文档内容
专题12 图形类规律探索
1．用长方形 和三角形 按图示排列规律组成一连串平面图形．
(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 ；
(2)设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y．请你写出用x表示y的关系式．
2．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，
当正方形只有一个时，等边三角形有 个（如图 ）；当正方形有 个时，等边三角形有 个（如
图 ）；以此类推
(1)若图案中每增加 个正方形，则等边三角形增加______个；
(2)若图案中有 个正方形，则等边三角形有______个．
(3)现有 个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少
个？
3．如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第 个三角形的每一边上都有n个点，
该图形中点的总数记为 ，我们把 称为“三角形数”，并规定当 时，“三角形数” ．
(1)“三角形数” ______________， ______________；
(2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如．请猜想： ______________；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．
4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三
角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数 （用含n的代数式表示）；
(3)若图 中挖去三角形的个数为 ，求 ．
5．【观察思考】
画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有
5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边
形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断
重复此过程……，据此解答下面的问题．(1)【规律总结】图3中黑色五边形个数 ；白色五边形的个数 ；
(2)根据这个规律，求图n中黑色五边形个数 ；白色五边形的个数 （用含n的代数式
表示）
(3)【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?
6．用正方形的白色水泥砖和灰色水泥砖按如图所示的方式铺人行道
(1)第①个图中有灰色水泥砖 块，
第②个图中有灰色水泥砖 块，
第③个图中有灰色水泥砖 块；
(2)依次铺下去，第n个图中有灰色水泥砖 块．
7．一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形
三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之
和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．
(1)根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结
论；
(2)图2是这种特殊的三角形幻方，请把数字﹣4，﹣2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；
(3)图3是这种特殊的三角形幻方，请求x的值．
8．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？
9．【问题呈现】
用一些长短相同的小木棍按图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公
共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和六
边形各多少个.
【自主思考】
慧慧用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请把表格内容补充完整.
连续摆放的个数/个 使用小木棍的根数/根
正方形
六边形
关系
【建模解答】
（请完整解答本题）
10．如图是由一些火柴棒搭成的图案．
(1)摆第4个图案用 根火柴棒．
(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用 根火柴棒．(3)计算一下摆481根火柴棒时，是第几个图案？
11．实验探究：如图，在四边形ABCD内部，有n个点Pi（i 1，2，3，…，n），连接这 个
点构造不重叠的小三角形，请把在不同点数情况下最多可构造的三角形个数填入表中．
四边形内部的点数 1 2 3 4 ... n
构造的小三角形个
4 6 ...
数
(1)将上表中数据补充完整；
(2)当四边形中有2022个小三角形时，求点数n的值．
12．如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种
规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正
方形地面砖的边长均为0.3m．
(1)按图示规律，第一图案的长度 ______；第二个图案的长度 ______；(2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度 （m）之间的关系；
(3)当走廊的长度L为60.3m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．
13．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需8根火柴棒，图案②需15根火
柴棒，图案②需15根火柴棒，…
(1)按此规律，图案⑦需____________根火柴棒；
(2)用含n的代数式表示第n个图案需根火柴棒根数．
14．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，
在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形
（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角
形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继
续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称
为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
(1)【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的
倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 倍；
(2)【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是 ；周长为 （用含n的代数式
表示）
15．用棋子摆出下一组图形：(1)摆第1个图形用______枚棋子，摆第2个图形用______枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子．
(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图形用多少枚棋子？
(3)计算一下摆第100个图形用多少枚棋子？
(4)小鱼同学手上刚好有50枚棋子，是否可以摆出符合这种规律的图形，50枚棋子一枚不剩？如果
可以，求出是第几个图形；如果不可以，请说明理由．
16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案
中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
(1)第④个图案中有______个黑色三角形．
(2)求第ⓝ个图案中有多少个黑色三角形？（用含n的代数式表示）
(3)求第100个图案中黑色三角形的个数．
17．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形
个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
18．[提出问题]一个 边形，内部有 个点，用这些点以及 边形的 个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重
叠的小三角形？
[探究问题]
为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：
探究一：以 的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把 分割成3个互不重
叠的小三角形．（如图①）
探究二：以 的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把 分割成5个互不重
叠的小三角形．
探究三：以 的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把 分割成7个互不重
叠的小三角形．
[解决问题]
以 的三个顶点和它内部的 个点，共 个点为顶点，可把 分割成______个互不重
叠的小三角形．
[拓展探究]一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点 、 、 、 ，可把原
正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格．
（1）填写下表：
正方形 内点的个
1 2 3 4 …
数
分割成三角形的个数 4 ______ ______ ______ … ______
（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，此时正方形 内有多少个点？若不能，
请说明理由？[实际应用]
以五边形的5个点和它内部的2022个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成______个互不重叠
的小三角形．
[归纳总结]： 边形的内部的 个点，共 个点作为顶点，可把原 边形分割成______个互不
重叠的小三角形
