文档内容
专题 11 实际问题与二次函数（2 个知识点 7 种题型
2 个易错点 4 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.利用二次函数解实际问题的步骤（重点）
知识点2.利用二次函数解实际问题的常见类型
【方法二】 实例探索法
题型1.利用二次函数解体育中的最值问题
题型2.利用二次函数解图形面积中的最值问题
题型3.利用二次函数解最大利润问题
题型4.利用二次函数解方案设计问题
题型5.利用二次函数解拱桥通车问题
题型6.根据图象结构函数模型解决问题
题型7.利用二次函数解决动点问题
【方法三】差异对比法
易错点1.自变量取值范围的确定
易错点2.因忽略自变量的取值范围而多解、错解
【方法四】 仿真实战法
考法1.实际问题中的二次函数
考法2.利润问题中的二次函数
考法3.图形面积问题中的二次函数
考法4.拱桥问题中的二次函数
【方法五】 成果评定法【学习目标】
会分析实际问题中包含的数量关系，体会其中的变化规律，从中抽象出二次函数模型，利用二次函数
图象和性质解决问题
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.利用二次函数解实际问题的步骤（重点）
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2.利用二次函数解实际问题的常见类型题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
【例1】（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底
是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出
方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形
的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【例2】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米
宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
18Ã×
2Ã×
解答方法：通过列出篱笆的长和宽来求解面积
解：设鸡场的宽为 。（舍，不符合题意）或
答：鸡场的长为15米，宽为10米。
答案：10米。
题型3：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千
位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、
2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
【例3】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x＝4，x＝8，
1 2
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
题型4：利润（利息）问题
利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
【例4】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多
卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销
售单价定位多少元？
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x =1，x =4，
1 2
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
题型5：比赛统计问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
【例5】（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共
进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A．8 B．10 C．7 D．9
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
题型6：传播问题
传播问题：
a(1x)n A
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的
人数．
【例6】（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每
轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染 个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
则第一轮传染后总传染人数为 ，第二轮后总传染人数为 ，
因此 ．
【方法二】实例探索法
题型1.利用二次函数解体育中的最值问题
1．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：
米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是 ，则该男生铅球推出的距离是
_______米．
【答案】10
【详解】解：当 时， ，解之得 （不合题意，舍去），
所以推铅球的水平距离是10米，
2．（2023•安徽二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮
框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知
篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米．图中所示抛物线的
一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度
为3.55米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心 B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度
和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球
直接投中篮圈中心B．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标是（﹣3，3.55），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+3.55，
∵点（﹣6，2.05）在抛物线上，
∴a（﹣6+3）2+3.55＝2.05，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∵点（﹣6，2.05）在抛物线上，
∴抛物线与y轴的交点为（0，2.05），
∵篮圈中心B坐标为（0，3.05），
∴本次训练不能投中，
设移动后的抛物线的表达式为 ，∵篮球要直接投中篮圈中心B（0，3.05），
∴ ，
解得 ， （舍去），
∵ ．
∴ ，
∴该球员只要向前移动 米．
题型2.利用二次函数解图形面积中的最值问题
3．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）利用长为 的墙和 长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平
行于墙的一边长不小于 ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【详解】解；设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，矩形面积为 ，
∵平行于墙的一边长不小于 ，墙的长度为
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴当 时，y随x增大而减小，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 ， ，
故选A．
4．（2023·山东临沂·统考二模）一块三角形材料如图所示， ， ， ，用这块材料剪出一个矩形 ，其中，点D，E，F分别在 上，能够剪出的矩形 的面积最大为
________．
【答案】
【详解】解：∵ ， ，且四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
∴在 中，设 ，则
∴
∴在 中，
∴
∴矩形 的面积 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，矩形 的面积最大，为 ．
5．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以
1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q
两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S△PBQ ＝ BQ•PB＝ ×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），
∵S△PBQ ＝﹣t2+3t＝2，
解得t＝1或t＝2，
∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）∵S＝ ﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣ ）2+ （0≤t≤2），
∵a＝1，
∴t＝﹣ ＝ s时，S有最小值，最小值为 cm2．
题型3.利用二次函数解最大利润问题
6．（2023·山东聊城·统考二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销
售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最
大利润为______元（利润＝总销售额－总成本）．
【答案】800
【详解】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ，
∵点 ， 在该函数图象上，∴ ，
解得 ，
即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ，
设每天的销售利润为w（元），
则
，
∵ ，开口向下，
∴当 时， 有最大值为800，
即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，
7．（2023·云南昆明·云大附中校考三模）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家
网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调
查发现，每天销售量 与销售单价 （元）满足如图所示的函数关系（其中 ）
(1)求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，设每天销售该特产的利润为 元，则销售单价 为多少元时，每天的销售利润最大?最
大利润是多少元?【答案】(1)
(2)当 时，销售利润最大，最大为6480元
【详解】（1）解：由图象知，当 时， ；
当 时，设 ，将 ， 代入得
，解得 ，
与 之间的函数关系式为 ，
综上所述， ，
故答案为： .
（2）解：当 时， ，
， ，
当 时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
故答案为：当 时，销售利润最大，最大为6480元．
8．（2023·江苏淮安·统考三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元；
购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．
销售单价x(元/件) 12 18
日销售量y(件) 16 4
(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当 时，甲商品的日销售量y(单位：
件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当 时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元件)定为多少时，日销售利
润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件(2)
(3)甲商品的销售单价定为15元 件时，日销售利润最大，最大利润是50元
【详解】（1）解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是a元 件、b元 件，由题意得：
，
解得： ．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10元 件、15元 件．
（2）设y与x之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得：
，
解得： ．
∴y与x之间的函数关系式为 ．
（3）由题意得：
．
∴当 时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元 件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
题型4.利用二次函数解方案设计问题
9．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目
之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段
抛物线．其中 米， 米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处
轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架 GD、GM、HI、
HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【解答】解：（1）由图象可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣ ）2，
把A（0， ）代入，得： ＝a（0﹣ ）2，
解得：a＝ ，
∴抛物线A→B→C的函数关系式为y＝ （x﹣ ）2；
（2）当y＝5时，5＝ （x﹣ ）2，
解得：x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴P（ ，5），C（ ，5），
∴PC＝ ＝10，
∵抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，
∴抛物线C→E→F由抛物线A→B→C右平移PC个单位，
∴抛物线C→E→F为：y＝ ，
当y＝0时，x＝ ，∴OE＝ ；
（3）设OM＝MN＝m，M（m，0），N（2m，0），
y ＝ ，y ＝ ，
G H
∴l＝GD+GM+HI+HN＝m+ ＝m2﹣12m+ ＝（m﹣6）2+ ，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，
∴当m＝6时，l最短，最短为 米，
即当OM＝MN＝6时用料最少，最少需要材料 米．
题型5.利用二次函数解拱桥通车问题
10．（2023•凤阳县二模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知 OA＝12米，OB
＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建
立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内
设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少
于0.5米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【解答】解：（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，
把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣ ，即所求抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝7+4＝11时，
y＝﹣ （11﹣6）2+10＝ ＜6.5，
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
11．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点P使得S△PAB ＝ ，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB ﹣S△AMC 的值最大时，求直线BP的表达式．
【解答】解：（1）设抛物线y＝﹣x2+kx+k+1顶点纵坐标为s，
∴s＝ ＝ （k+2）2，
∵ ＞0，k≥1，
∴当k＝1时，s取最小值，最小值为 ，
∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是 ；
（2）当k＝2时，抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
①存在点P使得S△PAB ＝ ，理由如下：
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵S△PAB ＝ ，
∴ ×4×（﹣m2+2m+3）＝ ，
解得m＝ 或m＝ ，
∴P（ ， ）或（ ， ）；
②如图：
设P（t，﹣t2+2t+3），
∴S△ABP ＝ ×4×（﹣t2+2t+3）＝﹣2t2+4t+6，
而S△ABC ＝ ×4×3＝6，
∴S△PMB ﹣S△AMC ＝S△ABP ﹣S△ABC ＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴t＝1时，S△PMB ﹣S△AMC 的最大值为2，
此时P（1，4），
设直线BP表达式为y＝px+q，把P（1，4），B（3，0）代入得：
，解得 ，
∴直线BP表达式为y＝﹣2x+6．
12．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐
标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2
即y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，即抛物线的最小值是﹣4，
即x＝a﹣2和x＝a+1不可能在抛物线对称轴两侧；
当a+1≤1时，即a≤0，
则x＝a+1时，抛物线取得最小值，
即y＝（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝5，
解得：a＝3（舍去）或﹣3，
即a＝﹣3；
当x＝a﹣2≥1时，即a≥3，
则x＝a﹣2时，抛物线取得最小值，
即y＝（a﹣2）2﹣2（a﹣2）﹣3＝5，
解得：a＝6，
综上，a＝6或﹣3；（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
则S＝S△PHC +S△PHB ＝ PH×OB＝ （x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣ （x﹣ ）2+ ．
即△PBC的面积S的最大值为 ．
题型6.根据图象结构函数模型解决问题
13．（2023•吉州区校级二模）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，
平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙
丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点
B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【解答】解：根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，
将点A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m，解得m＝﹣ ，
则抛物线解析式为y＝﹣ x2，
当y＝﹣144时，﹣ x2＝﹣144，
解得x＝±18，
∵点B在第四象限，
∴a＝18，
故选：B．
14．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距
离也为3m，那么水管的设计高度应为 ．
【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣ ．
∴y＝﹣ （x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y＝﹣ ×（0﹣1）2+3＝﹣ +3＝ ，
∴水管的设计高度应为 m．
故答案为： m．
15．（2023•陈仓区三模）如图，某动物园的大门由矩形 ABCD和抛物线形DMC组成，分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，AD＝ 米，抛物线顶点M的坐标为 ．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架OPE方便施工，点P正好在抛物线上且在点
M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，求支撑杆PE与大门最右侧的水平距离BE．
【解答】解：（1）设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣ ）2+ ，
把D（0， ）代入得： ＝ a+ ，
解得a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣ ）2+ ＝﹣ x2+ x+ ，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣ x2+ x+ ；
（2）由D（0， ），抛物线对称轴为直线x＝ 可得C（9， ）；
在y＝﹣ x2+ x+ 中，令y＝3得3＝﹣ x2+ x+ ，
解得x＝ 或x＝ ，
∵点P正好在抛物线上且在点M右侧，
∴x＝ ，
∵9﹣ ＝ （米），
∴支撑杆PE与大门最右侧的水平距离为 米．
16．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项
目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中 米， 米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处
轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架 GD、GM、HI、
HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【解答】解：（1）由图象可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣ ）2，
把A（0， ）代入，得： ＝a（0﹣ ）2，
解得：a＝ ，
∴抛物线A→B→C的函数关系式为y＝ （x﹣ ）2；
（2）当y＝5时，5＝ （x﹣ ）2，
解得：x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴P（ ，5），C（ ，5），
∴PC＝ ＝10，
∵抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，
∴抛物线C→E→F由抛物线A→B→C右平移PC个单位，∴抛物线C→E→F为：y＝ ，
当y＝0时，x＝ ，
∴OE＝ ；
（3）设OM＝MN＝m，M（m，0），N（2m，0），
y ＝ ，y ＝ ，
G H
∴l＝GD+GM+HI+HN＝m+ ＝m2﹣12m+ ＝（m﹣6）2+ ，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，
∴当m＝6时，l最短，最短为 米，
即当OM＝MN＝6时用料最少，最少需要材料 米．
题型7.利用二次函数解决动点问题
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接
AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求 PAE面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形△OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在
请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2） PAE面积S的最大
△值是 ；（3）点Q的坐标为（﹣2+ ，2 ﹣4）．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得 ，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S ＝ ＝﹣（p+ ）2+ ，
PAE
△
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣ 时，S 取得最大值，此时S ＝ ，
PAE PAE
△ △
即 PAE面积S的最大值是 ；
△
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴ ，解得， 或 （舍去），
当q＝﹣2+ 时，﹣q2﹣2q+3＝2 ﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+ ，2 ﹣4）．
【方法三】差异对比法
易错点1.自变量取值范围的确定
18．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架
ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米． (2)150
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有 厘米，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，即为 ；
故答案为：150．
易错点2.因忽略自变量的取值范围而多解、错解
19．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次
函数关系，部分数据如表．
售价x（元/千克） 6 8 10
日销售量y（千克） 20 18 16
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最
大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
【解答】解：（1）设这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝6，y＝20；x＝8，y＝18代入解析式，
则 ，
解得 ，
∴这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝﹣x+26；
（2）当x＝6时，y＝﹣6+26＝20，
当x＝12时，y＝﹣12+26＝14，
∵在y＝﹣x+26中，﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴14≤y≤20，
∴这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围时，这种水果日销售量的范围为14千克～20千克；
（3）设毛利润为w元，
根据题意得：w＝x（﹣x+26）﹣4（﹣x+26）＝﹣x2+30x﹣104＝﹣（x﹣15）2+121，
∵这种水果在日销售量不超过10千克，
∴﹣x+26≤10，解得x≥16，
∵﹣1＜0，
∴当x＞15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝16时，y有最大值，最大值为120元，
答：最大毛利润为120元．
【方法四】 仿真实战法
考法1.实际问题中的二次函数
20．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的
关系是y＝﹣ （x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
【解答】解：令y＝0，则﹣ （x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
21．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面 1 9 米．【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20），
设抛物线解析式为：y＝ax2+20，
将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ +20，
消防车同时后退10米，即抛物线 y＝﹣ +20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣ +20，
令x＝0，
解得：y＝19，
故答案为：19．
22．（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，
经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022
年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中 为一
折线）．
(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）【答案】(1)
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【详解】（1）解：当 时，设每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
∵图象过 两点，
，解得
∴当 时，每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设销售收入为 万元，
①当 时， ，
，当 时， （万元）．
②当 时， ，
，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， （万元）．
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
23．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物
造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA
垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距
离是1．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6
时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴ ，解得： ，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）；
（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，
解得： ，
∴ ≤b≤4，
当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：
b＞5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：
b≤5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得： ，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得： ，
∴b≥6都成立；
综上所述，b的取值范围为 ．考法2.利润问题中的二次函数
24．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产
成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝
，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣ ，n＝18；
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，
由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣ x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣ x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣ x+8）（5x+20）＝﹣ x2+35x+160＝﹣ （x﹣
14）2+405，
∵﹣ ＜0，12＜x≤20，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0＜x≤12时，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝ ，
则w与x的函数图象如图所示：由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x＝13，15时w＝403.75，
当x＝12，16时，w＝400，
∴a的取值范围400＜a≤403.75．
25．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：
，
解得： ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x ＝18，x ＝22
1 2
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，W最大 ＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
考法3.图形面积问题中的二次函数
26．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知
房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ m时，羊圈的面积最大．
【解答】解：设AB为xm，面积为Sm2，
由题意可得：S＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，S取得最大值，
即AB＝15m时，羊圈的面积最大，
故答案为：15．
27．（2023•潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．
经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝
∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的
面积最大，最大面积是多少？
【解答】解：连接CF，如图，∵AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，
∴CF∥AB，
∴∠AFC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG，
∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝AF＝NP＝BC＝1米，
∵∠BCG＝∠AFH＝135°，
∴∠HFQ＝∠GCP＝45°，
∴FQ＝HQ，CP＝GP，
∴FQ＝HQ＝MH﹣MQ＝MH﹣1，
同理得：CP＝MH﹣1，
∴AM＝NB＝MH﹣1，
∴MN＝AB﹣AM﹣NB＝3﹣（MH﹣1）﹣（MH﹣1）＝5﹣2MH，
∴S矩形MNGH ＝MN•MH
＝（5﹣2MH）•MH
＝5MH﹣2MH2
＝﹣2（MH2﹣ MH）
＝﹣2（MH﹣ ）2+ ，
∴当MH＝ 米时，铁皮的面积最大，最大值为： 平方米．
考法4.拱桥问题中的二次函数
28．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的
抛物线型钢拱组成，通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点
O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直
线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2
C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，
将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，
解得：a＝﹣ ，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣ x2．
故选：B．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）某种品牌的服装进价为每件 元，当售价为每件 元时，每天可
卖出 件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价 元，每天可多卖出 件．在确保盈利的前提
下，若设每件服装降价 元，每天售出服装的利润为 元，则 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，利用每天
售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销
售量为整数，即可得出x的取值范围．【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，每天售出
服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴ ，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为 （ ，x为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系
式是解题的关键．
2．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，
则当水面宽8米时，水面下降了（ ）
A． 米 B．2米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标 ，求出二次函数解析式，再根据把 代入
抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y通过 中点O且通过C点，则通过画图可
得知O为原点，由题意可得： 米，C坐标为 ，
通过以上条件可设顶点式 ，
把点A点坐标 代入得，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把 代入解析式，得 ．
∴水面下降 米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关
键．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子
，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 的
任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离 与水流喷出的高度 之间的关系式为
，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】将 配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当 时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想
解答．
4．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，有长为 的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大
可用长度a为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时 的长是（ ）米．
A．4 B．5 C．3 D．
【答案】D
【分析】设 ，根据矩形的面积公式得到矩形 的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范
围即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数对称轴为 ，开口向下，
∴当 时， 随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取
值范围求出最值．
5．（2023秋·九年级课时练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度
（单位： ）与水流运动时间 （单位： ）之间的函数解析式为 ，那么水流从喷出至回落到地
面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度 为0，把 代入 即可求出 ，也就求出了水
流从抛出至回落到地面所需要的时间．
【详解】解：水流从抛出至回落到地面时高度 为0，
把 代入 得： ，
解得： （舍去）， ．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实
际判断所得出的解．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的
销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足： ， ，若该公司在甲、乙两地共
销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
【答案】C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售 辆，总利润为W万元，根据题意得出：，
∴当 时， 取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式化为
顶点式．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向 以 的速
度移动（不与点 重合）．如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形 的面积
最小．
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求四边形 的面积最小即求 面积最大，设时间为 ，用含有 的式子表示 面积，
求最大值即可．
【详解】解： 面积为定值，
当 面积最大时，四边形 的面积最小，
设时间为 秒，
则 ， ，
，
，
当 时， 面积最大，此时四边形 的面积最小．
故选：B．【点睛】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键．
8．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）抛物线 与直线 交于 ，
两点，抛物线在 ， 两点之间的部分以及线段 所围域内（包括边界）恰有4个整点（横、纵坐标都
是整数的点叫做整点），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线解析式，确定顶点坐标，进而得到点 ， 、 必在所要求区域内，再扩
充一个整点 ，将 代入抛物线解析式，得到 ，然后根据点 的纵坐标在1和2之间
（不包括1，但包括2），据此即可得到答案．
【详解】解： ，
抛物线的顶点坐标为 ，
直线 经过点 ，
点 ， 、 必在抛物线在 ， 两点之间的部分以及线段 所围域内（包括边界），
此区域恰有4个整点，
第4个整点必为 ，
将 代入 ，得： ，
，
解得： ，
故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问
题是解题关键．
9．（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为1， 分别为各边上的
点，且 ，设小正方形 的面积为 ， 为 ，则 关于 的函数图像大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得 ，根据 ，求函数关
系式，判断函数图像即可．
【详解】解：根据题意，正方形 的边长为1， ，
∴ ，
∴，
该函数图像开口向上，对称轴为 ，
所以，四个选项中B符合题意，A、C、D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，解题关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变
量取值范围，开口方向及对称轴．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，
该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不
得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【分析】设每月所获利润为 元，按照利润 销售量 (售价一成本)列出二次函数，并根据二次函数的性质
求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为 元，
∴ ，
整理得： ，
当 时，每月所获利润最大．
故选： ．
【点睛】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法
是解题的关键．
二、填空题
11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关
系满足二次函数 ，则当温度为 时，水的体积为 ．
【答案】120
【分析】把 代入解析式求值即可．
【详解】解： ，当 时， ，
水的体积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）一种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是
．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
【答案】6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得： ，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当 时，升到最高点．
故答案为：6．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，王叔叔想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩
形羊圈 ，已知房屋外墙足够长，当矩形 的边 时，羊圈的面积最大．
【答案】15
【分析】设 为 ，则 ，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即
可解．
【详解】解：设 为 ，面积为 ，
由题意可得： ，
当 时， 取得最大值，即 时，羊圈的面积最大，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我
们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的
取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
14．（2023秋·河南信阳·九年级校考期末）如图，在正方形 中， 为 上的点， 为 边上的点，
且 ， ，设 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质利用“ ”证明 ，根据全等三角形对应边相等可
得 ，然后求出 ，再根据 的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式
整理即可得解．
【详解】解：在正方形 中， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
即： ，
化简为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，证明
是解答本题的关键．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位： ）与飞行时间t（单位： ）之间的函数关系是 ，当飞行时间t为 时，
小球达到最高点．
【答案】2
【分析】只需要求出抛物线 的顶点坐标即可得到答案．
【详解】解：∵小球的飞行高度h（单位： ）与飞行时间t（单位： ）之间的函数关系是
，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∴当飞行时间t为 时，小球达到最高点，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知小球到达最高点的时间值即为抛物线 的
顶点坐标的横坐标的值是解题的关键．
16．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡 底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，
喷水装置的高度 为 米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷
水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面
直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为 米的小树 ， 垂直水平地面且M点到水平地面的距离为 米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移
（即抛物线向左平移） 米．
【答案】2
【分析】根据当喷射出的水流距离喷水头6米时，达到最大高度5米，设水流形成的抛物线为
，将点 ）代入解得 得到抛物线解析式；设喷射架向后平移了 米，
设出平移后的函数解析式，代入点N的坐标即可求解．
【详解】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头 米时，达到最大高度 米，
则可设水流形成的抛物线为 ，
将点 代入，得 ，
解得， ，
∴抛物线解析为 ；
由题意可知， 与地面的距离为： 米，
故 点坐标为 ，
设喷射架向后平移了 米，则平移后的抛物线解析可表示为， ，
将点 代入得： ，
解得 或 （舍去），
∴喷射架应向后移动 米，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
17．（2023秋·九年级课时练习）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，
决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则 关于 的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】每件降价x元，每件商品的利润为 元，日销售量为 件，求解即可．
【详解】解：每件降价x元，每件商品的利润为 元，日销售量为 件，
则每天的利润
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的求解．
18．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物
线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m．若把拱
桥的截面图放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】先根据题意和图象得出顶点坐标 ，然后设出抛物线的顶点式为： ，再把
代入解析式求出 的值即可．
【详解】解： 桥洞与水面的最大距离是 ，且拱桥的跨度为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
则可设抛物线的解析式为： ，
根据题意和图象把 代入解析式可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，解题关键是求出顶点坐标并设出抛物线的顶点式．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）已知直角三角形两条直角边的长度之和等于 ，两条直角边的长各为多
少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
【答案】当两条直角边的长均为 时，这个直角三角形的面积最大，最大值是 ．
【分析】设一条直角边长为 ，则另一条直角边长为 ，设直角三角形的面积为 ，可得
，根据二次函数的图象和性质即可求得答案．
【详解】设一条直角边长为 ，则另一条直角边长为 ，设直角三角形的面积为 ．
根据题意，得： ．
即： ．
二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ．
根据二次函数的图象可知，当 时， 可以取得最大值，另一条直角边为 ，
．
所以，当两条直角边的长均为 时，这个直角三角形的面积最大，最大值是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何问题，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知二次函数 的图象过点 ， ．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象与 轴的另一个交点为 ，在抛物线上存在一点 ，使 的面积为10，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法将 代入 求解即可；
（2）首先令 ，得到 ，求出 ， ，进而得到 ，然后根据
的面积为10得到 ，求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】（1）∵二次函数 的图象过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）令 ，即
解得 ，
∴ ，
∴
∵ 的面积为10
∴ ，即
解得
∴将 代入 得，
解得 或2
∴点 的坐标 或 ；将 代入 得，
整理得，
∵
∴方程无解，应舍去，
综上所述，点 的坐标 或 ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求和x轴的交点坐标，解一元二次方程和一
元二次方程的判别式等知识，关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．
21．（2023秋·九年级课时练习）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上
升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
(1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
(2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为
40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天
的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为 ；
(2)当每千克的销售价为37元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是2450元．
【分析】（1）设这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函
数的性质解题．
【详解】（1）设这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为x．
由题意，得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
答：这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为 ．
（2）设每千克的销售价为 元．
利润 ．
，
当 时， 取得最大值，最大值为2450．
答：当每千克的销售价为37元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，其中涉及配方法等知识，是重要考点，
掌握相关知识是解题关键．
22．（2023·山东青岛·校考一模）随着 技术的发展，人们对各类 产品的使用充满期待，某公司计划
在滕州销售一款 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x
（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），且 ．那么哪个销售周期的销售收入最
大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【答案】(1)
(2)第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元
【分析】（1）设y与x之间的关系式为 ，用待定系数法，将 代入求解即
可；
（2）设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量及 ，可得w关于x的二次函数，
将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为 ，由图象可得，
将 代入得：
．
解得 ，∴y与x之间的关系式为： ；
（2）解：设销售收入为w万元，根据题意得，
，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，
此时 （元）．
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关
系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2023秋·福建福州·九年级福建省长乐第一中学校考开学考试）已知抛物线 的对称轴为
直线 ，顶点为 ，与 轴正半轴交点为 ，且 的面积为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 点的坐标为
【分析】（1）根据对称轴求得 ，然后根据三角形面积求得 ，即可求得解析式；（2）设 点的坐标为 ，根据 得出关于 的方程，解方程求得 的值，进而求得点 的坐标．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）如下图，
∵ ，
∴ ，
设 点的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
故 点的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、 轴上点的坐标特征等知
识，根据 列出方程是解题的关键．24．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，
运动员通过助滑道后在点 处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡 上的点 处．地面 为
，腾空点 到地面 的距离 为 ，坡高 为 ，以 为原点， 所在直线为 轴，
所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点 ， ．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面 竖直方向上的最大距离；
(3)落点 与坡顶 之间的距离为________ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）作 轴交直线 于点N，设 ，列出 关于a的二次函数关系式，求
出最大值即可；
（3）设抛物线与直线 交于点P，过点P作 轴于点D，将抛物线与直线 的解析式联立，求出
点P的坐标，再用勾股定理解 即可．
【详解】（1）解： ，
，设这段抛物线表示的二次函数表达式为 ，
将 ， ， 代入，得：
，
解得 ，
这段抛物线表示的二次函数表达式为 ；
（2）解：如图，设M表示运动员的位置，作 轴交直线 于点N，则 为运动员到坡面 竖
直方向的距离．
， ，
， ，
设直线 的函数解析式为 ，将 ， 代入，得：
，解得 ，
直线 的函数解析式为 ，
设 ，则 ，
，
当 时， 取最大值，最大值为30.25，
运动员到坡面 竖直方向上的最大距离为 ；
（3）解：如图，设抛物线与直线 交于点P，过点P作 轴于点D，
将 与 联立，得：
，
解得 ， （舍去），
当 时， ，
，
， ，
，，
落点 与坡顶 之间的距离为 ．
故答案为： ．
25．（2023·安徽滁州·校考三模）某厂有 名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每
天产量与每件产品利润如表：
产品 甲 乙 丙
每人每天产
量/件
每件产品利 当每天生产 件时，每件利润为 元，若每增加 件，则每件利润减少
润/元 元
设每天安排 名工人生产丙产品（ 为不小于 的整数）．
(1)若每天每件丙产品的利润为 元，求 的值；
(2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多 元，求每件丙产品的利润；
(3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大
时，请直接写出 的值．
【答案】(1)30 (2)120元 (3)33
【详解】（1）根据已知：安排 名工人生产丙产品，每天每件丙产品的利润为 元，
可列方程： ，
解得： ，
答： 的值为30；
（2）安排 名工人生产丙产品，每天丙产品的利润为 元，
则安排 人生产甲产品，产量为 件，利润是 元，
列方程得： ，
解得： ， ，
，
，此时 ，
答：每件丙产品的利润是 元；
（3）设安排 人生产甲产品，这三种产品的每天总利润为 元，则需安排 人生产乙产品，根据题意可
得：
，且 ，
，
当 时， ，得 ，而 应是正整数，故不符合题意，舍去，
当 时， ，得 ，
当 时，最大利润是 ．
当这三种产品的总利润的和最大时， 的值是 ．
26．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，
现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中
的长不超过墙长；方案乙中 的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设 的长为xm，矩形 的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形 的面积y(m2)的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【答案】(1)① ②(2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是 ，理由见解析
【详解】（1）解：①设 的长为xm，则： 的长为 ，
∴ ；
②∵甲中 的长不超过墙长，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，矩形的面积最大，最大为： ．
（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设 的长为xm，矩形 的面积为ym2．
则： ，
∵方案乙中 的长大于墙长，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴当 时，矩形的面积最大，最大为 ；
∵ ，
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是 ．
