案．
【详解】
解：∵AC=10，∴AO=5，∴BO= ，∴BD=24
∴菱形的面积为
故选B．
【点睛】
本题考查菱形的面积，灵活应用勾股定理和菱形的面积计算公式是解题关键．
12．如图，以平行四边形 的边 、 、 、 为斜边，分别向外侧作等腰直角三
角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 ，当
时，有以下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤四边形 是平行四边形．则结论正确的是（ ）A．①③④ B．②③⑤ C．①③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【分析】
根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出
∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，
EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分
别为E、F、G、H，
∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，
∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，
，∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，③正确；
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，⑤正确；
∴EH⊥GH，④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知 ，则 的值为__________．
【答案】11
【分析】
先将a、b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．
【详解】
解： ， ，
原式=
=
=
=
故答案为：11．
【点睛】本题考查代数式的化简求值，将a、b进行分母有理化，并将代数式利用完全平方公式变形是关键．
14．已知 ，则 __．
【答案】
【分析】
先利用二次根式化简，然后分 、 和 ， 两种情况解答即可．
【详解】
解：原式
，
，
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ；
即 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答
本题的关键．
15．已知，如图，在 中， 是 上的中线，如果将
沿 翻折后，点 的对应点 ，那么 的长为__________．【答案】 ．
【分析】
先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未
知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解】
如图所示，
∵ ，
∴BC= =8，
∵CD是 上的中线，
∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，
根据题意，得
，
，
解得x= ，y= ,
∴ ,
故答案为： ．【点睛】
本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正
确构造方程组计算是解题的关键．
16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将 如图那样折叠，使点A与点B重合，
折痕为 ．则 的值是__________．
【答案】
【分析】
先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得
出 的值．
【详解】
解：设CE=x，则AE=8-x，
∵△BDE是△ADE翻折而成，
∴AE=BE=8-x，
在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x= ，∴ = = ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠
前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．
17．如图，在 中， ， ，O是 的中点，如果在 和 上分别有
一个动点M､N在移动，且在移动时保持 ．若 ．则 的最小值为
_________．
【答案】
【分析】
连接OA，取MN的中点D，连接OD，AD，证明△OAN≌△OBM，可得MN=OD+AD，而
OD+AD≥OA，即OA就是MN的最小值．
【详解】
解：连接OA，取MN的中点D，连接OD，AD，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
，∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=AD= MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值为AO，
∵BC= ，
∴AO= ，
∴MN的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三
角形三边关系等知识点，难度适中．“中点”是本题的题眼，在初中阶段，与“中点”的几何知识
并不多，同学们可自行总结一下“中点”有几种用法，今后再遇到与“中点”有关的几何题目，就
会反应迅速，作出辅助线也就很容易．
18．如图，已知矩形 ， ， ，点E在 上，连接 ，将四边形 沿折叠，得到四边形 ，且 刚好经过点D，则 的面积为________．
【答案】
【分析】
可先在 中运用勾股定理求出 ，从而得到 ，然后在 中运用勾股定理求
出 ，最后即可得出 的面积的面积．
【详解】
∵矩形 ， ， ，
∴ ， ，
由翻折的性质可知， ， ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】
根据异分母分式加减法先计算括号里的式子，再利用分式除法法则进行运算求出化简结果，然后将
代入计算即可．
【详解】
解： ，
，
，
；
当 时，原式= ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关
键．
20．已知求代数式：x＝2+ ，y＝2- ．
（1）求代数式x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？【答案】（1）18；（2）1.
【解析】
（1）求出x+y，xy的值，利用整体的思想解决问题；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
解：（1）∵x= ，y= ，
∴x+y=4，xy=4-2=2
∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy
=16+2
=18
（2）S = xy= = （4-2） =1
菱形
“点睛”本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会整体的思
想进行化简计算，属于中考常考题型.
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在
小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的锐角等腰三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且
的面积为10；
（2）在方格纸中画出以DE为一边的直角三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且 的面
积为5；
（3）连接CF，则线段CF长为________________．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】（1）依据锐角等腰三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为10，即可得到点C
的位置；
（2）依据直角三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为5，即可得到点F的位
置；
（3）依据勾股定理进行计算即可得出线段CF的长．
【详解】
解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△DEF即为所求；
（3）由勾股定理可得CF＝
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，根据题意得出对应点位
置是解题关键．
22．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方
形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，
△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并证明AM2+BN2=MN2．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据旋转的性质画出图形即可；连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定
和性质进行解答即可；
（2）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的
判定和性质进行解答．
【详解】
解：（1）旋转后的如图1所示：
如图1，连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
在△MCN与△M'CN中， ，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在Rt△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，
∴MN2=AM2+BN2；
（2）如图2，将 顺时针旋转90°到 ，连接BD、BD'、CC'，∵AC平分 ，
∴
由旋转的性质得：，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
∴点 在同一直线上，
又∵
∴
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴
【点睛】
此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和
性质解答．
23．如图，在 中， 是对角线 的垂直平分线，分别与 ， 交于点 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）菱形 的面积为 ．
【分析】
（1）利用四边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）利用菱形的性质，勾股定理计算OE的长，从而利用菱形的对角线法计算面积即可．
【详解】
证明：（1）∵对角线 的垂直平分线 分别与 、 、 交于点 、 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理可得：
，
∴ ，
∴菱形 的面积 ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和判定是解题的关
键．
24．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中， ，判断四边形ABCD是否为
垂美四边形，并说明理由；
（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究 、 、 、 之间的数量关
系；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方
形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝ ，求线段
DE的长．
【答案】（1）是，见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）证法一：证明△ABC≌△ADC，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可；
【详解】
解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：
证法一：
∵ ，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC．∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线．
∴ ．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
证法二：
连结AC、BD交于点E．
∵ ，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵ ，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
∴ ．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
（2）如图2，在垂美四边形ABCD中，
∵ 于点O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．
∴ ．
．
．
．
∴ ．
．∴ ．
（3）分别连结CD、BE，
如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴ ．
即 ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵∠BAE＝90°，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴四边形CDEB是垂美四边形．
由（2）得： ．
∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝ ，
∴ ．．
．
∴ ．
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键．
