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专题 07 解直角三角形及其应用
重点 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
难点 会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题
易错 用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件
一、解直角三角形
【例1】在 中， ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在 中， ， ， ，且 为锐角， 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、解直角三角形在实际问题中的应用
【例1】3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树 垂直
于水平平台 ，通往平台有一斜坡 ， 、 在同一水平地面上， 、 、 、 、 均在同一平面
内，已知 米， 米， 米，斜坡 的坡度是 ，李同学在水平地面 处测得树冠顶端
的仰角为 ，则樱花树的高度 约为（ ）（参考数据： ， ，
）A．15米 B．13米 C．12米 D．9米
【例2】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度 m，从飞机上看地平面指挥台B
的俯角 ，则飞机A与指挥台B的距离是（ ）
A．1200 B． C．2400 D．
三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件
解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.
【例1】如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段
的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【例2】如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测
得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（
）A． km B． km C． km D． km
一、单选题
1．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅
翱翔，如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离 米，台阶底
端C与顶端D的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且 米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且
在点D看石雕上边缘点A的俯角为 ，则雕塑“翔”的高度AB约为（ ）米．（参考数据：
， ， ）
A．2.21 B．2.20 C．2.25 D．2.31
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6 ，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′
作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）
A．6 B．3 C．3 D．6 ﹣6
3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C
上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）A．6 B．5 C．3 D．
4．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D
处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度
AB为（ ）
A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosB＝ ，则BC的长为( )
A．6 B．2 C． D．
6．如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针
旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再
过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．8．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2 ，则
AP=________．
三、解答题
9．如图，已知 中， ， ，将 绕点A顺时针方向旋转60°到 ，
点B，C的对应点分别为点 ， ，连接 ，
（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求 的长．
10．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶
梯式自动扶梯 长为10m，扶梯 的坡度 为 ．改造后的斜坡式动扶梯的坡角 为
（1）请你求出 的长度；
（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：
）
一、单选题
1．如图，四边形 内接于 ， ， ， ，点 为 的中点，则线段 的长
为（ ）A． B． C． D．
2．如图，沿AB方向架桥 ，以桥两端B、D出发，修公路 和 ，测得 ，
， ，则公路 的长为（ ）
A．900m B． m C． m D．750 m
3．如图，直线 ， 与 和 分别相切于点A和点B，点M和点N分别是 和 上的动点，MN沿
和 平移，若 的半径为1， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 和 的距离为2 B．当 与 相切时，
C． D．当 时，MN与 相切
4．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则对角线 的最小值为
（ ）A． B．5 C．6 D．
5．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到
地面的距离 米，小明身高 米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，
已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域 的长为（ ）米．（ ）
A． B．
C． D．
6．在四边形 中， ， ， ， ， （如图）．点O是边 上
一点，如果以O为圆心， 为半径的圆与边 有交点，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．如图， 为 的直径，弦 、 交于点P，若 ，则 _______．8．如图，线段 ， 分别表示甲、乙建筑物的高， 于点B， 于点D，两座建筑物
间的距离 为 ．若甲建筑物的高 为 ，在点A处测得点C的仰角 为 ，则乙建筑物的高
为___________m．
三、解答题
9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼
的水平距离为180m，这栋楼有多高（结果取整数）？
10．如图，在平行四边形 中，E为 边上一点，连接 ，F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；(2)连接 ，当 为直角三角形时， ， ， ， ______．
