文档内容
猜想 06 反比例函数（易错必刷 30 题 6 种题型专项训练）
一．反比例函数的性质
三．反比例函数图象上点的坐标特征
五．反比例函数与一次函数的交点问
题
二．反比例函数系数k的几何意义
四．待定系数法求反比例函数解析式
六．反比例函数的应用一．反比例函数的性质（共2小题）
1．（2023•安阳二模）下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．
【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．
【解答】解：A、∵y＝x2+2x﹣3开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，且函数图象过（0，﹣3）点，
∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意；
B、∵y＝2x的系数2＞0，
∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
C、在y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意；
D、∵y＝ 中，3＞0，
∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、一次函数的性质，
关键是根据系数的符号判断图象的位置．
2．（2023•和平区模拟）已知反比例函数y＝ 经过平移后可以得到函数y＝ ﹣1，关于新函数y＝ ﹣
1，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是0＜y≤1
【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数 y＝ 当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，且关于
（0，0）对称；经过平移后得到y＝ ﹣1，关于（0，﹣1）对称，增减性不变．
【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象
与系数的关系．二．反比例函数系数k的几何意义（共7小题）
3．（2023秋•来宾期中）如图所示，过反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，
分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S ，S ，那么它们
1 2
的大小关系是（ ）
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S
是个定值，即S＝ |k|．
【解答】解：依题意有：Rt AOC和Rt BOD的面积是个定值 |k|．
所以S ＝S ．
1 2 △ △
故选：B．
【点评】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐
标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|．
4．（2023•西安三模）如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，顶点B、C分别在反比例函数y＝
与y＝ 的图象上，若四边形OABC的面积为4 ，则k＝ ﹣ 2 ．
【分析】连接OB，设直线BC与y轴交于点P，根据菱形的性质可得△OBC的面积为2 ，结合反比
例函数k的几何意义可得△COP和△BOP的面积，利用S ＝S +S 建立方程，求解即可．
BCO POB COP
【解答】解：如图，连接OB，设直线BC与y轴交于点P，△ △ △∵四边形OABC是菱形，且面积为4 ，
∴△OBC的面积为2 ，
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∵B、C分别在反比例函数y＝ 与y＝ 的图象上，
∴S ＝ ，S ＝ ，
COP BOP
△ △
∴S ＝S +S ＝ + ＝2 ．
BCO POB COP
△ △ △
解得k＝﹣2 ，（正值舍去），
故答案为：﹣2 ．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝ 的图象上任意一点向坐标
轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．也考查了三角形的
面积．
5．（2022秋•二道区校级期末）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都经过反比例函数
的图象，且S矩形ABCD ＝8，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，设B（a，b），则AB＝a，根据S矩形
＝8可得AD＝ ，由点E为矩形ABCD对角线BD的中点可得ME＝ ＝ ，EN＝ ，以
ABCD此得出E ，最后根据反比例函数系数k的几何意义结合图象经过第一象限即可求解．
【解答】解：过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
设B（a，b），
∴AB＝a，
∵S矩形ABCD ＝8，
∴AD＝ ，
∵点E为矩形ABCD对角线BD的中点，EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ME∥AB，EN∥AD，
∴ME＝ ＝ ，EN＝ ，
∴E ，
∵点E与点B都经过反比例函数 的图象，
∴ ，
∴ab＝4，
由图可知，反比例函数 的图象经过第一象限，
∴k＝ab＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、反比例函数中k的几何意义，熟练掌握在反比例函数 图象中任
取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题关键．
6．（2022秋•九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD与y轴分别交于E、F
两点，对角线BD在x轴上，反比例函数 的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若
BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为 ，则k的值是（ ）A． B．3 C． D．5
【分析】过点作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，可得
△DGN∽△DAM，则OB：OM＝BE：AE，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到OB＝ a，
GN＝ b，从而得到 ON＝ a，进而得到 MN＝ ，继而DN＝a，再由平行四边形的性质，可得
△BOF∽△DNG，从而得到OF＝ b，再由S ＝S ﹣S ，即可求解．
FCD BCD BDF
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M△，GN⊥△x轴于点△ N，
设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM，OB：OM＝BE：AE，
∴ ＝ ＝ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴OB＝ OM＝ a， ＝ ＝ ， ＝ ，
∴GN＝ b，∵点A、G在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ b•ON，
∴ON＝ a，
∴MN＝ON﹣OM＝ a，
∴DN＝ × a，
∴BD＝OB+ON+DN＝4a，
∴∠OBF＝∠GDN，S ＝S ，
ABD BCD
∵∠BOF＝∠GND＝9△0°， △
∴△BOF∽△DNG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OF＝ b，
∵S ＝S ﹣S ，
FCD BCD BDF
△ △ △
∴ b×4a﹣ × b×4a＝ ，
解得ab＝3，
∴k＝ab＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数中k的几何意义，平行四边形的性质，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．（2023•宿城区一模）如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上
且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 ﹣ 4 ．
【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为4，
∴ OB•AC＝4，
即 ×2|x|×y＝4，
∴xy＝﹣4，
即k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数 y＝ 图象上的
点（x，y）一定满足xy＝k．
8．（2023秋•高新区校级期中）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若
CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 1 ： 5 ．
【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S
AOD
＝S四边形BDCE ，设△BDO的面积
为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得△到四边形BDCE的面积为12S+3S＝
15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比．
【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，∵AB⊥x轴于点B，
∴S ＝S ，
AOB COE
∴S△
AOD
＝S△
四边形BDCE
，
设△△BDO的面积为S，
∵CD＝3OD，
∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，
∵BD∥CE，
∴BE＝3OB，
∴△BCE的面积为12S，
∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，
即△AOD的面积为15S，
∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5，
故答案为：1：5．
【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
9．（2023•惠东县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）
在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4
．
【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．
【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝ 的图象上，可得： ，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为：4
【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
10．（2023•南开区一模）点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，若x
1 1 2 2 3 3 1
＜x ＜0＜x ，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 3
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x ＜x ＜0＜x ，判断出三点所
1 2 3
在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x ＜x ＜0＜x ，
1 2 3
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y ＜0，y ＜0，y ＞0，
1 2 3
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y ＞y ，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点
所在的象限是解答此题的关键．
11．（2023•陕西）若点A（﹣1，2），B（1，m），C（4，n）都在同一个反比例函数的图象上，则m，n
的大小关系是m ＜ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】依据题意，先由A求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出 mn的
值，比较大小即可．
【解答】解：设反比例函数为y＝ ，
又A（﹣1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣1）×2＝﹣2．
∴反比例函数为y＝﹣ ．
又点B（1，m）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴m＝﹣2．
∵C（4，n）都在反比例函数y＝﹣ 图象上，
∴n＝﹣ ，
∴m＜n．故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于
比例系数．
12．（2023春•巴东县期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，2），四边形ABCD为正
方形，双曲线y＝ （k≠0）经过边BC的中点E．
（1）求k的值；
（2）求（1）中双曲线与边AD的交点F的坐标．
【分析】（1）依据题意，过点E作CH⊥y轴，从而可得△BCH≌△ABO，从而可以求出点C的坐标，
再利用中点坐标公式求出点E的坐标，最后将E的坐标代入y＝ ，即可得解．
（2）由题意，首先求出直线AB的解析式，然后根据AD⊥AB，进而求出AD的解析式，最后与（1）中
所求反比例函数组成方程组即可得解．
【解答】（1）解：依据题意，过点E作CH⊥y轴，垂足为H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠CBH+∠ABO＝90°．
∵∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH．
又∠CHB＝∠BOA＝90°，
∴△BCH≌△ABO．
∴CH＝B0，BH＝AO．
∵A（4，0），B（0，2），
∴CH＝BO＝2，BH＝AO＝4．
∴C（2，6）．
又B（0，2），∴E（1，4）．
又点E在双曲线y＝ 上，
∴k＝4．
（2）∵A（4，0），B（0，2），
∴直线AB为：y＝﹣ x+2．
∵AB⊥AD，
∴可设直线AD为y＝2x+m．
又A在直线AD上，
∴2×4+m＝0．
∴m＝﹣8．
∴直线AD为y＝2x﹣8．
将y＝2x﹣8与y＝ 联列方程组得，
∴ 或 ．
∵F在第一象限内，
∴F（2+ ，﹣4+2 ）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时要能熟练掌握并理解．
四．待定系数法求反比例函数解析式（共5小题）
13．（2023•双柏县模拟）反比例函数y＝ 经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣4x B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝4x
【分析】依据题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式可以求得k的值，进而可以得解．
【解答】解：由题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式y＝ ，
∴﹣4＝ ．
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要熟练掌握并理解．
14．（2023•兴隆台区二模）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，
CE⊥y轴，若反比例函数 的图象过点C．（1）求反比例函数的解析式；
（2）点F在反比例函数图象上，当△ECF面积为12时，求点F坐标．
【分析】（1）依据题意，先求出OA，再根据勾股定理得出OB＝6，再由△ABO≌△BCE，进而求出点
C的坐标，即可得出结论；
（2）依据题意，由CE＝OB＝6，再结合△ECF面积为12，从而F到CE的距离为4，又C的纵坐标为
2，故F的纵坐标为6或﹣2，进而代入反比例函数解析式可以得解．
【解答】解：（1））∵A（﹣8，0），
∴OA＝8．
在Rt AOB中，AB＝10，根据勾股定理得，OB＝ ＝ ＝6，
∴B（0，﹣6）．
△
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠ABO+∠CBE＝90°．
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC＝90°．
∴∠CBE+∠BCE＝90°．
∴∠ABO＝∠BCE．
∴△ABO≌△BCE（AAS）．
∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝8．
∴OE＝BE﹣OB＝2．
∴C（6，2）．
∵反比例函数数y＝（k≠0）的图象过点C（6，2），
∴k＝6×2＝12．
∴所求反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）由题意，∵CE＝OB＝6，S ＝ ＝12，
ECF
∴h＝4，即从而F到CE的距离为△4．又C的纵坐标为2，
∴F的纵坐标为6或﹣2．
又F在反比例函数y＝ 上，
∴F的横坐标为2或﹣6．
∴F（2，6）或（﹣6，﹣2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
15．（2023•兴宁市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B，C两点的坐
标分别为（﹣4，0），（﹣1，0）．点D的纵坐标为4，CD边与y轴交于点F．反比例函数y＝ （x＞
0）的图象经过点D，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A，且与AB交于点E．
（1）求反比例函数y＝ （x＜0）的表达式；
（2）连接EF，猜想四边形AEFD是什么特殊四边形，并加以证明．
【分析】（1）由题意可得，D（2，4）．由四边形ABCD是平行四边形可知，AD∥BC，AD＝BC，所
以AD＝3，A，D两点的纵坐标相同，点A的横坐标比点D的横坐标少3，则A（﹣1，4），将点A的
坐标代入反比例函数解析式可得出结论；
（2）四边形AEFD是平行四边形．由点A，B的坐标可得，直线AB的解析式为：y＝ x+ ．联立反
比例函数和直线AB的表达式可得，E（﹣3， ）．由C（﹣1，0），D（2，4），可得直线CD的解析
式为：y＝ x+ ，所以F（0， ），E（﹣3， ），所以EF∥x轴∥AD∥x轴，EF＝AD＝3，由平行
四边形的判定可知，四边形AEFD是平行四边形．
【解答】解：（1）∵点D的纵坐标为4，点D在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴当y＝4时， ＝4，解得x＝2，
∴D（2，4）．∵B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
∴BC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝3，A，D两点的纵坐标相同，点A的横坐标比点D的横坐标少3，
∴A（﹣1，4），
∵反比例函数y＝ （x＜0）经过点A（﹣1，4）；
∴k＝﹣4，
∴反比例函数y＝ （x＜0）的表达式为：y＝﹣ （x＜0）．
（2）四边形AEFD是平行四边形．证明如下：
设直线AB的解析式为：y＝mx+b，
∵A（﹣1，4），B（﹣4，0），
∴ ，解得 ．
∴直线AB的解析式为：y＝ x+ ．
令 x+ ＝﹣ ，解得x＝﹣1或x＝﹣3，
∴E（﹣3， ）．
∵C（﹣1，0），D（2，4），
∴直线CD的解析式为：y＝ x+ ，
令x＝0，得y＝ ，
∴F（0， ），
∵E（﹣3， ），
∴EF∥x轴，EF＝3，
∵AD∥x轴，AD＝3，
∴EF∥AD，EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点评】本题主要考查反比例函数上点的坐标特点，待定系数法求函数表达式，平行四边形的性质与判
定等相关知识，熟知相关知识是解题关键．16．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反
比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD
＝3．
（1）反比例函数 的解析式是 y ＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面
积的最大值是 ．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结
论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出经过C、D两点的直线的解析式，设出点E坐
标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2， ），
∵点C，D在双曲线y＝ 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
故答案为：y＝ ；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣ x+3，
如图，设点E（n，﹣ n+3），
∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝ 于F，
∴F（n， ），
∴EF＝﹣ n+3﹣ ，
∴S ＝ （﹣ n+3﹣ ）×n＝ （﹣ n2+3n﹣4）＝﹣ （n﹣3）2+ ，
OEF
∵2△＜n＜3，
∴n＝3时，S 最大，最大值为 ，
OEF
△
故答案为： ．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建
立S 与n的函数关系式．
OEF
△
17．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），点B
在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）先求a，再求解析式．
（2）数形结合，利用平行四边形的性质求D的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝ ．
（2）当x＝2时，y＝ ＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
【点评】本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边形性质是求解
本题的关键．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共9小题）
18．（2023•立山区一模）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于A，B两点，若A（2，m），则点
B的坐标为（ ）A．（2，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣4）
【分析】利用待定系数法求出点A坐标，根据A、B关于原点对称即可解决问题．
【解答】解：∵点A（2，m）在y＝ 上，
∴m＝2，
∴A（2，2）
∵A、B关于原点O对称，
∴B（﹣2，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，理解 A、B
关于原点对称．
19．（2023•思明区校级模拟）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝x+m（m＜0）与双曲线
相交于点A，B，点A在第一象限，延长AO与已知双曲线交于点C，连接BC，若OA＝1，直线AC与x
轴所夹的锐角为15°，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据题意作出图形，可得点A和点C关于原点对称，即点O是AC的中点，连接OB，△OBC
和△OAB的面积相等，过点A作AE⊥x轴于点E，设直线AB与x轴交于点D，可得∠ADE＝∠DAE＝
45°，由对称可知，OA＝OB＝1，所以∠OBA＝∠OAB＝30°，∠OBC＝60°，过点B作BF⊥AC于点F，
求出△OAB的面积即可得出结论．
【解答】解：由反比例函数和一次函数的对称性可知，点A和点C关于原点对称，
连接OB，△OBC和△OAB的面积相等．
过点A作AE⊥x轴于点E，设直线AB与x轴交于点D，
∴D（﹣m，0），
设AE＝t，则x+m＝t，
∴x＝t﹣m，即OE＝t﹣m，
∴DE＝t，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，即∠ADE＝∠DAE＝45°，
由题意可知，∠AOE＝15°，
∴∠OAB＝30°，由对称可知，OA＝OB＝1，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
过点B作BF⊥AC于点F，
∴OF＝ ，BF＝ OF＝ ，
∴S ＝ •OA•BF＝ ×1× ＝ ，
OAB
△
∴S ＝2S ＝ ．
ABC OAB
故选△：C． △
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是得出△OAB与△OBC的面积相等
属于中考常考题型．
20．（2023•南关区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，DB⊥x轴于点B，AC所在
直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，已知直线AC的解析式为y＝
x+b，矩形ABCD的面积为120，则k的值是（ ）A．﹣20 B． C．﹣40 D．
【分析】过点 A 作 AM⊥BD 于点 M，设 AC 与 y 轴交于点 G，根据题意可知，△EAM∽△EFB，
△GOF∽△EBF，可得EM：AF＝EB：FB＝GO：FO，由直线AC的解析式为y＝ x+b，可得G（0，
b），F（﹣ b，0），则OG＝b，OF＝﹣ b，所以EM：AF＝GO：FO＝ ，设EM＝3a，则AM＝
4a，由矩形的性质可得AE＝EB＝5a，根据矩形ABCD的面积为120，列出方程，可得a2＝3；根据题意，
点A，E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，则E（ ，5a），A（ ﹣4a，5a﹣3a），即A
（ ﹣4a，2a），所以k＝（ ﹣4a）•2a，由此可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，设AC与y轴交于点G，
∵DB⊥x轴，
∴AM∥FB，DB∥GO，
∴△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，
∴EM：AM＝EB：FB，GO：FO＝EB：FB，
∴EM：AM＝GO：FO，
∵直线AC的解析式为y＝ x+b，
∴G（0，b），F（﹣ b，0），
∴OG＝b，OF＝﹣ b，∴EM：AM＝GO：FO＝ ，
设EM＝3a，则AM＝4a，
∴EF＝5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝EB＝5a，
∵矩形ABCD的面积为120，
∴2× BD•AF＝120，即10a•4a＝120，
解得a2＝3，
根据题意，点A，E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
则E（ ，5a），A（ ﹣4a，5a﹣3a），即A（ ﹣4a，2a）．
∴k＝（ ﹣4a）•2a，
解得k＝﹣ ＝﹣40．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，
矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
21．（2023秋•锦江区校级期中）如图，直线 的图象与y轴交于点A，直线y＝kx+k（k＞0）与x
轴交于点B，与 的图象交于点M，与 的图象交于点C．当S ：S ＝5：3
ABM AMC
△ △
时，k＝ 或 ．
【分析】过点M作ME⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，由△ABM于△ACM同高，且S ：S ＝
ABM AMC
△ △5：3，得BM：CM＝5：3，进而可得BM：BC＝5：8，证△BME∽△BCF，得BE：BF＝ME：CF＝5：
8，设BE＝5t，BF＝8t，求出点B（﹣1，0），则OE＝5t﹣1，OF＝8t﹣1，据此可分别求出点M，C的
坐标，从而得ME＝ （t﹣1），CF＝ ，再根据ME：CF＝5：8，得 （t﹣1）： ＝
5：8，由此解出t ＝ ，t ＝ ，当t＝ 时得点C（4， ），将点C代入y＝kx+x即可求得k的值；当t
1 2
＝ 时得点C（3，3），将点C代入y＝kx+x即可求得k的值．
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，如图所示：
∵△ABM于△ACM同高，且S ：S ＝5：3，
ABM AMC
∴BM：CM＝5：3， △ △
∴BM：BC＝5：8，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴ME∥CF，
∴△BME∽△BCF，
∴BE：BF＝ME：CF＝5：8，
∴设BE＝5t，BF＝8t，
对于y＝kx+k（k＞0），当y＝0时，kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OE＝BE﹣OB＝5t﹣1，OF＝BF﹣OB＝8t﹣1，
∴点M的横坐标为：5t﹣1，点C的横坐标为8t﹣1，
∵点M在直线y＝ x+3上，
∴点M的纵坐标y＝ （5t﹣1）+3＝ （t﹣1），
即ME＝ （t﹣1），∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴点C的纵坐标y＝ ，
∴CF＝ ，
∵ME：CF＝5：8，
∴ t﹣1）： ＝5：8，
整理得：16t2﹣18t+5＝0，
解得：t ＝ ，t ＝ ，
1 2
当t＝ 时，8t﹣1＝4， ＝ ，
∴点C的坐标为（4， ），
∵点C在直线y＝kx+x上，
∴ ＝4k+k，解得：k＝ ，
当t＝ 时，8t﹣1＝3， ＝3，
∴点C的坐标为（3，3），
∵点C在直线y＝kx+x上，
∴3＝3k+k，解得：k＝ ．
综上所述：k的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定及性质，理解题意，灵活运
用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
22．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交
y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （ ， 2 ） ．【分析】由题意，点 A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作 CH⊥x 轴，作
BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴2＝ ．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝ ．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝ ．
∴C点的横坐标为 ．
又C在双曲线y＝ 上，
∴C（ ，2 ）．
故答案为：（ ，2 ）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．23．（2023•碑林区校级模拟）若一次函数 y＝2x﹣1的图象与反比例函数 的图象相交于点
（a，3），则k＝ 6 ．
【分析】利用一次函数求出交点坐标，再代入反比例函数中求出k值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象与反比例函数 的图象相交于点（a，3），
令y＝3，代入一次函数中，
解得x＝2，
∴交点坐标为（2，3）．
将交点代入反比例函数解析式中，
解得k＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题以一次函数和反比例函数交点为背景，考查了函数图象的性质，难度较小，解决问题的关
键就是求出交点坐标即可．
24．（2023•凤凰县模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝k x的图象交于A（a，1）、B
2
两点．点M（a﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OM，BM交y轴于点N．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△BOM的面积．
【分析】（1）由点A（a，1），M（a﹣3，a）是反比例函数图象上的点，可得k ＝a×1＝a（a﹣3），
1
解得a＝4或a＝0（舍去），所以a﹣3＝1，所以反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）由反比例函数的对称性可知，点B的坐标为（﹣4，﹣1），由点B和点M的坐标可求得直线BM
的函数关系式为y＝x+3，所以点N的坐标为（0，3），分别过M、B作y轴的垂线，垂足分别为点P、
点Q，则PM＝1，BQ＝4，由S ＝S +S 可求得△BOM的面积．
BOM BON MON
【解答】解：（1）∵点A（a，△1），M△（a﹣3△，a）是反比例函数图象上的点，
∴k ＝a×1＝a（a﹣3），解得a＝4或a＝0（舍去），
1
∴则a﹣3＝1，
∴点A的坐标为（4，1），点M的坐标为（1，4），∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）∵反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝k x的图象交于A、B两点，且A（4，1）．
2
∴点B的坐标为（﹣4，﹣1），
设直线BM的函数关系式为y＝mx+b，
把点B（﹣4，﹣1），点M（1，4）分别代入得 ，解得 ，
∴直线BM的函数关系式为y＝x+3，
∴点N的坐标为（0，3），
如图，分别过M、B作y轴的垂线，垂足分别为点P、点Q，
则PM＝1，BQ＝4，
∴S ＝S +S ＝ ×3×4+ ×3×1＝ ．
BOM BON MON
△ △ △
