文档内容
专题 11 实际问题与二次函数（2 个知识点 7 种题型
2 个易错点 4 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.利用二次函数解实际问题的步骤（重点）
知识点2.利用二次函数解实际问题的常见类型
【方法二】 实例探索法
题型1.利用二次函数解体育中的最值问题
题型2.利用二次函数解图形面积中的最值问题
题型3.利用二次函数解最大利润问题
题型4.利用二次函数解方案设计问题
题型5.利用二次函数解拱桥通车问题
题型6.根据图象结构函数模型解决问题
题型7.利用二次函数解决动点问题
【方法三】差异对比法
易错点1.自变量取值范围的确定
易错点2.因忽略自变量的取值范围而多解、错解
【方法四】 仿真实战法
考法1.实际问题中的二次函数
考法2.利润问题中的二次函数
考法3.图形面积问题中的二次函数
考法4.拱桥问题中的二次函数
【方法五】 成果评定法【学习目标】
会分析实际问题中包含的数量关系，体会其中的变化规律，从中抽象出二次函数模型，利用二次函数
图象和性质解决问题
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.利用二次函数解实际问题的步骤（重点）
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2.利用二次函数解实际问题的常见类型题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
【例1】（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底
是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出
方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形
的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【例2】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米
宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
18Ã×
2Ã×题型3：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千
位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、
2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
【例3】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
题型4：利润（利息）问题
利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
【例4】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多
卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销
售单价定位多少元？
题型5：比赛统计问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
【例5】（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共
进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
题型6：传播问题
传播问题：
a(1x)n A
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的
人数．
【例6】（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染 个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法二】实例探索法
题型1.利用二次函数解体育中的最值问题
1．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：
米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是 ，则该男生铅球推出的距离是
_______米．
2．（2023•安徽二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮
框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知
篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米．图中所示抛物线的
一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度
为3.55米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心 B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度
和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球
直接投中篮圈中心B．题型2.利用二次函数解图形面积中的最值问题
3．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）利用长为 的墙和 长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平
行于墙的一边长不小于 ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2023·山东临沂·统考二模）一块三角形材料如图所示， ， ， ，用这块材料
剪出一个矩形 ，其中，点D，E，F分别在 上，能够剪出的矩形 的面积最大为
________．
5．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q
两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．题型3.利用二次函数解最大利润问题
6．（2023·山东聊城·统考二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销
售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最
大利润为______元（利润＝总销售额－总成本）．
7．（2023·云南昆明·云大附中校考三模）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家
网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调
查发现，每天销售量 与销售单价 （元）满足如图所示的函数关系（其中 ）
(1)求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，设每天销售该特产的利润为 元，则销售单价 为多少元时，每天的销售利润最大?最
大利润是多少元?8．（2023·江苏淮安·统考三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元；
购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．
销售单价x(元/件) 12 18
日销售量y(件) 16 4
(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当 时，甲商品的日销售量y(单位：
件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当 时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元件)定为多少时，日销售利
润最大？最大利润是多少？
题型4.利用二次函数解方案设计问题
9．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目
之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段
抛物线．其中 米， 米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处
轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架 GD、GM、HI、
HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？题型5.利用二次函数解拱桥通车问题
10．（2023•凤阳县二模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知 OA＝12米，OB
＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建
立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内
设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少
于0.5米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
11．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点P使得S△PAB ＝ ，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB ﹣S△AMC 的值最大时，求直线BP的表达式．
12．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐
标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．题型6.根据图象结构函数模型解决问题
13．（2023•吉州区校级二模）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，
平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙
丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点
B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
14．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距
离也为3m，那么水管的设计高度应为 ．
15．（2023•陈仓区三模）如图，某动物园的大门由矩形 ABCD和抛物线形DMC组成，分别以AB、AD所
在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，AD＝ 米，抛物线顶点M的坐标为 ．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架OPE方便施工，点P正好在抛物线上且在点
M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，求支撑杆PE与大门最右侧的水平距离BE．16．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项
目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一
段抛物线．其中 米， 米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处
轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架 GD、GM、HI、
HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？题型7.利用二次函数解决动点问题
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接
AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求 PAE面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形△OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在
请说明理由．
【方法三】差异对比法
易错点1.自变量取值范围的确定18．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架
ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
易错点2.因忽略自变量的取值范围而多解、错解
19．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次
函数关系，部分数据如表．
售价x（元/千克） 6 8 10
日销售量y（千克） 20 18 16
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最
大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
【方法四】 仿真实战法
考法1.实际问题中的二次函数20．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的
关系是y＝﹣ （x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
21．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面 1 9 米．
22．（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，
经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022
年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中 为一
折线）．(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）
23．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物
造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA
垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距
离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6
时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．考法2.利润问题中的二次函数
24．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产
成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝
，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
25．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？考法3.图形面积问题中的二次函数
26．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知
房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ m时，羊圈的面积最大．
27．（2023•潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．
经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝
∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的
面积最大，最大面积是多少？
考法4.拱桥问题中的二次函数
28．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的
抛物线型钢拱组成，通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数
的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点
O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2
C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）某种品牌的服装进价为每件 元，当售价为每件 元时，每天可
卖出 件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价 元，每天可多卖出 件．在确保盈利的前提
下，若设每件服装降价 元，每天售出服装的利润为 元，则 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，
则当水面宽8米时，水面下降了（ ）
A． 米 B．2米 C． 米 D． 米
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子
，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 的
任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离 与水流喷出的高度 之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，有长为 的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大
可用长度a为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时 的长是（ ）米．
A．4 B．5 C．3 D．
5．（2023秋·九年级课时练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度
（单位： ）与水流运动时间 （单位： ）之间的函数解析式为 ，那么水流从喷出至回落到地
面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的
销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足： ， ，若该公司在甲、乙两地共
销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向 以 的速
度移动（不与点 重合）．如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形 的面积
最小．A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
8．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）抛物线 与直线 交于 ，
两点，抛物线在 ， 两点之间的部分以及线段 所围域内（包括边界）恰有4个整点（横、纵坐标都
是整数的点叫做整点），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为1， 分别为各边上的
点，且 ，设小正方形 的面积为 ， 为 ，则 关于 的函数图像大致是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，
该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不
得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题
11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函数 ，则当温度为 时，水的体积为 ．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）一种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是
．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，王叔叔想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩
形羊圈 ，已知房屋外墙足够长，当矩形 的边 时，羊圈的面积最大．
14．（2023秋·河南信阳·九年级校考期末）如图，在正方形 中， 为 上的点， 为 边上的点，
且 ， ，设 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式是 ．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位： ）与飞行时间t（单位： ）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为 时，
小球达到最高点．
16．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡 底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，
喷水装置的高度 为 米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷
水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面
直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为 米的小树 ， 垂直水平地面且M点
到水平地面的距离为 米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移
（即抛物线向左平移） 米．17．（2023秋·九年级课时练习）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20
件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，
决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则 关于 的函数解析式是 ．
18．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物
线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m．若把拱
桥的截面图放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 ．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）已知直角三角形两条直角边的长度之和等于 ，两条直角边的长各为多
少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
20．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知二次函数 的图象过点 ， ．(1)求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象与 轴的另一个交点为 ，在抛物线上存在一点 ，使 的面积为10，求点 的坐
标．
21．（2023秋·九年级课时练习）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上
升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
(1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
(2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为
40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天
的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
22．（2023·山东青岛·校考一模）随着 技术的发展，人们对各类 产品的使用充满期待，某公司计划
在滕州销售一款 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x
（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），且 ．那么哪个销售周期的销售收入最
大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
23．（2023秋·福建福州·九年级福建省长乐第一中学校考开学考试）已知抛物线 的对称轴
为直线 ，顶点为 ，与 轴正半轴交点为 ，且 的面积为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标．24．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，
运动员通过助滑道后在点 处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡 上的点 处．地面 为
，腾空点 到地面 的距离 为 ，坡高 为 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 所
在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点 ， ．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面 竖直方向上的最大距离；
(3)落点 与坡顶 之间的距离为________ ．
25．（2023·安徽滁州·校考三模）某厂有 名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每
天产量与每件产品利润如表：
产品 甲 乙 丙
每人每天产
量/件
每件产品利 当每天生产 件时，每件利润为 元，若每增加 件，则每件利润减少
润/元 元
设每天安排 名工人生产丙产品（ 为不小于 的整数）．
(1)若每天每件丙产品的利润为 元，求 的值；
(2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多 元，求每件丙产品的利润；
(3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大
时，请直接写出 的值．26．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，
现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中
的长不超过墙长；方案乙中 的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设 的长为xm，矩形 的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形 的面积y(m2)的最大值．
