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第 02 讲 反比例函数图像与性质的综合应用
课程标准 学习目标
1. 掌握求待定系数法求反比例函数解析式的基本步
骤，并能够熟练的求出反比例函数解析式。
①二待定系数法求反比例函数解析式
2. 掌握反比例函数中k的几何意义与代数意义，并能
②反比例函数k的几何意义与代数意义
对其熟练应用。
③反比例函数与其他函数交点问题
3. 能够熟练解决函数之间的交点问题，以及由交点引
出的其他问题。
知识点01 待定系数法求反比例函数解析式
1. 待定系数法求反比例函数的具体步骤：
具体步骤如下：①设 解析式；②带函数图像上的点；③解方程求比例系数；④写函数
解析式。
题型考点：①利用待定系数法求反比例函数解析式。
【即学即练1】1．已知函数 ，当x＝1时，y＝﹣3，那么这个函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．已知反比例函数 的图象经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（8，2），C（4，﹣6）是否在这个函数的图象上？
【即学即练3】
3．已知反比例函数 图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y），（4，y ）是反比例函数图象上两点，试比较y ，y 大小．
2 1 2
知识点02 反比例函数k的几何意义1. k的几何意义：
图① 图②
①如图①，在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到
的三角形的面积等于 。
推广：在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例
函数图像上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。
②如图②，在反比例函数图像上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面
积为 。
题型考点：①反比例函数k的几何意义的应用。
【即学即练1】
4．下面四个图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
5．如图，两个反比例函数y ＝ 和y ＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴
1 2 1 2 1
于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．4 B．2 C．1 D．6
【即学即练3】6．如图所示，过反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂
足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S ，S ，那么它们的大小关系是（ ）
1 2
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【即学即练4】
7．两个反比例函数C ： 和C ： 在第一象限内的图象如图所示，设点 P在C 上，PC⊥x轴于点
1 2 1
C，交C 于点A，PD⊥y轴于点D，交C 于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点03 反比例函数与其他函数的交点问题
1. 函数与函数的交点问题：
解决函数与函数的交点问题，需要把两个函数相等起来建立方程去求解。建立得到的方程的解释函数
交点的 ，将横坐标带入函数中可求得交点的 。从而得到两个函数的交点。
2. 反比例函数与正比例函数的交点：
反比例函数是一个中心对称图形，对称中心是原点，正比例函数经过原点，若反比例函数与正比例函
数有交点，则一定是 个交点。且这两个交点一定关于 对称。反比例函数与正比例函
数的系数若 ，则两个函数有交点。若 ，则两个函数无交点。
3. 反比例函数与一次函数的交点问题：
反比例函数与一次函数建立方程，得到的方程是一个 ，若方程有两个不相等的实数
根，这这两个函数有 个交点；若方程有两个相等的实数根，则两个函数只有 个交点；若
方程没有实数根，则两个函数 交点。
题型考点：①利用函数交点求取值范围。
【即学即练1】
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4
【即学即练2】
9．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k x（k ≠0）的图象与反比例函数 的图象有
1 1
交点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．k k ＜0 B．k k ＞0 C．k +k ＜0 D．k +k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【即学即练3】
10．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标
1 1 2
为3，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【即学即练4】
11．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关
于x的不等式ax+b＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2题型01 待定系数法求函数解析式
【典例1】
已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝7．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x＝5时，求y的值．
【典例2】
已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．
1 2 1 2
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝﹣2时，求y的值．
【典例3】
已知y＝y +y ，y 与（x﹣1）成正比例，y 与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣
1 2 1 2
1．
（1）求y的表达式；（2）求当x＝﹣2时y的值．
【典例4】
如图，反比例函数 的图象与直线x＝﹣3交于点P，△AOP的面积等于3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）利用图象，求当﹣3＜x＜0时，y的取值范围．
题型02 反比例函数k的几何意义：一个象限内
【典例1】如图，A为反比例函数y＝ （k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB ＝3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
【典例2】
如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞
0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则 k
的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【典例3】
在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝ （x
＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形
OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【典例4】
如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，
则k的值为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
题型03 反比例函数k的几何意义：多个象限内
【典例1】如图，点P是反比例函数 图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x
轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（ ）
A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36
【典例2】
如图，A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行
于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC面积为S，则（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
【典例3】
如图，A、B是函数y＝ 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为
S，则S＝ ．
【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝ 图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 ．
题型04 反比例函数k的几何意义：双反比例函数
【典例1】
如图，是反比例函数y＝ 和y＝ （k ＜k ）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于
1 2
A、B两点，若S△AOB ＝2，则k
2
﹣k
1
的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【典例2】
如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 y＝ 和y＝ 的图象的四个分支上，则实数n的值为（
）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【典例3】
双曲线C₁ ： 和C₂ ： 的图象如图所示，点A是C₁ 上一点，分别过点A作AB⊥x轴，
AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂ 交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【典例4】
如图，函数 和 的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PA∥y轴交l 于点A，
1 2 2 1
PB∥x轴交l 于点B，则△PAB的面积为（ ）
1
A．1 B．4 C． D．
题型05 函数的交点
【典例1】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象上与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y
1
轴交于点C，已知点A（6，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD ＝15，求点D坐标．
【典例2】如图，一次函数y ＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y ＝ 的图象交于
1 2
点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OC，OD，求△COD的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点 P
的坐标．
【典例3】
如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m≠ ）的图象交于 A（﹣1，n），B（3，
1 2
﹣2）两点．
θ
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣ ＞0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
【典例4】如图，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
1 2
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求△AOB的面积．
（3）当y ＞y 时，直接写出x的取值范围．
1 2
1．反比例函数y＝ 经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（ ）A．y＝﹣4x B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝4x
2．对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x增大而增大
C．从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是k2+2
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，若x ＜x ，y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
3．平面直角坐标系中，若点A（x ，2）和B（x ，4）在反比例函数 图象上，则下列关系式
1 2
正确的是（ ）
A．x ＞x ＞0 B．x ＞x ＞0 C．x ＜x ＜0 D．x ＜x ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
4．在反比例函数 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，
则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C 和
1
C ，设点P在C 上，PA⊥x 轴于点A，交C 于点B，已知△POB 的
2 1 2
面积为4，则k的值为（ ）
A．16 B．14
C．12 D．10
6．如图已知反比例函数C ： 的图象如图所示，将该曲线绕
1
点O顺时针旋转45°得到曲线C ，点N是由曲线C 上一点，点M在直
2 2
线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为 ，则k
的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣1
7．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（2，0），与函数y＝ 的图象交于点B，C，点B的横坐标是
8，点C的横坐标是﹣6，则不等式组0＜ax+b＜ 的解集是（ ）A．﹣6＜x＜2 B．﹣6＜x＜0 C．﹣6＜x＜8 D．0＜x＜2
8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线 分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函
数 （k＞0，x＞0）， （x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结
OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达式为 ．
10．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是
反比例函数 （k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例
函数的解析式为 ．
11．如图，直线AB与反比例函数 交于点B，与x轴和y轴分别交于点A和点D，BC⊥AC于点C，若
点D是线段AB的中点，∠DAO＝30°，OA＝1，则k的值为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝ （x＞0），y＝ （x＜
0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ．
13．如图，Rt△ABC，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（0，﹣2），BC的长为4，反比例函数
的图象经过点C．
（1）求反比例函数与直线AC的解析式；
（2）点P是反比例函数图象上的点，若使△OAP的面积恰好等于
△ABC的面积，求P点的坐标．
14．如图，A、B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点
D，且AC＝1
（1）若k＝2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；
（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．15．反比例函数 ， （n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P
作AB∥y轴，分别与y 、y 交于A、B两点．
1 2
（1）当n＝﹣10时，求S△OAB ；
（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，
点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．
