文档内容
第 02 讲 实际问题与反比例函数（2 个知识点+2 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实
际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到
反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成
的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
知识点2．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的
实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
题型强化
题型一．根据实际问题列反比例函数关系式1．（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流 （A）与电阻 成反比例关系， 与
的函数图象如图， 关于 函数解析式是
A． B． C． D．
【分析】根据电压 电流 电阻得到稳定电压的值，让 即可．
【解答】解： 当 ， 时，
电压 ，
．
故选： ．
【点评】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值．
2．（2021•株洲模拟）如图，矩形 中， ， ，动点 从 点出发，在 上移动至点
停止．记 ，点 到直线 的距离为 ，则 关于 的函数解析式是 ．
【分析】记 边上的高为 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再根据两组角对应相
等的两个三角形相似求出 和 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，然后整理即
可得到 与 的关系式．
【解答】解：如图，记 边上的高为 ，矩形 中， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性
质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
3．（2023春•济南月考）长方形相邻的两边长分别 ， ，面积为30，用含 的式子表示 ．
【分析】根据矩形面积公式得出 之间的关系即可．
【解答】解： 长方形相邻两边长分别为 、 ，面积为30，
，
，
则用含 的式子表示 为 ．
【点评】此题主要考查了列函数关系式，得出 的关系是解题关键，属于基础题，比较简单．
题型二．反比例函数的应用
4．（2024•河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电 度，则能使
用 天．下列说法错误的是A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 减小，则 也减小 D．若 减小一半，则 增大一倍
【分析】根据题意列出反比例函数 ，然后逐项计算判断即可．
【解答】解：由题意得， ；
、若 ，则 ，正确，故此选项不符合题意；
、若 ，则 ，解得 ，正确，故此选项不符合题意；
、若 减小，则 增大，原说法错误，故此选项符合题意；
、若 减小一半，即 ，所以 增大一倍，正确，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题的关键．
5．（2024•东莞市模拟）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流 （单位： 与电阻
（单位： 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过 ，
那么用电器可变电阻 应控制的范围是 ．
【分析】设电流 （单位： 与电阻 （单位： 是反比例函数关系为 ，利用待定系数求出
，再求出当 ， ，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可．
【解答】解：设电流 （单位： 与电阻 （单位： 是反比例函数关系为 ，把点 代入 中得， ，
，
，
当 时， ，
解得 ，
，
电流 随电阻 的增大而减小，
限制电流不能超过 ，那么用电器可变电阻 应控制的范围是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出 是解题的关键．
6．（2024秋•崇川区期中）如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 （单位：天）是每天完
成的工程量 （单位： 天）的反比例函数，其图象经过点 ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠 ，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需
要几台这样的挖掘机？
【分析】（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时， 的值，再用 的值除以16即可得到答案．
【解答】解：（1）设 与 的函数关系式为 ，点 在函数图象上，
，
，
所求函数关系式为 ；
（2）当 时， ，
，
，
答：需要5台这样的挖掘机．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关
键．
分层练习
一、单选题
1．一种药品经两次降价，由50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是( )%．
A．20 B．90 C．10 D．30
【答案】C
【分析】设平均每次降价的百分率为x，由降低后的价格=降低前的价格×（1－降低率），可得第一次降价
后的价格是 ，第二次降价后的价格是 ，由此可列出方程，再解方程即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得： ，
解得： ， （不合题意舍去），
∴平均每次降价的百分率是10%．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，根据等量关系正确列出方程是解题
的关键．
2．劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内
从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化
率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，
列出方程即可．
【详解】解：第一年的产量为 ，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为 ，
则列出的方程是 ．
故选：D．
3．受益于电子商务的发展以及法治环境的改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑
马”2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件，若设快递量平均每年增长率
为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝740 B．500（1+2x）＝740
C．500（1+x）＝740 D．500（1﹣x）2＝740
【答案】A
【分析】根据题意，设快递量平均每年增长率为x，则2019年的快递业务量为 ，2020年的快递
业务量为 ，据此解题．
【详解】设快递量平均增长率为x，根据题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024年元旦档上映.电影的点映及预售总票房突破400万元，若
以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达4000万元．设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作x，分别求得三天的收入，根据三天累计票房收
入达4000万元，列方程即可求解．
【详解】解：设票房收入的日均增长率为x，根据题意得：
，
故选：C．
5．某区为加强了对教师队伍的建设的投入，2019年投入1000万元，预计2020年、2021年两年共投入
4000万元，设投入经费的年平均增长率为 ，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率）”设经费的年平均增长率为x，根据“2019年投
入1000万元，则2020年投入1000（1＋x），2021年投入为1000（1＋x）2，然后根据已知条件可得出方
程．
【详解】解：依题意得2020年投入1000（1＋x），2021年投入为1000（1＋x）2，
∴1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝4000．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问
题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．
6．某地92号汽油价格三月底是 元/升，五月底是 元/升，设该号汽油价格这两个月平均每月的增长
率为 ，正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解
题关键．设该号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于
x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得 ．
故选：A．
7．如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积
之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x米．由题意可列方
程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地面积之和为60平方米列出方程即可．
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解题的关键是用x表示出两块矩形绿地的总长和宽．
8．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都
相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【答案】B
【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的
一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：3000（1＋x）2＝3630，解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班
有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C． x(x+1)=1035 D． x(x-1)=1035
【答案】B
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
10．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙
会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙
一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问
乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股定理
即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入 中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去），
∴ ．
故乙走的步数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
11．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为 ，则所列方程
为 ．
【答案】
【分析】设平均每年增产的百分率为 ，则第一年粮食的产量为： ，第二年粮食的产量为：
，根据题意列方程即可．
【详解】解：设平均每年增产的百分率为 ；
第一年粮食的产量为： ；
第二年粮食的产量为： ；
依题意，可列方程： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系是解题的关键．
12．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，那么每
轮传染中平均一个人传染的人数为 ．
【答案】6
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得1+x+x（1+x）＝49，
∴ ＝0，
∴ （不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给6个人．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13．某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为 ，根据题意，请列
出方程为 ．
【答案】
【分析】根据在1个主干上的主干为1、枝干为 和小分支的数量 之和是 个，即可得出关于x的一元
二次方程．
【详解】解：依题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
14．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定
采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降
价 元．
【答案】10
【分析】设每件降价 元则每件的盈利为 元，每天可出售 件，由总利润 每件的盈利
日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件，
根据题意得： ，
解得： ， ．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．根据国家“两免一补”的助学政策，某市2021年投入教育经费4500万元，预计2023年投入5600万
元．设这两年投入教育经费的平均年增长率为 ，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】确定等量关系2021年的教育经费×（1+增长率）2=2023年的教育经费，即可列出方程．
【详解】根据题意，得 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键．
16．若一个人感冒可传染 个人，经过两轮传染后有 人感冒，求 ，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求出第一轮传染后患流感的人数，再求出第二轮传染
后患流感的人数，相加等于总人数即可列出方程，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则第一轮传染后患流感的人数为 ，第二轮传染
后患流感的人数为 ，
由题意可得， ，
故答案为： ．
17．某商品价格原价为80元，经过两次调价后下降到64元，若每次调价的下降率均为x，则可列出方程
是
【答案】
【分析】根据降价后的价格=原价（1-降价的比例），可先表示出第一次降价后的价格，那么第二次降价后
的价格×（1-降低的百分率）2=64，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设平均每次调价的百分率为x，根据题意可得：
80（1-x）2=64．
故答案为：80（1-x）2=64．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
18．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，这件商品的年平均增长率
是 .
【答案】10%；
【详解】设每次提价的百分率为x，
则 100（1+x）2=121
解之得x=0.1 x=-2.1（不合题意，舍去）
即每次提价的百分率为10%，
故答案是：10%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均
降低率问题，注意区分“增”与“减”．
三、解答题
19．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新
能源汽车1月份销售100辆，3月份销售121辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率．
【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为
【分析】设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月
份的销售量，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程： ，
解得 （不合题意，舍去），
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描
述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为 ），另外三面用栅栏围成，
已知栅栏总长度为 ，设矩形垂直于墙的一边 的长为 ．
(1)用含x的代数式表示 边的长；
(2)若该矩形养殖场的面积为 ，求 边的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据各边之间的关系，可得出 的长为 ；（2）根据矩形养殖场的面积为 ，可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出
结论．
【详解】（1）解：∵栅栏总长度为 ， 的长为 ，
∴ 的长为 ；
（2）解：根据题意得： ，整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
∴ ．
21．“农民也可以报销医疗费了！”这是我区推行新型农村合作医疗的成果．村民只要每人每年交100元
钱，就可以加入合作医疗，大病先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例的返回款，这一举措大地
增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以
下的统计图．根据信息，解答以下问题：
(1)本次调查了多少村民？被调查的村民中，有多少参加合作医疗得到了返回款？
(2)该乡若有10000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680
人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率．
(3)参加合作医疗遭遇重大疾病的村民得到的返回款人均5000元，从总体回报的角度看，是否建议参加新
型农村合作医疗？说明理由．
【答案】(1)本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款；
(2)估计该乡参加合作医疗的村民有8000人；年平均增长率为10%；(3)建议参加新型农村合作医疗，理由见解析
【分析】（1）根据样本容量为各组频数之和，可得共有240+60=300（人）；其中有2.5%即6人得到了返
回款；
（2）用样本估计总体即可得出答案；
（3）用样本估计总体即可得出答案．
【详解】（1）解：调查的村民数=240+60=300(人)，
参加合作医疗得到了返回款的人数=240×2.5%=6(人)；
答：本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款；
（2）解：∵参加医疗合作的百分率为 ×100%=80%，
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000(人)；
设年平均增长率为x，
根据题意得：8000（x+1）2=9680，
解得：x=0.1=10%，x=-2.1（舍去）
1 2
答：年平均增长率为10%；
（3）解：本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款，且返回款人均5000
元，
共返回5000×6=30000(元)，
人均返回30000÷300=100(元)，
与每人每年交100元钱相当，但增强了农民抵御大病风险的能力．
建议参加新型农村合作医疗．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分
比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
22．2023河南省消费帮扶“土特产”产销对接专项行动在漯河市隆重开幕，此次活动以“打造‘土特
产’名优品牌，赋能乡村产业振业”为主题，吸纳全省各地市的商户前来参展．某商场从展销会签订合同
购进某种特产商品，每件进价为100元．经调查发现，若每件售价为150元，平均每天售出60件；当特产
商品售价每降低1元时，商品平均每天可多售出3件．
(1)当特产商品售价降低5元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元．
(2)为了减少库存，当每件特产商品降价多少元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元？
【答案】(1)75；3375(2)当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元
【分析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题．
（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；
（2）设每件特产商品降价x元，则每件特产商品的销售利润为 元，每天可售出 件．
根据“每天可盈利3600元”即可列出方程，求解即可．
【详解】（1）当特产商品售价降低5元时，销售量为： （件），
每天盈利： （元）．
故答案为：75，3375
（2）设每件特产商品降价x元，则每件特产商品的销售利润为 元，每天可售出 件．
根据题意，得
，
整理，得 ，
解得 ．
为了减少库存，则 ．
答：当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元．
23．如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 从 开始沿
边向 以每秒 的速度移动，点 从 开始沿 边向 以每秒 的速度移动，如果点 、 分别
从 、 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为 秒．
(1)求证：当 时，四边形 是平行四边形；
(2) 是否可能平分对角线 ？若能，求出当 为何值时 平分 ；若不能，请说明理由；
(3)若 是以 为腰的等腰三角形，求 的值．【答案】(1)见解析
(2)当 秒时， 平分对角线
(3)若 是以 为腰的等腰三角形， 的值为
【分析】（1）由题意可得当 秒时，两点停止运动，在运动过程中 ， ，即可得
， ，由 ，即可求得 ，又由 ，即可判定四边形 是平行四
边形；
（2）首先连接 交 于点 ，若 平分对角线 ，则 ，易证得 ，继而可得四
边形 为平行四边形，则可得 ，解此方程即可求得答案．
（3）分两种情况：①当 时，作 于 ， 于 ， 与 ，如图所示：则
， ， ，得出 ， ，
由 得出方程，解方程即可；
②当 时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】（1）证明： ，
当 秒时，两点停止运动，在运动过程中 ， ，
， ，
当 时， ， ，
又 四边形 为等腰梯形，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解： 能平分对角线 ，当 秒时， 平分对角线 ．
理由如下：
连接 交 于点 ，如图1所示：若 平分对角线 ，则 ，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
即四边形 为平行四边形，
，
解得 ，符合题意，
当 秒时， 平分对角线 ．
（3）解：分两种情况：
①当 时，作 于 ， 于 ， 与 ，如图2所示：
则 ， ， ，
， ，
，
，
，解得： ；
②当 时，由勾股定理得： ，
，
整理得： ，
解得 ，方程无解；
综上所述：若 是以 为腰的等腰三角形， 的值为 ．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判
定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
24．【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，
赛程计划安排 天，每天安排 场比赛．
（1）①共有______场比赛；
②设比赛组织者应邀请 个队参赛，每个队要与其他_____个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛________场，列方程：____________；
【小试牛刀】；
（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了15次，有多少人参加聚会？
【综合运用】；
（3）将 ， ， ，……， ，共 个点每两个点连一条线段共得到 条线段，将 ， ， ，……，
．共 个点每两个点连一条线段共得到 条线段，问 能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①28；② ， ， ；（2）6人；（3）能为整数，见解析．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队
之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
（1）①利用乘法运算即可求解；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加 场比赛，则共有 场比赛，可以列出一元
二次方程；
（2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解；（3）同（1）的方法得到 ， ，进一步求解即可．
【详解】解：（1）①共有 场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他 个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛
和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有 场比赛，
根据题意，列出相应方程： ，
故答案为：①28；② ， ， ；
（2）设有 人参加聚会，
根据题意，得： ，
解得 ， （舍去）
答：一共有 人参加聚会；
（3）依题意得 ， ，
，
∵n为正整数，要使 为整数， 可为1或2，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴当 或 时， 为整数．
25．去年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行
动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙 的最大可用长度为22米），用长为40
米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽 为x米．(1) 米（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽 ．
【答案】(1)
(2)12米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次
方程是解题的关键．
（1）根据题意列代数式化简即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设若设菜地的宽 为x米，
由题意可得： 米．
故答案为： ．
（2）解：由（1）可知： ， ，
由题意可得： ，解得： 或 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意．
所以，此时的宽 为12米．
26．（1）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 长的篱笆，怎样围成一个面积为 的矩形场地？
能围成一个面积为 的矩形场地吗？
（2）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比
为 ，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（只列方
程不计算）【答案】（1）围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形；能围成一个面积为 的矩形场
地；（2）方程为
【分析】（1）设垂直于墙的一面AB为xm，那么另一边长为 ，根据题意列出方程进行求解判
断即可；
（2）根据横竖彩条的宽度之比为 设每个横彩条得宽度为 ，则每个竖彩条得宽度为 ，再根据
题意列出方程即可．
【详解】解：（1）设垂直于墙的一面AB为 ，那么另一边长为 ，
由题意得当 ，
解得 ， ，
围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形，
当 ，
整理得 ，
∴此方程无实数解，所以不能围成一个面积为 的矩形场地；
（2）∵横竖彩条的宽度之比为 ，
∴设每个横彩条得宽度为 ，则每个竖彩条得宽度为 ，依题意方程可列为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并列出正确的方程．
