文档内容
第 01 讲 反比例函数 （8 个知识点+8 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围
是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去
判断，其形式为y＝ （k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
知识点2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两
边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的
图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．知识点3．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；
②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
知识点4．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
知识点5．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是
定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |
k|，且保持不变．
知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
知识点7．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝ （k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
1
①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交点；
1 2 1
②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交点．
1 2 1
题型强化
题型一．反比例函数的定义
1．（2024春•让胡路区校级期中）下列关系式中， 是 的反比例函数的是
A． B． C． D．
2．（2024•大渡口区模拟）已知函数 是反比例函数，则 的值为 ．
3．（2024•邗江区校级三模）已知函数 ，
（1）当 ， 为何值时是一次函数？
（2）当 ， 为何值时，为正比例函数？
（3）当 ， 为何值时，为反比例函数？题型二．反比例函数的图象
4．（2024•新邵县三模）已知反比例函数 的图象如图所示，若点 的坐标为 ，则 的值
可能为
A．3 B．6 C．7 D．8
5．（2023•丰台区二模）在平面直角坐标系 中，反比例函数 和 的图象如
图所示， 的值可以是 ．（写出一个即可）
6．（2023•邗江区校级二模）在平面直角坐标系中，设函数图象 上的点 坐标为 ．我们不妨约定：
点 的纵坐标与横坐标的差“ ”叫做点 的“双减差”，而图象 上的所有点的“双减差”的最小
值称为函数图象 的“幸福数”．例如：抛物线 上有点 ，则点 的“双减差”为6；当时， ；该抛物线的“幸福数”为 ．据约定，解答下列问题．
（1）求函数 图象的“幸福数”；
（2）若直线 的“幸福数”为 ，求 的值；
（3）设抛物线 顶点的横坐标为 ，且该抛物线的顶点在直线 上，当
时，抛物线 的“幸福数”是 ，求该抛物线的解析式．
题型三．反比例函数图象的对称性
7．（2023秋•甘州区校级期末）正比例函数 和反比例函数 的一个交点为 ，则另一个交点
为
A． B． C． D．
8．（2024•江南区校级三模）如图所示，点 是反比例函数图象 与 的一个交点，图
中阴影部分的面积为 ，则 ．
9．（江西模拟）如图，正方形 中顶点 在一双曲线上，请在图中画出一条过点 的直线，使之与双曲线的另一支交于点 ，且满足线段 最短．
题型四．反比例函数的性质
10．（2024•沙坪坝区校级三模）若反比例函数 的图象经过第一、三象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2024•南岗区校级三模）已知反比例函数 的图象位于第一、三象限，则 的取值范围是
．
12．（2024•宿豫区三模）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为 ；②函数表达
式为 ；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于 轴对称；⑤函数值 随自变量 增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子 中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子 中搅匀．
（1）从盒子 中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
（2）先从盒子 中任意抽出1支签，再从盒子 中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数
的描述相符合的概率．
题型五．反比例函数系数k的几何意义
13．（2024•萨迦县一模）如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，过点 作平行四边形
，使点 、 在 轴上，点 在 轴上．已知平行四边形 的面积为6，则 的值为
A．6 B． C．3 D．
14．（2024•东港区校级一模）如图，矩形 的顶点 ， 分别为反比例函数 与
，点 ， 在 轴上， ， 分别交 轴于点 ， ，则阴影部分的面积为 ．15．（2024•濮阳二模）如图， 是等边三角形，点 在 轴的正半轴上， ，反比例函数
过 的中点 ，交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）以 为圆心 为半径作圆， 与 的图象的另一个分支交于点 、 ．求图中阴影部分面积．
题型六．反比例函数图象上点的坐标特征
16．（2023秋•章丘区期末）若点 在反比例函数 的图象上，则该图象也过点
A． B． C． D．17．（2024•文昌二模）若双曲线 的图象经过点 和 ，则 的值为 ．
18．（2024•长沙一模）定义：在平面直角坐标系 中，若在函数图象 上存在一点 ，绕原点顺时针
旋转 后的对应点 （点 与 不重合）仍在此函数图象 上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其
中点 称为这个函数的“凡尔赛点”，点 叫作点 的“后凡尔赛点”．
（1）函数① ，② ，③ ，其中是“凡尔赛函数”的是 ；（填序号）
（2）若一次函数 是“凡尔赛函数”，点 ， 为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求
的值；
（3）若点 是二次函数 （其中 ， ， 为常数， 的“凡尔赛点”，点 为
的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与 轴交于 、 两点，由点 、 、 、 四点构成的四边形
面积记为 ，求 的取值范围．
题型七．待定系数法求反比例函数解析式
19．（2024•双柏县三模）已知反比例函数的图象经过点 ，那么该反比例函数的表达式为A． B． C． D．
20．（2024•新城区校级模拟）已知 ， ， ， 是同一个反比例函数图象上的两点，若
，且 ，则这个反比例函数的表达式为 ．
21．（2024•河南模拟）如图，点 ， 在反比例函数 的图象上，连接 ，
．
（1）求反比例函数的解析式和 的值．
（2）在直线 （直线 上各点的纵坐标均为 上是否存在一点 ，使得 ？若不存在，请说明
理由；若存在，请求出点 的坐标．题型八．反比例函数与一次函数的交点问题
22．（2024春•江津区月考）已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，则反比例函
数 经过点
A． B． C． D．
23．（2024•钱塘区二模）若正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，
则 的值为 ．
24．（2024•兰山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的
图象交于 、 两点，与 轴相交于点 ，已知点 ， 的坐标分别为 和 ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式 的解集；
（3）点 为反比例函数 图象上的任意一点，若 ，求点 的坐标．分层练习
一、单选题
1． 下列说法中，正确的是（ ）
A．满足不等式 的 的最大负整数是
B．若点 、 、 在双曲线 上，则
C．将双曲线 绕原点旋转90°后，可得到双曲线
D．若双曲线 与直线 有交点, 则
2．图象经过点(2，1)的反比例函数是( )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝2x
3．已知正比例函数 图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，其中点A在第
二象限，横坐标为 ，另一交点B纵坐标为 ，则 ， 的值是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．反比例函数 在第一象限的图象如图，则k的值有可能是( )A．4 B．2 C． D．1
5．一次函数 与反比例函数 （ ， 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 和一次函数
在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．A． B．
C． D．
7．已知y与x成反比例函数，且x=2时，y=3，则该函数表达式是（ ）
A．y=6x B．y= C．y= D．y=
8．“已知：正比例函数 与反比例函数 图象相交于 两点， 其横坐标分
别是 1 和﹣1，求不等式 的解集．”对于这道题，某同学是这样解答的：“由图象可知：当
或 时， ，所以不等式 的解集是 或 ”．他这种解决问题的思路体现
的数学思想方法是( )
A．数形结合 B．转化 C．类比 D．分类讨论
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
2
10．反比例函数 与 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 轴的直线分别交双曲线于 、
x
y= y= x A B
两点，连接 、 ，则△ 的面积为（ ）
OA OB AOB
A． B． C． D．
2 3 1
二、填空题
11．已知正比例函数 与反比例函数 交于A（x，y）、B（x，y）两点，则 的
1 1 2 2
值为 ．
12．若 是反比例函数，则m满足的条件是 ．
13．若反比例函数 的图象在第一、第三象限，则m的取值范围 ．
14．已知反比例函数 的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 .
15．已知正比例函数y=kx的图像与反比例函数y= 的图像相交于点A(2，y)、点B(x，-3)，则a=
．
16．已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则 的值为
（填“正数”或“负数”或“0”）．17．如图，已知点A在反比例函数y＝ 的图象上，点B，C分别在反比例函数y＝ 的图象上，且AB∥x
轴，AC∥y轴，若AB=2AC，则点A的坐标为
18．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4），Q（m，n）在函数y＝ （x＞0）的图象上，过点P分别
作x轴，y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交P于点
E，若四边形ACQE的面积为3，则点Q的坐标是 ．
三、解答题
19． 的气体装在体积为 的容器中，气体的密度为 ．写出密度与体积间的关系式．
20．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝ 的图象经过点
E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求图象经过A、E两点的一次函数的表达式是_____；
（2）若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式是_____．21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，OA＝3，OC＝2，且
BE∥AC，AE∥OB．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）求经过点E的双曲线对应的函数解析式；
（3）设经过点E的双曲线与直线BE的另一交点为F，过点F作x轴的平行线，交经过点B的双曲线于点
G，交y轴于点H，求△OFG的面积．
22．在直角三角形 中， ， ， ，点 为 上一动点，过点 作 交
于点 ，再过点 作 交 于点 ，设点 的长度为 ， 和 的长度之和为 ， 与
的长度之比为 ．(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；请分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ）
23．如图，直线 与双曲线 相交于点 ，与x轴交于点C点．
(1)求双曲线表达式；
(2)点P在x轴上，如果 的面积为9，求点P的坐标．24．已知函数 ( 是常数， )，函数
(1)若函数 和函数 的图象交于点 ，点 ．
求 ， 的值；
当 时，直接写出 的取值范围；
(2)若点 在函数 的图象上，点 先向下平移 个单位，再向左平移 个单位，得点 ，点 恰好落
在函数 的图象上，求 的值．
25．如图， 已知反比例函数 的图象经过点 和点B，点B在点A的下方， 平分
，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用 铅笔
作图)
(3)线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接 ．求证： ．
26．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
销售量p（件） P=50—x
当1≤x≤20时，
销售单价q（元/件）
当21≤x≤40时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
